专题01 复数及其四则运算知识归纳与题型突破（11类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

专题01 复数及其四则运算知识归纳与题型突破 知识点1 复数的概念 1.认识复数： ①复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. 全体复数构成的集合叫做复数集. ②复数的代数表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部. ③复数的分类： (i)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z为实数⇔b＝0，z为虚数⇔b≠0，z为纯虚数⇔. (ii)集合表示： 2.复数的相等： ①设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. ②复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是a＝0且b＝0，a＝0是z为纯虚数的必要不充分条件. 知识点2 复数的四则运算 1.复数的加减法： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； 复数的加法满足交换律、结合律 (2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (3) ＝＋i (z2≠0)． 2.复数的乘法与乘方 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 （1）z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （2）复数的乘法的运算律 ①对任意复数z1、z2、z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 ②复数集中，正整数指数幂运算律仍成立 （3）i的乘方： 如果n∈N*，那么有 i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 3.复数的除法：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则＝＋i (z2≠0)． 【拓广】复数集实系数一元二次方程的解： ①Δ≥0时，； ②Δ<0时，. 题型一 复数的概念 【例1】（多选）（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】ACD 【知识点】复数的基本概念 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解. 【详解】对A，当时，则是实数，故A错误； 对B，根据复数定义可知，故B正确； 对C，，那么是实数，故C错误； 对D，根据虚数，故D错误. 故选：ACD 【变式1-1】（23-24高一下·重庆·期末）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据虚部定义即可求解. 【详解】由于，故虚部为. 故选：A 【变式1-2】（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】利用复数实部、虚部的定义逐项判断得解. 【详解】复数的实部为1，虚部为，ABD错误，C正确. 故选：C 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【答案】(1)实部为2，虚部为3，是虚数 (2)实部为，虚部为，是虚数 (3)实部为，虚部为1，是虚数 (4)实部为，虚部为0，是实数 (5)实部为0，虚部为，是纯虚数 (6)实部为0，虚部为0，是实数 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的分类及辨析 【分析】根据复数得出实部及虚部，进而根据复数类型定义判断复数是实数还是虚数或纯虚数即可. 【详解】（1）实部为2，虚部为3，是虚数； （2）实部为，虚部为，是虚数； （3）实部为，虚部为1，是虚数； （4）实部为，虚部为0，是实数； （5）实部为0，虚部为，是纯虚数； （6）实部为0，虚部为0，是实数； 题型二 已知复数的类型求参数 【例2】（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案； （2）由条件可得可得答案. 【详解】（1）由复数是纯虚数，得，解得； （2）由复数的实部和虚部互为相反数，得， 化简得，解出或， 当时，不符合题意，（舍去），而满足， 所以实数的值为． 【变式2-1】（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是纯虚数，则 . 【答案】4 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的定义列出方程组，解出a的值即可. 【详解】解：复数是纯虚数， 则，解得. 故答案为：4. 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）复数．当为何值时，． 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据复数大于0，结合实部和虚部列不等式组求解. 【详解】  因为，所以为实数，需满足解得． 【变式2-3】（23-24高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）由虚部为0，求解的值； （2）由虚部不为0求解值； （3）由实部为0且虚部不为0，求解值. 【详解】（1）若为实数，则，即； （2）若为虚数，则，即； （3）若为纯虚数，则且，即. 题型三 根据复数相等求参数 【例3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【知识点】根据相等条件求参数、复数的相等 【分析】根据复数相等列出方程组，解出，的值． 【详解】解：由题意，， 可得， 由，解得， 则， 解得，． 故、的值分别为4，3． 【变式3-1】（2024高二下·福建·学业考试）已知是实数，且，则x+y= 【答案】7 【知识点】复数的相等 【分析】根据给定条件，利用复数相等求出即可得解. 【详解】由是实数，且，得， 所以. 故答案为：7 【变式3-2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组有实数解，则实数a，b的值分别为 ． 【答案】1，2 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等列方程组计算求参即可. 【详解】设是方程组的实数解．由已知及复数相等， 得由①②得 代入③④得所以实数a，b的值分别为1，2． 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，求实数x，y的值. 【答案】或 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等的概念，列出方程组，解方程组，即可得出答案. 【详解】，解得或 题型四 复数相等与最值、范围 【例4】（23-24高一下·广西·阶段练习）已知复数，，其中是虚数单位，． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的相等 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可列关系求解， （2）利用复数相等的充要条件，建立方程，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为为纯虚数，所以，解得． （2）由，得． 因此． 因为， 所以当时，；当时，， 故的取值范围是． 【变式4-1】（24-25高一下·全国·课后作业）设实数，，满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】复数的相等、三角恒等变换的化简问题、辅助角公式 【分析】结合给定条件将用三角函数表示，再利用三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为， 所以， ， 又， 所以． 故答案为： 【变式4-2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数（且），是实数，且，求z的实部的取值范围. 【答案】. 【知识点】根据相等条件求参数 【分析】利用已知复数的类型建立方程，结合给定条件求解参数范围即可. 【详解】因为为实数，所以， 所以，，所以， 因为，所以. 因为，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，可解得. 即z的实部的取值范围为. 【变式4-3】（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知复数，并且. (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的相等、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）根据复数相等和纯虚数条件，结合余弦函数性质可得； （2）根据复数相等列方程，消去，利用同角三角函数的平方关系，结合二次函数性质求解可得 【详解】（1）因为，所以， 又为虚数，所以，即，所以. （2），， 消去可得， . 题型五 复数的加减法 【例5】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】（1）利用复数的加法运算可得答案； （2）利用复数的加法运算可得答案； （3）利用复数的减法运算可得答案． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【变式5-1】（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知复数，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】利用复数的加法法则计算可得结果. 【详解】由可得. 故选：D 【变式5-2】（23-24高一下·河北·期中）已知，则的虚部为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的有关概念直接得出结果. 【详解】因为，所以 则z的虚部为2. 故选：A 【变式5-3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】（1）利用复数的加减法运算可得答案； （2）利用复数的加减法运算可得答案． 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 题型六 复数的乘法与乘方 【例6】（2024·四川成都·模拟预测）化简等于（   ） A．1 B．i C．-1 D． 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】应用复数的除法和乘法计算化简即可. 【详解】. 故选：D 【变式6-1】（24-25高三下·广西桂林·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的乘法运算法则计算可得结果. 【详解】易知. 故选：B 【变式6-2】（24-25高三下·江西·开学考试）若复数为实数，则复数的虚部为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】由复数的乘法运算及虚部概念即可求解； 【详解】， ， 则复数的虚部为2． 故选：B． 【变式6-3】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知复数，则的虚部为 . 【答案】20 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方 【分析】先利用复数的乘方运算求出，再结合复数虚部的定义求解即可. 【详解】因为， 所以的虚部为20. 故答案为：20. 题型七 复数的除法 【例7】（2023·全国·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二上·广东深圳·期末）复数（为虚数单位）的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】由复数的除法与乘法整理复数为标准型，根据虚部的定义，可得答案. 【详解】由，则复数的虚部是. 故选：D. 【变式7-2】（浙江省金华十校2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算 【分析】由复数的除法运算求解即可； 【详解】. 故选：A. 【变式7-3】（22-23高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（    ） A．1011 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、根据除法运算结果求复数特征 【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据虚部的概念求解. 【详解】. 故虚部为 故选：D 题型八 in(n∈N*)的运算问题 【例8】（24-25高一下·全国·单元测试）已知，则的值为（    ） A．i B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的乘方、虚数单位i及其性质 【分析】先计算，再由幂的运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以 故选：B 【变式8-1】（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知是虚数单位，则复数的值是（    ） A．1 B． C．i D． 【答案】D 【知识点】复数的乘方 【分析】应用复数的乘方运算化简即可得. 【详解】根据复数乘方运算，有. 故选：D 【变式8-2】（23-24高一下·福建厦门·期中）已知i是虚数单位，若复数，则z的虚部是 ． 【答案】 【知识点】虚数单位i及其性质、求复数的实部与虚部、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】先根据推出，再根据复数的除法运算直接计算以及结合复数虚部的定义即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，故z的虚部是. 故答案为：. 【变式8-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设，，则M与N的大小关系为 . 【答案】 【知识点】虚数单位i及其性质、复数的乘方 【分析】利用的性质求出可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为， 则. 故答案为：. 题型九 复数的综合运算 【例9】（24-25高一下·全国·单元测试）计算：； 【答案】0；． 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据复数代数形式的乘除运算以及乘方运算法则计算. 【详解】原式． 【变式9-1】（24-25高三上·吉林四平·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的除法运算 【分析】利用复数的四则运算可化简所求复数. 【详解】. 故选：C. 【变式9-2】（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）复数 . 【答案】 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据给定条件，利用复数的乘方运算及除法运算求解即得. 【详解】复数. 故答案为： 【变式9-3】（24-25高二上·北京·期末）已知复数满足（是虚数单位），则的值为 ． 【答案】 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算 【分析】由复数的运算求解即可. 【详解】由于，所以， 所以， 故答案为： 题型十 根据复数运算求参数 【例10】（23-24高一下·浙江·期中）设为虚数单位，且，则 ． 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、根据复数乘法运算结果求参数 【分析】化简原式，根据题意需满足条件，求解即可 【详解】由， 所以满足条件， 故答案为： 【变式10-1】（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C. 【变式10-2】（22-23高三上·北京通州·期中）已知复数,,如果为纯虚数,那么 . 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算、根据除法运算结果求参数 【分析】根据为纯虚数,进行化简,使实部为0,求出a即可. 【详解】解:由题知,, , 为纯虚数, , . 故答案为: 【变式10-3】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知，且（其中为虚数单位），则 . 【答案】 【知识点】复数的除法运算、复数的相等 【分析】由条件变形为，再利用复数相等，即可求的值. 【详解】，则， 故答案为： 题型十一 复数集实系数方程的解 【例11】（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的方程：，． 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、复数范围内方程的根 【分析】将原方程化为（），分析讨论的取值并解方程即可. 【详解】原方程等价于（），且. 当时，方程的根为； 当时，方程的根为； 当时，方程的根为． 综上所述：当时，方程的根为； 当时，方程的根为； 当时，方程的根为． 【变式11-1】（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）在复数范围内，方程的根是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】利用根与系数关系求复数范围内方程的根即可. 【详解】由，则方程的根为. 故选：C 【变式11-2】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根 【分析】根据虚根成对原理可得也是方程的根，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为是关于复数的方程的一根， 所以也是关于复数的方程的一根， 所以， 所以. 故选：C 【变式11-3】（23-24高一·上海·课堂例题）若和是方程的两个根，求的值． 【答案】 【知识点】复数范围内方程的根、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】运用韦达定理可解. 【详解】和是方程的两个根,则. ． 故答案为：. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 复数及其四则运算知识归纳与题型突破 知识点1 复数的概念 1.认识复数： ①复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. 全体复数构成的集合叫做复数集. ②复数的代数表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部. ③复数的分类： (i)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z为实数⇔b＝0，z为虚数⇔b≠0，z为纯虚数⇔. (ii)集合表示： 2.复数的相等： ①设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. ②复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是a＝0且b＝0，a＝0是z为纯虚数的必要不充分条件. 知识点2 复数的四则运算 1.复数的加减法： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； 复数的加法满足交换律、结合律 (2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (3) ＝＋i (z2≠0)． 2.复数的乘法与乘方 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 （1）z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （2）复数的乘法的运算律 ①对任意复数z1、z2、z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 ②复数集中，正整数指数幂运算律仍成立 （3）i的乘方： 如果n∈N*，那么有 i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 3.复数的除法：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则＝＋i (z2≠0)． 【拓广】复数集实系数一元二次方程的解： ①Δ≥0时，； ②Δ<0时，. 题型一 复数的概念 【例1】（多选）（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【变式1-1】（23-24高一下·重庆·期末）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【变式1-2】（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 题型二 已知复数的类型求参数 【例2】（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 【变式2-1】（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是纯虚数，则 . 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）复数．当为何值时，． 【变式2-3】（23-24高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 题型三 根据复数相等求参数 【例3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【变式3-1】（2024高二下·福建·学业考试）已知是实数，且，则x+y= 【变式3-2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组有实数解，则实数a，b的值分别为 ． 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，求实数x，y的值. 题型四 复数相等与最值、范围 【例4】（23-24高一下·广西·阶段练习）已知复数，，其中是虚数单位，． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若，求的取值范围． 【变式4-1】（24-25高一下·全国·课后作业）设实数，，满足，则的最大值为 ． 【变式4-2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数（且），是实数，且，求z的实部的取值范围. 【变式4-3】（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知复数，并且. (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求的取值范围. 题型五 复数的加减法 【例5】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式5-1】（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知复数，则（    ） A．4 B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一下·河北·期中）已知，则的虚部为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式5-3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)． 题型六 复数的乘法与乘方 【例6】（2024·四川成都·模拟预测）化简等于（   ） A．1 B．i C．-1 D． 【变式6-1】（24-25高三下·广西桂林·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高三下·江西·开学考试）若复数为实数，则复数的虚部为（   ） A． B．2 C． D． 【变式6-3】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知复数，则的虚部为 . 题型七 复数的除法 【例7】（2023·全国·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·广东深圳·期末）复数（为虚数单位）的虚部是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（浙江省金华十校2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题）设，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（22-23高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（    ） A．1011 B． C． D． 题型八 in(n∈N*)的运算问题 【例8】（24-25高一下·全国·单元测试）已知，则的值为（    ） A．i B． C． D． 【变式8-1】（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知是虚数单位，则复数的值是（    ） A．1 B． C．i D． 【变式8-2】（23-24高一下·福建厦门·期中）已知i是虚数单位，若复数，则z的虚部是 ． 【变式8-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设，，则M与N的大小关系为 . 题型九 复数的综合运算 【例9】（24-25高一下·全国·单元测试）计算：； 【变式9-1】（24-25高三上·吉林四平·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）复数 . 【变式9-3】（24-25高二上·北京·期末）已知复数满足（是虚数单位），则的值为 ． 题型十 根据复数运算求参数 【例10】（23-24高一下·浙江·期中）设为虚数单位，且，则 ． 【变式10-1】（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 【变式10-2】（22-23高三上·北京通州·期中）已知复数,,如果为纯虚数,那么 . 【变式10-3】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知，且（其中为虚数单位），则 . 题型十一 复数集实系数方程的解 【例11】（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的方程：，． 【变式11-1】（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）在复数范围内，方程的根是（    ） A． B． C． D．无解 【变式11-2】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式11-3】（23-24高一·上海·课堂例题）若和是方程的两个根，求的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$