第16章 二次根式 课堂解惑-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级下册数学同步训练方案(人教版)

第十六章 次根式 第十六章 二次根式 16.1 二次根式 知识梳理 知识点1 二次根式 易错提醒 判断二次根式应满足:①必 一般地,我们把形如、(a→0)的式子叫做二次根式,“” 定义 须含有二次根号“”; 称为二次根号。 ②被开方数大于等于0(非负 1.被开方数a可以是数,也可以是代数式; 数). 2.被开方数a必须是非负数: 则重点提示 特征 3.双重非负性:二次根式&表示非负数a的算术平方根,因 二次根号“-”实为“-” 通常根指数2省略不写. 此a>0/=0. 知识点2 二次根式有无意义的条件 归纳总结 求含有字母的式子有意义的 二次根式ā有意义的条件:a三0(非负数) 字母取值范围的三种类型: 二次根式ā无意义的条件:a<0 (1)二次根式:被开方数大于 等于0. 知识点③ 二次根式的性质 (2)分式:分母不等于0 1.二次根式的性质 (3)“复合型”式子:取使得各 部分都有意义的字母取值范 性质 文字语言 围的公共部分. ()}=a(a>o) 一个非负数的算术平方根的平方等于 它本身 △归纳总结 (a(a=0) 一个数的平方的算术平方根等于这个 /a=la= (1)三种常见的非负数, (-a(a<o) 数的绝对值 lal,a2. (2)若几个非负数的和等于 2.()与a的区别与联系 0.则这几个非负数都为0,有 a 以下形式: V)2} ①若ā+b=0.则a=0.& 表示非负数a =0: 表示实数a的平方的算术平 意义 的算术平方根 ②若ā+1b1=0,则a=0,b 方根 的平方 =0: 区别 取值范围 a>0 a为全体实数 ③若vā+b2=0.则a=0.b=0 ④若a}+1b1+c=0.则a=0. 运算顺序 先开方再平方 先平方再开方 b=0.c=0. a{=lal={ (/ā)2=a (a(a=0) 运算结果 (-a(a<o) (1)含有两种相同的运算,都要进行平方与开方: 联系 (2)结果都是非负数;(3)当a=0时,()=va 课堂解题 乙BR八年级数学 下册 知识点4 代数式 ①注意 代数式:用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除。 代数式中不能含有表示数量 乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式 关系的符号(“=”“>”或“<” 等). 经典例题分析 题型1二次根式有意义的条件 已知y=v2-x+x-2 +5,则-的值为 ) 在实数范围内有意义,求;的取值范围 解:由题可知,x-1>0,x-2:0,解得x>1,且x2 (题型2)二次根式性质的应用 拉 实数a,b在数轴上对 例2:以下各式中计算正确的是( _~ 应点的位置如图所示,则 B.(-/3)2--3 +(a+1)?-(b-1)? A.-V(-6)=-6 = -3-1-64 C.(-16)*-+16 解法提醒 数轴分析法 利用=lal进行化简的关 键是确定绝对值内式子的正 负,此题在判断正负时要根 答案:A 据字母在数轴上的对应点的 位置来确定. 例3:已知/2x-6+ v-6=0.则以x.v的值为两边长的等腰三角$ 形的周长是( _ A.12或15 B.15 C.12 D.无法确定 (2x-6-0 1x=3 {,解得{”若3为腰长,则 【解析】由题意,得 已知va+b-2 1y-6=0 =6 (2a+b)=0.求代数式。2+b 此三角形三边长为3.3.6.此时,3+3=6.不能构成三角 的值. 形,舍去;若6为腰长,则此三角形的三边长为3.6.6.能 构成三角形,且周长为3+6+6=15.故选B 答案:B 解题技巧:若几个非负数的和为0,则这几个非负数分别 为0;从而列出方程组;解方程组求出字母的值,根据三角 形的三边关系求出符合题意的答案 2. 第士六意 次根式 16.2 二次根式的乘除 知识梳理 知识点1二次根式的乘法法则 则重点提示 (1)运用乘法法则时,一定要 二次根式 两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变 确保被开方数是非负数, 乘法法则 .=v/ab(a>0,b>0) (2)当二次根式前面含有系 数时,可类比单项式与单项 ($)··=abc(a=0,b>0.c>0 推广 式的乘法法则进行计算,把 $(②)a:cv/d=ac bd(b>o.d> 系数及被开方数分别相乘. 图知识2 二次根式乘法法则的逆用 易错提醒 二次根式 积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根 在利用积的算术平方根进行 乘法法则 的积 化简时要注意被开方数一定 的逆用 $ab=·/(a=0.b>0) 是乘积的形式,不要出现 a+6=Va+V6的错误。 推广 abe=··(a=0.b>0c>0) 图知识点 二次根式的除法法则 则重点提示 两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变 二次根式 除法法则 成立,若a,b都是负数,虽然 ()::=主bc(a=0.b>0.c> 推广 数范围内无意义;若b=0,则 (2)(mā)-(nb)=(m→n)·a→b(a=0.b>0.n0) 知识问4 二次根式除法法则的逆用 1.商的算术平方根的性质 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式 二次根式 的算术平方根 除法法则 国重点提示 的逆用 分母有理化时,先将分母中 #6# 的二次根式进行化简,把能 开得尽方的因式(数)都移到 2.分母有理化 根号外,若分子、分母存在公 (1)定义:把分母中的根号化去的过程叫做分母有理化 因式,可以先约分,再分母有 (2)方法:根据分式的基本性质,将分子和分母都乘一个恰当 理化. 的二次根式(分母的有理化因式),化去分母中的根号 3 课堂解题 乙BR八年级数学 下册 知识问 最简二次根式 1.定义:满足被开方数不含分母,被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式这两个条件的二次根式,叫做最简二次根式。 2.化简二次根式的一般方法 (1)将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方; P易错提醒 (2)化去根号下的分母:若被开方数中含有带分数,应先将带 去根号时,若移到根号外的 分数化成假分数:若被开方数中含有小数,应先将小数化成 式子是多项式,则该多项式 是一个整体,必须添加括号. 分数:若被开方数是分式,应先将分式的分母化成平方的形 式,再进行开方运算 (3)被开方数是多项式的要先进行因式分解 经典例题分析 (题型1判断最简二次根式 例1:下列各二次根式中,为最简二次根式的是 __. 四方法点拨 B.32 C./23 判断最简二次根式的方法 D.v2.3 先看被开方数中是否含有分 母或小数,是否有能开得尽 10 方的因数或因式,若有则不 是最简二次根式. 答案:C (题型2)二次根式的乘除混合运算 例2:计算:(1)28x12. 2~6: (2)3x/50: 么总结归纳 解:(1)原式-4/2x23. 二次根式的乘除混合运算的 方法与整式乘除混合运算的 方法相同,整式乘除法的一 (2)原式= =300=10/3. 些法则、公式在二次根式乘 (题型3二次根式的化简 除法中仍然适用. 例3:将下列二次根式化成最简二次根式: 25a 四方法点拨 (1) -(a>0,b>0); (2)- 1442 2+3 比较两个二次根式大小的方法 (1)平方法:若两个二次根式 25.5 同号,可先将两个二次根式 解:(1)原式- 14463-12 分别平方,再根据实数比较 2-3 大小的方法比较即可。 -=2-/3. (2)原式-- (2)比较被开方数法:先把根 (2+/③)(2-/③) 号外的正因数平方后移到根 题型4二次根式的大小比较 号内,计算出被开方数,再比 例4:比较大小 较被开方数的大小,被开方 数大的,其算术平方根也大. (1)3/2与/17; (2)-2/7与-33. 第一六意 次根式 解:(1):32=32==1181817.1817.3② 变比较大小: >/17. (1)2/6 5: $$)(27)=4$7=28.(33)}=9$3=27.2 8>2 7 (2)-2/11 -35. ·27>3/3.-27<-3③. 16.3 二次根式的加减 知识梳理 知识点1. 合并同类二次根式 R易错提醒 1.同类二次根式:将某些二次根式化成最简二次根式 被开方数不相同的最简二次 后,如果被开方数相同,则这几个二次根式叫做同类二次根 根式不能合并,如2+③应 为最终结果,而不能错误地 式,合并被开方数相同的二次根式实际上就是合并同类二次 合并为5. 根式. 2.合并同类二次根式的方法:合并的方法与合并同类项类似,将 根号外的因数或因式相加,根指数和被开方数不变,合并的依 据是乘法分配律.即ma+na=(m+n)a(a=0) C知积点2 二次根式的加减 △重点归纳 (1)在二次根式的加减法中, 1.二次根式加减的法则:一般地,二次根式加减时。 化成最简二次根式后被开方 可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的 数不同的二次根式不能合 二次根式进行合并 并,但是不能丢弃,它们也是 2.二次根式加减运算的步骤 结果的一部分。 (1)化:将各个二次根式都化成最简二次根式 (2)根号外的因式就是这个 (2)找:找出化简后被开方数相同的二次根式 二次根式的系数,二次根式 系数是带分数的要化为假分 (3)合:合并被开方数相同的二次根式一-将系数相加仍作 数的形式, 为系数,根指数与被开方数保持不变 (3)整式加减运算中的交换 3.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别 律、结合律、去括号法则、添 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 括号法则在二次根式运算中 系数 仍然适用. 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 结果化成最简二次根 化简 先化成最简二次根式,再合 式或整式 并被开方数相同的二次根式 E知识⑧ 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序 一样:先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的(或 先去掉括号). 课堂解题 ZBR 八年级数学 下册 经典例题分析 ①注意 (题型1)二次根式的混合运算 (1)二次根式混合运算的结 果一定要化成最简形式; (2)在进行二次根式的计算 时,能用乘法公式的要尽量 (2)(18-2+5)(3-5). 使用乘法公式,同时要注意 解:(1)原式=(9/2+2-22)+4/2=8\2+4$2= 公式的正用和逆用,以简化 运算过程. (2) 原式=(3+$5)(3-5)=3-(5)}=9-5=4 题型2二次根式的化简求值 a1-2a+a^{},其中a=2. 例2:先化简,再求值: :2-1 &易错提醒 在化简二次根式时,开方后 (v2+1)a -(1-a)*=(/2+1)a-l1-al. 解:原式=- 含有绝对值的,要根据未知 (2-1)(2+1) 字母的取值来取绝对值 符号。 :=/2>1.原式=2a+1,当a=2时,原式=2$x$2+l =3. 四方法技巧 10-3 /10+3 整体代入法 当已知条件中字母的值比较 /10+3 -=10+3,b= 解:a三 复杂,直接代入求值比较繁瑞 10-3 (/10-3)(v10+3) 时,一般是先对已知条件和待 10-3 求问题进行变形整理,然后将 =10-3.a+b=10+3+v10-3= 整理后的已知条件看作整体 (10+3)(/10-3) “整体代入”整理后的待求式 210,ab=(10+3)(10-3)=1, +b+3= 进行求值. (+b)-2ab+3=(210)-2x1+3=41 题型3)代数式的大小比较 m方法技巧 倒数法比较大小 例4:已知a=3-2.b=2-3.c=5-2.则a.b.c的大小关系是 先求出每个代数式的倒数,并 将它们分母有理化,再进行 比较。 【解析】:a-3-2,b=2-3,c-v5-2.1-1 a3-2 变武比较大小: 12-/13 v13-14. c5-2 111 ③/③+2.-> m方法点拨 #>6 >->0..a>bc. 确定二次根式的整数部分和 小数部分的方法 答案;a>b>c (1)采用估算的方法确定二 题型4二次根式的应用 次根式的整数部分; 例5:若x=5-/7,其中x的整数部分是a.小数部分是b.求a^}+ (2)二次根式与整数部分的 差是小数部分,即由n<ān (3+/7)ab的值 +1(n为整数),可确定a的 解:x=5- 7.:5-7的整数部分a=2.小数部分b=3- 整数部分是n,小数部分是a 7..原式=2+(3+ 7)x2x(3-/7)=4+4=8. -n.