第7章 一元一次不等式 课堂解惑-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步训练方案(华东师大版2024)

课堂解惑 ZB州士年级数学下册 第7章一元一次不等式 7.1 认识不等式 知识梳理 区知识点1不等式的相关概急 1.不等式的定义：用不等号“<”“>”或“≥”“≤”表示不等关系 的式子，叫做不等式 2.常用的不等号 个注意 不等号 名 一个不等式的解可以有多 个，它是指在某一范围内的数， 小于或等 大于或等 用它代替不等式中的未知数， 读法 小于、少 大于、多 于、不超过、 于、不低于、 不等于 于、不足 于、高于 不等式成立 至多 至少 区知识点2不等式的解及解集 方法点拔 代入检验法 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式 在判断某一个数值是不是不等 的解 式的解时，就用这个数值代替 不等式中的未知数，看不等式 2.不等式的解集：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的 是否成立，若不等式成立，则该 集合，简称为这个不等式的解集 数值是不等式的解，否则便不 是.这就是代入检验法，示例 3.不等式的解集在数轴上的表示 如下： 3是x+1>2的解：0不是x+1>2的解： 不等式的解集 用简易数轴表示 注意 x>a 端，点用空心圆图，方向向右 x=3时，x+1=4>2,x=0时，x+1=1<2。 原不等式成立 原不等式不成立 x<a 一 端点用空心圆圈，方向向左 受拓展延伸 x≥a 端，点用实心圆，点，方向向右 根据不等式的解集在数轴上的 表示可知： x≤a 端，点用实心圆点，方向向左 (1)当x≤a时，x有最大值a, x≠a 空心圆圈两边的部分都符合 没有最小值： (2)当x≥a时，x有最小值a, 区知识点3列不等式 没有最大值： (3)当x<a或x>a时，x既没有 1.定义：用不等式表示不等关系叫做列不等式， 最大值，也没有最小值 列不等式的两种情形：(1)根据数量关系列不等式：(2)根据 实际问题列不等式 2.常用的不等关系： 明确表明数量的不等关系 明确表示数量的范围特征 关 键 大于、比 小于、比 不大于 不小于 非 非 …大、 …小 不超过 不低于、 正 负 数 负 正 词 超过 低于 至多 至少 数 数 数 语 不 等 >0 <0 ≥0 ≤0 号 14 第章一元一次不等式 经典例题分析 题型1不等式的识别 心方法点拔 例1.判断下列各式中不等式有() 判断一个式子是不是不等式， (1)a+1>0:(2)a+b=0:(3)8<9:(4)3x-1≤x:(5)4-2x. 关键是看它是否含有不等号 A.2个 B.3个 C.4个 D.6个 (>、≥、<、≤、≠)，若有，则是 答案：B 不等式，否则就不是 题型2根据不等关系列不等式 个注意 例2.班委计划用500元为本班学生购买笔记本，该超市推出优 根据实际问题列不等式时，要 惠活动，若一次购物不超过15本，则按每本10元付款，若 注意题中关于不等式的关健词 一次性购买15本以上，则全部按八折优惠，问最多能购买 语，如“不大于”“不小于”“非 正数”“非负数”等 多少本笔记本？设能购买x本笔记本，则下列不等式正确 的是()》 A.10x≤500 B.10×0.8x≤500 C.10×0.8.x<500 D.15×10+10×0.8.x≤500 答案：B 例3.根据下列数量关系列出不等式： (1)x的，倍减去2是负数： (2)y的2倍与4的和不小于0： (3)a与b两数和的平方不大于b的平方 答案：(1)了2<0：(2)2+4≥0： (3)(a+b)2≤b2. 7.2 不等式的基本性质 知识锍理 区知识点不等式的基本性质 拓展延伸闸 不等式的其他性质 基本性质1 如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c (1)对称性：如果a>b,那 a b 基本性质2 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,> 么b<a: (2)传递性：如果a>b,b>c,那 基本性质3 a b 如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,“< 么a>c 经典例题分析 题型D不等式的基本性质的应用 例L.设a,b,c均为有理数，则下列选项正确的是() A.若a>b,则ac>bc B.若a=b,则ac=bc C.若ac>bc,则a>b D.若ac=bc,则a=b 答案：B 15 课堂解惑 ZBH士年级数学下册 例2.如果关于x的不等式(k+2)x>k+2的解集为x<1,则k的值 @解题技巧 可以是( 逆用不等式的基本性质求字母 A.1 B.0 C.-2 D.-3 的取值范围 判断不等式两边乘（或除以）的 【解析】：关于x的不等式(k+2)x>k+2的解集为x<1, 同一个不为0的数的符号时， .k+2<0,解得k<-2 只需看不等号的方向是否改 变.若不改变，则这个数为正 答案：D 数：若改变，则这个数为负数. 7.3解一元一次不等式 4知识梳理 区知识点1一元一次不等式的概急及解法 1.概念：只含有一个未知数、左右两边都是整式，并且未知数的 △注意 次数都是1的不等式，叫做一元一次不等式： 一元一次不等式满足的条件： 2.利用不等式的基本性质解方程 (1)是不等式： 与解方程类似，解不等式的过程，就是利用不等式的基本性 (2)不等式两边都是整式： 质，将不等式进行适当的变形，得到x>a或x<a的形式 (3)只含有一个未知数： 3.解一元一次不等式的步骤 (4)未知数的次数是1. 1-3x1<1 3 个易错提示 去分母不等式两边都乘各分母的最小公倍数 解不等式时要特别注意：①去 4+1)-33x-1)<12 去括号h先去小括号，再去中活号，最后去大活号 分母时，若乘负数，则变号：② 4x+4-9x+3c12 把含末知数的项都移到不等号的左边， 系数化为1时，若系数为负数， 移项h常数项都移到不等号的右边 则要变号. 4x-9x<12-3-4 并同类项同类项的系敛相加，字母及字母的指敏不变 -5r<5 未知数的系 不等式的两边都除以未数的系敬，不等式 数化为1 化为“x<ax≤a)”或“x>a(x≥a)”的形式 知识点2一元一次不等式的应用 公注意 列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤： (1)列不等式解决实际问题的 (1)审题： (2)设未知数； (3)列不等式： 关键是寻找不等关系，建立不 (4)解不等式： (5)写答案，并检验是否符合题意 等式模型，列不等式时要注意 经典例题分析 不等式是否包含等号； (2)检验一个解是不是符合实 题型1解一元一次不等式 际问题时，需要满足两个要求： 圆解不等式≥山，并把解集在数轴上表示出来，写 一是满足不等式，二是满足实 际问题，比如人数、次数、物体 出它的非正整数解 个数都是非负整数，长度、面积 解：去分母，得10y-2(y-6)≥5(y+3)-10.去括号，得10y- 等都为非负数 2y+12≥5y+15-10.移项，得10y-2y-5y≥15-10-12.合并 同类项，得3≥-7，两边都除以3，得y≥- -16 第章一元一次不等式 将解集表示在数轴上如下： 归纳总结 在数轴上表示不等式 解集的一般方法 -5-4 -3-2-1012 3 45 画数轴 所以不等式的非正整数解为-2，-1,0. 题型2与不等式的特殊解有关的问题 定边界点人一无等号画空心国圈 。有等号画实心国点 例2.已知关于x的不等式2x+m≤1只有2个正整数解，则m的 取值范围是( 定者的<生物在 A.-5≤m<-3 B.-5<m≤-3 四方法点拨 C.-5<m<-3 D.-5≤m≤-3 先求出不子式的解条☐ 【解折】解不等式，得≤，由楚意，得不等式只有2 在不等式的解集中找出满足限 制条件的某些特殊解 个正整数解，则是1和2，.2≤ m<3,解得-5<m≤-3. ■得出关于木知字母的不苹式圆 答案：B 求得未知字母的值或取值饱园 题型3)方程和不等式的综合 例3.若关于x的方程背=，1的解是非负数，则无的取值范 变式6若关于x的方程3(x+ 4)=2a+5的解大于关于x的 围是( 方程4a+1)r-a(3x-4)的解， A.k<-2 B.k≤-2C.k>2 D.k≥-2 4 3 则a的取值范围为 x-k 【解析】解方程，得x=-3h-6,关于x的方程背6= 2 +1的解是非负数，∴.-3k-6≥0，解得k≤-2. 答案：B 题型4)不等式的应用 变式7某种商品的进价为每件 例4.某超市用24000元同时购进甲、乙两种型号书包各200个， 100元，商场按进价提高50% 购进甲型号书包40个比购进乙型号书包30个少用100元 后标价，为增加销量准备打折 销售，但要保证利润率不低于 (1)求甲、乙两种型号书包的进价各为多少元/个？ 20%,则至多可打几折？ (2)若超市把甲、乙两种型号书包均按每个90元定价进行 零售，同时为扩大销售，拿出一部分书包按零售价的8折进 行优惠销售.超市在这批书包全部售完后，若总获利不低于 10200元，则超市用于优惠销售的书包数量最多为多少个？ 解：(1)设甲种型号书包的进价为x元/个，乙种型号书包的 进价为y元/个，由题意，得20r+202400,解得=50. 40x=30y-100, y=70. 答：甲种型号书包的进价为50元/个，乙种型号书包的进价 17 课堂解惑 ZBH士年级数学下册 为70元/个： (2)设超市用于优惠销售的书包数量为m个，根据题意，得 90(400-m)+90×0.8m-24000≥10200，解得m≤100，∴.m 的最大整数值是100.答：超市用于优惠销售的书包数量最 多为100个 7.4解一元一次不等式组 4知识梳理 区知识点1一元一次不等式组的概急 A注意 一元一次不等式组：把两个一元一次不等式合在一起，就得到一 (1)当不等式组中含有“≥”或 “≤”时，边界处用实心圆点，解 个一元一次不等式组。 集的取法不变： 区知识点2一元一次不等式组的解法 (2)当一个不等式组中含有三 1.解不等式组：不等式组的解集的过程叫做解不等 个及三个以上的不等式时，可 以通过数轴寻求解集； 式组 (3)如果不等式组中的不等式 2.一元一次不等式组的解集：不等式组中几个不等式的解集的 的解集没有公共部分，那么说 公共部分，叫做这个不等式组的解集 明这个不等式组无解， 3.一元一次不等式组的解集在数轴上的表示 △注意 (1)“同大取大”，其中第一个 不等式组 两个不等式的解集 不等式组 不等式组的解集 “大“指大于号，第二个“大”指 (a>b) 在数轴上的表示 的解集 巧记口诀 两个数中较大的数，“同小取 小”，其中第一个“小”指小于 （x>a x>a 同大取大 号，第二个“小”指两个数中较 (x>b 小的数： (2)“大小小大取中间”时，把 x<a 同小取小 较小的数写在左边，较大的数 x<b lx<b 写在右边，未知数写在中间，并 用“<”或“≤”连结起来.如：3< x<a x≤5，读作：x大于3且小于等 b<x<a 大小小大取中间 (x>b 于5. x>a 无解 大大小小无处找 lx<b 6。 山方法点拨 本题在数轴上表示不等式组的 经典例题分析 解集，就是先把解集x>-2表示 题型1)解一元一次不等式组 在数轴上，表示-2的点用空心 圆圈，且向右画线：再把解集x 例1.不等式组 +2>0:的解在数轴上表示正确的是( ≤3表示在数轴上，表示3的点 3-x≥0 用实心圆点，且向左画线，则数 轴上两线的交叉部分就是不等 式解集的公共部分，即不等式组 的解集，这里分别把两个不等式 的解集表示在数轴上，是借助数 答案：A 轴用图形直观表示的一种方法. -18 第章一元一次不等式 题型2由不等式组的解集或特殊解求字母的取值范围 例2.若关于x的不等式组 任≤3m+2,无解，则m的取值范 方法点拨 x-12>3-2x 分别求出每一个不等式的解 围是( 集，本题的题眼是“无解”，即不 A.m≤1 B.m<1 C.m≥1 D.m>1 等式组中各不等式的解集无公 【解析】解不等式组 ≤3t2,得任≤3m+2, 共部分，可得出关于字母m的 ·不等式 x-12>3-2xx>5. 不等式，解不等式求得未知字 母m的取值范围. 无解，.3m+2≤5，即m≤1. 答案：A 题型3)方程组和不等式组的综合应用 例3.已知m是使不等式组<m+l;有解的最大整数，请你解关 x>2m-1 四方法点拔 8x-3y=-m, 结合不等式组与方程组求解 于x,y的方程组} -7x-3y=3m+7. 未知字母的值或取值范围 在解含有其他字母的方程组 解不等式组任<m+1,有解，2m-1<m+1,解得m<2.又 时，应将该字母看做常数，方程 x>2m-1 组的解用含该字母的式子表 m是使不等式组有解的最大整数，∴.m=1,则方程组为 示.先解出x,y(用含未知参数 11 x=- 的式子表示)，再根据x,y的不 8x-3y=-1,解得 15 等条件列出关于未知参数的不 -7x-3y=10, 73 等式（组），然后解这个不等式 Y=- 45 (组)即可得出未知字母的值或 例4.某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排 取值范围。 球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都 相同).经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元：购 方法点拨 买2个气排球和3个篮球共需340元 利用不等式组解决方案 (1)每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？ 决策问题的方法 (2)该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球 一般先根据题中隐含的不等关 和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的 系列出不等式组，然后根据不 个数少于30个，有哪几种购买方案？ 等式组的整数解确定出几种方 案，再通过分析、比较确定出最 解：(1)设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y 优方案，如本题，求出不等式组 元，则根据题意得：+2y=210, 解得任=50答：每个气排球 的整数解后，分情况求出气排 (2x+3y=340 y=80, 球、篮球的购买个数，进而得到 的价格是50元，每个篮球的价格是80元： 购买方案 (2)设购买气排球n个，则购买篮球（50-n)个，则根据题 意，得 0+80(50-m)≤320，解得26号≤n<30,又n为 n<30, 正整数，∴.气排球的个数可以为27,28,29.购买方案有三 种：购买气排球29个，篮球21个：购买气排球28个，篮球 22个：购买气排球27个，篮球23个 19《课堂解惑》答案 4-2 变式1：3【解析1起x=2代入方程2a=4得：2a=4,解得：a=3 变式2：3x45=73 变式3：2a-5 变式4：4 【解析】4r-2m=3x+1,x=1+2m,x=2x-3m,x=3m,关于x的方程4x-2m=3x+1 的解是x=2x-3m的解的2倍，.1+2m=2x3m,m=4 1 变式5：60.5【解析】设长方形的宽为x,则长为2x.由题意，得2(x+2x)=5+6+9+13,解得x=5.5,经检 验，符合题意，则2x=11,所以该长方形的面积为11×5.5=60.5. 7 变式6：a18 【解析】小3(x+4)=2a+5,解得x= 2,.（4a+1)x_a(3x-4),解得x=-16 3 4 30,由题意，得 2a解得8 7 3 变式7：解：设打x折销售，由题意，得：100×(1+509%)×-100≥100×20%，解得x≥8.答：至多可打8折 10 变式8：C【解析】小a,b,c是三角形的三条边，.a+b>c,b+c>a,∴c-a-b<0,c+b-a>0,.原式=-(c-a- b)+(c+b-a)=a+b-c+c+b-a=2b.故选C. 变式9：1【解析】：D点为BC的中点，.SAm= 8=4(m),点为0的中点Sa =-4=2(em).f点为Bc的中点5an-e-2=1(m). 变式10：D【解析】小：奇奇从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，∴.根据外角和定理 可知正多边形的边数为n=360°÷15°=24，则一共走了24×4=96（米）.故选D. 变式11：26°【解析】Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=58°，∴.∠B=90°-∠A=32°，由折叠的性质可知 ∠CM'D=∠A=58°，∴.∠A'DB=∠CA'D-∠B=26. 变式12：25【解析】由作图狼迹得DF垂直平分AB,AE年分∠D1C,DB=DA,∠DAE=了∠DAC, ∠DAB=∠B=40°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=90°，∠DAC=∠BAC-∠DAB=90°-40°=50°， ∠D1B=2X50°=250 变式13：D【解析】根据题意，得AD=1,BF=BC+CF=BC+1,DF=AC;文：AB+BC+AC=8,.四边形 ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=I+AB+BC+1+AC=10.故选D. 变式14：A【解析】：∠A=90°，∠ABC=a,“.∠ACB=90°-α，将Rt△ABC绕点C逆时针旋转得到 △EcD=Bc,∠ACB=∠BCD=90-a,∠GD=∠cB=X(1s0-∠BCD=× 180-90+a)=45+).故选A -32