第17章 勾股定理 课堂解惑-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级下册数学同步训练方案(人教版)

第十七章勾股定理 第十七章 勾股定理 17.1勾股定理 知识锍理 区知识点1勾股定理 公易错提醒 (1)勾股定理使用的前提是 如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为 在直角三角形中： 内容 c,那么a2+b2=c2 (2)要分清直角边和斜边，在 Rt△ABC中，直角不一定是 ∠C.即c不一定是斜边 图示 b B 变式 a2=c2-b2 b2=c2-a2 区知识点2 勾股定理的应用 几何图形 在直角三角形中，已知两边的长求第三边的长， 中的应用 或证明含有平方关系的几何题 方法点拔 勾股定理 应用勾股定理解决实际问 在实际问题中应用广泛，建筑测量、工程设计等 题，首先要从情境中抽象出 实际问题 常用到勾股定理。一般情况下，遇到求 直角三角形，并将已知和待 甯 中的应用 高度、长度、距离、面积等实际问题时，可以构造 求的线段置于直角三角形 中，若没有直角三角形，则考 直角三角形，运用勾股定理求解 虑添加辅助线来构造直角三 角形 区知识点3勾股定理的验证 验证勾股定理的方法比较多，如测量法、数格子法、 拼图法（拼接法和割补法）等，最常用的是拼图法，一般步骤如 国重点提示 下：构造图形→写出图形的面积表达式→借助面积相等构建等 (1)勾股定理是通过等积法 式→将等式进行恒等变形+推导出勾股定理， 来验证的，同一个图形用不 同的方法计算出面积使其 几种常见的拼图法： 相等， 割补法 拼接法 (2)勾股定理的验证，将“形” 的问题转化为“数”的问题， 体现了数形结合的思想。 2ab+(a-b)2= 4× (a+b)2=4×ab+c2 2(a+b)(a+b)=2x 2 c2→a2+b2=c +a2+b2=c2 -a2+6= 2 7 课堂解惑 乙BR八年级数学下册 区知识点4作长为元(m为大于1的整数)的线段 方法点拨 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它 一般地，作长为n(n为大于 对应的点，若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难，由此， 1的整数)的线段的关键是找 我们可借助勾股定理作出长为√n(n为大于1的整数)的线段. 到两个数a,b,使a2+b2=n, 因此只要作出直角边长为a, 4经典例题分析 b的直角三角形，斜边的长即 题型1勾股定理在几何中的应用 为n.例如，长为√13的线段 就是直角边长为2,3的直角 例I:如图，在数轴上点A所表示的数为a,则a的值为( 三角形的斜边. A.-1-√5 B.1-5 C.-5 D.-1+5 A -1010 【解析】由题可知，∠BCD=90°，BC=2,CD=1.在Rt △BCD中，根据勾股定理得，BD=√BC+CD=√5，.AB =BD=5.又点A在原点左边，点A所表示的数a 的值为-1-5. 答案：A 仓解题思路 例2：如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中 巧用勾股定理求面积 56 的数据是它们的面积，则正方形A的面 以两直角边为边长（或直径） 所作的两个图形的面积和等 积为() 于以斜边为边长（或直径）所 A.28 B.56 C.84 D.621 作图形的面积（此时这三个 图形都是正多边形，或都是 【解析】在Rt△DEF中，由勾股定理，得DE2=DF2+EF2= 半圆). 28+56=84,.正方形A的面积为84 答案：C 题型2)勾股定理在实际问题中的应用 例3：一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO 上，这时B0为0.7m.如果梯子的顶端A沿墙下 四方法点拨 滑0.4m,那么梯子底端B在水平方向上滑动了 此题首先根据题意建立数学 多少米？ D 模型，然后利用直角三角形 解：：Rt△OAB中，AB=2.5m,B0=0.7m, 的三边之间的关系和一些隐 含关系，如：墙与地面垂直， .0A=√AB2-OB2=2.4(m),同理，在Rt△0CD中， 梯子的长度不变等，来解决 CD=AB=2.5m,0C=2.4-0.4=2(m), 问题. .0D=CD-0C2=1.5(m), ,BD=0D-0B=1.5-0.7=0.8(m). 即梯子底端B在水平方向上滑动了0.8米 —8 第十七章勾股定理 题型3运用勾股定理求几何体表面上的最短距离 方法点拨 例4：如图，如果一只蚂蚁所处的位置是一个长、宽、高 转化法 分别为2,1,4的长方体上的顶点A.那么它沿长方 解几何体表面上的最短距离 体表面从点A爬到点B的最短路程是多少？ 问题的关键是转化，即将空 间问题转化成平面间题，根 解：根据题意，最短路径有以下三种情况： 据表面上“两点之间，线段最 (1)将长方体的前面与右面展开在同一平面，如图1，则由 短”确定路径.连接起点与终 勾股定理，得AB=√AC+CB=√(2+1)2+4=5： 点所得线段作为三角形的一 条边，以此来构造直角三角 (2)将长方体的前面与上面展开在同一平面，如图2，则由 形，利用勾股定理求最短路 勾股定理，得AB=√AC+CB2=2+(4+1)2=√29： 线长 (3)将长方体的左面与上面展开在同一平面，如图3，则由 变式如图，圆柱形容器中， 勾股定理，得AB=√AC+CB=12+(4+2)2=√37： 高为18cm,底面 ,5<29<37,它沿长方体表面从点A爬到点B的最短 周长为24cm,在 容器内壁离容器 路程是5. 底部4cm的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎 正好在容器外壁，离容器上 沿2cm与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短 距离为 cm.(容器 图 图2 图3 厚度忽略不计) 17.2勾股定理的逆定理 4知识梳理 区知识点1互逆命题与互逆定理 互逆命题 互逆定理 重点提示 (1)判断一个命题是真命题 如果两个命题的题设和结论正 一般地，如果一个定理的逆命 需要推理证明，判新一个命 好相反，那么这样的两个命题叫 题经过证明是正确的，那么它 题是假命题只需举出一个反 定义 做互逆命题，如果把其中一个命 也是一个定理，则称这两个定 例即可： 题叫做原命题，那么另一个命题 理互为逆定理，其中一个定理 (2)正确写出一个命题的逆 叫做它的逆命题 叫做另一个定理的逆定理 命题的关键是能够正确区分 命题的题设和结论， (1)命题有真有假，而定理都是真命题： 关系 (2)每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理： (3)互逆的两个命题不一定同真或同假，互逆的两个定理都是 真命题 9 课堂解惑 乙BR八年级数学下册 区知识点2勾股定理的逆定理 归纳总结 1.定义：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三 勾股定理与其逆定理的区别 角形是直角三角形.我们称它为勾股定理的逆定理， 勾股定理是在直角三角形中 2.运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤 探求边的关系，是直角三角 形的性质，体现了由“形”到 (1)找：先找三角形的最长边： “数”的转化：勾股定理的逆 (2)算：分别计算最长边的平方及另外两边的平方和： 定理是由三角形的三边关系 (3)比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否 探求三角形的形状，是直角 相等； 三角形的判定，体现了由 “数”到“形”的转化 (4)判：作出结论，若两者相等，则该三角形为直角三角形，否 则，不是直角三角形 【拓展】 三角形的三边长分别是a,b,c(c是最长边)： (1)若a2+2=c2,则这个三角形是直角三角形： 么归纳总结 (2)若a2+b2<c2,则这个三角形是纯角三角形： (1)勾股数有无数组. (3)若a2+b2>c2,则这个三角形是锐角三角形 (2)如果一组数是勾股数，那 区知识点3勾股数 么当它们扩大相同正整数倍 后，得到的一组新的数仍为 1.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 勾股数 2.判断勾股数的一般方法： (1)确定三个数是正整数： 么归纳总结 (2)找出最大数： 常见的勾股数： (3)计算最大数的平方与两个较小数的平方和； ①3,4,5： ②6,8,10： (4)若两者相等，则这三个数是一组勾股数；否则，不是一组勾 ③5.12,13： 股数 ④7,24,25： 」经典例题分析 ⑤8,15,17： ⑥9,12,15： 题型1)勾股定理的逆定理的运用 ⑦9,40,41等. 例1：由线段a,b,c组成的三角形，不是直角三角形的是( 方法技巧 A.a2-b2=c2 5 3 B.a= ,b=1,c= 4 判断三角形为直角三角形的方法 (1)用角判断： C.a=2,b=3,c=7D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 ①两个锐角互余的三角形是 直角三角形： 【解析D.:∠A:LB:LC=3:4:5,∠C 12*180° ②有一个角是90°的三角形 是直角三角形. 75°，∠B= 2×180°=600，∠4=3 1 ×180°=45°.∴.△ABC (2)用边判断：如果已知条件 12 与边有关，则可通过勾股定 不是直角三角形。 理的逆定理进行判断 答案：D -10 第十七章勾股定理 例2：△ABC的三边满足(a-13)2+1b-121+√c-5=0,则△ABC 四方法指导 为( 利用非负数的性质求出a,b, A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 c的值，再利用勾股定理的逆 定理来判定三角形的形状， C.等边三角形 D.直角三角形 【解析】由题意，得a-13=0,b-12=0,c-5=0,解得a= 13,b=12,c=5,.c2+b2=52+122=169,a2=169,.c2+b =a2,.△ABC为直角三角形. 答案：D 题型2勾股定理及其逆定理的综合运用 变式如图，在△ABC中，CD ⊥AB,垂足为D.AD=1,BD= 例3：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米 4.CD=2.则∠ACB= 的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风 中心沿东西方向AB由点A行驶向点B,已知点C为一海 港，且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为300km和 400km,又AB=500km,以台风中心为圆心周围250km以 内为受影响区域. 变式2一块木板如图所示， (1)海港C受台风影响吗？为什么？ 已知AB=4.BC=3,DC=12. AD=13,∠B=90°，则此木板 (2)若台风的速度为20km/h,台风影响该海港持续的时间 的面积为 有多长？ 解：(1)海港C受台风影响.理由：过，点C作CD⊥AB于D, .AC=300 km,BC=400 km,AB=500 km,..AC2+BC2=AB2. .△ABC是直角三角形.∴.AC×BC=CD×AB,∴.300×400= 500xCD,GD=30X400=240(km.以台风中心为圆心 500 周围250km以内为受影响区域，∴.海港C受到台风影响. 归纳总结 答：海港C受到台风影响 利用勾股定理及其逆定理来 (2)在点D的左、右两边分别取点E、F,连接CE、CF,当EC 解决问题时，当已知条件无 =250km,FC=250km时，正好影响海港C,·ED= 法直接求解时，可以通过作 辅助线将有用条件放在一个 √EC-CD2=70(km),.EF=140km.:台风的速度为20 图形中，再利用相关知识进 k/h,∴.140÷20=7（小时）.答：台风影响该海港持续的时 行计算或证明. 间为7小时」 11