第18章 平行四边形 课堂解惑-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级下册数学同步训练方案(人教版)

课堂解惑 ZBR八年级数学下册 第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 」知识梳理 区知识点1平行四边形的定义及表示 国重点提示 四边形一定要按顺时针或逆 定义 图示 表示方法 时针依次注明各顶点 两组对边分别平 平行四边形用符号“口”表示； 行的四边形叫做 平行四边形ABCD记作“口AB 平行四边形 CD" 区知识点2平行四边形的性质 拓展延伸 图形 性质 符号语言 1.平行四边形的对角线将其 分为四个面积相等的三 边 平行四边形的 AD=BC,AB=CD,AD∥ 对边平行且相等 BC,AB∥CD 角形 2.过平行四边形两对角线交 今 平行四边形的 ∠BAD=∠BCD,∠ABC 对角相等 =∠ADC 点的直线等分平行四边形的 周长和面积 0A=0C= 平行四边形的 24C,0B=0D 归纳总结绸 对角线 对角线互相平分 (1)距离是指垂线段的长度， =20 它是正数： Y知识点3 两条平行线之间的距离 (2)当两条平行线确定后，它 们之间的距离是一定值，不 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离 随位置的改变而改变： (1)两条平行线之间的距离处处相等 (3)平行线间的距离处处相 性质 (2)夹在两条平行线间的平行线段相等 等，因此在作平行四边形的 如图所示，直线a∥仍，在直线a上任取一点A, A 高时，可根据需要灵活选择 位置， 作图方法过点A向直线b作垂线，垂足为点B,则线段 AB的长即为a,b两条平行线之间的距离 区知识点④平行四边形的判定方法 舍方法总结 如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O. 平行四边形判定方法的选择 已知条件 证明思路 判定方法 符号语言 1.另一组对边 两组对边分别平行的 :ADBC,AB∥CD, 一组对 相筚 边相等 四边形是平行四边形 ∴.四边形ABCD是平行四边形 2.该组对边平行 1.另一组对边 两组对边分别相等的 AD=BC,AB=CD, 一组对 平行 边 四边形是平行四边形 .四边形ABCD是平行四边形 边平行 2.该组对边相等 一组对边平行且相等 :AD∥BC,AD=BC(或AB∥CD,AB 对角线 对角线互相平分 的四边形是平行四边 =CD), 相交 形 ∴.四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角相等 12 第十八章平行四边形 ∠DAB=∠DCB,∠ABC= 两组对角分别相等的四 拓展延伸 角 边形是平行四边形 ∠ADC,∴.四边形ABCD是平行 一组对边平行，一组对角相 四边形 等的四边形是平行四边形. 对角线互相平分的四边 ,OA=OC,OB=OD,∴.四边形 对角线 形是平行四边形 ABCD是平行四边形 图形 注意： (1)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边 形，有可能是等腰梯形 (2)一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形 口方法总结 (3)两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形 构造三角形中位线的方法 是平行四边形 (1)如图1，已知一边中点，则 区知识点5三角形的中位线 取另一边中点，连接两中点； (2)如图2，已知两边中点，则 连接三角形两边中点的线段（任意一个三角形都 连接另外的端点： 中位线的定义 有三条中位线) (3)如图3，已知一边中点，则 将另一边延长一倍（倍长 三角形的中位线平行于三角形的第三边 内容 ,并且等于第三边的一半 法)： (4)如图4，已知一条线段与 D,E分别是AB,AC的中点， 角平分线垂直，并知道一边 推理 中点，则延长这条线段构造 中位线定理 o/.D-c 等腰三角形，结合已知条件 (1)位置关系：可以证明两条直线平行 得到中位线。 作用 (2)数量关系：可以证明线段的相等或倍分 AAA个 图1图2图3图4 图形 经典例题分析 题型1平行四边形性质的应用 心方法点拨 利用平行四边形的对角线互 例1：如图，若周长为20的平行四边形ABCD的对角线AC,BD 相平分的性质将两个三角形 交于点O,且△AB0的周长比△BC0小2，则AB=()】 的周长差转化为两条边的长 度差，进而结合平行四边形 对边相等的性质求解」 A.4 B.6 C.9 D.11 答案：A 13 课堂解惑 ZBR八年级数学下册 题型2三角形中位线定理的应用 G方法总结 例2：如图，四边形ABCD中，E、F分别是AB,CD边的中点，G、H 由于三角形的中位线平行于 分别是对角线BD,AC的中点，若EG=6,则线段FH的 第三边且等于三角形第三边 长是() 的一半，因此当霄要证明某 一线段是另一线段的一半或 A.3 B.4 两倍，或求线段的长时，常考 C.6 D.12 虑用三角形中位线定理证 【解析】E、G分别是AB,DB边的中点，∴.AD=2EG= 明，而等腰三角形的“三线合 一”、“平行四边形的对角线 12.:FH分别是CD,CA边的中点，FH=2AD=6, 互相平分”是证明一条线段 是三角形中位线的常用 答案：C 方法. 例3：如图，在四边形ABCD中，AB=CD,E、F分别是 BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA,CD 变式在△ABC中，AB=3, 的延长线交于点M、N,求证：∠BME=∠CWE. BC=5,AC=7,点D,E,F分 证明：连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF, 别是AB,BC,AC的中点，则 B .E、F分别是BC、AD的中点，.FH∥BM,FH= △DEF的周长为 2AB.EH//CN,EH-CD..LBME-LHFE. ∠CNE=∠HEF.,AB=CD,.FH=EH,∴. ∠HFE=∠HEF,.∴.∠BME=∠CNE. 题型3平行四边形的判定 方法点拔 例4：如图，点B,E,C,F在一条直线上，AB= 证明四边形是平行四边形不 DE,AC=DF,BE=CF.求证：四边形ABED 能直接用知识点4中的5种 B 是平行四边形 判定方法时，可以通过全等 证明：.BE=CF,.BE+EC=CF+EC,.BC=EF.在△ABC 来得到线段、角相等，进而来 证明. (AB=DE 和△DEF中，{AC=DF,.△ABC≌△DEF(SSS), BC=EF ∴.∠B=∠DEF,∴.ABDE.又AB=DE, 变式2如图，四边形ABCD ∴.四边形ABED是平行四边形」 中，AB=DC,AD=BC,点E在 题型4)平行四边形的性质和判定的综合 AD上，点F在BC上，AE= 例5：如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线， CF,EF与对角线BD交于点 O.求证：O是EF的中点 过A、C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,延长 AE、CF分别交CD、AB于点M、N. (1)求证：四边形CMAN是平行四边形； (2)已知DM=2,AN=3,求AB的长. (1)证明：AE⊥BD,CF⊥BD,AM∥ -14 第十八章平行四边形 CN.:四边形ABCD是平行四边形，.CM∥AN..四边形 CMAN是平行四边形： (2)解：：四边形ABCD是平行四边形，.DC=AB..·四边 形CMAN是平行四边形.·.CM=AN.∴.DM=BN,,AB=AN +DM=5. 题型5两条平行线之间的距离的应用 例6：在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，a与b之 代易错提醒 间的距离为5，b与c之间的距离为2，则a与c之间的距离 没有给出图形，要进行分类讨 为 论，不要遗漏. 【解析】有两种情况：①当c在a,b之外时，a与c之间的 距离是5+2=7：②当c在a,b之间时，直线a与c之间的 距离是5-2=3.综上所述，a与c之间的距离为7或3. 答案：7或3 18.2特殊的平行四边形 18.2.1矩形 知识梳理 区知识点1矩形 ☒重点提示 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 由矩形的定义知，矩形一定 2.矩形的性质 是平行四边形，但平行四边 形不一定是矩形 图形 性质 符号语言 方法点拨 对边平行 AB∥CD,AD∥BC 矩形的一条对角线把矩形分 边 对边相等 AB=CD.BC=AD 成两个直角三角形，矩形的 两条对角线将矩形分成两对 角 四个角都是 ∠ABC=∠BCD=∠CDA 全等的等腰三角形，分成四 直角 =∠DAB=90° 个面积相等的等腰三角形， 对角线 霜架手分丑 AO=CO,BO DO,AC 因此有关矩形的计算问题经 =BD 常通过转化到直角三角形和 等腰三角形中来解决」 对称性 矩形是轴对称图形，共有两条对称轴，对 一归纳总结 称轴是过每组对边中点的直线 矩形判定的常见思路 3.矩形的判定 从角上证明： 图形 判定 符号语言 (1)四边形有三个直角矩形： (2)平行四边形有一个直角 有三个角是 .∠ABC=∠BCD= 矩形： 直角的四边形 ∠CDA=90°，，∴.四边形 从对角线上证明： MBCD是矩形 角 (①)平行四边形对角线相等，矩形， 有一个角是直 ,四边形ABCD是平行 (2)四边形对角镜互相手分且相等 角的平行四边 四边形，∠CDA=90°， 矩形 ∴.四边形ABCD是矩形 △注意 对角线相等的 ,四边形ABCD是平行 对角线相等的四边形不一定 是矩形，只有对角线相等的 对角线 平行四边形 四边形，AC=BD,∴.四边 平行四边形才是矩形. 形ABCD是矩形 15 课堂解惑 ZBR八年级数学下册 区知识点2直角三角形斜边中线的性质 A注意 文字语言 符号语言 主要应用 (1)应用此性质的前提是在 直角三角形中】 直角三角形 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 证明线段 (2)在直角三角形中，如果通 斜边上的中 CD为斜边AB上的中线，∴ 线等于斜 的倍分、 到斜边的中点，可以考虑构 边的一半 CD=AD=BD=2AB 相等关系 建斜边上的中线。 (3)此性质与“直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜 图 边的一半”都是解决线段倍 示 分关系的重要依据，但后者 只有在含30°角的直角三角 拓展： 形中才成立，而“直角三角形 (1)直角三角形斜边上中线的性质的逆命题也是真命题，即如果 斜边上的中线等于斜边的一 三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直 半”适用于所有直角三角形， 角三角形. 更具一般性， (2)直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角 形，为证明线段和角相等提供了新的途径 经典例题分析 题型1直角三角形斜边中线的性质的应用 方法点拨 例1：如图.在△ABC中，BC=26,且BD,CE分别 在直角三角形中，遇到斜边 是AC,AB上的高，F,G分别是BC,DE的中 的中点常作斜边的中线，从 点，若ED=10,则FG的长为() 而利用直角三角形斜边上的 A.10 B.12C.13 D.14 中线的性质把问题转化为等 腰三角形的问题，利用等腰 【解析】如图，连接EF、DF,F是BC的中 三角形的性质解决 点，BDLAC,CE1AB,EF=DF=2BC=2 1 ×26=13.,G是DE的中点，.FG⊥ED, DG=DE=5在R△DGF中，FG √DF2-DG=12. 答案：B 题型2)矩形中的折叠问题 例2：如图，矩形ABCD沿对角线BD折叠，已知长 BC=8cm,宽AB=6cm,那么折叠后重合部 方法技巧 分的面积是( 解决折叠问题的方法 A.48 cm2 B.24 cm2 (1)利用折叠的性质：折痕两 侧的对应部分能够完全重 C.18.75cm2 D.18 cm2 B 合，折痕两侧的对应线段相 【解析】·四边形ABCD是矩形，∴，AD∥CB,∴，∠ADB= 等，对应角相等 ∠DBC.由折叠可知△CBD≌△C'BD,则∠CBD= (2)此类问题往往通过折叠 ∠DBC,∴.∠ADB=∠EBD,.DE=BE,∴.C'E=8-DE. 将对应线段转换到同一个直 ,CD=AB=6,.在Rt△C'DE中，由勾股定理，得62+ 角三角形中，利用勾股定理 (8-DE)2=DE,nE=SA=号E×4AB 求出线段长，进而解答. =18.75(cm2) 答案：C -16 第十八章平行四边形 18.2.2菱形 知识流理 区知识点菱形 心方法指导 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 (1)菱形的性质可以用来证 2.菱形的性质和判定 明线段相等、角相等、直线平 行、垂直以及进行相关的 性质 判定 计算. 文字语言 符号语言 文字语言 符号语言 (2)菱形的性质与勾股定理 有一组邻 边相等的 在□ABCD中， 结合，可得对角线与边之何 平行四边 AB BC,. 的关系，即边长的平方等于 形是菱形 口ABCD是菱形 两条对角线长一半的平 边 菱形的四条 ,四边形ABCD 方和 边都相等 是菱形，，AB= 在四边形ABCD BC=CD=DA 四条边相 中，AB=BC= (3)如果菱形的一个内角为 等的四边 CD=DA,∴.四边 60°，那么菱形的两条边与较 形是菱形 形ABCD 是 短的对角线构成的三角形为 菱形 等边三角形. ,四边形ABCD (4)菱形的面积=底×高=两 菱形的两条 是菱形，.AC⊥ 对角线互 条对角线长乘积的一半 必 对角线互相 BD,∠ADB= 垂直，并且 相垂直的 在口ABCD中， 角 每一条对角 ∠CDB=∠ABD= 平行四边 AC⊥BD, 线 线平分一组 ∠CBD,∠BAC= 一知识补充 形是菱形 □ABCD是菱形 对角 ∠DAC=∠BCA (1)菱形的判定定理和性质 =∠DCA 定理是互逆定理， (2)有一内角为60°或120°的 菱形，较短对角线把菱形分 示 成两个全等的等边三角形， 较短对角线的长等于菱形的 提示 边长，较长对角线的长等于 (1)菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形所有的性质 菱形边长的5倍 (2)菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是对角线所在的直线。 (3)菱形的两条对角线互相垂直，并且把菱形分成四个全等的直 么总结旧纳 角三角形，进而可得菱形边长的平方等于两条对角线长一半的 菱形判定的常见思路 四条边都相等→菱形 平方和. 对角线互相垂直平分→菱形 (4)菱形的四条边相等，故可连接对角线构造等腰三角形，利用 平行四（对角线互相垂直+菱形 等腰三角形的性质解题， 边形有一组邻边相等→菱形 3.菱形的面积 可依据题目特点选取不同的 面积计算方法 一般方法 特殊方法 方法 基本图形 知识拓展 对角线互相垂直的任意四边 形的面积等于对角线长乘积 计算公式 S=ah AC·BD S=- 的一半 17 课堂解惑 ZBR八年级数学下册 经典例题分析 题型1菱形性质的运用 例1：如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,AC= 12,BD=16,点P为边BC上一点，且P不与点 温解题方法 在几何图形动点问题中，遇 B、C重合.过P作PE⊥AC于E,PF⊥BD于 到求线段最小值时，通常通 F,连接EF,则EF的最小值等于() 过作垂线来解决，当所求线 A.3.6 B.4.8 C.5 D.6 段与动点没有直接关系时， 【解析】连接OP,·四边形ABCD是菱形， 通过图形的性质进行转化， 我出等量关系，从而使间题 AC=12,BD=16,.ACL BD,BO=1BD= 得以解决 8,0C=24C=6,BC=0B+0C=10 :PE⊥AC,PF⊥BD,AC⊥BD,∴.四边形OEPF是矩形， ∴FE=OP.:当OP⊥BC时，OP有最小值，此时SAonC= 0Bx0C=)BCx0P,0P=6X8=48,EF的最小值 10 为4.8. 答案：B 题型2菱形判定的运用 方法技巧 例2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，把 判定一个四边形是菱形的一 △BCD沿BC翻折得到△BCE.求证：四边形BDCE是菱形 般步骤： (1)用边来判定：先证明四边 形是平行四边形，再证明有 一组邻边相等或者直接证明 四边形的四条边都相等： (2)用对角线来判定：先证明 证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°. 四边形是平行四边形，再证 .D是斜边AB的中点，.AD=DB=CD 明四边形的对角线互相垂直 :△BCD沿BC翻折得到△BCE, 或者直接证明四边形的对角 ∴.CD=CE,BD=BE,∴.DB=CD=CE=BE, 线互相垂直平分 ∴，四边形BDCE是菱形 18.2.3正方形 知识梳理 区知识点正方形 1.定义：四条边都相等，四个角都是直角 △提示 的四边形叫做正方形 正方形不仅是特殊的平行四 2.性质：具有矩形、菱形、平行四边形的 边形，还是特殊的矩形、 一切性质 菱形 -18 第十八章平行四边形 性质 符号表示 图示 ☒重点提示 对边平行 AB∥CD,AD∥BC (1)正方形的两条对角线把 边 四条边相等 AB=BC=CD=DA 它分成四个全等的等腰直角 三角形：每一条对角线把正 四个角都是直角 ∠ABC=∠BCD=∠CDA= 方形分成两个全等的等腰直 ∠DAB=90° 角三角形.解决问题时，通常 对角线相等且 AC=BD,AC⊥BD, 归结到这些等腰直角三角形 互相垂直平分 0A=OB=OC=OD 中求解 对角线 ∠BAC=∠DAC=∠DCA= (2)正方形的对角线互相垂 每一条对角线 ∠BCA=∠ABD=∠CBD 平分一组对角 直，因此正方形的面积也可 ∠CDB=∠ADB 以用对角线长乘积的一半来 对称性 是轴对称图形，有四条对称轴 计算 3.正方形的判定 补充拓展 ①有四条边相等，四个角都是直角的 中点四边形的形状探究 四边形是正方形 （1)从四边形出发 名称 图形 ②对角线互相平分、垂直且相等的四 中点四边形 边形是正方形 一般四边形 平行四边形 正 ①有一组邻边相等并且有一个角 方 是直角的平行四边形是正方形 平行四边形 平行四边形 形 (2)从平行四边形出发 ②对角线互相垂直且相等的平行 的 矩形 菱形 四边形是正方形 判 ①有一组邻边相等的矩形是正方形 菱形 矩形 定 (3)从矩形出发 ②对角线互相垂直的矩形是正方形 对角线互 ①有一个角是直角的菱形是正方形 相垂直的 矩形 (4)从菱形出发 ②对角线相等的菱形是正方形 四边形 经典例题分析 正方形 正方形 题型1正方形性质的应用 例1：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正31 方形，点A的坐标是(4,0)，P为边AB上一点， 60 变式如图，正方形ABCD的 ∠CPB=60°，沿CP折叠正方形OABC,折叠后，dB 边长为9，将正方形折叠，使 点B落在平面内的B'处，则，点B的坐标为 D点蒂在BC边上的点E处， 折痕为GH.若BE:EC=2:1. 【解析】过，点B'作B'D⊥OC,四边形OABC是正方形，点 则线段CH的长是 A的坐标是(4,0)，∴.∠B=∠B'DC=90°，CB'=CB=OC= OA=4.:∠CPB=60°，∴.∠BCP=90°-∠CPB=30°，由折 叠的性质可得∠PCB=∠BCP=30°，∴.∠B'CD=30°， B'D=)CB'=2.在R△B'CD中，根据勾股定理得DC 19 课堂解惑 ZBR八年级数学下册 =B'C-B'D2=23,.0D=4-23,B点的坐标为(2,4 -23) 答案：(2,4-23) 变式2如图，在菱形ABCD 题型2特殊平行四边形的性质和判定的综合 中，对角线AC,BD交于点O, 例2：如图①，在正方形ABCD中，P是AC上一点，点E在DC的 AE⊥BC交CB延长线于E, 延长线上，且PD=PE,PE交BC于点F,连接PB CF∥AE交AD延长线于点F. 问题提出：(1)求证：PB=PE: (1)求证：四边形AECF是 矩形： 拓展与探索：(2)请求出∠BPE的度数： (2)若AE=4,AD=5,求0B 问题解决：(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD,其 的长 他条件不变，当∠BAD=120时，连接BE,试探究线段PD 与线段BE的数量关系，并说明理由， (1)证明：在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAP=∠DAP= AB=AD 45O.在△ABP和△ADP中，{∠BAP=∠DAP,∴.△ABP≌ AP=AP △ADP(SAS),∴.PB=PD.,PD=PE,∴，PB=PE; (2)解：由(1)知，△ABP≌△ADP,.∠ADP=∠ABP, ∴.∠CDP=∠CBP.,PD=PE,∴.∠PDC=∠E,∴.∠CBP= ∠E.,:∠BFP=∠EFC,∴.180°-∠PFB-∠PBF=180°- ∠EFC-∠E,即∠FPB=∠BCE=90°，∴，∠BPE=90° (3)解：DP=BE.理由如下：在菱形ABCD中，AB=AD, ∠DAP=∠BAP=6O°.在△ADP和△ABP中， AD=AB ∠DAP=∠BAP,∴.△ADP≌△ABP(SAS),∴.PD=PB, AP=AP ∠ADP=∠ABP.:PD=PE,∴.∠PDE=∠PED,PB=PE. ,∠ADP+∠PDE=60°，.∠ABP+∠PED=60°.DE∥B, ,∴.∠ABE+∠DEB=180°，∴∠PBE+∠PEB=120°，∴.∠EPB =60°，△EPB是等边三角形，.PE=BE,.PD=BE. -20