第18章 专题 特殊平行四边形中的折叠问题及动点与最值问题-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级下册数学同步训练方案(人教版)

第川 平行四边形 河南专版 专题 特殊平行四边形中的折叠问题 方法点拨:(1)折叠问题的本质是轴对称,折叠前的部分和折叠后的部分是全等图形;(2)折痕可以看作 垂直平分线,对称点的连线被对称轴垂直平分,连接两对称点可以得到相等的线段,也可以构造直角三角 形,从而把折叠问题转化为轴对称问题;(3)利用勾股定理既可以计算线段的长度,又可以将已知、未知 结合一起列出方程来求解(方程思想). 短一矩形的折叠问题 二菱形的折叠问题 1.(3分)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点B 4.(3分)(广东二模)如图,把萎形ABCD沿AH 落在边AD上的点M处,点C落在点N处,已 折叠,使B点落在BC上的E点处,若/B= 知乙DMN=36*.连接BM.则乙AMB的度数 70,则乙EDC的大小为( ) 为( ) A.100 B.150 C.20 D.30o A.68o B.720 C.76{ D.85d 第4题图 第5题图 第1题图 第2题图 5.(3分)(信阳四模)如图,在菱形纸片ABCD中. 2.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=15.AD=8 乙A=60*,点E在BC边上.将菱形纸片ABCD沿 E为AB边上一点,将△BEC沿CE翻折,点B DE折叠,点C对应点为点C'.且DC是AB的垂 落在点F处,当△AEF为直角三角形时,AE= 直平分线,则/DEC的大小为 正方形的折叠问题 3.(7分)如图,在矩形ABCD中,沿EF将矩形折 6.(3分)将一张正方形纸片对折两次,然后剪下 叠.使A.C重合,AC与EF交于点H 一个角,如果要剪出一个正方形,那么剪口与 (1)求证:AE=AF; 折痕成( ) (2)若AB=4.BC=8,求△ABE的面积 C.45o A.22.5o B.30o D.600 第6题图 第7题图 7.(3分)(山东中考)如图,把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为 VV.再过点B折叠纸片,使点A落在MV上的 点F处,折痕为BE.若AB的长为2.则FM的 长为 51 河南专版 ZBR·/八年级数学下册 专题 特殊平行四边形中的动点与最值问题 方法点拨:我们常见的四边形中的动点问题是在几何图形中有一个或两个动点,并对这些点在运动变化 过程中伴随的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察,解决动点问题 的主要策略为以静制动,分类讨论,寻找临界点 一特殊平行四边形中的动点问题 特殊平行四边形中的最值问题 1.(3分)如图所示,点0为矩D 3.(3分)(贵州中考)如图,在菱形ABCD中,对 形ABCD的对称中心,点E 角线AC=6.BD=8.点E、F分别是边AB.BC 从点A出发沿AB向点B运 的中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存 动,运动到点B停止,延长F0交CD于点F. 在PE+PF的最小值,则这个最小值是( _ 则四边形AECF形状的变化依次为( A.3 B.4 A.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 C.5 D.6 B.平行四边形→萎形→平行四边形→矩形 C.平行四边形→正方形→菱形→矩形 D.平行四边形→萎形→正方形→矩形 2.(10分)如图,在矩形ABCD中,AB=4cm.BC =8cm,点P从点D出发向点A运动,运动到 第3题图 第4题图 点A即停止:同时点0丛点B出发向点C运 4.(3分)如图,在Bt△ABC中,/A=90*,P为边 动,运动到点C即停止.点P、0的速度都是 BC上一动点,PE1AB于E.PF1AC于F.动 1cm/s.连接P0.A0.CP.设点P、0运动的时 点P从点B出发,沿着BC匀速向终点C运 间为t(s). 动,则线段EF的值大小变化情况是( ) (1)当1为何值时,四边形AB0P是矩形? A.一直增大 B.不变 (2)当:为何值时,四边形A0CP是萎形? C.先减小后增大 D.先增大后减小 5.(3分)(广西中考)如图,在边长为2的正方 形ABCD中,E,F分别是BC.CD上的动点 V.N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值 矛 {## 第5题图 第6题图 6.(3分)(四川模拟)如图所示,在矩形ABCD中. AB=6.AD=8.P是AD上的动点,PE1AC于E. PF1.BD于F.则PE+PF的值为 525.(1)证明：·四边形ABCD是正方形.∠D=∠B=90° 135°..·CF是正方形外角∠DCG的平分线.∴.∠DCF= AD=AB=BC=CD.又E,F分别为DC,BC的中点， 45°，.∠ECF=135°，∴.∠AHE=∠ECF.∠AEF=90 AD=AB ∴，∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°.，∠BME DE=BF,在△ADE和△ABF中 ∠D=∠B,∴.△ADE≌ ∠CEF,∴，△AHE≌△ECF(ASA),∴.AE=EF: DE=BF (2)解：正确，在AB上取一点M,使AM=CE,连接ME. △ABF(SAS). AB=BC,∴.BM=BE,∴.∠BME=45,∠AME=135.CF (2)解：：四边形ABCD为正方形，边长为4，E,F分别为 是正方形外角∠DCG的平分线.：，∠DCF=45°，∠ECF= DC,BC的中点，∴.∠B=∠D=∠C=90°，AD=AB=BC= 135°，同(1)可证明△AME≌△ECF.,AE=EF CD=4,DE=CE=BF=CF=2..SAe=SE方w-Sa4球- 3.(1)证明：四边形ABCD与EFC0均为正方形， Sanr-SAEr=4x4- 2*4x2 2×4x2 2×2×2=6即 ∠OBM=∠0CN=45°.0B=0C.0B⊥OC.∠E0G=90° .∠BOC=∠E0G=90°，∴.∠BOM=∠CON,,△0BM≌ △AEF的面积为6. △OCN(ASA): 6.D (2)解：不同意，理由：由(1)可知：△OBM≌△0CN, 【易错提醒】只有对角线互相平分的四边形是平行四边 Samv=SavS边8ax=S6mwc+S△0=S6k+S△Ww= 形，先确定平行四边形，然后才能确定是否是正方形. 45方em,即当正方形EFG0绕点O转动时，四 7.D8.①2 9.证明：，·四边形ABCD是菱形.，.AC⊥BD,OA=OC.OB= 边形OMCN的面积总等于正方形ABCD面积的！ OD.BE=DF,∴.OE=OF,∴，四边形AECF是平行四边形. AC⊥BD.,四边形AECF是菱形，，OE=OF,OA=OC, 4.证明：(1)：四边形ABCD为正方形，.AB=AD,∠BAD= OE=OF=OA=OC.即EF=AC,.菱形AECF是正方形 ∠B=∠ADC=90°.，∠EAF=90°，.∠BAE=∠DAF,在 I∠BAE=∠DAF 10.C △ABE和△ADF中，{AB=AD 11.B【解析】点D(5,3)在边AB上，.BC=5,BD=2 ,∴，△ABE≌△ADF 顺时针旋转90°，则点D'在x轴负半轴上，0D=2, ∠ABE=∠ADF (ASA)..'.BE=DF: D'(-2,0).故选B. (2).:△ABE≌△ADF,.AE=AF,由题意，得∠EAG 12.D【解析】连接PB.在正方形ABCD中，∠ABC=90°， (AE=AF AB=AD.∠BAC=∠DAC=45°..AP=AP.∠BAC= ∠DAC=45°，AB=AD,∴，△ABP≌△ADP(SAS),∴.BP= ∠FAG,在△AEG和△AFG中∠EAG=LFAG,.△AEC AG=AG DP.,·PE⊥AB,PF⊥BC,∠ABC=O°，，四边形BFPE ≌△AFG(SAS).GE=GF.GF=DC+DF,BE=DF, 为矩形，.EF=PB,∴，EF=DP=3.故选D. DG+BE=GF..GE=GF...BE+DG=EG. 13.3 14.1:2 专题特殊平行四边形中的折叠问题 1.B【解析】·四边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠ABC= 【方法点拨】根据正方形的性质，可得∠BMC=90°，ME= 90°.由折叠性质得，∠NME=∠ABC=90°，ME=BE.. MF.又由中位线定理可得MB=MC,再根据全等的判定及 ∠DMN=36°，∴.∠AME=180-∠NME-∠DMN=54°，.∴. 性质可得∠AMB=45°，进而即可解决问题， ∠AEM=90°-∠AME=36°.ME=BE,.∠EMB= 15.(1)证明：，AB=AC,AD⊥BC,.AD平分∠BAC,∠ADC ∠EBM=18°，∴.∠AMB=∠AME+∠EMB=72°.故选B. =90∠BMD=∠CD=2∠BAC:AN是△ABC的 27 【解析】①若∠AEF=90°.，∠B=∠BCD=90 外角∠CW的平分线.∠CAN=子∠M.ZCAV+ =∠AEF,,四边形BCFE是矩形.：将△BEC沿着CE 翻折，∴.CB=CF,∴.四边形BCFE是正方形，∴BE=BC= 2CMW+号∠BC= ∠DAC=L 2×180°=90.CE1 AD=8,.AE=AB-BE=7;②若∠AFE=90°.将△BEC 沿着CE腳折，∴.CB=CF=8,∠B=∠EFC=90°，BE= AN,.∠AEC=90°.∴.∠AEC=∠ADC=∠DAE=90°. EF.∠AFE+∠EFC=18O°，点A,点F,点C三点共 四边形ADCE为矩形. 线，.AC=√AB+BC=17,.AF=9.AE2=AF+EF, (2)解：当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是 一个正方形.理由如下：当四边形ADCE是正方形时， 六5=y81+(5=T,解得AE=}:③若ZAF=90 DA=DC.,∠ADC=90°，∴.∠DAC=45.,:∠CAD= CD=15>CF=BC=8,点F不可能落在直线AD上， 2∠BAC,∠B1C=90°，当△ABC满足∠BAC=90 不存在∠EAF=90,踪上所述，AE=7或、 时，四边形ADCE为正方形. 3.(1)证明：四边形ABCD为矩形..AD∥BC,.∠AFE= 专题正方形有关的常考模型 ∠FEC,由折叠的性质得：∠AEF=∠FEC,.∠AFE= L.解：(1)AE=DF ∠AEF,∴，AE=AF (2)过点E作EM⊥BC于点M,则四边形ABME为矩形. (2)解：根据折叠的性质可得AE=EC,设BE=x,则AE= AB=EM,在正方形ABCD中，AB=BC,∴.EM=BC.·EM⊥ EC=8-x,在Rt△ABE中，根据勾股定理可得AB+BE= BC,∴.∠MEF+LEFM=9O.BG⊥EF,∴.∠CBG+∠EFM= 9O°，∴.∠CBG=∠MEF,在△BCG和△EMF中， AB,即4+2=(8-)2，解得x=3.BE=3,Sas=2 ∠CBG=∠MEF AB·BE=6. BC=EM ,∴.△BCG≌△EMF(ASA)..BG=EF 4.B【解析】：四边形ABCD为菱形，∴∠ADC=∠B= ∠C=∠EMF=90P 70°，AB=AE=AD,∴.∠AED=∠ADE.AD∥BC, 2.(1)证明：.·四边形ABCD是正方形.，，AB=BC,∠B= ∠BCD=∠AEF=90°.点H、E分别是边AB、BC的中 LDAE=∠ABB=70°，∴∠ADE=LA5D=,(180°- 点，∴.AH=BH=BE=CE..∠BHE=45°，.∠AHE= ∠DAE)=55°，.∠EDC=70°-55°=15°.故选B. 追梦之旅·ZBR·八年级数学下第13页 5.75°【解析】连接BD.设DC与AB交于点P四边形 3.(1)证明：·四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD, ABCD为菱形，AB=AD.∠A=60°，，△ABD为等边 ∠BAF=∠F:·∠BAD的平分线交BC于点E,∴∠BAE 三角形，∠ADC=120°，∠C=60°.，DC'是AB的垂直平 ∠DAE.∴.∠F=∠DAE,∴.AD=DF 分线，P为AB的中点，.DP为∠ADB的平分线，即 (2)解：.∠ADE=∠CDE=30°由(1)得AD=DF,.DE⊥ ∠ADP=∠BDP=30°，∠PDC=90°，∴，由折叠的性质得 AF,AE=EF.在R△ADE中，AE=2,∠ADE=30°..AD= 到∠CDE=∠PDE=45°，在△DEC中，∠DEC=180°- 4,由勾股定理，得DE=23..AB∥CD,..∠B=∠ECF (∠CDE+∠C)=75°. ∠BAE=∠F又：AE=EF,∴△ABE≌△FCE(AAS), 【方法点拨】连接BD,由菱形的性质及∠A=60°，得到 1 △ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得 Sw=SAr Sou-Sm=7XAF DE=4/3. 到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C 4.B【解析】，·四边形ABCD为平行四边形，∴，ADBC,AD =60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE= =BC又，AD=DE,,DE∥BC,且DE=BC.∴，四边形 ∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角 BCED为平行四边形.A.,AB=BE,DE=AD,,BD⊥AE 的度数， ,.□DBCE为矩形，故A不合题意：B.:对角线互相垂直 6.C 的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故B符合题意；C 7.3【解析】，四边形ABCD为正方形，AB=2,过点B折叠 .·∠ADB=90°，.∠EDB=90°.，回DBCE为矩形，故C不 纸片，使点A落在MN上的，点F处，，FB=AB=2,BM=1.则 合题意：D.·CE⊥DE,.∠CED=90P,.□DBCE为矩形 故D不合题意.故选B. 在R△BMF中，FM=√BF-BM=√2-1=3. 5.C【解析】小在Rt△ABC中，∠ACB=0°，CE为AB边上 专题特殊平行四边形中的动点与最值问题 的中线，CE=5.∴.AE=CE=5..AD=3.∴.DE=2.,CD为 1.B AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD=√CE-DE=√2I 2.解：(1)当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP,即1=8-t,解 故选C 得=4.即当1=4时，四边形ABQP是矩形： 6.(1)证明：，BF∥CE,CFBE,.四边形BFCE是平行四边 (2)设1秒后，四边形AQCP是菱形，AQ=CQ,BQ=t,则CQ =AQ=8-t,则在R1△AB0中，AQ=AB+BQ,即(8-4)2= 平分∠ABC,CE平分LDCB, 16+,解得1=3.即当1=3时.四边形AOCP是菱形. 3.C【解析四边形ABCD是菱形，对角线AC=6,BD= LBC,∠BCB=了∠BCD,:四边形ABGD是平行四边 8,,AB=√3+4=5，作E关于AC的对称点E",连接 形∴.AB∥CD.∴LABC+LBCD=18O°.∴，∠EBC+∠ECB EF,则EF即为PE+PF的最小值.·AC是∠DAB的平 分线，E是AB的中点，∴E在AD上，且E是AD的中点. =2（∠ABC+∠BCD)=90°，六∠BBC=90六平行四边 F是BC的中点，AE=BF,ADBC,∴四边形 形BFCE是矩形 AEFB是平行四边形，∴.EF=AB=5.故速C. (2)解：EF与BC关系为EF⊥BC,EF=BC.理由如下： 4.C【解析】连接AP.PE⊥AB,PF⊥AC,,∠PEA= 四边形ABCD是矩形，.∠ABC=∠BCD=90°.：BE平分 ∠PFA=90°..·∠A=90°，.四边形AFPE是矩形，.EF =AP,由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段 ∠ABC,CE平分LDCB∠EBC= -∠ABC=45°.∠ECB EF的值最小，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终 点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增 2∠BCD=45.∠EBC=∠ECB..BE=CE.由(1)得： 大.故选C 四边形BFCE是矩形.∴.四边形BFCE是正方形.∴.EF⊥ 5.Z【解析】连接AE.M,N分别是EF,AF的中点，MN BC.EF=BC. 是△AEF的中位线MN=)AC:四边形ACD是正方 7.D 8.C【解析】连接OD.四边形ABCD是菱形，∴ABCD. 形，∠B=90°，.AE=√2+BE,当BE最大时，AE最大 ∠OAM=∠OCN.在△AOM和△CON中 此时MN最大，点E是BC上的动点，，当点E和点C重 1∠OAM=∠OCN 合时，BE最大，即为BC的长度，此时AE=√2+2= ∠AOM=∠CON,∴.△AOM≌△CON(AAS),.OA=OC. AM=CN 22N=子B=2,MN的藏大值为，2 .BD与AC相交于点O,.B,O,D三点共线，.BO⊥AC, 即∠B0C=90°..∠DAC=∠ACB=28°，∴.∠OBC=90° 【解析】连接OP四边形ABCD是矩形，，∠DAB= ∠ACB=62°.故选C. 9.解：(1)E是BC的中点，AE⊥BC,.AB=AC.又.四边 90°，AC=2A0=20C,BD=2B0=20D.AC=BD.∴.0A=0D 形ABCD是菱形，.AB=BC,.AB=BC=AC,即△ABC是 -0C-OB m 45m=4×6x8= 等边三角形，.∠B=60°： (2)△ABC是等边三角形，AE⊥BC,AB=6cm,.AE= 12.在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD=√AB+AD= 33cm.S菱形=6x35=185(cm'). 1 √6+8=10A0=0D=5.Sar+Sam=Saon2× 10. 11.2【解析】连接AE.,正方形纸片ABCD的边长是6，G AOXPE+ xD0xPF-125PE+5PF=24,PE+PF= 4 为BC中点，.BG=GC=3.由折叠性质，得AF=BA,∠ABC =∠AFG=90°，BG=GF=3,.AD=AF.在Rt△AEF和R 【归纳总结】过矩形ABCD边上任意一点P向两条对角线 △AED中，AF=AD,AE=AE,∴.R△AEF≌R△AED(HL) ∴DE=EF在Rt△CEG中，GE=EC+GCC2,∴(3+DE) 作垂线PE,PF,则PE+PF.AB·A ,是定值 =(6-DE)2+9..DE=2. BD 12.6【解析】连接BD,PB.·,点B与点D关于AC对称，点P 追梦第十八章章末复习 平行四边形 在AC上，.PD=PB点P在AC与BE的交点上时，PD+ 1.D2.C PE最小为BE的长度正方形ABCD的边长为6，.AB= 追梦之旅·ZBR·八年级数学下第14页