专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版2024）

专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 26 模型1.羊角模型 图1图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 例1．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，AB∥CD，，，则 ． 【答案】40 【详解】∵，∠C＝70°，∴， 又∵∠FEB＝∠A＋，而∠A＝30°，∴＝∠FEB－∠A＝70°－30°＝40°，故答案为：40． 例2．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）如图，，交于点B，交于点E，交于点A．(1)画图：过点B作交于点M；(2)求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）证明：如图，∵，∴．∵，∴，，∴， ∴，∴． 例3．（23-24七年级下·北京·期末）如图所示，给出下列条件：①∠1＝∠B；②∠EFD＋∠B＝180°；③∠B＝∠D；④∠E＝∠B；⑤∠BFD＝∠B．其中，一定能判断AB∥CD的条件的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①当∠1＝∠B时，根据同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，故①符合题意； ②当∠EFD＋∠B＝180°时，∵∠BFC＝∠EFD，∴∠BFC＋∠B＝180°，∴AB∥CD，故②符合题意； ③当∠B＝∠D时，无法判断AB∥CD，故③不符合题意； ④当∠E＝∠B时，无法判断AB∥CD，故④不符合题意； ⑤当∠BFD＝∠B时，根据内错角相等，两直线平行得AB∥CD，故⑤符合题意． 则符合题意的有①②⑤，共3个．故选：B． 例4．（2023下·重庆沙坪坝·七年级校考期中）如图，已知，，的延长线交的角平分线于点，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，与交于点，与交于点，，，    ，，， ，，，， 是的角平分线，， ．故选：． 例5．（23-24七年级下·北京通州·期末）学习完平行线的性质与判定之后，发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)小明遇到了下面的问题：如图1，直线，点在直线、之间，探究，，的等量关系．小明过点作的平行线，可证，，之间的等量关系是：________．         (2)如图2，如果，点在直线上方，那么，，的等量关系是否发生变化？ 请你补全下面的证明过程． 解：过点作，∴________，∵，∴________________，∴________， ∵，∴________． (3)解决以下问题：如图3，三角形．求证：． 【答案】(1)(2)；；；；(3)证明见解析 【详解】（1）解：过点作的平行线，如图所示： ∵，∴，∴， ∵，∴；故答案为：；            （2）解：如图所示，过点作，∴，∵，∴，∴， ∵，∴．故答案为：；；；；； （3）证明：过点A作，如图所示： ∴，∵，∴． 例 6．（23-24七年级下·北京·期中）已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出 的度数； (2)点M为直线下方的动点，连接，平分， ①如图2，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明；②如图3，当点P在直线的下方运动时（点P在射线上），射线平分，点K在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①，证明见详解；②或 【详解】（1）证明：过点P作，则，      ∵，∴，∵，∴，∴． （2）①解：，设，， ∵平分，∴，∵平分，∴， 过点P作，过点M作，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴； ②当点P在线段上时，过点P作，而 ，则， 设，设∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，解得； 当点P在线段延长线上时，过点P作，则，设，， ∵平分，∴，∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，解得，综上：的度数为或． 1．（23-24七年级下·北京·期末）如图，先在纸上画两条直线a，b，使，再将一块直角三角板平放在纸上，使其直角顶点落在直线b上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，∵∴， ∵，∴，故选：B 2．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过作， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴,故选：． 3．（2023上·广东韶关·八年级统考期中）如图，如果，求的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴， ∵，， ∴．故选：B 4．（2024上·广东江门·八年级校考期中）如图，，于，与交于点，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，， ，， ，故选：A． 5．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，已知，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，， ，，故选：C． 6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中，，，∴， ∵，∴， ∴，故选：A． 7．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）如图，直线，， ，那么的度数是 ．    【答案】/22度 【详解】解：如图，过点作，，    ∵直线，，， ，故答案为：． 8．（2024·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知，点为上一点，，平分，（1）若，，则 ；（2）与之间满足的数量关系是 ．    【答案】 【详解】解：（1）延长，交与点H，令和相交于点I， ∵，，∴， ∵，，∴， ∵，  ∴，， ∵平分，∴，∴， ∴，故答案为：20°；       （2）设，∴， ∵平分，∴， ∴，∴， ∵，，∴，   ∵，∴， ∵，，， ∴，即， 整理得：．故答案为： 9．（23-24七年级下·北京·期中）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是 ． 【答案】40°． 【详解】如图，∵直线a∥b，∴∠4＝∠1＝75°， 由三角形的外角性质得，∠3＝∠4﹣∠2＝75°﹣35°＝40°．故答案为40°． 10．（23-24七年级下·北京朝阳·期末）如图，已知，，求的度数．    【答案】 【详解】解：，， ，，的度数为． 11．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，，三角形的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了有关角平分线的角度计算，平行线的性质等；由三角形内角和得，由角平分线的定义得，由平行线的性质得，再根据三角形内角和，即可求解；能熟练利用平行线的性质求角度是解题的关键． 【详解】解：因为，，所以， 因为平分， 所以，因为，所以， 因为，所以． 12．（2023下·山西吕梁·七年级统考期末）如图1，点D是的边AB上一点，过点D作直线，是的平分线，以点D为端点作线段，连接．    (1)在图1中，若是的平分线，试探究：与的数量关系； (2)如图2，若是的平分线，则与又有怎样的数量关系，请做出判断，并说明理由； (3)如图3，若是的平分线，，请求出的度数． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）∵∴ ∵是的平分线，是的平分线 ∴∴ ∴∴ （2），理由：∵∴ ∵是的平分线，是的平分线 ∴∴∴∴ （3）延长交于点G ∵是的平分线 ∴ ∵∴ ∵是的平分线∴ ∴ ∵∴∴∴ ∵∴    13．（2024·广西河池·七年级校考阶段练习）（1）如图1，已知，点E在两平行线的内侧，连接，．若，，求的度数； （2）如图2，已知，点E在两平行线的外侧，连接，，若，． ①求的大小（用含α，β的代数式表示）； ②作的平分线交于点G，连接，平分（如图3）．若，，分别求出α，β的度数．    【答案】（1）；（2）①；②， 【详解】解：（1）如图1，过点E作．       ∵，∴．∵，，∴． ∴．∴． （2）①∵，∴． 又∵，，∴． ②如图3，∵，∴． 又∵平分，∴．∴． ∵平分于，∴．∴． ∵，∴．∴． 又∵，∴，． 14．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由．(2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析(2)不成立，，理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下，过点作， ，，，， ，． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作．，∴， ，，即． 15．（23-24七年级下·北京房山·期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．    (1)若，在中，的“3系数补角”是________； (2)在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“6系数补角”，求的大小．②如图2，连接．若H为平面内一动点（点H不在直线上），与两个角的平分线交于点M．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【详解】（1）解：设的“3系数补角”是x， ∵，∴，即，解得， ∴的“3系数补角”是；故答案为： （2）①设， 如图，设与相交于点H，    ∵，，∴， ∴，即①， ∵是的“6系数补角”，∴，即② 联立①②得，解得即是； ②∵是的“2系数补角”，∴∴ 如图1，∵与两个角的平分线交于点M．∴，            ∵， 过点H作，∵，∴ 则 ∴∴ 如图2，同理可得，， 则 如图3，∵，∴∴，∴，∴ 如图4，同理可得，， ∴ 如图5，同理可得，， ∴ 如图6，同理可得，， ∴       综上可知，的大小为或或或 16．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图1，直线，点E、F分别在、上，连接，作的平分线与直线交于点G． (1)请在图1中补全图形，写出和的数量关系并说明理由； (2)若有一个动点M在直线上运动（不与点E、点G重合），连接FM，请直接写出、、之间的数量关系；(3)在第（2）小题的基础上，若，则______． 【答案】(1)图见解析，，理由见解析； (2)或或；(3)或． 【详解】（1）解：补全图形如图1所示，平分，， ．， ，， （2）解：若点M在直线上方时，如图， 是的外角，， ．，，； 若点M在线段上时，如图，是的外角，， ．，，； 若点M在线段下方时，如图，是的外角，， ．，； 综上所述，或或； （3）解：设由得，即， 若点M在直线上方时，如图， 若点M在线段上时，如图， 若点M在线段下方时，如图，由题意可得，所以此种情况不存在， 综上所述或 故答案为：或 17．（23-24七年级下·北京东城·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：；(2)如图2，过F点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：，， 又，，； （2）解；如图，过点作， ∵，，，，设，， 、分别平分、，，， 又，， 又，，∴， ，，． 18．（23-24七年级下·北京·期中）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．    (1)如图①，小明把三角尺角的顶点G放在直线上，．若，则______°； (2)如图②，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系_________________（不用证明）； (3)在图②的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点F处，即． 如图③，平分交直线于点M，平分交直线于点N． 将含角的三角尺绕着点F转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【答案】(1)(2)(3)不变， 【详解】（1）如图①∵，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴，即，∴．故答案为：80； （2）过点F作，∴，∵，∴，∴， ∵，∴．故答案为：； （3）不变，，理由如下： ∵分别平分，∴，， 设，∵，∴，， ∵，∴， ∴，∴， 由②方法可得，即． 19．（23-24七年级下·北京·期中）已知，点在射线上，点在外部，，以为顶点，为一边，大小为的角的另一边交射线于点．    (1)如图1，当点与点位于所在直线异侧时，的平分线与射线的交点为点．补全图形并直接写出直线与直线的位置关系；(2)当点与点位于所在直线同侧时，射线与射线交于点，点在线段的延长线上．①如图2，若平分，求证：平分；②当时，直接写出的度数并画出符合题意的图形． 【答案】(1)作图见解析， (2)①证明见解析；②，作图见解析 【详解】（1）解：补全图形如图1所示，此时，理由如下： ∵平分，且，∴， ∵，∴，∵，∴，∴；       （2）①证明：∵，∴，，， ∵，，∴，， ∵平分，∴，∴， ∴，∴，∴平分； ②解：如图2，∵，∴，∵，，∴， 过点作，∴，， ∵，∴，解得：． 20．（23-24七年级下·北京通州·期末）如图1，，，，求度数． 小明的解题思路是：如图2，过点P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；    完成下列任务：(1)依据小明的思路写出求的度数的完整解答过程； (2)如图3，，直线与直线，分别相交于点G，H，这样三条直线将平面分成六个区域．点P是平面内任意一点，且满足，．请你直接写出点P分别在6个区域运动时，、、之间的数量关系，并选择点P在某一区域内的情况进行证明．（点P不在直线，，上） 【答案】(1) (2)当点P在区域①内时，；当点P在区域②内时，；当点P在区域③内时，；当点P在区域④内时，；当点P在区域⑤内时，；与点P在区域④内同理可得 【详解】（1）解：过点作（如图，则， ∵，，∴， 又， （2）解：当点P在区域①内时，，过点P作∴       ∵∴∴∴； 当点P在区域②内时，，过点P作∴ ∵∴∴∴； 当点P在区域③内时，， 与点P在区域①内同理可得；            当点P在区域④内时，，过点P作∴ ∵∴∴∴； 当点P在区域⑤内时，， 过点P作∴ ∵∴∴ ∴； 当点P在区域⑥内时，，与点P在区域④内同理可得． 21．（23-24七年级下·北京石景山·期中）课上教师呈现一个问题： 如图，，点是线段，所在直线外的一点，连接，，探究，，之间的数量关系． 小凯画出了图，图，分析思路及结论如下： 分析思路：要寻求三个角之间的数量关系，根据图中角的位置特征，可以借助平行线进行角的位置的转换． 如图，过点作． 由可知； 由，得到，可知； 由，得到结论： 如图，类似图的分析 得到结论：． 小明认为小凯只考虑了点在直线，之间的情况，点的位置应该还有其他情况． 根据以上材料，解答问题：画出一种点不在直线，之间的图形，写出探究，，之间的数量关系的分析思路及结论． 【答案】见解析 【详解】解： 如图，过点作， 则：；∵，∴，∴； ∵，∴． 如图，过点作，，，，， 又，． 22．（24-25七年级上·河南南阳·期末）综合与实践 （1）如图1，，点P在，之间，，求的度数． （2）如图2，若，点P在的下方，则之间有何数量关系？并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的式子表示） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）如图1，过点P作， ，．∵，， ，． （2）．理由：如图2，过点P作， ∵，，， ，， ，，． （3）如图3，过点E作， ∵，，， 的平分线和的平分线交于点E． ，由（2）得， ，， ． 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 26 模型1.羊角模型 图1图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 例1．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，AB∥CD，，，则 ． 例2．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）如图，，交于点B，交于点E，交于点A．(1)画图：过点B作交于点M；(2)求证：． 例3．（23-24七年级下·北京·期末）如图所示，给出下列条件：①∠1＝∠B；②∠EFD＋∠B＝180°；③∠B＝∠D；④∠E＝∠B；⑤∠BFD＝∠B．其中，一定能判断AB∥CD的条件的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例4．（2023下·重庆沙坪坝·七年级校考期中）如图，已知，，的延长线交的角平分线于点，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 例5．（23-24七年级下·北京通州·期末）学习完平行线的性质与判定之后，发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题． (1)小明遇到了下面的问题：如图1，直线，点在直线、之间，探究，，的等量关系．小明过点作的平行线，可证，，之间的等量关系是：________．         (2)如图2，如果，点在直线上方，那么，，的等量关系是否发生变化？ 请你补全下面的证明过程． 解：过点作，∴________，∵，∴________________，∴________， ∵，∴________． (3)解决以下问题：如图3，三角形．求证：． 例 6．（23-24七年级下·北京·期中）已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出 的度数； (2)点M为直线下方的动点，连接，平分， ①如图2，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明；②如图3，当点P在直线的下方运动时（点P在射线上），射线平分，点K在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 1．（23-24七年级下·北京·期末）如图，先在纸上画两条直线a，b，使，再将一块直角三角板平放在纸上，使其直角顶点落在直线b上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2023上·广东韶关·八年级统考期中）如图，如果，求的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2024上·广东江门·八年级校考期中）如图，，于，与交于点，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 5．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，已知，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 7．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）如图，直线，， ，那么的度数是 ．    8．（2024·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知，点为上一点，，平分，（1）若，，则 ；（2）与之间满足的数量关系是 ．    9．（23-24七年级下·北京·期中）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是 ． 10．（23-24七年级下·北京朝阳·期末）如图，已知，，求的度数．    11．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，，三角形的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，求的度数． 12．（2023下·山西吕梁·七年级统考期末）如图1，点D是的边AB上一点，过点D作直线，是的平分线，以点D为端点作线段，连接． (1)在图1中，若是的平分线，试探究：与的数量关系； (2)如图2，若是的平分线，则与又有怎样的数量关系，请做出判断，并说明理由； (3)如图3，若是的平分线，，请求出的度数．    13．（2024·广西河池·七年级校考阶段练习）（1）如图1，已知，点E在两平行线的内侧，连接，．若，，求的度数； （2）如图2，已知，点E在两平行线的外侧，连接，，若，． ①求的大小（用含α，β的代数式表示）； ②作的平分线交于点G，连接，平分（如图3）．若，，分别求出α，β的度数．    14．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由．(2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 15．（23-24七年级下·北京房山·期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．    (1)若，在中，的“3系数补角”是________； (2)在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“6系数补角”，求的大小．②如图2，连接．若H为平面内一动点（点H不在直线上），与两个角的平分线交于点M．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程． 16．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图1，直线，点E、F分别在、上，连接，作的平分线与直线交于点G． (1)请在图1中补全图形，写出和的数量关系并说明理由； (2)若有一个动点M在直线上运动（不与点E、点G重合），连接FM，请直接写出、、之间的数量关系；(3)在第（2）小题的基础上，若，则______． 17．（23-24七年级下·北京东城·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：；(2)如图2，过F点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点，求的度数． 18．（23-24七年级下·北京·期中）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．    (1)如图①，小明把三角尺角的顶点G放在直线上，．若，则______°； (2)如图②，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系_________________（不用证明）； (3)在图②的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点F处，即． 如图③，平分交直线于点M，平分交直线于点N． 将含角的三角尺绕着点F转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 19．（23-24七年级下·北京·期中）已知，点在射线上，点在外部，，以为顶点，为一边，大小为的角的另一边交射线于点．    (1)如图1，当点与点位于所在直线异侧时，的平分线与射线的交点为点．补全图形并直接写出直线与直线的位置关系；(2)当点与点位于所在直线同侧时，射线与射线交于点，点在线段的延长线上．①如图2，若平分，求证：平分；②当时，直接写出的度数并画出符合题意的图形． 20．（23-24七年级下·北京通州·期末）如图1，，，，求度数． 小明的解题思路是：如图2，过点P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；    完成下列任务：(1)依据小明的思路写出求的度数的完整解答过程； (2)如图3，，直线与直线，分别相交于点G，H，这样三条直线将平面分成六个区域．点P是平面内任意一点，且满足，．请你直接写出点P分别在6个区域运动时，、、之间的数量关系，并选择点P在某一区域内的情况进行证明．（点P不在直线，，上） 21．（23-24七年级下·北京石景山·期中）课上教师呈现一个问题： 如图，，点是线段，所在直线外的一点，连接，，探究，，之间的数量关系． 小凯画出了图，图，分析思路及结论如下： 分析思路：要寻求三个角之间的数量关系，根据图中角的位置特征，可以借助平行线进行角的位置的转换． 如图，过点作． 由可知； 由，得到，可知； 由，得到结论： 如图，类似图的分析 得到结论：． 小明认为小凯只考虑了点在直线，之间的情况，点的位置应该还有其他情况． 根据以上材料，解答问题：画出一种点不在直线，之间的图形，写出探究，，之间的数量关系的分析思路及结论． 22．（24-25七年级上·河南南阳·期末）综合与实践 （1）如图1，，点P在，之间，，求的度数． （2）如图2，若，点P在的下方，则之间有何数量关系？并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的式子表示） 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$