第17章 函数及其图象 课堂解惑-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级下册数学同步训练方案(华东师大版)

第17章函数及其图象 A.8.1×10mB.81×108mC.8.1×108mD.8.1×109m 表示带有单位的数时，其结果 答案：C 也应带有单位 题型2)整数指数幂的运算 公易错提醒 例2.计算：(1)(-2024)°+(2)= 在计第(》户时，容易混清 负整数指数幂中指数的负号， (2)(-2+(-3)° 从西得到(~宁或 答案：(1)3(2)5 (-)2=-4的错误结果. 第17章 函数及其图象 17.1变量与函数 知识梳理 区知识点1函数的相关概念 个提示 1.常量：在某一变化过程中，取值始终保持不变的量 (1)常量与变量是相对的，并 2.变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量. 不是一成不变的，在一个过程 3.函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量， 中的常量，在另一个过程中可 例如x和y,对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我 能是变量.(2)函数不是一类 们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数 数，它反映的是两个变量之间 4.函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式（也叫 的关系 做解析式) A注意 知识点2函数自变量的取值范围及函数值 在确定实际问题的函数解析 1.函数自变量的取值范围及函数值 式时，一定不能忽略自变量的 (1)函数自变量的取值范围：使函数有意义的自变 取值范围。 量的所有取值，叫做函数自变量的取值范围 (2)函数值：对于自变量在取值范围内的每一个确定的值a, 函数都有唯一确定的值与之对应，这个值称为当自变量等于 时的函数值 2.常见的函数自变量的取值范围的确定 类型 特点 取值范围 举例 个注意 确定函数自变量的取值范围 整式型 等号右边是整式 全体实数 y=2x+1 应从两个方面考虑：(1)要使 分式型 等号右边自变量 使分母不为0 1 函数关系式有意义：(2)要使 在分母上 的实数 x-2 实际问题有意义. 零或负整数 零或负整数指数暴 使底数不为0 y=(x-1)3 指数暴型 的底数中含自变量 的实数 或y=(x+2)° 分式、偶次根式、零或 使各部分 综合型 负整数指数暴等同时 y=/x-T 都有意义 含有自变量 x-2 课堂解惑 乙BH八年级数学下册 区知识点3函数的表示方法 函数的表示方法：1.列表法：2.解析法：3.图象法 4经典例题分析 题型1D函数概念的相关应用 例1，如图所示，y不是x的函数的是() 么归纳总结 函数必须具备的“三个条件” A. B (1)在一个变化过程中： (2)含有两个变量： (3)自变量每确定一个值，函 数都有唯一确定的值与之 对应， 答案：B 点拔 例2.在函数y226中，自变量x的取值范围为 本题自变量的取值范围要考 虑分式的分母不能为零. 答案：x≠3 题型2根据实际问题列函数关系式 例3.某商场为了增加销售额，推出“元月销售大酬宾”活动，其 么归纳总结 活动内容为：“凡元月份在该商场一次性购物超过100元 列函数关系式的关键是根据 者，超过100元的部分按9折优惠.”在大酬宾活动中，小王 已掌握的公式（如几何图形的 面积公式、体积公式、销售利 到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件(x>2), 润公式等)或题中的数量关系 则应付货款y(元)与商品件数x的函数关系 列出等式，从而得到函数关系 式是 式 答案：y=54x+10 17.2函数的图象 4知识锍理 区知识点1平面直角坐标系及有关概念 1.平面直角坐标系：在平面上画两条原点重合、互相垂直且具 图示 有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系 3P2,3到 2.坐标轴：通常把水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方 第二象限2第象限 向：铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向 3.原点：两条数轴的交点O叫做坐标原点， -3-2-10 123主 4.象限：在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成四个区域 第三象限-2第四象限 (如右图)，沿逆时针方向分别称为第一、二、三、四象限，坐标 -3 轴上的点不属于任何一个象限 8 第7章函数及其图象 区知识点2平面直角坐标系中点的坐标 L.点的坐标表示：对于平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y △提示 轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别叫做，点P的 平面内的点的坐标是有序实 数对，“先横后纵”，横、纵坐标 横坐标、纵坐标，有序实数对(a,b)叫做点P的坐标 不能颠倒 2.平面上的点与有序实数对的关系：平面直角坐标系中的，点与 有序实数对是一一对应的关系」 么归纳总结 3.点的坐标特征 点所在的象限块定点的横、织 坐标的符号：反之，点的横、纵 (1)象限内的点：第一象限：(+，+)，第二象限：(-，+)，第三 坐标的符号决定点所在的 象限：（-，-)，第四象限：（+，-) 象限 (2)坐标轴上的点：x轴正半轴：(+，0)，负半轴：(-，0)；y轴 △注意 正半轴：(0，+)，负半轴：(0，-)；原点：(0,0)： (1)点P(a,b)到x轴与y轴 (3)象限角平分线上的点：在第一、三象限的角平分线上： 的距离分别是Ib1,1al,到原 x=y;在第二、四象限的角平分线上：x=-y; 点的距离为√后+b； (4)M,N两点的连线与坐标轴平行：MN∥x轴：两，点纵坐标相 (2)x轴上两点A(x1,0)与B 等：MNy轴：两点横坐标相等 (x2,0)之间的距离为1x2-x,1: y轴上两点C(0,y1)与D(0, 4.对称点的坐标特征 y2)之间的距离为1y2-y,. (1)点P(x,y) 关于x轴对称P,(x,y） (2)点P(x,y) 关于y轴对称，P,(-x,y） (3).点P(x,y) 关于原点对称P,(-x,y） 了知识点3函数的图象 1.函数的图象：一般来说，函数的图象是由平面直角坐标系中一 A注意 (1)画函数图象时，自变量的 系列的点组成的.图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一 取值不应使相应的函数值太 对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表 大或太小，尽量使画出的函数 示与该自变量对应的函数值， 图象能反映函数的全貌： (2)图象有端点时，要注意端 2.用描点法作函数图象的一般步骤：(1)列表；(2)描点；(3)连 点值是否能取到，能取到时画 线。 成实心圆点，不能取到时画成 空心圆圈 经典例题分析 、题型1①利用点的坐标特征求相关问题 例1.若点A(n,3)在y轴上，则点B(n+1,n-1)在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：D 9 课堂解惑 ZBH八年级数学下册 例2.若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距 自解题技巧 离为1，则点P的坐标为( 由点求坐标的三个步骤 A.(1,-2) B.(2,1) C.(-1,2) D.(2,-1) (1)过点作横轴的垂线，垂足 答案：C 在横轴上对应的数即为横 题型2函数的图象 坐标： (2)过点作纵轴的垂线，垂足 例3.用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH>7时溶液呈碱 在纵轴上对应的数即为纵 性，当pH<7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH(呈碱性)溶 坐标： 液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH(呈碱 (3)横坐标写在前，纵坐标写 性)溶液的H与所加水的体积V之间对应关系的 在后，用括号括上 是( A.pH, B.pH △注意 从函数图象中读取信息：弄清 横，纵坐标分别表示的量：上 升线、下降线、水平线表示的 C.pH, D.pH 函数值随自变量的变化情况： 明确最低点和最高点及每个 拐点的意义， 0 答案：B 17.3一次函数 知识梳理 区知识点1一次函数与正比例函数的概急 么归纳总结 一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数 一次函数y=kx+b的特征：自 变量x的次数是1：一次项系 特别地，当b=0时，一次函数y=kx(常数k≠0)也叫做正比例 数k≠0：常数b可以是任意 函数 实数 区知识点2一次函数的图象 1.一次函数的图象：一次函数y=x+b(k,b为常数，k≠0)的图象 么归纳总结 是一条直线，我们称它是直线y=kx+b(k≠0).特别地，正比例 一次函数平移的规律 (1)上下平移：直线y=x+b(k 函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是经过原点(0,0)的一条 ≠0)向上（向下）平移n(n> 直线 0)个单位得到直线y=x+b+n 2.正比例函数与一次函数的关系：一次函数y=kx+b(k≠0)的图 (y=kx+b-n)(k≠0)，简记为 象由正比例函数y=x(k≠0)的图象沿y轴向上或向下平移 上加下减，改变常数项：(2)左 右平移：直线y=x+b(k≠0) b川个单位长度得到. 向左（向右）平移m(m>0)个 3.一次函数图象的画法 单位得到直线y=k(x+m)+b (1)两点法：画图时通常取与坐标轴的交点(0，b),(-,0, (y=k(x-m)+b)(k≠0)，简记 为左加右减，改变自变量。 过两，点画直线即可. -10 第17章函数及其图象 (2)平移法：一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的图象，是 由直线y=kx(k≠0)沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移1bI 个单位得到的 区知识点3 一次函数的性质 △注意 一次函数 画正比例函数y=kx(k≠0)的 y=kx+b(k≠0) 图象时，只需要确定除原点外 k>0 k<0 k,b的符号 的一个点即可，通常取(1，k) b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 ↑ 1 图象 拓展延伸 (1)由k,b的符号可以确定直 线y=x+b(k,b为常数，k≠ 性质 函数值y随自变量 函数值y随自变量 0)所经过的象限：反之，由直 x的增大而增大 x的增大而减小 线y=x+b(k,b为常数，k≠ 与y轴交点 0)所经过的象限也可以确定 的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原，点 k,b的符号. (2)k决定一次函数y=kx+b 经过的象限 第一、二第一、三 第一 第一、二 第二、三 第二、 (k,b为常数，k=0)的增减性， 三象限 四象限 三象限 四象限 四象限 四象限 1k1决定函数图象的倾斜度；b 了知识点A用待定系数法求一次函数的表达式 决定函数图象与y轴的交点 位置 L设：设出含有待定系数的函数表达式： 2.列：将已知条件代入所设函数表达式，得到关于待定系数的方 程或方程组： 3.解：解方程（组），求出待定系数； 4.代：将求得的待定系数的值代回所设的函数表达式中，即可得 出函数表达式 经典例题分析 题型1)直线y=x+b(k≠0)的图象与k,b符号的关系 点拔 例L.如图，若k·b>0,且b+k>0,则一次函数y=kx+b的大致图 由直线y=kx+b(k,b为常数，k 象是( ≠0)的位置可以确定k,b的 符号，同样，由k,b的符号也 可以确定直线y=x+b(k,b为 常数，k≠0)的位置，这种数与 形的转化是一种重要的思想 方法 答案：A 11 课堂解惑 ZBH八年级数学下册 题型2一次函数的图象与性质 例2下列关于函数y=子+1的结论中，正确的是( A.图象必经过点(1,0)》 B.当x>0时，y<1 C.图象经过第一、二、三象限 D.y随x的增大而增大 答案：B 题型3)用待定系数法求一次函数表达式 △注意 例3.如图，在平面直角坐标系中(0为坐标 (1)在正比例函数中，只有一 原点)，已知直线y=kx+b与x轴、y轴 个待定系数k,一般只需要一 分别交于点A(-2,0)、点B(0,-1).求 个条件就能求出k: 直线AB的表达式. (2)在一次函数y=x+b中， 解：直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A(-2,0)、点B 有两个待定系数k,b,因此需 1 要两个条件才能求出k,b的 (0,-1) -2k+b=0 1,解得 2.·直线AB的表达式为 值 b=-1 y=2-l 17.4反比例函数 知识梳理 区知识点1反比例函数 A提示 一般地，形如y=名 (k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数 反比例函数y=(k≠0)也可 反比例函数中，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 以写成y=x(k≠0)或xy=k 《知识点2反比例函数的图象与性质 (k≠0)的形式. 反比例函数 y=二(k是常数，k≠0) k的符号 k>0 k<0 @拓展延伸 图象 (1)反比例函数的图象中，任 意一条经过原点的直线只要 象限 第一、三象限 第二、四象限 与双曲线有两个交点，则这两 个交点一定关于原点对称： 增减性 在每个象限内，y随x 在每个象限内，y随x 的增大而减小 的增大而增大 (2)反比例函数图象的位置和 函数的增减性都是由k的符 图象的特征 图象的两个分支都无限接近坐标轴，但永远不与 号决定的，反之，根据双曲线 坐标轴相交 所在的位置或函数的增城性， 图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的 也可以确定k的符号. 对称性 两个分支关于原，点成中心对称，对称轴是直 线y=±x 12 第17章函数及其图象 区知识点3用待定系数法求反比例函数表达式 个注意 1.设：设反比例函数的表达式为y=一(k为常数，k≠0)， (1)用待定系数法求函数表达 式时，要注意数形结合，常用 2代：把已知的x与y的一对对应值代入y=得到关于k的 函数图象一个点的坐标求待 1 定系数，因此正确求出图象上 方程 点的坐标是解题的关键. 3.解：解方程，求出k的值 (2)注意在实际问题中，确定 4.写：将求出的k的值代入所设表达式，即可写出所求反比例函 函数表达式后，通常都要写出 自变量的取值范围，注意自变 数的表达式 量的限制： 区知识点④反比例函数中比例系数k的几何 个注意 意义 过双曲线上任意一点P(x,y)分别作x轴，y 在表示围成长方形或三角形 轴的垂线PM,PN,垂足分别为M,N,所得的 的面积时，要写成1或 2 长方形PMON的面积S=PM·PN=|yI· |x|=xyl=|k1,即S=|kl.如果连结PO,那 而不能写成k或 ,因为k可 能为正数也可能为负数，面积 么Saw=Sam2kl 只能为正数，所以k要加绝 经典例题分析 对值 题型1反比例函数图象与性质的应用 @解题技巧 例1.已知反比例函数y=-了，下列结论错误的是( 比较反比例函数图象上点的 纵坐标的大小的方法： A.其图象经过点(-7,1) (1)先判断各点所在的象限， B.其图象在第二、四象限 然后根据反比例函数的性质 C.当x<0时，y随x的增大而增大 进行比较： D.当x>-7时，y>1 (2)根据题意，画出反比例函 数的图象，再根据图象进行 答案：D 比较 例2.已知点A(-1,y),B(2,2),C(1,y3),D(3,-2)都在双曲 线y=上，则，2，的大小关系是( ) 归纳总结 A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y2>y1 D.y2>y1>y3 答案：A 在反比例函数y=《图象上任 题型2反比例函数中k的几何意义 意一点P向x轴（或y轴）作 例3.双曲线y=与y=3在第一象限内的图象如 垂线，垂线段与坐标轴以及点 P和原点的连线所围成的直 1 图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双 角三角形的面积都是 2 曲线于A、B两点，连结OA、OB,则△AOB的 面积为( A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A 13 课堂解惑 ZBH八年级数学下册 题型3反比例函数的应用 例4.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流1(A)与电 阻R(2)是反比例函数关系，图象如图所示，下列说法正确 思路点拨 的是( 根据电流I(A)与电阻R() A.函数表达式为1= 是反比例函数关系可设= R k B.蓄电池的电压是6V ，再将(2,6)代入即可得出 C.当1≤6A时，R≤22 2 R/O 函数关系式 D.当R=62时.1=2A 【解折1人.由题意，设1亮图象过(2,6)=2X6 2,,B,蓄电池的电压是12V:C由图象知：当 6A时，R≥2 答案：D 17.5实践与探索 4知识梳理 区知识点1一次函数与方程（组）及不等式 的关系 方法指导 1.一次函数与一元一次方程的关系： 图象法解方程 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求一元一次方程+b=0的 解，可以转化为求直线y=x+ 一元一次方程鼎r+b=0的解一宜线)=kx+b与x轴交点的横坐标 b与x轴的交点，其交点的横 2.一次函数与一元一次不等式的关系： 坐标即为所求的结果，从而把 数的计算转化为形的直观，这 从“数”的角度看 从“形”的角度看后 是解一元一次方程的一种方 元一次不等式kx+b>0 直线)=kx+b在x抽上方或下方部 法，体现了数形结合思想，揭 或x+b<0的解集 分对应的自变量x的取值范围 示了一次函数y=x+b与一元 一次方程kx+b=0的关系. 3.一次函数与二元一次方程的关系： 一一对应 二元一次方程kx-y+6=0 一次函数y=kx+乙 相互转化 无数组 图象 解 以解为坐标的点组成函数图象 一条有线 拓展延伸 图象上点的坐标是方程的解 两直线相交，对应的二元一次 4.一次函数与二元一次方程组的关系： 方程组有一组解；两直线重 从“数”的角度看 从“形”的角度寿 合，对应的二元一次方程组有 无数组解：两直线平行，对应 考意自变量为何值时两个函数的 确定两条直线的 的二元一次方程组无解。 值相等，以及这个函数值是何值 交点的坐标 14 第17章函数及其图象 区知识点2实际问题中的近似函数关系式 △特别提醒 把实践中得到的一些变量的对应值作为点的坐标 应用一次函数解决实际间题 在平面直角坐标系中猫出各点 的关键是建立一次函数模型， 根据描出的点在平面直角坐标系中的位置和变化 同时注意实际问题中自变量 趋势等判断变量之间近似地符合哪一种函数关系 的取值范围要使实际问题有 意义. 设出函数表达式，用待定系数法确定近似函数表达式 经典例题分析 题型○函数的应用 例.在平面直角坐标系内，一次函数y=k,x+b与正比例函数y= △注意 kx的图象如图所示，则关于x、y的方程组 [y=k x+b 在利用图象求方程组的解时， 的 y=kx 两条直线的交点就是对应的 解是( 二元一次方程组的解. 40 （x=-1 B. (y=0 (y=1 yh x+b C./s1 x=1 (y=-1 y=-2 答案：C 变式训练 题型)函数的应用 ☒思路点拨 变图已知一次函数y=-2+b的图象与y轴交于点A,与x轴 第(1)问通过待定系数法求一 交于点B,与正比例函数y=2x的图象交于点C(1,a). 次函数的解析式，从而得出 (1)求a,b的值： a,b的值：第(2)间通过一次 2x-y=0 函数与二元一次方程组的关 (2)方程组{1 2xty=b 的解为 系求得方程组的解：第(3)问 通过三角形面积的计算公式 (3)在y=2x的图象上是否存在点P,使得△BOP的面积 及题中的等量关系求得点P 比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的 的坐标，由于题中点P的位置 坐标；若不存在，请说明理由. 不固定，所以需要分情况讨 论 15null