第6章 一次方程组 课堂解惑-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步训练方案(华东师大版2024)

第6章一次方程组 第6章 一次方程组 6.1 二元一次方程组和它的解 知识梳理 知识点1二元一次方程(组)及其解 ①易错提示 二元一次方程 二元一次方程组 二元一次方程中的“二元”指的 是方程中有两个未知数;“ 含有两个未知数,并且 把两个二元一次方程合在一 概念 含有未知数的项的 起,就组成了一个二元一次 次”指的是含有未知数的项的 方程组 次数都是1的方程 次数是1而不是未知数的次数 是1.例如xv-2=0中含有两个 二元一次 使二元一次方程左右两 一般地,使二元一次方程组 方程(组) 未知数,但是“xv”的次数是2. 边的值相等的两个未知 中两个方程的左、右两边的 数的值 的解 值都相等的一对未知数的值 所以不是二元一次方程 知识点2 根据实际问题列二元一次方程组 三归纳总结 列二元一次方程组的步骤: 列方程组的方法 (1)根据题目的条件设出相关的两个未知数; (1)将问题中给出的条件按照 (2)找出题目中的等量关系; 意思分成两个方面,一般从“;” (3)根据等量关系列出方程组 前后各找出一个等量关系: 经典例题分析 (2)有些题可以借助表格提供 的信息,按横向或者纵向分别 (题型1利用二元一次方程的定义解题 找等量关系: 例1.有下列方程:①xy=1;②2x=3y;③x-2y=2;④x2}+y=3;y (3)图形问题,需要分析图形的 =3v-1.其中,二元一次方程有( __~ 长、宽等,从中找等量关系. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案:B (题型2 利用二元一次方程组的解求代数式的值 四方法点拨 .(a=1. (2a+(m-1)b=2. 例2已知{ 是方程组 的解,则(m+n)2025 [=1 lb=1 lna+b=1 的值是 代入 (a=1. (m=1. (2+m-1=2. 关于a,的 【解析】把 ,代入方程组,得 '解得 n=0, #b=1 二元一次方 n+l=1, 程组 .(m+n)2{2=1. 解方程 答案:1 得m,n的值 题型3 根据实际问题列方程组 代入 例3.某班组织去看演出,甲种票每张26元,乙种票每张20元 得代数式的值 如果38名同学购票恰好用去952元,甲乙两种票各买多少 张?如果设甲种票买了;张,乙种票买了张,那么根据题 意,下列方程组中,正确的是( ) 课堂解惑 ZBH 七年级数学 下册 (x-y=38 ($y-x=38 A. B. $ 6 +20=95$2$$ $$ 20+26=952$$ [$+y=38 D. C. [+y=38 26x+20v=952 l20x+26y=952 答案:C 题型4二元一次方程的应用 四方法点拨 例4.刘老师为鼓励学习成绩优秀的同学,计划用60元钱全部购 一个二元一次方程的解有无数 买甲、乙两种笔记本作为奖品(两种笔记本都买).已知甲种 组,但其特殊解的数量可能是 笔记本每本3元,乙种笔记本每本5元,则刘老师购买笔记 有限的,所以我们可以根据解 本的方案共有 ) 的特殊性将它求出来 B.5种 C.4种 A.6种 D.3种 【解析】设刘老师购买甲种笔记本x本,购买乙种笔记本 y本.根据题意可得3x+5y=60,.x,y均为正整数. .: l=9或y=6 .共有3种购买方案. &y=3 答案:D 6.2 二元一次方程组的解法 知识梳理 知识1 代入消元法 二归纳总结 1.概念:通过“代入”消去一个未知数,将方程组转化为一元 三类代入消元法 一次方程来解的解法 (1)直接代入:方程组中含有用 2.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 一个未知数表示另一个未知数 的形式的方程. 具体做法 步骤 示例 (2)变形代入:方程组中含有未 用含一个未知数的代数式 变形 知数系数为1或-1或常数项 表示另一个未知数 (3x-2y=9.① x+2y=3.② 为0的方程. 把=ax+b(或x=ay+b)代 变形(用含y的式子表示x) (3)整体代入:方程组中某一未 入另一个没有变形的方程 由②,得x-3-2y,③ 知数的系数成倍数关系。 代入 中,得到一个一元一次 I代入(消去x) 方程 将③代入①.得3(3-2v)-2y=9. D注高 1求解(求出y的值) 求解 解代入后的一元一次方程 变形后的方程必须代入另一个 解得v=0. 方程,而不能代入原方程,否则 将求得的未知的值代入) 1回代(求出的值) 会得到恒等式“0=0”,从而不 回代 =ax+b(或x=ay+)中,求 把y=0代入②,得x=3. 写解 能达到解方程的目的 出y(或x)的值 1=3. 把两个未知数的值用“” 所以原方程的解为 写解 y-0. 联立起来 第6章一次方程组 知识高2 加减消元法 1.概念:通过将两个方程的两边分别相加(或相减)消去一个未 知数,将方程组转化为一元一次方程来解的解法。 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 易错提示 具体做法 步骤 示例 (1)选准消元对象:当某个未知 用适当的数分别去乘方程的两 数的系数相等或者成倍数关系 变 -系数成整数倍 边,使其中一个未知数的系数相 时,选择消去该未知数较简单; 形 3x42,① 等或互为相反数 l6x+2-10.② (2)方程两边同时乘某个数时 1变形(使能用加减 当同一个未知数的系数互为相反 不要漏乘; 加 ,消元法消元) 数(或相等)时,将两个一次方程 (3)两个方程进行加减时要注 减 ②x2,得12x+4y-20.③ 相加(或减)消去这个未知数,得 1加减消元法求解 意符号问题; 到一个一元一次方程 *(消去y,求出) (4)回代时选择系数较简单的 ③-①,得9-18,解得x-2. 解这个一元一次方程,求出一个 方程进行回代. 未知数的值 1回代(求出,) 把求得的未知数的值代入原方程 把x-2代入①,得6+4v-2. 回 组中比较简单的一个方程中,求 解得=-1. 1写解 出另一个未知数的值 1=2. 喝 所以原方程组的解是 l--1. “。 用“”联立两个未知数的值 三归纳总结 C知识点③ 二元一次方程组的简单应用 一般来说,有几个未知量就要 列方程组解决简单的实际问题的关键是把已知量和未知量联系 列出几个方程,所列方程必须 起来,找出题目中的等量关系,进而列出方程,解决问题。 满足: 经典例题分析 (1)方程两边表示的是同一类 的量; 题型1 解方程组 (2)同一类的量的单位要统一; 例1.解下列方程: (3)方程要满足题目中的等量 (2x+3y=3.① (x=y+5.① 关系。 (1) (用代入法) (2) 2x-y-8;② 3x-2y=11② (用加 减法) 解:(1)把①代入②.得2(+5)-=8.解得=-2.把=-2 l=-2; (2)①x3.得6x+9y=9③.②x2.得6x-4v=22④.③-④.得 四方法点拨 $3=-13.解得=-1.把v=-1代入①,得2x-3=3.解得x 错解问题中的隐含条件 x=3. -3.:原方程组的解为 因抄错一个方程而求得的原方 =-1. 程组的错解应是另一个没有抄 题型2二元一次方程组的错解、同解问题 错的方程的解;本题中王超抄 [ax+by=2, 错了m,所以求出的解符合方 例2.李明、王超两位同学同时解方程组 李明解对 mx-7y=-9. 程ax+by=2 y=-2. 课堂解惑 ZBH 七年级数学 下册 为 (x=2 和 【解析】把 (x=-2 代入ax +by =2,得 =3 l=-2 (2a+36=2, 解得 [a=-5, 1-2a-2b=2, l6=4. 答案:-5 题型3)二元一次方程组和二元一次方程的综合 (x+y=5h+4. 例3.若关于x,v的二元一次方程组 x-y-9k 的解也是二元 一次方程2x+3v=12的解,则5的值为 回方法点拨 [x=7k+2, '. 2x+3y=12.:.2(7k+2)+ 求未知字母的值 【解析】解方程组得 ly=2-2k, 方程组与二元一次方程有相同 的解,先将方程组的解求出来, 3(2-2k)=12,解得k-1 4 将解代入二元一次方程中,得 。 到一个关于未知字母的一元一 次方程,进而求解 *6.3 三元一次方程组及其解法 知识梳理 知识1 三元一次方程组 △易错提示 1.三元一次方程:含有三个未知数,并且所含未知数的项的次数 三元一次方程组一共要含有三 都是1的整式方程 个未知数,而不是每个方程都 2.三元一次方程组:含有三个未知数,每个方程中含有未知数的 必须含有三个未知数,若每个 项的次数都是1且都是整式方程,像这样的方程组叫做三元 方程都含有三个未知数,则这 一次方程组. 三个方程中的未知数必须 相同. 3.三元一次方程(组)的解:一般地,使三元一次方程等号两边的 值相等的三个未知数的值,叫做三元一次方程的解,三元一次 方程组的所有方程的公共解,叫做三元一次方程组的解 一归纳总结 知识点2 三元一次方程组的解法 将"三元”转化为“二元” 1.解三元一次方程组的基本思路 将三元一次方程组转化为二元 三元一次方程组消元二元一次方程组^{ 一消元 一次方程组时,要根据未知数 一元一次方程 的系数的特点选择合适的消元 2.解三元一次方程组的一般步骤 方法,一般情况下:(1)先消去 (1)消元:利用代入法或加减法,把方程组中的一个方程与另 某个方程中缺少的未知数;(2) 两个方程分别组成两个方程组,消去两个方程组中的同一个 先消去系数最简单的未知数; 未知数,得到关于另外两个未知数的二元一次方程组; (3)先消去系数成整倍数的未 知数. (2)求解:解这个二元一次方程组,求出未知数的值 10 第6章一次方程组 (3)回代:将求得的两个未知数的值代入原方程组中含有另一 个未知数且系数比较简单的方程中,得到一个一元一次方程: (4)求解:解这个一元一次方程,求出最后一个未知数的值; (5)写解:将求得的三个未知数的值用“”合在一起 经典例题分析 题型)解三元一次方程组 四方法点拨 [r+y=-4, 本题可以直接解三元一次方程 _ 例.已知方程组y+z=6,,则x+y+z的值是( 组,求出x,v,z的值:也可以将 三个一元一次方程全部加起 2+x=8, A.3 B.4 C.5 D.6 来,化简后,可直接得到x+v+ 的值. 答案:C 6.4 实践与探索 知识梳理 知识点1 列方程组解决实际问题的一般步骤 归纳总结 列二元一次方程组解决实际 1.审:审题,分析题中已知是什么,求什么,明确各数量之间的关系; 问题的注意事项 2.设:可直接设未知数,也可间接设未知数,但一般怎样问就怎 (1)设未知数时,未知数的单位 样设,当问题中只求一个未知量时,可以再找一个相关的未知 必须明确写出;列方程组时,每 量设未知数,特别要注意隐含的未知量: 个方程左、右两边的代数式所 3.列:根据题意找出等量关系列出方程,一般找出能够表达题意 表达的意义相同,单位一致,但 方程中不出现单位 的等量关系组成方程组; (2)检验的目的有两个,一是检 4.解:解所列方程组,求出未知数的值: 验所求的未知数是否满足所列 5.答:检验所求未知数的值是否符合题意,写出答案(包括单位 方程组,二是检验未知数的值 名称). 在满足方程组的前提下是否满 足实际意义. 知识点2 列方程组解决实际问题的常见类型 常见类型 等量关系 行程问题 路程=速度×时间 通常是指几对几的问题,每种配套都有比例,依比例 一么归纳总结 配套问题 设未知数表示等量关系,使问题得以解决 行程问题中常见有迫及,相遇 根据有关几何图形的性质以及周长、面积等计算公 问题,相遇问题常见的等量关 几何问题 式,也可以根据图形中线段或角的关系找等量关系 系为速度和×时间三路程:追及 问题常见等量关系为快者所走 和差倍分 较大量=较小量+多余量 问题 的路程一慢者所走的路程三路 总量=倍数x一份的量 程差。 航行问题 顺水(风)速度=静水(无风)速度+水(风)速 逆水(风)速度=静水(无风)速度一水(风)速 1 课堂解题 ZBH 七年级数学 下册 工程问题 工作量=工作效率x工作时间 晚拓展延伸 原量x(1+增长率)=增长后的量 (1)银行利率问题:基本关系式 增长率问题 原量x(1一减少率)=减少后的量 是:利息三本金x利率x期数; 售价一进价 利润问题 (2)数字问题:数字的表示方 利润=售价一进价,利润率= 进价 ×100% 法:若一个三位数的个位,十 经典例题分析 位,百位上的数字分别为a,b, c.则这个三位数可表示为100e (题型1几回问题 +10b+a. 例1.如图,在长为15.宽为12的长方形中,有形状、大 小完全相同的5个小长方形,则图中阴影部分的 回方法点拨 面积为 利用数形结合思想找等量关系 【解析】设小长方形的长为x,宽为v,根据题意得 15 解得3.# (3y=x (x=9. '所以阴影部分的面积=15x12- x+2y=15, 5xy=45. 答案:45 题型2配套问题 归纳总结 例2.某车间70名工人承接了制作丝巾的任务,已知每人每天平 常见配套问题中的等量关系 均生产手上的丝巾1800条或脖子上的丝巾1200条,一条 (1)二合一问题:如果a件甲产 脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾,为了使每天生产的丝 品和b件乙产品配成一套,那 甲产品数 乙产品数 巾刚好配套,应分配多少名工人生产脖子上的丝巾,多少名 么。 工人生产手上的丝巾? (2)三合一问题:如果a件甲产 解:设应分配x名工人生产脖子上的丝巾,v名工人生产手 品、b件乙产品和c件丙产品配 (x+y=70. .x=30. 解得 甲产品数 上的丝中.由题意得 成一套,那么 (2x1200x=1800y. =40. 。 答:应分配30名工人生产脖子上的丝巾,40名工人生产手 乙产品数 丙产品数 1 上的丝巾. (题型3工程问题 注意 例3.某市在创建全国卫生文明城市建设中,对城内的部分河道 解决工程问题的关键是首先要 进行整治,现有一段长360米的河道整治任务由甲、乙两个 明确三个基本量的关系,即“工 工程队先后接力完成,甲工程队每天整治16米,乙工程队 作量=工作时间x工作效率”, 每天整治24米,共用时20天,求甲、乙两工程队分别整治 以及它们的变形“工作时间= 河道多少米? 工作量-工作效率,工作效率= (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下: 工作量-工作时间”;其次注意 ①小明同学:设整治任务完成后甲工程队整治河道x米,乙 当题目与工作量的大小、多少 无关时,通常用单位“1”来表示 fx+y=360, )=20: 工作总量, )( 12 第6章一次方程组 ②小华同学:设整治任务完成后,n表示 ,n表示 M注意 [m+n=20. ;则可列方程组为 设出来的未知数可以表示不同 (16m+24n=360' 的意义,因而列出的方程组也 请你补全小明、小华两位同学的解题思路 不相同. (2)请从①②中任选一个解题思路,写出完整的解答过程 回方法点拨 此题主要考查了二元一次方程 ②甲工程队工作的天数 组的应用,利用基本数量关系: 乙工程队工作的天数 甲工程队用的时间+乙工程队 (2)例:选①小明同学,设整治任务完成后甲工程队整治河 用的时间=20天,甲工程队整 [x+y=360. 治河道的米数+乙,工程队整治 道x米,乙工程队整治河道y米.则 {20. 解得 河道的米数=360,运用不同设 1624 法列出不同的方程组解决实际 (x=240. 问题. 经检验,符合题意 y-120. 答:甲工程队整治河道240来,乙工程队整治河道120米 (题型4销售问题 例4.某体育用品商店在“6·18”期间进行优惠促销活动,促销 n方法点拨 规则是由顾客抽奖决定折扣.小明同学在该商店买了一个 根据对话可以得到等量关系 篮球,一个排球,请你根据小明和收银员的对话所提供的信 “篮球的单价+排球的单价= 息,求两种商品的原价分别为多少元? 420.打折后的篮球单价+打折 后的排球单价三363”,列二元 我买了一个篮球,一个 一个篮球,一个排球原 一次方程组,即可解决问题 排球,篮球抽到九折, 价之和是420元,现在 排球抽到八折. 你只需要付款363元 解:设篮球的原价为x元,排球的原价为v元,根据题意,得 [x+y=420, (x=270, 解得 =150. 0.9x+0.8v=363. 四方法点拨 答:篮球的原价为270元,排球的原价为150元 1.审清题意; (题型5行程问题 例5.一辆汽车从A地驶往B地,前三分之一路段为普通公路,其 2.设未知数:普通公路为 xkm,高速公路为ykm; 余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为 60 km/h.在高速公路上行驶的速度为100km/h.汽车从A 3.找两个等量关系:普通公路 地到B地共行驶了2.2h.求出A地到B地的路程 路程x2=高速公路路程,在普 解:设A地到B地的普通公路长xkm.高速公路长vkm.根 通公路上行驶的时间+在高选 fy=2x. 公路上行驶的时间=2.2; 过 解得{ x=60. 据题意得 ..x+y=180. ly-120. 4.列出方程,解出方程,解决 答:A地到B地的路程是180km 问题。《课堂解惑》答案 4-2 变式1：3【解析1起x=2代入方程2a=4得：2a=4,解得：a=3 变式2：3x45=73 变式3：2a-5 变式4：4 【解析】4r-2m=3x+1,x=1+2m,x=2x-3m,x=3m,关于x的方程4x-2m=3x+1 的解是x=2x-3m的解的2倍，.1+2m=2x3m,m=4 1 变式5：60.5【解析】设长方形的宽为x,则长为2x.由题意，得2(x+2x)=5+6+9+13,解得x=5.5,经检 验，符合题意，则2x=11,所以该长方形的面积为11×5.5=60.5. 7 变式6：a18 【解析】小3(x+4)=2a+5,解得x= 2,.（4a+1)x_a(3x-4),解得x=-16 3 4 30,由题意，得 2a解得8 7 3 变式7：解：设打x折销售，由题意，得：100×(1+509%)×-100≥100×20%，解得x≥8.答：至多可打8折 10 变式8：C【解析】小a,b,c是三角形的三条边，.a+b>c,b+c>a,∴c-a-b<0,c+b-a>0,.原式=-(c-a- b)+(c+b-a)=a+b-c+c+b-a=2b.故选C. 变式9：1【解析】：D点为BC的中点，.SAm= 8=4(m),点为0的中点Sa =-4=2(em).f点为Bc的中点5an-e-2=1(m). 变式10：D【解析】小：奇奇从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，∴.根据外角和定理 可知正多边形的边数为n=360°÷15°=24，则一共走了24×4=96（米）.故选D. 变式11：26°【解析】Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=58°，∴.∠B=90°-∠A=32°，由折叠的性质可知 ∠CM'D=∠A=58°，∴.∠A'DB=∠CA'D-∠B=26. 变式12：25【解析】由作图狼迹得DF垂直平分AB,AE年分∠D1C,DB=DA,∠DAE=了∠DAC, ∠DAB=∠B=40°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=90°，∠DAC=∠BAC-∠DAB=90°-40°=50°， ∠D1B=2X50°=250 变式13：D【解析】根据题意，得AD=1,BF=BC+CF=BC+1,DF=AC;文：AB+BC+AC=8,.四边形 ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=I+AB+BC+1+AC=10.故选D. 变式14：A【解析】：∠A=90°，∠ABC=a,“.∠ACB=90°-α，将Rt△ABC绕点C逆时针旋转得到 △EcD=Bc,∠ACB=∠BCD=90-a,∠GD=∠cB=X(1s0-∠BCD=× 180-90+a)=45+).故选A -32