第5章 一元一次方程 课堂解惑-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步训练方案(华东师大版2024)

第5章一元一次方程 第5章一元一次方程 5.1从实际问题到方程 知识梳理 区知识点1方程的概念 归纳总结 含有未知数的等式叫做方程 方程必备条件 注意：(1)方程一定是等式，但等式不一定是方程.如5-2=3是 是等式且含有未知数，两者缺 等式，但它不含未知数，不是方程：(2)方程中的未知数不一定是 一不可. 一个，也可以是两个或两个以上，未知数也可以用其他字母表 示，如2x+3y=10是方程 区知识点2方程的解 能使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解 《知识点3根据实际问题列出方程 A注意 根据实际问题列方程的一般思路： 列方程时必须要使方程左右两 审 找 表示 边的单位统一 认真审题】 找出题目中 根据题意把实际问题中的 理解题意 的等量关系 等量关系用含有未知数的 等式表示出来 」经典例题分析 题型1D判断某数是否为方程的解 方法点拨 代入检验法 例1.下列方程的解是x=2的是( 检验一个未知数的值是不是原 A.x-3=1 B.(x-2)(x+3)=0 方程的解，可以将所给的未知 C.x(x+2)=0 D.2x=6 数的值分别代入原方程的左边 【解析】B.当x=2时，左边=0，右边=0，左边=右边，则x 和右边，如果左边=右边，说明 所给的未知数的值是原方程的 =2是该方程的解 解：如果左边≠右边，说明所给 答案：B 的未知数的值不是原方程 题型2)根据数量关系列方程 的解. 例2，根据条件列方程：“x比它的少4”的数量关系，正确的 变式若关于x的方程4 2+a =4的解是x=2,则a的值 是( 为 2t=4 1 B.x C.x- 4 2t-x=4 D. 变式2根据x的3倍与5的和 答案：D 比：的宁岁3可列方程 题型3)根据实际问题列方程 例3.有325个橘子，平均分给某幼儿园的小朋友，剩下1个，已 知每一名小朋友分得橘子4个，设这个幼儿园的小朋友有 x名，则可列方程为( A.4x+1=325 B41=325 C.(4+1)x=325 D.x-4=325-1 答案：A 课堂解惑 乙BH士年级数学下册 5.2解一元一次方程 4知识梳理 区知识点1等式的基本性质 拓展延伸 等式的其他性质 等式的基本性质1 等式的基本性质2 (1)等式的对称性：如果a=b. 等式两边都加上（或都减 等式两边都乘以（或都除以） 那么b=a: 内容 去)同一个数或同一个整 同一个数（除数不能为0），所 (2)等式的传递性：如果a=b,b =c,那么a=c 式，所得结果仍是等式 得结果仍是等式 符号 b 如果a=b,那么a+c=b+c,a 如果a=b,那么ae=bc,“ 语言 -c=b-c (c≠0) 如果a=b,那么 △注意 示例 3=址国 =5a=56 角金 方程的变形规则的本质是保证 方程的解不变，它是解方程的 等式两适都如上成减去这 字式两过都在以-5 等式两边缸龄消-6 理论基础，①方程两边不能都 除以0，因为0不能作除数，方 区知识点2方程的变形规则 程两边也不能都乘以0，因为乘 以0后方程就变成了0=0了： 变形规则1：方程两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整 ②方程的每一项都不要漏乘以 式，方程的解不变 (或漏除以)同一个数，否则将 变形规则2：方程两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数， 导致结果错误。 方程的解不变 △易错提示 理解一元一次方程的概念时， 知识点3移项 要注意以下儿点： 1.概念：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边。 (1)未知数的个数为1，例：x+y 像这样的变形叫做移项。 =1就不是一元一次方程： (2)含未知数的式子都是整式， 2.依据：方程的变形规则1. 知识点4系数化为1 例：1=2，不是整式，所以 1.概念：将方程的两边都除以未知数的系数.像这样的变形通常 它不是一元一次方程： (3)未知数的次数都是1，例：x2 称作“将未知数的系数化为1” +2x=4就不是一元一次方程. 2.依据：方程的变形规则2. 区知识点5一元一次方程 1.概念：只含有一个未知数、左右两边都是整式，并 且含未知数的项的次数都是1的方程叫做一元一 次方程 2.一般形式：ax+b=0(a≠0). 知识点6一元一次方程的解法 1.基本思路：通过适当变形，最终把一元一次方程化 简为ax=b(a,b为常数，且a≠0)的形式，再得出方 程的解为合 一2 第5章一元一次方程 2.解法 变形名称 具体做法 变形依据 △注意 方程的两边同乘各分母的最小公 方程的变形 去分母 1.去分母时不要漏乘不含分母 倍数 规则2 的项：分子是多项式的一定要 先用括号括起来： 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去 去括号法 大括号 则、分配律 2.去括号、移项时注意符号的 改变： 把含有未知数的项移到方程的一 方程的变形 3.合并同类项时未知数及未知 移项 边，其他各项移到方程的另一边 (移项要变号) 规则1 数的指数不变： 4.将未知数的系数化为1时得 合并同类项 合并同类项 把方程化为ax=b(a≠0)的形式 法则 到方程的架为=台结果要化 将未知数 方程的两边都除以未知数的系数 简，能约分的要约分， 方程的变形 的系数化 b a,得到方程的解x= 规则2 为1 区知识点7用一元一次方程解决实际问题 A注意 列方程解应用题的一般方法和步骤 (1)列方程时，要注意方程两边 问题 分析 求解 是同一类量，并且单位要统一， +方程 抽象 检验 +解答 (2)一般情况下，题中所给条件 在列方程时不能重复使用，也 其中分析和抽象的过程通常包括： 不能漏掉不用，重复使用会得 (1)弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数（设元）： 到一个恒等式，无法求得应用 (2)找出问题所给出的等量关系，它反映了未知量与已知量之间 题的解：而漏掉不用会导致所 的关系； 列方程有可能错误. (3)对这个等量关系中涉及的量，列出相关的代数式，根据等量 关系，列出方程 ☑经典例题分析 题型1等式基本性质的应用 变式3在等式3a-5=2a+6的 例1.下列运用等式的性质，变形正确的是() 两边都减去一个式子可以得到 A.若ac=bc,则a=b B.若a=b,则a-9=9-b 等式a=11,则这个式子 是 C若则2x=3 D.若m=n,则-2m=-2n 【解析】A.当c=0时，由ac=bc不能推出a=b:B.若a=b,则 a-9=b-9:C等式=’两边都乘以6，则3x=2 23 答案：D 个易错提示 题型2解一元一次方程 方程(1)中去括号时要注意2 例2.解方程： 要乘以：与自行一3要乘以上与 (1)2(x+2）+2=20-3(x-1): -1,尤其是乘以-1，所得结果 为3. 解：(1)去括号，得2x+1+2=20-3x+3.移项，得2x+3x=20+ 方程(2)中去分母，等式中3项 3-1-2.合并同类项，得5x=20.将未知数的系数化为1，得 都要乘以最小公倍数10，尤其 x=4: 是y这一项不能漏乘 一3 课堂解惑 ZBH士年级数学下册 (2)去分母，得10y-5(y-1)=2(y+4).去括号，得10y-5y+ 5=2y+8.移项，得10y-5y-2y=8-5.合并同类项，得3y=3. 将未知数的系数化为1，得y=1. 题型3)构造一元一次方程求字母或代数式的值 %方法点拔 例3.单项式 4“8与-2a6的和仍是单项式，则m-n=一 两个单项式的和或差仍为单项 式，则这两个单项式的相同字 【解析】由题意可得m+1=2,n-1=3,解得m=1,n=4,所 母的次数相同，进而得到相应 以m-n=-3. 方程，解出方程即可解决问题， 答案：-3 题型4)根据方程的解的关系求字母的值 例4已知关于：的方程2（一1=：写的解与：-受约解相 变式☑当m= 时，关 于x的方程4x-2m=3x+1的解 同，则m的值为 是x=2x-3m的解的2倍. 【解析】解方程3x-2-得x，,将x=;代入2(m-)马 .4 4 48 41 13 5,得2(m-1)=55解得m=10 答案8 题型5 一元一次方程的应用 例5.大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月(30天) 的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金.当她工作满 20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台M型平 △易错提示 板电脑和300元现金. 解题时注意找清等量关系，并 (1)这台M型平板电脑价值多少元？ 且注意费用单位都是元. (2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她 应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？ 解：()设这台M型平板电脑价值x元，根据题意，得 (x+ 1500)=x+300,解得x=2100,答：这台M型平板电脑价值 2100元： (2)由(1)知，小敏工作一个月(30天)获得的报酬为2100 +1500=3600(元).所以小敏工作m天应获得的报酬为 30 ×3600=120m(元). 方法点拨 题型6解含绝对值的一元一次方程 分类讨论思想的应用 例6.解方程：13x-21-5=0 本题利用了分类讨论思想，去 绝对值符号的时候，要讨论绝 解：当3x-2≥0时，原方程可化为：3x-2-5=0,解得x=3 对值符号内式子的取值范围， 得出结果后还要检验结果是否 当3x-2<0时，原方程可化为-3x+2-5=0,解得x=-1.所以 原方程的解是-号气-山 符合假设的条件. 4 第5章一元一次方程 5.3实践与探索 4知识梳理 区知识点列一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.等积、等长变形问题： ①等积变形是指图形或物体的形状发生变化，但变化前后的 面积或体积不变： ②等长变形是指图形的形状发生变化，但变化前后周长不变 2.和、差、倍、分问题： 方法点拨 ①增长量=原有量×增长率：②现有量=原有量+增长量：③现 和、差、倍、分问题中寻找相等 有量=原有量-降低量等： 关系的方法：抓住关键词语： 3.与百分率相关的问题： 共、多、少、倍、几分之几以及原 有量、现有量等之间的关系推 ①利润问题：利润率=利润 进价×100%. 导出相等关系. ②增长率问题：增长率=原总受x100%,】 拓展延伸 4.行程问题：路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路程÷ 1.我们常把总工作量看作1，此 时间 时有：工作效率 ①相遇问题：快者走的路程+慢者走的路程=原来相距的路程 1 ②追及问题：快者走的路程-慢者走的路程=相距的路程。 工作总时间：多个人（或单 ③航行问题：顺水（风）速度=静水（无风）速度+水（风）的速 位)合作时，合作效率=多个 度：逆水（风）速度=静水（无风）速度-水（风）的速度， 人（或单位）效率之和：有时 还会利用“工作量=工作效 5.工程问题：工作总量=工作效率×工作时间，合作效率=各个单 率×工作时间×工作人数”的 独的效率和」 关系列方程： 6.数字问题：设a,b分别为一个两位数的个位上的数字与十位 2.打几折就是原售价的百分之 上的数字，则这个两位数可表示为10b+a. 几十： 7.积分问题：总积分=胜场得分+平场得分+负场得分 3.学习竞赛中总得分=对题得 4经典例题分析 分+错题得分+未做题得分， 题型1D等积、等长变形问题 例1.如图.一个正方形先剪去宽为3的长方形，再 剪去宽为4的长方形，且剪下来的两个长方形 变式5如图是用铁丝围成的一 面积相等，那么原正方形的边长为( 个梯形，将其改成一个长和宽 A.9 B.10 之比为2：1的长方形，该长方形 C.12 D.15 的面积是 【解析】设原正方形的边长为x,剪下来的两个长方形面 积分别为3x,4(x-3),则3x=4(x-3),解得x=12. 答案：C 题型2工程问题 例2.某项工作，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，现在甲 先做1天，然后甲、乙共同完成此项工作，则甲一共做了 5 课堂解惑 乙BH士年级数学下册 天 点拔 【解析】设甲一共做了x天，则乙一共做了(x-1)天，根据 工程问题中无论工作过程是怎 题意得 =1,解得x= 样的，其相等关系是“甲完成的 46 5 工作量+乙完成的工作量+…= 4 总工作量” 答案：5 题型3)销售问题 归纳总结 例3.“十一黄金周”期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活 解决销售问题的注意事项 动，对于持贵宾卡的顾客，可以在打八折的基础上继续优 (1)利润为0的时候，表示不盈 惠.小明的妈妈持贵宾卡购买了标价为1000元的商品，一 不亏： 共节省了280元，那么用贵宾卡在打八折的基础上还能享 (2)解题时注意随干中的“打 受几折优惠？ 折”“降低”“让利”“优惠”等词 解：设用贵宾卡还能享受x折优惠，由题意得，1000-1000 的含义，弄清楚售价是多少： (3)在某些实际问题中，若出现 ×80%×0=280,解得=9 的未知量比较多，可考虑设辅 助的未知数 答：用贵宾卡还能享受九折优惠。 题型4行程问题 例4.A站和B站相距1500km,一列慢车从A站开出，速度为 :方法点拨 60km/h,一列快车从B站开出，速度为90km/h. 画线段图找等量关系 (1)若两车相向而行，慢车先开30min,快车开出几小时后 60(x+0.5)km90xkm (1)A站目 B站 两车相遇？ 1500km (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距 1800km (2)A站B站习 1800km? 60y km 1500 km 90y km (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时 1200km 后两车相距1200km(此时快车在慢车的后面)？ (3) 60z km 90:km A站 B站 解：(1)设快车开出x小时后两车相遇，由题意得60(x+ 1500km 0.5)+90x=1500,解得x=9.8. 答：快车开出9.8小时后两车相遇； (2)设y小时后相距1800km,由题意得60y+90y=1800- 1500,解得y=2. 答：2小时后两车相距1800km; (3)设z小时后两车相距1200km,由题意得60z+1500 90z=1200,解得z=10. 答：10小时后，快车与慢车相距1200km 题型5)配套问题 例5.东方红机械加工厂加工车间有90名工人，平均每人每天加 工大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮与3个小 齿轮配成一套，一天可以生产多少套这样成套的产品？ 解：设安排x名工人加工大齿轮 3 由题意得，2×20x=15(90-x.解得x=30.则30×20÷2= 300(套) 答：一天可以生产300套这样成套的产品. —6《课堂解惑》答案 变式1:3【解析】把x=2代入方程4-. 4-2 -+a=4,解得:a=3 ) 变式2:3x+5-3 变式3:2a-5 变式4: 。 【解析】·4x-2m=3x+1..x=1+2m,x=2x-3m..x=3m,:关于x的方程4x-2m=3x+1 的解是x=2x-3m的解的2倍.:.1+2m=2x3m.i.m= 变式5:60.5【解析】设长方形的宽为x.则长为2x.由题意,得2(x+2x)=5+6+9+13,解得x=5.5.经检 验,符合题意,则2x=11.所以该长方形的面积为11x5.5=60.5. 7 变式6:a> 【解析】::3(x+4)=2a+5,解得x= 2a-7(4a+1)xa(3x-4) 18 ,解得:二一 4 3 2a-716 -#,得 7 ) 变式8:C【解析】a,b,c是三角形的三条边,.a+b>c,b+c>a,c-a-b<0,c+b-a>0..原式=-(c-a b)+(c+b-a)=a+b-c+c+b-a=2b.故选C. 变式10:D【解析】·奇奇从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形,:.根据外角和定理 可知正多边形的边数为n=360*}-15=24,则一共走了24×4=96(米).故选D 变式11:26^{*}【解析】:Rt△ABC中, ACB=90*}, A=58^{}. B=90*-乙A=32^*,由折叠的性质可知$ CA'D= A=58* A'DB= CA'D- B=26* $AB= B=0$ B$AC= 180$-$ BB-$ C=90$$'' DAC= $AC-$ DAB=9 0$-40^$}=$ 0$$$$ 变式13:D【解析】根据题意,得AD=1.BF=BC+CF=BC+1.DF=AC;又·:AB+BC+AC=8.:.四边形 ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10.故选D 变式14:A 【解析】:乙A=90*,乙ABC=a, 乙ACB=90*}-a,'·将Rt△ABC绕点C逆时针旋转得到 2 32