专题06 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题06 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.直角三角形斜边中线模型 2 模型2.中位线模型 21 模型3.中点四边形模型 50 76 模型1.直角三角形斜边中线模型 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，点F是的中点，连接、，若，则的周长为 ． 例2．（2023·福建莆田·校考模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，连接，将线段绕点B逆时针旋转90°得到线段，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 例3．（2023·青海海东·统考三模）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（    ）   A．72 B．48 C．24 D．9 例4．（2023·江苏镇江·统考二模）如图，已知， M、N分别是中点，若，则    例5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，N是边的中点．D，E分别是边，上的动点，始终保持，M是上的中点，则的最小值为 ．    例6．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在中，于F，于E，M为的中点．(1)若，，求的周长；(2)若是等边三角形，求的度数．    模型2.中位线模型 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 图1 图2 1）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 2）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。 例1．（2023·云南·统考中考真题）如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（    ）    A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 例2．（2023·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E是边的中点．已知，则 ． 例3．（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 例4．（2023下·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点，若，，则四边形的周长为 ．    例5．（2023·湖南郴州·统考二模）如图，在平行四边形中，，点G、H分别是边上的动点，连接，点E是上的中点，点F是上的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 ．    例6．（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 模型3.中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。 中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。 推广与应用 1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的。 结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 例1．（2023·江苏·统考一模）如图，四边形中，E，F，G，H分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件 ． 例2．（2023·上海浦东新·统考二模）顺次联结四边形各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形一定是（    ） A．菱形 B．对角线相等的四边形 C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线互相垂直且平分的四边形 例3．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加 ，才能保证四边形EFGH是正方形． 例4．（2023下·湖南长沙·八年级统考期末）如图，点分别是四边形边的中点．则正确的是（    ）    A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若是平行四边形，则与互相平分 D．若是正方形，则与互相垂直且相等 例5．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点、、、，则四边形的周长为（    ）    A． B． C． D． 例6．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、． （1）若，则四边形的周长为 ． （2）图③，若，且，则四边形的面积为 ． 1．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 2．（2024·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于（    ）    A．4 B．5 C． D． 3．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在中，是上的一点，，，分别是的中点，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，M，N分别是的边AB，AC的中点，若，则=（  ） A． B． C． D． 5．（2022上·河南南阳·九年级统考期中）如图，是的中位线，平分交于点，若，，则边的长为(    )    A． B． C． D． 6．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长是（    ）    A．8 B． C． D． 7．（2022·湖南永州·统考中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　） A． B． C．2 D．4 8．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在中，，，是的中线，是的中点，连接，，若，垂足为，则的长为 ． 9．（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，若，，则点A到BC的距离是 ． 10．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 ． 11．（2023·江苏南京·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是 ． 12．（2023·江苏镇江·统考二模）如图，分别以的边和向外作等腰和等腰，点M、N分别是、中点，若，则四边形的面积为 ．    13．（2023·四川眉山·校考三模）如图，在中，，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点，连接，若，则线段的长为 ．    14．（2023·海南·校考三模）如图，在边长为6的等边中，D为边上一点，且，点E，F分别在边上，且，M为边的中点，连接交于点N．若，则的长为 ．    15．（2023·湖北咸宁·模拟预测）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若B，则的周长为 ．    16．（2023上·山西临汾·九年级校考期中）如图，在四边形 中，P 是对角线的中点，M 是的中点，N 是的中点，连接，，若，试判断与 的数量关系，并说明理由． 17．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长． 18．（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图1，在四边形中，和相交于点O，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)如图2，E，F，G分别是的中点，连接，若，求的周长． 19．（2024.广东八年级期中）如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，依次连接E，G，F，H，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形；(2)当时，与有怎样的位置关系？请说明理由；    20．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.直角三角形斜边中线模型 2 模型2.中位线模型 21 模型3.中点四边形模型 50 76 模型1.直角三角形斜边中线模型 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，点F是的中点，连接、，若，则的周长为 ． 【答案】8 【详解】解：∵ DE是AB的垂直平分线，∴，BE=AE，∴， ∵∴∴ 又∵AC=5，∴在中，，解得：CE=3， 又∵点F是的中点，∴，∴的周长=CF+CE+FE=．故答案为：8． 例2．（2023·福建莆田·校考模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，连接，将线段绕点B逆时针旋转90°得到线段，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，，∴， ∵D是的中点，∴是斜边上的中线，∴，∴ 又∵，，∴是等边三角形，∴， ∵将线段绕点B逆时针旋转90°得到线段，∴，， ∴， ∵，，，∴， ∴，∴，故选：C． 例3．（2023·青海海东·统考三模）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（    ）   A．72 B．48 C．24 D．9 【答案】B 【详解】解：四边形是菱形，，，， ，，，，， ，，菱形的面积．故选：B． 例4．（2023·江苏镇江·统考二模）如图，已知， M、N分别是中点，若，则    【答案】/ 【详解】解：连接、，，是的中点，，    ， 是等腰直角三角形，，是的中点，，故答案为：． 例5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，N是边的中点．D，E分别是边，上的动点，始终保持，M是上的中点，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，在中，，，， 是斜边的中点，， 是的斜边上的中点，且，， 由三角形的三边关系得：，当且仅当点共线时，等号成立，    则的最小值为，故答案为：． 例6．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在中，于F，于E，M为的中点．(1)若，，求的周长；(2)若是等边三角形，求的度数．    【答案】(1)的周长为14；(2)． 【详解】（1）解：∵，，M为的中点，∴，， ∴的周长； （2）解：∵是等边三角形，∴， ∴，由（1）得， ∴，，∴， ∴，∴，∵，∴． 模型2.中位线模型 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 图1 图2 1）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 2）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。 例1．（2023·云南·统考中考真题）如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（    ）    A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 【答案】B 【详解】解∶∵的中点分别为，∴是的中位线， ∴米，故选∶B． 例2．（2023·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E是边的中点．已知，则 ． 【答案】5 【详解】解：∵在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴点O是AC的中点， 又∵点E是AB的中点， ∴EO是△ABC的中位线，∴EO＝BC＝5．故答案为：5． 例3．（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接AC，BD，，．∵ 四边形ABCD是矩形，∴，，． ∵ ，，，分别是矩形四个边的中点，∴， ∴，∴四边形是菱形， ∵ ，，∴四边形的面积为：． 同理，由中位线的性质可知，，， ，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴，∴四边形是矩形， ∴四边形的面积为：． ∴每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，∴四边形的面积是．故选:A． 例4．（2023下·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点，若，，则四边形的周长为 ．    【答案】18 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，∴， ∵O是矩形的对角线的中点，∴， ∵M是的中点，∴是的中位线，，∴， ∴四边形的周长为：，故答案为：18． 例5．（2023·湖南郴州·统考二模）如图，在平行四边形中，，点G、H分别是边上的动点，连接，点E是上的中点，点F是上的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 ．    【答案】 【详解】解：连接，过点A作，垂足为M，    ∵点E是上的中点，点F是上的中点，∴为的中位线，∴， ∵四边形是平行四边形，，∴，∴ ∵，∴，∵，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为，故答案为：． 例6．（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，猜想：，；（3）证明见解析，6； 【详解】解：（1）已知：在中，分别是的中点，求证：： 证明：如图所示，过点C作交延长线与F， ∵分别是的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∴，∴； （2）如图所示，延长交延长线于M，则把延剪开后放置到的位置，即为所求；猜想：，； （3）连接并延长，交延长线于点， ，．是的中点，． ，．，． 点是的中点，又点是的中点，是的中位线， ，．． ，，．，． ∵，，∴。 模型3.中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。 中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。 推广与应用 1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的。 结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 例1．（2023·江苏·统考一模）如图，四边形中，E，F，G，H分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件 ． 【答案】 【详解】解：应满足的条件为：． 证明：∵E，F，G，H分别是边、、、的中点， ∴在中，为的中位线，所以且； 同理且，同理可得，则且， ∴四边形为平行四边形，又，所以， ∴四边形为菱形．故答案为：． 例2．（2023·上海浦东新·统考二模）顺次联结四边形各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形一定是（    ） A．菱形 B．对角线相等的四边形 C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线互相垂直且平分的四边形 【答案】C 【详解】解：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形形，即，∴，故选：C． 例3．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加 ，才能保证四边形EFGH是正方形． 【答案】AC⊥BD，AC=BD/ AC=BD， AC⊥BD 【详解】解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形． ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD， ∴EF∥GH，EF=GH，∴四边形EFGH为平行四边形， 当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH，∴四边形EFGH为正方形．故答案为：AC⊥BD，AC=BD． 例4．（2023下·湖南长沙·八年级统考期末）如图，点分别是四边形边的中点．则正确的是（    ）    A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若是平行四边形，则与互相平分 D．若是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【详解】解：点分别是四边形边的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， 四边形为平行四边形， A、若，则，四边形为菱形，故A错误，不符合题意； B、若，则，则四边形为矩形，故B错误，不符合题意； C、任意四边形的中点四边形都是平行四边形，与不一定互相平分，故C错误，不符合题意； D、若是正方形，则，由是的中位线，是的中位线，得，，因此与互相垂直且相等，故正确，符合题意；故选：D． 例5．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点、、、，则四边形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接、，相交于点， 点分别是边的中点，，， ，同理，四边形是平行四边形，    四边形是菱形， ，，对角线互相垂直， ，，，， 是等边三角形，，在中，，，，， ，，四边形的周长为．故选：C． 例6．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、． （1）若，则四边形的周长为 ． （2）图③，若，且，则四边形的面积为 ． 【答案】见解析；（1）①四边形的周长为；（2） 【详解】证明：如图①，、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线，，， ，，． （1）如图②，、、、分别是、、、的中点，，，   ，，四边形的周长为16； （2）：如图③，、、、分别是、、、的中点， ，，，，，，  ，，四边形是菱形， ，，，菱形是正方形，． 1．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 【答案】D 【详解】连接AC，交EF于点H，如图，    ∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，∴Rt△BCF中，EF＝BC＝4， ∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，∴ ∴H是AC的中点，F是AG的中点，∴EH是△ABC的中位线，FH是△ACG的中位线， ∴，，而FH=EF-FH=4-，∴CG=2FH=3， 又∵CD＝AB＝5，∴DG＝5﹣3＝2，故选：D． 2．（2024·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于（    ）    A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵D，F分别为，边的中点，∴是的中位线，∴， 在中，E为斜边的中点，则，故选：B． 3．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在中，是上的一点，，，分别是的中点，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：如图，连接． 是的中点，， 在中，是的中点，，．故选：D． 4．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，M，N分别是的边AB，AC的中点，若，则=（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵M，N分别是的边AB，AC的中点，∴MN∥BC，∴∠ANM=∠C， ∵，∴，又∵∴，故选：D． 5．（2022上·河南南阳·九年级统考期中）如图，是的中位线，平分交于点，若，，则边的长为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】】解：是的中位线，， ，，，， 平分，，，， ，，，故选：B． 6．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长是（    ）    A．8 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，BE为∠ABC的平分线，∵ AB= BC，BE⊥AC， AE= CE=AC = 2， 由勾股定理得，AB= BC=，∵点F为BC的中点，∴EF=AB=， CF=BC=， ∴∆CEF的周长为：+2= 2+ 2．故选：D． 7．（2022·湖南永州·统考中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，∴∠A=30°， ∵点D为边AC的中点，BD=2∴AC=2BD=4，∴BC=，故选：C． 8．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在中，，，是的中线，是的中点，连接，，若，垂足为，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：，， 是的中线，，是斜边上的中线，， ，是的中点，，， 由勾股定理得．故答案为：． 9．（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，若，，则点A到BC的距离是 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，，D，E分别是，的中点，， ∴，DE//AC，∴∠BDE=∠BAC=90°，∴∠ADE=90°， ，∴， ∴，设点A到BC的距离是h， 则，即，解得：，∴点A到BC的距离是．故答案为：． 10．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 ． 【答案】0＜S≤2 【详解】解：过点M作ME⊥PN于E，∵P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，AB＝CD＝4， ∴PM=PN=AB=CD=2，∴△PMN的面积S==ME， ∵AB与CD不平行，∴四边形ABCD不是平行四边形， ∴M、N不重合，∴ME＞0，∵ ME≤MP=2，∴0＜S≤2 11．（2023·江苏南京·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是 ． 【答案】6 【详解】设点A的横坐标为a，点B的横坐标是b； 点的横坐标是0，C的横坐标是1 ，C，D是的中点 得 得点B的横坐标是6．故答案为6． 12．（2023·江苏镇江·统考二模）如图，分别以的边和向外作等腰和等腰，点M、N分别是、中点，若，则四边形的面积为 ．    【答案】24 【详解】解：如图，连接，交于点，交于G，    点、分别是、中点，，， 在等腰和等腰，，，， ，， 在和中，，，，， ，， ，，  ，， ，四边形的面积．故答案为：24． 13．（2023·四川眉山·校考三模）如图，在中，，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点，连接，若，则线段的长为 ．    【答案】2 【详解】解：中，点D、E分别是边的中点， 是的中位线，， ，点D是边的中点，， ，故答案为：2． 14．（2023·海南·校考三模）如图，在边长为6的等边中，D为边上一点，且，点E，F分别在边上，且，M为边的中点，连接交于点N．若，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：等边三角形边长为6，，∴，， 等边三角形中，，， ，，∴， ，∴， 如图，连接，则中，， ，是等边三角形，， 垂直平分，，中，，∴， ∵，∴是中位线，∴，    ．故答案为：． 15．（2023·湖北咸宁·模拟预测）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若B，则的周长为 ．    【答案】 【详解】解：由图中的尺规作图得：是的平分线， ∵，∴是等腰三角形∴，， ∴∠BEC=90°，∴BC＝ ∵点F为的中点，∴， ∴的周长，故答案为：． 16．（2023上·山西临汾·九年级校考期中）如图，在四边形 中，P 是对角线的中点，M 是的中点，N 是的中点，连接，，若，试判断与 的数量关系，并说明理由． 【答案】 【详解】解：P 是对角线的中点，M 是的中点，是的中位线，， N 是的中点，是的中位线，，，． 17．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长． 【答案】 【详解】解，∵，于点D，∴．                     ∵，∴．  ∵于点D，∴， ∴在中，．    ∵，∴，         ∵E为AB的中点，∴． 18．（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图1，在四边形中，和相交于点O，． (1)求证：四边形是平行四边形；(2)如图2，E，F，G分别是的中点，连接，若，求的周长． 【答案】(1)证明过程见解析(2)24 【详解】（1）证明：∵，∴BC∥AD， 在△AOD和△COB中：，∴△AOD≌△COB(ASA)， ∴BC=AD，∴四边形ABCD为平行四边形． （2）解：∵点E、F分别为BO和CO的中点，∴EF是△OBC的中位线，∴； ∵ABCD为平行四边形，∴BD=2BO， 又已知BD=2BA，∴BO=BA=CD=OD，∴△DOC与△BOA均为等腰三角形， 又F为OC的中点，连接DF，∴DF⊥OC，∴∠AFD=90°， 又G为AD的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：； 过B点作BH⊥AO于H，连接HG，如上图所示： 由等腰三角形的“三线合一”可知：AH=HO=AO=AC=4，∴HC=HO+OC=4+8=12， 在Rt△BHC中，由勾股定理可知, ∵H为AO中点，G为AD中点，∴HG为△AOD的中位线， ∴HG∥BD，即HG∥BE，且， ∴四边形BHGE为平行四边形，∴GE=BH=9，∴． 19．（2024.广东八年级期中）如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，依次连接E，G，F，H，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形；(2)当时，与有怎样的位置关系？请说明理由； 【答案】(1)见详解；(2)，理由见详解 【详解】（1）证明：因为E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，所以是的中位线，所以是的中位线，是的中位线， 故，，，，那么，， 所以四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： 因为E是的中点，H是的中点，所以是的中位线，则，， 因为，且结合由（1）知，所以， 因为四边形是平行四边形，因为 因为四边形是平行四边形，故 20．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】（1）④；（2）；（3）见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质．（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且E、F、G、H分别是的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案；（3）如图2，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直，故答案为：④； （2）解：；理由如下：如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴是正方形且E、F、G、H分别是的中点， ∴，，，， ∴，故答案为：，； （3）证明：如图2，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴，，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形，∴， ∴，即， ∴，∴， ∴，∴平行四边形是菱形，∵，∴． 又∵∴，∴， 又∵，∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． 3 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$