第17章 专题 利用勾股定理解决折叠问题和最短路线问题-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级下册数学同步训练方案(人教版)

第十七章勾股定理 了河南专版 专题 利用勾股定理解决折叠问题 解决折叠问题的关键是抓住对称性.勾股定理的数学解析式是一个含有平方关系的等式， 求线段的长时，可利用勾股定理直接计算，也可以设未知数，由勾股定理列出方程，运用方程思 想解决问题 题型三角形中的折叠问题 题型二长方形中的折叠问题 1.(3分)（北京模拟改编）如图，在Rt△ABC中， 4.(3分)（临沂模拟）如图，在长方形 AB=9,BC=6,∠B=90°，将△ABC折叠，使A ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此 点与BC的中点D重合，折痕为MN,则线段 长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF, BN的长为() 则△ABE的面积为()cm2. A.5 B.2 C.4 D.5 A.12 B.10 C.6 D.15 第1题图 第2题图 第4题图 第5题图 2.(3分)如图，在R1△ABC中，∠ABC=90°，AB 5.(3分)如图，长方形纸片ABCD,AB=4,BC= =3,AC=5,点E在BC上，将△ABC沿AE折 3,点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C 叠，使点B落在AC边上的点B处，则BE的 落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F,且 长为( OP=OF,则BF的长为 A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 6.(7分)如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠， 3.(6分)（济源期中）如图，在△ABC中，AB= 使点C与点A重合，折痕交AD于点E,交BC 20,AC=12,BC=16,把△ABC折叠，使AB落 于点F,连接CE. 在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）的 (1)求证：AE=AF=EC=CF: 面积. (2)设AE=a,ED=b,DC=c,请写出一个a,b,c 三者之间的数量关系式 25 河南专版 ZBR·八年级数学下册 专题 利用勾股定理解决最短路线问题 题型平面中的最短路径问题 题型马立体图形中的最短路径问题 【解题模型】 【方法指导】几何体中最短路径问题的基本思路 图例 基本思路 是：(1)将立体图形展开成平面图形：(2)利用两 点之间线段最短确定最短路线：(3)构造直角三 利用垂线段最短确 角形并利用勾股定理求解 定最短路径→构造 模型一 直角三角形→利用 3.(3分)如图，一圆柱体的底面周长为10m,高AB B 勾股定理求解 为12cm,BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆 将同侧两点利用轴 B 柱的表面爬行到点C的最短路程为( 第十七章 对称化为异侧两点 →利用两点之间线 A.17 cm B.13 cm C.12 cm D.14 cm 模型二 段最短确定最短路 径→构造直角三角 形→利用勾股定理 A 求解 第3题图 第4题图 1.(3分)如图，在△ABC中，点M 4.(3分)如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为 是AC边上一个动点.若AB=AC 8dm、3dm、2dm.A和B是这个台阶上两个相对的 =10,BC=12.则BM的最小值 端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的 为( 食物，则蚂蚁沿若台阶面爬行到点B的最短路程 A.8 B.9.6 C.10 D.4.5 为() 2.生活情境·水管铺设(8分)如图，A、B两个小 A.15 dm B.17 dm C.20 dm D.25 dm 镇在河流的同侧，分别到河岸1的距离为AC= 5.生活情境·礼盒彩带(8分)一位同学要用彩 10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在 带装饰一个长方体礼盒，长方体高6cm,底面 要在河边建一自来水厂，分别向A、B两镇供 是边长为4cm的正方形，从顶点A到顶点C 水，铺设水管的费用为每千米2万元，请你在 如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？ 河岸1上选择水厂的位置M(作图并标注出 来)，使铺设水管的费用最节省，并求出总费 用是多少？ 26BC=10..BC2=100,.AC+AB2=100=BC, ∠BAC=90°： 543201233 (2)解：分两种情况：①当BP=AB时.：AD⊥BC,,AB 17.2勾股定理的逆定理 =√BD+AD=25,,BP=AB=25:②当AP=AB时， 第1课时勾股定理的逆定理 BP=2BD=4.综上所述BP的长为25或4. LC 15.解：(1)是.理由：AM+BN2=2+(23)2=16,MN2= 【技巧点拨】斜边AC所对的直角是∠ADC,即∠ADC= 4=16,∴.A+NB=MN,∴.以AM,MN,NB为边的三 90°.题目没有给出图形，做题时画出图形更易解愿 角形是一个直角三角形.故点M,N是线段AB的勾股 2.C 分割点 3.C【解析】由题意，得a-√2=0，b-3=0,c-7=0,解得a (2)设BN=x,则MN=12-AM-BN=7-x,①当AM为最 长线段时.依题意AM2=MN+B2,即x2+(7-x)2=25 =2,b=3,c=/7.(2)2+(7)产=32，.三角形的形状 解得x=3或4：②当MN为最长线段时，依题意M2= 是直角三角形.故选C. 【变式】等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形 Ar+Ng,即(7-)P=+25,解得x=号：③当N为最 【解析】(a-b)(a2+b-e2)=0,a-b=0或a2+2-e2= 长线段时，依题意BN2=AM+MN2.即x2=25+(7-x)2, 0或同时满足a-b=0,a2+b-e=0..a=b或a+b=e 或a=b且a+6=e2,∴.△ABC是等腰三角形或直角三角 解得：一综上所述N的长为3或4或号支号 形或等腰直角三角形. 第2课时勾股定理的逆定理的应用 4.B5.D6.B 1 D 2.C 7.A【解析】①若a>b,则ac>bc是假命题.②若a=1,则 3.D【解析】连接AC,则可得AC=5,BC=5,AB=10, a=a是真命题.逆命题如果√a=a,那么a=1是假命 ∴.AC+BC=AB,..∠ACB=90°，∴.∠ABC=45°.故选 题.⑤内错角相等是假命题.故选A. D. 8.如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等假 4.B【解析】连接AC,在Rt△ABC中，AB=3,BC=4,由勾 9.C【解析】①，∠A:∠B:∠C=12:3,∴.∠C=90°，是直 角三角形：②ab:e=3:4:5,设a=3x,b=4x,c=5x, 股定理得，AC=√3+4=5.在△AD0中，AC=5,DG=1, (3x)2+(4x)2=25x2=(5x)2,∴.a2+b2=c2,是直角三角 AD=26.AD2+DC2=(26)2+12=25,AC2=5=25, 形：③：2∠A=∠B+∠C,∠A+∠B+∠C=180°，∠A= AD+DC=AC2..△ADC是直角三角形..∠D=90°.. 60°，∠B+∠C=120°，不能判断△ABC是直角三角形：④ a2-c2=b2,变形为a=b2+e2,..是直角三角形：⑤a+e2 Sm线移4m=S么r+S6x= 2x3x4* 2×2,6x1=6+6.故 4=b2,是直角三角形.故选C. 选B, 10.A【解析】设三边长为5x,12x,13x,则5x+12x+13x= 5.解：在向北的坐标轴上0点上方取一点Y,在0点下方 60,.x=2,三边分别为10,24,26,10+242=26°，.是 取一点F.由题意可得OA=30海里，OB=16海里.AB= 34海里.30+16=342，.A0+B0=AB,,△A0B是 直角三角形，S=2×10x24=120.故选A 直角三角形.：∠AOY=60°，∠B0F=30°.答：B舰队 11.B【解析】当选取的三块纸片的面积分别是1,4,5时， 是往南偏东30°行驶的. S=/Ix/ 6.14.4 -=1:当选取的三块纸片的面积分别是2,3,5 2 7.解：(1)受影响：理由：过点C作CD⊥AB于D,由题意知 时，8=2x36 AC=600m,BC=800m,AB=1000m,∴，AC+BC=600+ 2 :当造取的三块纸片的面积分别是 800=1000=AB2△ABC是直角三角形，六Sa2 3,4,5时，围成的三角形不是直角三角形：当选取的三 ×600×800= 块纸片的面积分别是22,4时，S=)=1,:)>1, 2CD·1000CD=480,:飞机中心周围 2 50Om以内可以受到洒水影响.，∴.着火点C受洒水影响： ,所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取 (2)在线段AB上点D的两侧各作一点E、F,当EC=FC 的三块纸片的面积分别是2,3,5.故选B. =500m时，飞机正好喷到着火点C.在R:△CDE中.ED 12.75I+24【解析】连接AC,过点C作CE⊥AB于点 √EC-CD=140(m),.EF=280m,·飞机的速度为 E.∠D=90°，CD=8DA=6,AC=10.BC=10, 10m/s,280÷10=28(秒).28秒>13秒，着火点C 1 AC=BC.CE LAB,..AE=BE=AB=7.ZAEC= 能被扑灭 专题利用勾股定理解决折叠问题 90°，在RI△ACE中根据勾股定理得CE=√AC-AE= 1.C【解析】根据折叠，可知AN=DN,设BV=x,则AN= IS=,CB=x4×V=7v。 DN=9-.D为BC中点，BD=)BC=3.在R△BDN 5n-0,0=7×6x8=24S=Sa+ 中，由勾股定理，得BD+BN2=DW,即32+x2=(9-x)2, 解得x=4,即BN=4.故选C. Sa40m=7V5T+24. 【解题技巧】先求得BD的长，由折叠的性质可知AN= DN,设BV=x,则AN=DN=9-x,在RI△DBN中，由勾股定 3.解：DE=12.5A=)DE·AB=60,AB=10.AC 理列出关于x的方程求解即可， 8,BC=6,82+6=102,.AC+BC2=AB,由勾股定理的 2.B【解析】BC=√AC-AB=4,由折叠的性质得BE= 逆定理得∠C=90°. BE',AB=AB.设BE=x,则BE=x,CE=4-x,BC=AC- 14.(1)证明：AD⊥BC,AD=4,BD=2,∴AB=AD+BD= AB=AC-AB=2.在Rt△B'EC中，BE+B'C=EC2,即x 20,又.AD⊥BC,CD=8,AD=4,.AC=CD+AD=80 +2=(4-x)2,解得x=1.5.故选B. 追梦之旅·ZBR·入年级数学下第6页 3. 解：设 CD=x，∵ ·在 △ABC 中 ，AB=20，AC=12，BC=16，∴ B点最短路程为xdm， 由勾股定理得 $$： x ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } + 1 5 ^ { 2 } = 1 7 ^ { 2 } ，$$ $$A B ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } ， \therefore \angle A C D = 9 0 ^ { \circ } .$$ .把 △ABC 折叠使AB落在 解得 x=17. 故选B. 直线 AC⊥∴BD=B'D=16-x，B'C=AB-AC=20-12=8， 5.解：把长方体的面 DCC'D 沿棱CD展 D $$\angle D C B ' = 9 0 ^ { \circ } . \therefore$$ 在 Rt△DCB' $$， C D ^ { 2 } + B ' C ^ { 2 } = D B ^ { 1 2 } ， \therefore x ^ { 2 } +$$ 开至面 ABCD 上，如图构成长方形 ABC'D'. 则 A 到 C'的最短距离为 AC $$8 ^ { 2 } = \left( 1 6 - x \right) ^ { 2 } ，$$ ，解得x $$= 6 ， \therefore S _ { \triangle A B G F } = \frac { 1 } { 2 } \times 6 \times 1 2 = 3 6 .$$ 的长度，连接 AC 交 DC 于 O.∵AD= 4.C 【解析】：四边形ABCD 是长方形， $$\therefore \angle B A E = 9 0 ^ { \circ } . \because$$ C'C，∠AOD=∠C'OC，∠ADO= = B 将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合， ∴BE=ED.∵AD ∠OCC'，∴△AOD≅△C'OC.∴OD= =9=AE+DE=AE+BE，∴BE=9-AE， 在 Rt△ABE 中，由勾 OC， DC 的中点.由勾股定理得 $$A C ^ { 2 } = A D ^ { 2 } +$$ 股定理得 $$A B ^ { 2 } + A E ^ { 2 } = B E ^ { 2 } ， \therefore 3 ^ { 2 } + A E ^ { 2 } = \left( 9 - A E \right) ^ { 2 } ，$$ ，解得AE $$D ' C ' ， \therefore 8 ^ { 2 } + 6 ^ { 2 } = 1 0 0 . \therefore A C ' = 1 0 c m .$$ 即从顶点 A 沿直线 $$= 4 ， \therefore S _ { \triangle A B E } = \frac { 1 } { 2 } \times 3 \times 4 = 6 \left( c m ^ { 2 } \right) .$$ 选 C 到 DC 中点 O， ，再沿直线到顶点 C'， ，贴的彩带最短，最短 长度为10cm. 追梦第十七章章末复习勾股定理 【方法总结】根据折叠性质可得线段相等，角相等，将线段 1.A 设为 ，利用未知数 x 与已知线段的长度，结合勾股定理 2.A 即可解决问题. 【技巧点拨】本题考查了勾股定理及角平分线的性质.由 $$5 . \frac { 1 2 } { 5 }$$ 号【解析]根据新叠可知： ：△DCP≅△DEP，∴DC=DE 勾股定理求出AD的长，根据角平分线的性质得出点D 到BC的距离， ( (∠EOF=∠BOP =4，CP=EP. 在 △OEF 和 △OBP 中， $$\angle B = \angle E = 9 0 ^ { \circ } ， \therefore$$ 3.12 |OP=OF 4.C【解析】 $$A . 1 ， 1 ， \sqrt 2$$ 不都是整数，不是勾股数； $$： B . 5 ^ { 2 } + 7 ^ { 2 }$$ △OEF≅△OBP(AAS)，∴OE=OB，EF=BP，∴BF=EP= $$= 7 4 ， 9 ^ { 2 } = 8 1 ， \therefore 5 ， 7 ， 9$$ 不是勾股数； ；D.0.3，0.4，0.5 不是 CP， 设 BF=EP=CP=x， 则AF=4-x，BP=3-x=EF，DF=x+1. 整数，不是勾股数，故选C. $$\because \angle A = 9 0 ^ { \circ } ， \therefore B$$ Rt△ADF 中 $$， A F ^ { 2 } + A D ^ { 2 } = D F ^ { 2 } ，$$ ^{2}，且 $$\left( 4 - x \right) ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } =$$ 5.A 6.解：连接 $$A C . \because \angle A D C = 9 0 ^ { \circ } ， C D = 6 m ， A D = 8 m ， \therefore$$ .由勾股 $$\left( 1 + x \right) ^ { 2 } ，$$ 解得 $$x = \frac { 1 2 } { 5 } ， \therefore B F = \frac { 1 2 } { 5 } .$$ ： 定理得 AC=10m. 在 △ABC 中 ，AB=26m，AC=10m，BC= 6.(1) 证明： 四边形 ABCD 是长方形， ∴AD∥BC，∴ $$2 4 m ， \therefore B C ^ { 2 } + A C ^ { 2 } = 2 4 ^ { 2 } + 1 0 ^ { 2 } = 6 7 6 = 2 6 ^ { 2 } . \therefore B C ^ { 2 } + A C ^ { 2 } = A B ^ { 2 } .$$ ∠AEF=∠EFC， ，由折叠的性质，可得： ∠AFE=∠CFE，AF ∴△ABC 为直角三角形， $$， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ， \therefore S _ { A B A B C D } = S _ { \triangle A B C }$$ =CF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF， 在 △AFE 和 △CFE $$- S _ { \triangle A C B } = \frac { 1 } { 2 } \times 1 0 \times 2 4 - \frac { 1 } { 2 } \times 8 \times 6 = 9 6 \left( m ^ { 2 } \right) . 9 6 \times 2 0 0 = 1 9 2 0 0$$ (AF=CF ∠AFE=∠CFE，∴△AFE≅△CFE(SAS)，∴CE= (元).答：在该空地上种植草皮共需 19200 FE=FE 7.A AE，∴AF=CF=CE=AE； 8.在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分 (2) 解 ：a、b、c 三者之间的数量关系式为 $$： a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 } .$$ 理 线上真 由：由 (1) 得 CE=AE.∵ 四边形 ABCD 是长方形， ∴∠D= 9.①④【解析】 ① 的逆命题：两直线平行，同位角相等，是 $$9 0 ^ { \circ } ， \because A E = a ， E D = b ， D C = c ， \therefore C E = A E = a ，$$ ，在 Rt△DCE 真命题.②的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是 $$中 ， C E ^ { 2 } = C D ^ { 2 } + D E ^ { 2 } ， \therefore a 、 b 、 c$$ 三者之间的数量关系式为 直角，是假命题.③的逆命题：如果两个数的平方相等， $$a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 } .$$ 那么这两个实数相等，是假命题. ④ 的递命题：如果直角 专题利用勾股定理解决最短路线问题 三角形的直角边为 a，b， ，斜边为 那么 $$a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 } ，$$ ，是真命 1.B【解析】作 AD⊥BC 于 ，则 $$\angle A D B = 9 0 ^ { \circ } ， \because A B = A C ，$$ 题.综上所述，命题的逆命题是真命题的有 $$\therefore B D = \frac { 1 } { 2 } B C = 6 ，$$ 由勾股定理得 $$A D = \sqrt { A B ^ { 2 } - B D ^ { 2 } } =$$ 10.B 【解析】∵车宽1.6米，∴欲通过如图的隧道，只要 比较距隧道中线0.8米处的高度与车高，在 Rt△OCD $$\sqrt { 1 0 ^ { 2 } - 6 ^ { 2 } } = 8 ，$$ 当 BM⊥AC 时， BM 最小，此时 ∠BMC= 中，由勾股定理，得 $$C D = \sqrt { O C ^ { 2 } - O D ^ { 2 } } = 0 . 6$$ 米 $$\therefore ^ { 4 }$$ ∴CH= CD+DH=0.6+2.3=2.9 (米)， $$\therefore ^ { 4 }$$ .卡车的外形高必须低 $$9 0 ^ { \circ } . \because \triangle A B C$$ 的面积 $$= \frac { 1 } { 2 } A C \cdot B M = \frac { 1 } { 2 } B C \cdot A D ，$$ $$P \frac { 1 } { 2 } x$$ 于2.9米.故选B. 11. 101 【解析】取AB的中点 ，过 D 作 DE⊥AB 于 E， ，由 $$1 0 \times B M = \frac { 1 } { 2 } \times 1 2 \times 8 ，$$ x8，解得 BM=9，6. 故选B. 题意得 OA=OB=AD=BC，DE=1 尺 =10 寸. $$O E = \frac { 1 } { 2 } C D$$ 【技巧点拔】本题考查了勾股定理、等器三角形的性质、垂 =1 1寸，设 OA=OB=AD=BC=r 寸，则 AB=2x r寸 ，AE=(r $$- \frac { 2 } { 4 }$$ 线段最短、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理， \left.{-1}) 寸.在 Rt△ADE 中 $$， A E ^ { 2 } + D E ^ { 2 } = A D ^ { 2 } ，$$ ，即 $$\left( r - 1 \right) ^ { 2 } + 1 0 ^ { 2 }$$ 由三角形面积的计算方法求出BM的最小值是解决问题 $$= r ^ { 2 } ，$$ r=50.5.∴2r=101，∴AB=101 1寸 的关键. 12.25【解析】其侧面展开图如图，作， 小 2.解：作A关于CD的对称点 A'， ，连接 点C关于AB的对称点 ，连接 A'B与CD交点为 M， 点 M 即为所求 DF.∵ 中间可供滑行的部分的截 作的点.过A'作 A'K⊥BD 的延长线 面是半径为2.5m的半圆， ∴BC= 交于点 K， ，如图所示.则可得 DK= D πR=2.5π=7.5m，AB=CD=20m， A'C=AC=10，∴BK=BD+DK=40， A ∴CF=15m. 在 Rt△CDF 中 ，DF= $$A M + B M = A ' B = \sqrt { 3 0 ^ { 2 } + 4 0 ^ { 2 } } = 5 0$$ (千 $$\sqrt { C F ^ { 2 } + C D ^ { 2 } } = 2 5 m ，$$ ，故他滑行的最 ，50×2=100( (万元).答：总费用为100万元. 短距离约为 25m. 3.B 13.(1)证明 ∵AD、BE 分别为边 BC、AC 的中线 ，CD=4， 4.B 【解析】三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽 $$C E = 3 ， \therefore A C = 6 ， B C = 8 ， \because A B = 1 0 ， \therefore A B ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } ， \therefore$$ 为(2+3)x3=15(dm \left.{})， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短 △ABC 是直角三角形， $$\therefore \angle C = 9 0 ^ { \circ } ；$$ 路程是此长方形的对角线长，可设蚂蚁沿台阶面爬行到 (2 \left.2) $$\because \angle C = 9 0 ^ { \circ } ， A D = 6 ， B E = 8 ， \therefore A C ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = A D ^ { 2 } ，$$ 追梦之旅· ZBR ·八年级数学下第7页