精品解析：云南省文山壮族苗族自治州砚山县2024-2025学年上学期九年级数学期中考试

机密★考试结束前 2024—2025学年上学期期中考试 九年级 数学（北师版）试题卷 范围：九上 第一章~第五章 （全卷共三个大题，27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 一元二次方程的一次项系数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号． 根据一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）中，叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：B． 2. 用一个平面截长方体，得到如图的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”，它的主视图是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是理解主视图是从物体的正前方观察得到的视图． 根据主视图的定义，从给定几何体的正面看，判断所得到的图形形状． 【详解】主视图是从物体的正前方观察物体所得到的视图．从该“堑堵”的正面看，看到的是一个直角三角形，所以它的主视图是直角三角形． 故选：B． 3. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 4. 如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从处背着灯柱方向走到处，在这一过程中他在该路灯灯光下的影子（ ） A. 由长逐渐变短 B. 由短逐渐变长 C. 先变长后变短 D. 先变短后变长 【答案】B 【解析】 【分析】因为等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长；已知人是从点处背着灯柱方向走到处，也就是从光源近处走向光源远处，据此进行解答． 【详解】解：根据中心投影的特征可知人远离灯光时，其影子逐渐变长． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是中心投影的相关知识，解题的关键是明确中心投影的特征． 5. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比， 与的相似比，即， ， 故选：B． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根情况与根的判别式，根据一元二次方程根的情况得到，解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：D． 7. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，几何概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为， 故选：B． 8. 如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是矩形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，正方形和菱形的判定，熟知矩形，正方形和菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，不符合题意； B、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，不符合题意； C、由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，不一定是正方形，不符合题意； D、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，符合题意； 故选：D． 9. 一年一度的校园体育节来临，学校组织活动，体育节每个人都要从两个选项中选择一个，已知小明与小华在篮球和足球之间选择，则他们选择球类相同的概率估计值大约是（ ） A. 1 B. 0.33 C. 0.5 D. 0.75 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出小聪和小明同时选考“足球”的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了概率公式：随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 【详解】解：依题意，画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中小明与小华同时选择球类相同的结果数为2， 所以小明与小华同时选择球类相同的概率． 故选：C 10. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 11. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=AB=a，即可得出答案． 【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化， 理由是：连接OP，设 ∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a， ∴OP=AB=a， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a； 故选：B． 【点睛】此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 12. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+，因此此题根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， 故选：B． 13. 大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P是线段的黄金分割点，且，，则的长约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义解答，即可得出答案． 【详解】解：为的黄金分割点， ， 故选：B． 【点睛】此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点． 14. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 故选：D． 15. 如图，在菱形中，对角线AC、BD的长分别为8cm、6cm，则这个菱形的周长为（ ） A. 10cm B. 14cm C. 20cm D. 28cm 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用菱形的性质得出AO，BO的长，再利用勾股定理得出边长，然后即可求出周长． 【详解】解：∵菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8cm，BD＝6cm， ∴∠AOB＝90°，AO＝4cm，BO＝3cm， 故AB＝＝＝5（cm）， 故菱形的周长为：4×5=20（cm）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确掌握菱形的性质是解题关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质知识点，解题的关键是利用比例的等比性质． 根据比例的等比性质，若，则，直接代入求解． 【详解】已知，根据比例的等比性质：若，那么．在此题中，所以． 故答案为：． 17. 一元二次方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，把方程化为，再化为一次方程，进而解方程即可 【详解】解∶ ∴ ∴ ∴ 故答案为∶． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了中心投影；利用中心投影，作轴于，交于，如图，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：过作轴于，交于，如图， ． ， ， ∴， ， ， ， 故答案为：6． 19. 如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，过点作于，则，由正方形的性质可得，，进而可得四边形是正方形，即得，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解： 即：； 解得：； 【小问2详解】 解： 即：； 解得：． 21. 如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，先证明，在用证明即可，掌握判定三角形全等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中 ∴． 22. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有两张卡片，乙口袋中装有三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化；生成其他物质的变化叫做化学变化． 衣服晾干 A 牛奶变质 B 冰化成水 C 铁棒生锈 D 酒精燃烧 E 甲口袋 乙口袋 （1）若从乙口袋中随机抽取1张卡片，抽到物理变化的概率是_______； （2）从两个口袋中分别随机取出一张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法以及概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到物理变化的结果有1种，即可得到答案； （2）列出所有情况再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能结果，其中抽到物理变化的结果有1种， 从乙口袋中随机抽取1张卡片，P（抽到物理变化）． 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： C D E A B 共有6种等可能的结果，其中抽出的两张卡片均是化学变化的结果有：，共2种， P（抽出的两张卡片均是化学变化）． 23. 某天小明和小亮去某景区游玩，当小明给站在高墙上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图，三点共线）．已知小明的眼睛离地面1.6米（米），凉亭顶端离地面1.9米（米），小明到凉亭的距离为2米，凉亭离高墙底部的距离为38米，小亮身高为1.7米． （1）动手操作：过点A作于点G，交于H，证明； （2）解决问题：请根据以上数据求出高墙的高度． 【答案】（1）见解析 （2）米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质知识点，解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求解． （1）根据题意构造直角三角形，过点A作于点G，交于点H，由可得出， （2）利用相似三角形的判定与性质求出的长，进而求出高墙的高度． 【小问1详解】 过点A作于点G，交于点H， 则四边形和四边形都是矩形， ， ∴， 小问2详解】 由（1）知四边形和四边形都是矩形， ，，, 小明到凉亭的距离为2米，凉亭顶端离地面1.9米（米），凉亭离高墙底部的距离为38米． 则，，， 则， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， 答：城楼的高度为米． 24. 如图，在中，D是边上一点，过点D分别作交于点E，作交于点F，连接平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定： （1）先证四边形是平行四边形，再通过等角对等边证，即可得出结论； （2）证明，得到，代入求值即可． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 25. “当你看小说时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你打游戏时，南太平洋的海鸥正掠过海岸；当你在教室嬉闹时，尼泊尔的背包客一起端起酒杯在火堆旁．有很多走不到的路，看不到的风光，遇不见的人，出去走走才会发现，世界有不一样的世界，有不一样的你．但少年，梦要你亲自实现，那些你看不到的风景和遇不到的人都将在你生命里出现”．这是某直播平台推销《备考案》辅导书时的台词，所推销辅导书的成本为每套元，当售价为每套元时，每天可销售套，为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售套．设每套辅导书的售价为x元，每天的销售量为y套． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）《备考案》公司不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每天利润中捐出元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到元，且要最大限度让利消费者，求此时每套辅导书的售价为多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程以及一次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据销售单价每降1元，每天多销售套，列出函数关系式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，进行求解即可； 【小问1详解】 解：由题意得： 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：； ∵要最大限度让利消费者， ∴； 即：此时每套辅导书的售价为元； 26. 已知是一元二次方程的一个根． （1）求m的值； （2）已知一元二次方程的两个根分别为，求代数式的值． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，分式的化简求值： （1）将代入，即可求解； （2）由根与系数关系，得出，，，代入化简，即可求解， 【小问1详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由解析（1）可得， ∴方程为， 一元二次方程的两个根分别是，， ，，， ． 27. 如图，点E是矩形的边的中点，F是边上一动点，线段和相交于点P，且． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）当点F是的中点时，线段与存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键在于找到多组相似三角形： （1）先将化为，根据两边对应成比例且夹角相等即可证明； （2）证明，得到，代入数据即可求解； （3）延长，交于点，设，则，由得到，那么，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵点E是矩形的边的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下：延长，交于点， ∵四边形是矩形，点F是的中点， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 机密★考试结束前 2024—2025学年上学期期中考试 九年级 数学（北师版）试题卷 范围：九上 第一章~第五章 （全卷共三个大题，27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 一元二次方程的一次项系数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 用一个平面截长方体，得到如图的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”，它的主视图是（） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A B. C. D. 4. 如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从处背着灯柱方向走到处，在这一过程中他在该路灯灯光下的影子（ ） A. 由长逐渐变短 B. 由短逐渐变长 C 先变长后变短 D. 先变短后变长 5. 如图，与是以点O为位似中心位似图形，若与的面积比为，则为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）． A B. C. D. 8. 如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是矩形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是矩形 9. 一年一度的校园体育节来临，学校组织活动，体育节每个人都要从两个选项中选择一个，已知小明与小华在篮球和足球之间选择，则他们选择球类相同的概率估计值大约是（ ） A. 1 B. 0.33 C. 0.5 D. 0.75 10. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 12. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 13. 大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P是线段的黄金分割点，且，，则的长约为（ ） A. B. C. D. 14. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在菱形中，对角线AC、BD的长分别为8cm、6cm，则这个菱形的周长为（ ） A. 10cm B. 14cm C. 20cm D. 28cm 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若，则_______． 17. 一元二次方程的解是______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为______． 19. 如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解下列方程． （1）； （2）． 21. 如图，，，．求证：． 22. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有两张卡片，乙口袋中装有三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化；生成其他物质的变化叫做化学变化． 衣服晾干 A 牛奶变质 B 冰化成水 C 铁棒生锈 D 酒精燃烧 E 甲口袋 乙口袋 （1）若从乙口袋中随机抽取1张卡片，抽到物理变化的概率是_______； （2）从两个口袋中分别随机取出一张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 23. 某天小明和小亮去某景区游玩，当小明给站在高墙上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图，三点共线）．已知小明的眼睛离地面1.6米（米），凉亭顶端离地面1.9米（米），小明到凉亭的距离为2米，凉亭离高墙底部的距离为38米，小亮身高为1.7米． （1）动手操作：过点A作于点G，交于H，证明； （2）解决问题：请根据以上数据求出高墙的高度． 24. 如图，在中，D是边上一点，过点D分别作交于点E，作交于点F，连接平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 25. “当你看小说时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你打游戏时，南太平洋的海鸥正掠过海岸；当你在教室嬉闹时，尼泊尔的背包客一起端起酒杯在火堆旁．有很多走不到的路，看不到的风光，遇不见的人，出去走走才会发现，世界有不一样的世界，有不一样的你．但少年，梦要你亲自实现，那些你看不到的风景和遇不到的人都将在你生命里出现”．这是某直播平台推销《备考案》辅导书时的台词，所推销辅导书的成本为每套元，当售价为每套元时，每天可销售套，为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售套．设每套辅导书的售价为x元，每天的销售量为y套． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）《备考案》公司不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每天利润中捐出元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到元，且要最大限度让利消费者，求此时每套辅导书的售价为多少元？ 26. 已知是一元二次方程的一个根． （1）求m的值； （2）已知一元二次方程的两个根分别为，求代数式的值． 27. 如图，点E是矩形的边的中点，F是边上一动点，线段和相交于点P，且． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）当点F是的中点时，线段与存在怎样的数量关系？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$