重难点01 二元一次方程组的解法以及解的应用（7大题型+14道培优题提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（冀教版2024）

专题01 二元一次方程组的解法以及解的应用 重难点专项训练 题型一 用代入法求解二元一次方程组 1． 解方程组： 2． 解方程组： 题型二 用加减法求解二元一次方程组 3． 解方程组： 4． 解方程组： 题型三 已知方程组的解求字母的值 5． 已知是方程组的解，求k和m的值． 6． 已知是关于x，y的二元一次方程组的解，求a+b的值． 题型四 已知二元一次方程组的解满足某一关系求字母的值 7． 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值． 8． 已知关于的方程组的解满足，求的值 题型五 二元一次方程组的同解问题 9． 已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 10．若关于、的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求、的值． 题型六 二元一次方程组错解复原问题 10． 解方程组时，小卢由于看错了系数a，结果得到的解为，小龙由于看错了系数b，结果得到的解为，求的值． 11． 已知方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试求出a，b的值． 题型七 利用整体思想求解二元一次方程组 13．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 14．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 根据材料，回答下列问题 (1)已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是_______． (2)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． 1． 解二元一次方程组： 2． 解二元一次方程组：． 3． 若方程组的解x与y互为相反数，求k的值. 4． 解方程组: ． 5． 解方程： 6． 甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？ 7． 方程组与的解相同，求a，b的值． 8． 若关于，的二元一次方程的解也是二元一次方程的解，求的值． 9． 已知和是方程的两组解，求m、n的值． 10． 已知方程组的解满足，求k的值． 11． 已如和都是方程的解，求a和b的值． 12．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 13．数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 14．数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于的二元一次方程组，的解为，那么关于的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ． (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为， 求关于的方程组的解． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二元一次方程组的解法以及解的应用 重难点专项训练 题型一 用代入法求解二元一次方程组 1．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：， 把②代入①，得：，解得：， 把代入②，得：； ∴方程组的解集为：． 2．解方程组： 【答案】 【分析】利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ①②，得， 解得：， 把代入②中， 解得：， 所以原方程组的解是． 题型二 用加减法求解二元一次方程组 3．解方程组： 【答案】 【分析】先将②代入①求出的值，将的值代入②，即可求解． 【详解】 解：将②代入①得 ，                 解得，                     将代入②得 ，     原方程组的解为． 4．解方程组： 【答案】 【分析】根据加减消元法即可解方程． 【详解】解： ， ①，得 ③ ②③，得， 把代入①得， ， 原方程组的解是． 题型三 已知方程组的解求字母的值 5．已知是方程组的解，求k和m的值． 【答案】k和m的值分别为2和3 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意将x和y代入方程组，即可解得k和m的值． 【详解】解：根据题意，把代入方程组，得 ，解得． 即k和m的值分别为2和3． 6．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，求a+b的值． 【答案】 【分析】将代入二元一次方程组求解即可． 【详解】解：将代入二元一次方程组，得 ， 解得：， ∴a+b的值为：． 题型四 已知二元一次方程组的解满足某一关系求字母的值 7．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，根据方程组的特征得到是解题的关键． 【详解】解：， ，， ③， 把③代入中，得， 解得：． 8．已知关于的方程组的解满足，求的值 【答案】10 【分析】把方程组两式相加得到5x+10y=k+5,再根据两边同乘以5即可得到关于k的式子即可求解. 【详解】解 令①+②得5x+10y=k+5 ∵ ∴5x+10y=k+5=15， 解得k=10 题型五 二元一次方程组的同解问题 9．已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得的值．由题意可得：方程组和方程组的解相同，求得的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意可得：方程组和方程组的解相同， 解方程组可得：， 将代入可得：， 解得：， 将代入可得，原式， 即的值． 10．若关于、的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求、的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为两个方程组同解，所以将两个方程组的第一个方程联立，解方程组即可求解． （2）将（1）所得相同的解代入原方程组，并将含参数a、b的两个方程联立可得方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）因为两个方程组同解，所以将两个方程组的第一个方程联立可得：      解这个方程组可得相同的解为： （2）将（1）所得相同的解代入原方程组，并将含参数a、b的两个方程联立可得方程组：      解得 题型六 二元一次方程组错解复原问题 11．解方程组时，小卢由于看错了系数a，结果得到的解为，小龙由于看错了系数b，结果得到的解为，求的值． 【答案】4 【分析】把把代入求出，把代入求出，然后求出值即可． 【详解】解：∵小卢由于看错了系数a， ∴把代入得：， 解得：， ∵小龙由于看错了系数b， ∴把代入得：， 解得：， ∴． 12．已知方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试求出a，b的值． 【答案】 【分析】根据方程组的解的定义，应满足方程②，应满足方程①，将它们分别代入方程②①，就可得到关于a，b的方程，解得a，b的值． 【详解】解：根据题意 是②方程的解， 是①方程的解， ∴ 解得 题型七 利用整体思想求解二元一次方程组 13．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． (1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可； (2)将和看作一个整体，得出关于m，n的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为； （2）解：由题知， 将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 14．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 根据材料，回答下列问题 (1)已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是_______． (2)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用“整体换元”法解二元一次方程组，读懂材料是解题的关键． （1）令，，根据方程组的解为，可得，进而可解； （2）令，，仿照材料中的作法，通过“整体换元”求解． 【详解】（1）解：令，， 关于的方程组的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：令，， 则原方程组可化为， 解得，即， 解得． 1．解二元一次方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法或代入消元法解方程组即可． 【详解】解法一：， 由②得：③， 把③代入①得：， ∴，解得：， 把代入②得：， ∴方程组的解为： 解法二：， 得：③ 得： 解得：，把代入②得：， ∴方程组的解为：． 2．解二元一次方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程，掌握代入消元法是解题的关键．利用代入消元法求解，即可解题． 【详解】解：， 由①得③， 将③代入②中， 有， 解得， 将代入①中， 有， 综上，方程组的解为． 3．若方程组的解x与y互为相反数，求k的值. 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，相反数的定义以及解一元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．根据题意先解出二元一次方程组的解，再根据x与y互为相反数得到关于的一元一次方程计算即可． 【详解】解：，解得， x与y互为相反数， ， 解得． 4．解方程组: ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．对方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：方程组整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 则方程组的解为． 故答案为：． 5．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先由原方程组整理得，然后利用加减消元法解二元一次方程组即可，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 【详解】解：由整理得： 得：， 得：，解得：， 把代入得：，解得：， ∴这个方程组的解为． 6．甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？ 【答案】能，， 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：能． 甲看错了b，把甲求得的解代入①， 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②， 得， 即，． 7．方程组与的解相同，求a，b的值． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，先求出的解，再解关于a、b的方程组即可． 【详解】解：方程组与的解相同， 由②④联立可得， 解得， 把分别代入①③可得， 解得 8．若关于，的二元一次方程的解也是二元一次方程的解，求的值． 【答案】 【分析】把两个方程相加即可求出，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， ①+②得：， ， ， ， ， 的值为． 9．已知和是方程的两组解，求m、n的值． 【答案】 【分析】把和代入方程得到关于m、n的二元一次方程组求解即可解答． 【详解】解：把和代入方程， 得： ，解得：． 10．已知方程组的解满足，求k的值． 【答案】 【分析】先计算①+②推出，再由得到，据此求解即可． 【详解】解： ①+②得：， ∴， 又∵， ∴， 解得． 11．已如和都是方程的解，求a和b的值． 【答案】a和b的值分别为、． 【分析】把x与y的两对值代入方程计算即可求出a与b的值． 【详解】∵和都是方程的解， ∴， 解得： ， a和b的值分别为、． 【点睛】此题考查二元一次方程的解，根据条件列出一元二次方程是解题关键． 12．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组解的含义及其解法，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键． （1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值即可； （2）把m与n的值代入方程组求出解即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ∴把代入②得 ， 解得：， 把代入①得： ， 解得：； （2）把，代入方程组得： 得： ， 即， 把x=2代入①得：， 则方程组的解为． 13．数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】解：（1）设， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得，故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴，解方程组，得． 14．数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于的二元一次方程组，的解为，那么关于的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ． (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为， 求关于的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，根据题目给出的示例，用换元法解二元一次方程组是解答本题的关键． （1）设，即可得到，解方程组即可求解； （2）设，则原方程组化为，解方程组即可求解； （3）设，则原方程组化为，，根据已知，可得，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 则原方程组化为， ∵关于的二元一次方程组的解为， ∴，解得：， 故答案为：； （2）解：设， 则原方程组化为， 解得， ∴， 解得； （3）解：设， 则原方程组化为， 整理得， ∵关于的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， ∴． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$