专题03 中点模型之三线合一模型、垂直平分线模型、平行线夹中点模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题03 中点模型之三线合一、垂直平分线、平行线夹中点模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.垂直平分线模型 2 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 20 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 39 62 模型1.垂直平分线模型 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。 例1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，中，平分，垂直平分交于点E，交于点F，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，面积是20，的垂直平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 例4．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在中，为钝角，边的垂直平分线分别交于点D，E．(1)若，求的大小；(2)若的平分线和边的垂直平分线相交于点F，过点F作垂直于的延长线于点G，求证：． 例5．（2023上·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）已知：如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：；(2)若，，求的周长．    模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 定理：等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的角平分线“三线合一”。 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。 例1．（2023上·河北沧州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，是高，下列结论不正确的是（    ） A．与互余 B． C． D． 例2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在边长为10的等边中，点M在边的延长线上，点N在边上，且，若，则的长为（   ）     A．3 B．4 C．5 D．6 例3．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）如图，线段是某小区的一条主干道，计划在绿化区域的点C处安装一个监控装置，对主干道进行监控，已知，，，监控的半径为，路段在监控范围内，路段为监控盲区，则的长为（    ） A． B． C． D． 例4．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在中，，D是边上一点，垂直平分，交于点E，交于点F，连接．(1)说明：；(2)若，求的度数． 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型运用条件：构造8字型全等（平行线夹中点）。 例1．（2023上·天津西青·八年级统考期末）如图，已知等边，过边上一点P作于点E，点Q为延长线上一点，取，连接，交于M，已知的长为2，则等边三角形的边长为 ． 例2．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知，点是的中点，且，求证：． 例3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，于点A，于点B，点E是的中点，连按，已知知，，，则 的长为 ． 例4．（2023下·江苏徐州·八年级统考期末）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例5．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点，连接，．下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．是等边三角形 例6．（2023下·辽宁沈阳·七年级校考期中）在数学综合实践课上，老师给出了下列问题． (1)探究结论：在图1中，，点P是两平行线之间的一点，则，，之间的关系是_______． (2)应用结论在图2中，，PB平分，，若为等腰三角形，求的度数_． (3)拓展延伸：在图3中，，点P是的中点，．试判断AB，AC，BD之间有什么关系，并说明理由． 1．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）如图，中，，是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B．平分 C． D． 2．（2023上·广东佛山·八年级期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，若的周长等于50，那么的长等于（    ） A．23 B．50 C．27 D．77 3．（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于Ｍ，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E．若，的周长为15cm，则的周长为（   ） A．11cm B．13cm C．15cm D．17cm 4．（2023·内蒙古包头·八年级统考期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点．若，则（　　）    A． B． C． D． 5．（2023上·广东湛江·八年级校考期中）如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（　　） A． B． C． D． 6．（2023上·内蒙古赤峰·八年级统考期中）如图，在中，，是边的高，于点E，于点F，下列结论：①；②：③：④．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 7．（2022上·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，，，，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 8．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）如图，已知中，，平分，点E是的中点，若，则的长为 9．（2023上·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，平分，且于D，若的面积等于10，则的面积等于 ．    10．（2023上·湖北·七年级校联考阶段练习）如图，D，E是的边上的两点，分别垂直平分，垂足分别为M，N，若，则的度数为 . 11．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）如图，点在内，点分别是点关于的对称点，且连接分别交，于点，若，则的周长 ． 12．（2023上·新疆·八年级校考期末）如图，已知等边三角形的边长为，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ．    13．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，是等边三角形，点E是的中点，过点E作于点F，延长交的反向延长线于点D，若，则的长为 ． 14．（2023上·江苏南京·九年级校考开学考试）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若， ，则的长为 ．    15．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在中，，，分别交、于点、，点在的延长线上，且，(1)求证：是等腰三角形； (2)连接，当，，的周长为时，求的周长． 16．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）如图，在中，，为的角平分线．以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，连接. (1)请说明：；(2)若，求的度数． 17．（2023上·浙江宁波·八年级校联考阶段练习）已知：如图，线段是和的公共斜边，点，分别是和的中点．求证：(1)；(2)． 18．（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断． ，，之间的等量关系________； （2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 19．（2023上·河南信阳·八年级河南省淮滨县第一中学校考阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：；(2)若的周长为，，求的长． 20．（2023下·四川巴中·八年级统考期末）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E，连接，． (1)求证：；(2)若，，直接写出的长为______． 21．（2023上·辽宁营口·八年级校考阶段练习）[问题初探] 在数学活动课上，李老师给出如下问题；如图1，在中，，，垂足为B，且求证： ①如图2小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路；在上截取连接，将线段与，之间的数量关系转化为与之间的数量关系。 ②如图3，小亮同学从这个条件出发给另一种解题思路：作的垂直平分线，分别与，交于F，E两点，连接，将转化为与之间的数量关系， 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程 [类比分析]李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，在中，，过点A作 (点D与点C在同侧)，若，求证； ． 22．（2023上·湖北孝感·八年级统考期中）在四边形中，，点是的中点 情景引入：（1）如图1，若是的平分线，试判断，，DC之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，证明得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断，，之间的等量关系为，试证明该结论； 问题探究：（2）如图2，点是的延长线上一点，连，若恰好是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 23．（2023·浙江绍兴·模拟预测）[方法呈现]（1）如图①，中，为中线，已知，，求中线长的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长至点E，使，连结，则易证，得到，则可得，从而可得中线长的取值范围是_______． [探究应用]（2）如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并写出完整的证明过程． （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 24．（2023上·江苏镇江·八年级统考期中）【问题情景】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是 　 　，请选择正确的一项． A．SSS；B．SAS；C．AAS；D．HL （2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 　 　． 【初步运用】（3）如图2，在四边形ABCD中，ABCD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的猜想． 【灵活运用】（4）如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF，若EF＝5，EC＝3，求线段BF的长； 【拓展延伸】（5）如图4，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中： A．∠ACD＝∠BCD    B．CE＝2CD    C．∠BCD＝∠BCE    D．CD＝CB 所有正确选项的序号是 　 　． 25．（2023下·河南南阳·八年级统考期中）阅读理解：如图1，在四边形中，，是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． (1)解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证，得到，从而把，，转化在一个三角形中，即可判断，，之间的等量关系为______； (2)问题探究：如图2，在四边形中，，与的延长线交于点，是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论； (3)问题解决：如图3，，与交于点，，点在线段上，且，如果，．则的面积是______． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 中点模型之三线合一、垂直平分线、平行线夹中点模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.垂直平分线模型 2 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 20 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 39 62 模型1.垂直平分线模型 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。 例1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，中，平分，垂直平分交于点E，交于点F，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵平分，，∴，， 又，∴， ∵垂直平分，∴，∴，∴，故选：A． 例2．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵是的垂直平分线，，∴， ∵的周长为∴，∴， ∴，∴的周长为，故选：D． 例3．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，面积是20，的垂直平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】12 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点是边的中点，，，， ∵的面积是20，，解得， 是线段的垂直平分线，， ，的长为的最小值， 的周长最短．故答案为：12． 例4．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在中，为钝角，边的垂直平分线分别交于点D，E．(1)若，求的大小；(2)若的平分线和边的垂直平分线相交于点F，过点F作垂直于的延长线于点G，求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵为边的垂直平分线，∴，∴， ∵，∴， ∴为直角三角形，且，∴， ∴， ∴，即，∴； （2）证明：如图2，在上截取，使，连接，，作于， ∵是的平分线，，，∴，， ∵，，，∴，∴， ∵是的垂直平分线，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴． 例5．（2023上·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）已知：如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：；(2)若，，求的周长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，    ∵D在的中垂线上，∴，∵，，平分， ∴，，∴，∴； （2）∵平分，∴，∵，，∴， 又∵，∴，∴，由（1）可知， ∴的周长为：． 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 定理：等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的角平分线“三线合一”。 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。 例1．（2023上·河北沧州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，是高，下列结论不正确的是（    ） A．与互余 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是高，∴，∴与互余，正确，故本选项不符合题意； ．∵中，是高，∴，正确，故本选项不符合题意； ．∵中，是高，，∴，正确，故本选项不符合题意；．，无法证明，故本选项符合题意；故选：D． 例2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在边长为10的等边中，点M在边的延长线上，点N在边上，且，若，则的长为（   ）     A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】过M点作于D点，则， ∵是等边三角形，，，， ，，中，，， ，．故选：B 例3．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）如图，线段是某小区的一条主干道，计划在绿化区域的点C处安装一个监控装置，对主干道进行监控，已知，，，监控的半径为，路段在监控范围内，路段为监控盲区，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点C作于E， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵监控的半径为，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 在中，由勾股定理，得， ∴，∴．故选：B． 例4．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在中，，D是边上一点，垂直平分，交于点E，交于点F，连接．(1)说明：；(2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：∵垂直平分， （2）解：∵， 平分 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型运用条件：构造8字型全等（平行线夹中点）。 例1．（2023上·天津西青·八年级统考期末）如图，已知等边，过边上一点P作于点E，点Q为延长线上一点，取，连接，交于M，已知的长为2，则等边三角形的边长为 ． 【答案】4 【详解】过P作交于F，如图所示： ∵，是等边三角形，∴，， ∴是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∵，∴，故答案为：4． 例2．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知，点是的中点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】解：延长AE、BC交于点M，如下图所示 ∵点是的中点，∴DE=CE，∵∴∠1=∠M 在△ADE和△MCE中∴△ADE≌△MCE∴AD=MC，AE=ME ∵∴MC＋BC=AB∴BM=AB 在△BAE和△BME中∴△BAE≌△BME∴∠BEA=∠BEM ∵∠BEA＋∠BEM=180°∴∠BEA=∠BEM=90°∴ 例3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，于点A，于点B，点E是的中点，连按，已知知，，，则 的长为 ． 【答案】 【详解】解：延长交于F，如图，∵点E是的中点∴， ∵，，∴∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴在中，， ∴，故答案为：． 例4．（2023下·江苏徐州·八年级统考期末）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接CE，并延长CE，交BA的延长线于点N， ∵四边形ABCF是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CF，∴∠NAE＝∠F，∵点E是的AF中点，∴AE＝FE， 在△NAE和△CFE中， ，∴△NAE≌△CFE（ASA），∴NE＝CE，NA＝CF， ∵AB＝CF，∴NA＝AB，即BN＝2AB，∵BC＝2AB，∴BC＝BN，∠N＝∠NCB， ∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，∴DE＝NC＝NE， ∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，∴∠B＝80°．故选：D． 例5．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点，连接，．下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．是等边三角形 【答案】A 【详解】解：如图，延长交的延长线于．在平行四边形中，，， ，，，∴是等腰三角形，故D，不符合题意， ，， 在与中，，，， ，，，， ，故A正确，符合题意， ∵∴∴，故C，不符合题意， 由已知条件得不出，故B，不符合题意，故选：A． 例6．（2023下·辽宁沈阳·七年级校考期中）在数学综合实践课上，老师给出了下列问题． (1)探究结论：在图1中，，点P是两平行线之间的一点，则，，之间的关系是_______． (2)应用结论在图2中，，PB平分，，若为等腰三角形，求的度数_． (3)拓展延伸：在图3中，，点P是的中点，．试判断AB，AC，BD之间有什么关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)的度数为或(3)，理由见解析 【详解】（1）作，如图1， ∵，∴，∴，(两直线平行，内错角相等)， ∵，∴； （2）∵PB平分，如图2，∴, 设，∵为等腰三角形，∴分三种情况讨论， ①当时，,∴, ∵由(1)知，且，∴，解得：；∴； ②当时，，∴,无解，此情况舍去， ③当时，，∴，解得：，∴． 综上可知：的度数为或． （3）的关系为，延长交直线于F点，如图3， 由(1)得，∵，∴，， ∵点P是的中点，∴，∴,∴, ∵,,故答案为：． 1．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）如图，中，，是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，是的中点， ∴，平分，，故正确； 由已知条件无法确定，故错误；故选：． 2．（2023上·广东佛山·八年级期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，若的周长等于50，那么的长等于（    ） A．23 B．50 C．27 D．77 【答案】A 【详解】解：∵是线段的垂直平分线，∴， ∴的周长，∴.故选：A. 3．（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于Ｍ，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E．若，的周长为15cm，则的周长为（   ） A．11cm B．13cm C．15cm D．17cm 【答案】A 【详解】根据题意可知直线是线段的垂直平分线， ∴，，∴． ∵的周长，∴， ∴的周长．故选：A． 4．（2023·内蒙古包头·八年级统考期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点．若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，是的垂直平分线，，，    又，，， 则在直角三角形中，．故选：C． 5．（2023上·广东湛江·八年级校考期中）如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，， ，， ，是边上的中线，，，故选：B． 6．（2023上·内蒙古赤峰·八年级统考期中）如图，在中，，是边的高，于点E，于点F，下列结论：①；②：③：④．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：∵，是边的高，∴，是的平分线， ∵于点E，于点F，∴，故①是正确的； ∵是的平分线，∴ ∵于点E，于点F，∴ ∵∴则，故②是正确的； ∵∴ ∵是边的高，∴即，故③是正确的； ∵是边的高，∴ ∵，即，故④是正确的；故选：D 7．（2022上·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，，，，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【详解】解：作于E，交延长线于F， ∵，∴，∵，∴ ∵，∴， ∵∴， ∴，∴，故选：D． 8．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）如图，已知中，，平分，点E是的中点，若，则的长为 【答案】 【详解】解：∵，平分，∴D是的中点，且， ∵是的中点，∴是斜边上中线， ∵，∴．故答案为：． 9．（2023上·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，平分，且于D，若的面积等于10，则的面积等于 ．    【答案】5 【详解】解：延长交于E，如图，    ∵平分，，∴，， ∴，∴，∴为等腰三角形，而， ∴，∴，， ∴．故答案为：5． 10．（2023上·湖北·七年级校联考阶段练习）如图，D，E是的边上的两点，分别垂直平分，垂足分别为M，N，若，则的度数为 . 【答案】 【详解】解：在中，，则， ∵分别垂直平分、，∴， ∴，，∴， ∵，∴， ∴，∴， 解得：，故答案为：． 11．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）如图，点在内，点分别是点关于的对称点，且连接分别交，于点，若，则的周长 ． 【答案】20 【详解】解：∵、G关于对称，、关于对称， ∴和分别是线段和线段的垂直平分线，∴，， ∵，∴， 即的周长为20．故答案为：20． 12．（2023上·新疆·八年级校考期末）如图，已知等边三角形的边长为，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ．    【答案】 【分析】延长，过点Q作于点F，先证明，得出，，再证明，得出，即可求解． 【详解】解：延长，过点Q作于点F， ∵为等边三角形，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，∴．故答案为：．        【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等边三角形三个角都是，正确画出辅助线，构造全等三角形． 13．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，是等边三角形，点E是的中点，过点E作于点F，延长交的反向延长线于点D，若，则的长为 ． 【答案】3 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，点E是的中点，∴，， ∵，∴，即，∴， 在中，，∴，∴，∴，故答案为：3． 14．（2023上·江苏南京·九年级校考开学考试）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若， ，则的长为 ．    【答案】 【详解】解;∵四边形是平行四边形，，，， ∵，，，，， 是等边三角形，G为的中点，，， 延长交于点H，∵，，      在和中， ，，， ，，，，是等边三角形， ，．故答案为：． 15．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在中，，，分别交、于点、，点在的延长线上，且，(1)求证：是等腰三角形； (2)连接，当，，的周长为时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：根据题意得：在中，，， ，，，， ，，是等腰三角形． （2）解：如图，连接， 当时，，， 的周长，，， 的周长的周长． 16．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）如图，在中，，为的角平分线．以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，连接. (1)请说明：；(2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，∴． 由作图知：．在和中，，∴． （2）解：∵为的角平分线，∴． 由作图知：．∴，∴， ∵，为的角平分线，∴，即．∴． 17．（2023上·浙江宁波·八年级校联考阶段练习）已知：如图，线段是和的公共斜边，点，分别是和的中点．求证：(1)；(2)． 【答案】(1)见解析；(2)见解析． 【详解】（1）线段是和的公共斜边，点是的中点， ，，； （2），点是的中点，． 18．（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断． ，，之间的等量关系________； （2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2），理由详见解析. 【详解】解：（1）. 理由如下：如图①，∵是的平分线，∴ ∵，∴，∴，∴. ∵点是的中点，∴， 又∵，∴≌（AAS），∴. ∴.故答案为. （2）.理由如下：如图②，延长交的延长线于点. ∵，∴，又∵，， ∴≌（AAS），∴，∵是的平分线，∴， ∵，∴，∴，∵，∴. 19．（2023上·河南信阳·八年级河南省淮滨县第一中学校考阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：；(2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)13厘米 【详解】（1）证明：垂直平分，， ，，，； （2）的周长为，， ∵，， ，，． 20．（2023下·四川巴中·八年级统考期末）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E，连接，． (1)求证：；(2)若，，直接写出的长为______． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：点在的垂直平分线上，， 是的平分线，， 在和中，，，； （2）解：在和中，，，， ，，且，， 即，解得．故答案为：． 21．（2023上·辽宁营口·八年级校考阶段练习）[问题初探] 在数学活动课上，李老师给出如下问题；如图1，在中，，，垂足为B，且求证： ①如图2小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路；在上截取连接，将线段与，之间的数量关系转化为与之间的数量关系。 ②如图3，小亮同学从这个条件出发给另一种解题思路：作的垂直平分线，分别与，交于F，E两点，连接，将转化为与之间的数量关系， 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程 [类比分析]李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，在中，，过点A作 (点D与点C在同侧)，若，求证； ． 【答案】①见解析  ②见解析[类比分析]  见解析 【详解】①在上截取连接， ∵，∴直线是线段的垂直平分线， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵∴． ②作的垂直平分线，分别与，交于F，E两点，连接， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，， ∵∴，∵∴． [类比分析] 过点A作，交的延长线于点E， ∵，∴四边形是平行四边形，∴，， 在上截取连接，∵，∴直线是线段的垂直平分线， ∴，∴，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，∵∴． 22．（2023上·湖北孝感·八年级统考期中）在四边形中，，点是的中点 情景引入：（1）如图1，若是的平分线，试判断，，DC之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，证明得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断，，之间的等量关系为，试证明该结论； 问题探究：（2）如图2，点是的延长线上一点，连，若恰好是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析；（2）AB=AF+CF，理由见解析. 【详解】解：（1）AD=AB+DC 理由如下：∵AE是∠BAD的平分线∴∠DAE=∠BAE ∵AB∥CD∴∠F=∠BAE∴∠DAF=∠F∴AD=DF， ∵点E是BC的中点∴CE=BE，且∠F=∠BAE，∠AEB=∠CEF ∴△CEF≌△BEA（AAS）∴AB=CF ∴AD=CD+CF=CD+AB （2）AB=AF+CF 理由如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G ∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G．且BE=CE，∠AEB=∠GEC ∴△AEB≌△GEC（AAS）∴AB=GC∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG=∠FAG， ∵∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∵CG=CF+FG，∴AB=AF+CF 23．（2023·浙江绍兴·模拟预测）[方法呈现]（1）如图①，中，为中线，已知，，求中线长的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长至点E，使，连结，则易证，得到，则可得，从而可得中线长的取值范围是_______． [探究应用]（2）如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并写出完整的证明过程． （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析． 【详解】解：（1）由题意知，即， 则，故答案为：； （2）如图②，延长，交于点F， ∵，∴，在和中， ，，，∴，∴， ∵是的平分线，∴，∴，∴， ∵，∴． （3）如图③，延长，交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G， ∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∴∠G=∠FAG，∴， ∵点E是BC中点，∴BE=CE，又∠BAG=∠G，∠AEB=∠GEF， ∴，∴，∴． 24．（2023上·江苏镇江·八年级统考期中）【问题情景】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是 　 　，请选择正确的一项． A．SSS；B．SAS；C．AAS；D．HL （2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 　 　． 【初步运用】（3）如图2，在四边形ABCD中，ABCD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的猜想． 【灵活运用】（4）如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF，若EF＝5，EC＝3，求线段BF的长； 【拓展延伸】（5）如图4，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中： A．∠ACD＝∠BCD    B．CE＝2CD    C．∠BCD＝∠BCE    D．CD＝CB 所有正确选项的序号是 　 　． 【答案】（1）B，（2）2＜AD＜8，（3）AD＝AB+DC；证明见解析，（4）8（5）B、C 【详解】解：（1）在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选：B； （2）由（1）得：△ADC≌△EDB，∴AC＝BE＝6， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即10﹣6＜2AD＜10+6， ∴2＜AD＜8，故答案为：2＜AD＜8； （3）AD＝AB+DC；延长AE交DC延长线于点N， ∵点E是BC的中点，，∴CE＝BE，∵ABCD，∴∠NCE＝∠ABE， ∵在△NCE和△ABE中，， ∴△NCE≌△ABE（SAS），∴CN＝AB，∠BAE＝∠N， ∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE＝∠DAE，， ∴∠EAD＝∠N，∴AD＝DN＝AB+DC；       （4）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图②所示： ∵AE＝EF．EF＝5，∴AC＝AE+EC＝5+3＝8， ∵AD是△ABC中线，∴CD＝BD， ∵在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC＝8； （5）取CE的中点F，连接BF． ∵AB＝BE，CF＝EF，∴BF∥AC，BF＝0.5AC．∴∠CBF＝∠ACB． ∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠ABC．∴∠CBF＝∠DBC． 又∵CD是三角形ABC的中线，∴AC＝AB＝2BD．∴BD＝BF． 又∵BC＝BC，∴△BCD≌△BCF，∴CF＝CD．∠BCD＝∠BCE． ∴CE＝2CD．故B、C选项正确． 若要∠ACD＝∠BCE，则需∠ACB＝∠DCE，又∠ACB＝∠ABC＝∠BCE+∠E＝∠DCE，则需∠E＝∠BCD．根据全等，得∠BCD＝∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC＝BE，显然不成立，故A选项错误； 若要CD＝CB，则需∠A＝∠BCD，也不一定成立，故D选项错误；故答案为：B、C． 25．（2023下·河南南阳·八年级统考期中）阅读理解：如图1，在四边形中，，是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． (1)解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证，得到，从而把，，转化在一个三角形中，即可判断，，之间的等量关系为______； (2)问题探究：如图2，在四边形中，，与的延长线交于点，是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论； (3)问题解决：如图3，，与交于点，，点在线段上，且，如果，．则的面积是______． 【答案】(1)(2)，证明见解析；(3)2 【详解】（1）延长交的延长线于点， ∵，∴,∵是的中点，∴， 在和中，∴，∴， ∵是的平分线，∴，∴， ∴，∴，故答案为： （2）．证明：延长交的延长线于点，如图， ∵，∴，． ∵是的中点，∴，∴，∴． ∵是的平分线，∴．∴． ∴ ∴∴． （3）如图，延长、交于点，∵，∴， 在和中，， ∴（AAS）∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，，∴．故答案为：2． 31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$