精品解析：陕西师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

期末考试高二年级数学试题 注意事项： 1．本考试满分150分，时间120分钟． 2．答卷前将答题纸上的个人考试信息填写完整． 3．本试卷答案均写在答题纸上，答卷必须使用的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰、并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效． 4．只交答题纸，不交试题卷． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线垂直的充要条件及点斜式计算即可. 【详解】若直线与垂直，则其斜率为， 又该直线过，根据点斜式有，整理得. 故选：C 2. 若函数，则等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数求导法则求出导数，再代入求出导数值. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 3. 如图，三棱锥中，，，，点N为BC中点，点M满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】因为三棱锥中，，，，且点N为BC中点，点M满足， 所以 故选：B 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 公差 B. C. 的最大值为 D. 满足的的最小值为16 【答案】AC 【解析】 【分析】根据求出与公差的关系即可判断AB；再根据等差数列前项和公式即可判断CD. 【详解】因为， 则，即， 则，故A正确； ，故B错误； 由，得， , 因为， 所以数列是递减数列，且当时，，当时，， 所以的最大值为，故C正确； ， 令，解得， 所以满足的的最小值为，故D错误. 故选：AC. 5. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 6. 已知为等比数列，为数列的前n项和，，则（ ） A. 3 B. 18 C. 54 D. 152 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设有且，即可得公比为3，首项为2，利用通项公式求对应项. 【详解】由题设得，作差可得，即， 又为等比数列，故其公比为3，且，即， 所以. 故选：C 7. 已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于、两点，又直线与圆交于、两点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出直线方程为与抛物线方程联立方程组，设、，方程组消元后求得，再由焦点弦长公式表示出弦长，圆心就是抛物线的焦点，圆半径是，则，代入已知条件可求得． 【详解】圆的标准方程为，则圆的圆心为，半径为， 所以，，故， 易知直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，所以，， 所以，， 因为，解得. 故选：A. 8. 记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（ ） A. 999 B. 1000 C. 1001 D. 1002 【答案】C 【解析】 【分析】由数列的前项积满足，可求得是等差数列，并求得的通项， 进而得到的通项，再由，即可求得正整数的最小值. 【详解】∵为正项数列的前项积， ， ∴当时，， 时，，又， ∴，即， ∴是首项为3，公差为2的等差数列，且. 由，得 若，则，∴ 所以，正整数的最小值为1001. 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（ ） A. 若两圆有3条公切线，则 B. 若两圆公共弦所在的直线方程为，则 C. 若两圆公共弦长为，则 D. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，由两圆有条公切线，则两圆外切，由两圆圆心距与半径关系得；选项B，若两圆相交，由两圆方程作差得公共弦方程，先待定再验证相交可知；选项C，由半弦长、半径及圆心距关系可得；选项D，结合图形，由，可得等量关系求解. 【详解】设圆为圆，圆的圆心为，半径， 设圆为圆，圆的圆心为，半径， . A选项，若两圆有3条公切线，则两圆外切， 所以，A选项正确； B选项，由两式相减并化简得， 则， 此时，满足两圆相交，B选项正确； C选项，由两式相减并化简得， 到直线的距离为， 所以， 即，则解得或，C选项错误. D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为， 根据圆的几何性质可知， 所以，D选项正确. 故选：ABD 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 11. 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 曲线关于坐标轴对称 C. 曲线与轴没有交点 D. 的面积不大于 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知，利用两点间距离公式，可得动点的轨迹方程，即可判断A；由对称性代入即可判断B；在的轨迹方程中令，可解出，即可判断C；由三角形的面积公式，即可判断D. 【详解】设，由， 得， 化简得，故A正确； 该方程中把改为或把改为方程均不变，故B正确； 在方程中，令得， 当时，或，当时，，当时，，故C不正确； ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸中相应的横线上．） 12. 函数的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】分，化简函数解析式，分别研究函数的单调性，结合单调性求其取值范围，由此确定函数的最小值. 【详解】函数的定义域为， 当时，，所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，； 当时，， 因为函数、在上都单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以当时，， 所以函数的最小值为. 故答案为：. 13. 双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点P，若，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题设，不妨令，过作，则，结合勾股定理、等腰直角三角形求，再由双曲线定义求参数间的数量关系，进而求离心率. 【详解】如下图，垂直一条渐近线，则， 过作，故，又， ∴，，又在△中，故，， 由双曲线定义知：，则， ∴. 故答案为：. 14. 如图所示，在平行四边形中，为中点，，，.沿着将折起，使到达点的位置，且平面平面.若点为内的动点，且满足，则点的轨迹的长度为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件探求出PB，PC在平面的射影PE，PD的关系，再在平面内建立平面直角坐标系，探讨出动点P在内的轨迹即可作答. 【详解】因平面平面，平面平面，，于是得平面，而，则平面， 从而得PE，PD分别是PB，PC在平面内的射影，如图，， ，而，则， 在所在平面内以点E为原点，射线ED、分别为x，y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图， 则，设，于是得，整理得， 从而得点P的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，圆M交分别于Q，N， 显然，圆M在内的部分是圆心角所对的弧，弧长为， 所以点的轨迹的长度为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 【答案】（1） （2）由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，而， 则， 于是， 解得，， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 略 16. 已知函数（其中e为自然对数的底数）． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值； （3）设函数，若对，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为1； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数几何意义求出切线方程. （2）利用导数求出函数在指定区间上的最值. （3）由（2）的结论，将问题转化为成立，再分离参数构造函数求出最大值即可得解. 【小问1详解】 数，求导得， 则，而， 所以曲线在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 由（1）知，当时，，函数在上单调递增， 所以. 【小问3详解】 由（2）知，，， 由对，不等式恒成立， 得，而函数在上单调递减， 当时，，因此， 所以实数的取值范围为. 17. 已知四棱柱的所有棱长都为2，且. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）设与的交点为，连接， 因为，，， 所以， 所以， 又因为是的中点，所以， 另由且， 所以平面， 而平面，所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）要证平面平面，转化为证明平面，通过证明及可得； （2）连接，由（1）可得为直线与平面所成的角，在中求角的正弦值.另外可以用向量法求线面角. 【详解】（1）略 （2）（法一）连接，由（1）知平面， 所以为直线与平面所成的角， 在菱形中，， 故， 所以 又因为，所以， 所以. （法二）过作直线平面，分别以、、为、、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 依题意，得，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，令，则，即， 所以， 即直线与平面所成的角的正弦值为. 【点睛】本题考查面面垂直的判定以及空间线面角的求解，其中关键是要找到线面角的平面角，考查了学生空间想象能力，是中档题. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为．已知点，且的面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点． 【答案】（1）； （2） 当直线PQ斜率不存在时，设直线PQ方程为（且） 则，由， ，解得，不符合题设； 因此直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为， 由消去，得， ，， 由，得， 即， 则， 整理得， 于是， 整理得，而，则，当且仅当时，， 直线PQ的方程为，即， 所以直线PQ恒过定点. 【解析】 【分析】（1）根据给定的椭圆方程，利用三角形面积求出，即求得椭圆方程. （2）设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，结合的斜率关系，求得对应参数的约束条件，即可求得直线恒过的定点. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为c，由的面积为，得， 而，又，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：处理第二问的关键是能够熟练应用韦达定理，合理转化已知条件，从而求得参数之间的关系. 19. 已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值； （2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值. 【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值 由题意知，，设圆M上的点，则． 所以． 从而有． 因为，所以当时，． 又，解之得，因此． [方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值 抛物线的焦点为，， 所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； （2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法 抛物线的方程为，即，对该函数求导得， 设点、、， 直线的方程为，即，即， 同理可知，直线的方程为， 由于点为这两条直线的公共点，则， 所以，点A、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 点到直线的距离为， 所以，， ， 由已知可得，所以，当时，的面积取最大值. [方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值 同方法一得到． 过P作y轴的平行线交于Q，则． ． P点在圆M上，则 ． 故当时的面积最大，最大值为． [方法三]：直接设直线AB方程法 设切点A，B的坐标分别为，． 设，联立和抛物线C的方程得整理得． 判别式，即，且． 抛物线C的方程为，即，有． 则，整理得，同理可得． 联立方程可得点P的坐标为，即． 将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得． 由弦长公式得． 点P到直线的距离为． 所以， 其中，即． 当时，． 【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得关于圆M上的点的坐标的表达式，进一步转化为关于的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得的值；方法二，利用圆的性质，与圆上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点、、，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线的坐标满足方程，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，利用弦长公式求得的长，进而得到面积关于坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到，，过P作y轴的平行线交于Q，则．由求得面积关于坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到，且．利用点在圆上，求得的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试高二年级数学试题 注意事项： 1．本考试满分150分，时间120分钟． 2．答卷前将答题纸上的个人考试信息填写完整． 3．本试卷答案均写在答题纸上，答卷必须使用的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰、并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效． 4．只交答题纸，不交试题卷． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若函数，则等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 如图，三棱锥中，，，，点N为BC中点，点M满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 公差 B. C. 的最大值为 D. 满足的的最小值为16 5. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 6. 已知为等比数列，为数列的前n项和，，则（ ） A. 3 B. 18 C. 54 D. 152 7. 已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于、两点，又直线与圆交于、两点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（ ） A. 999 B. 1000 C. 1001 D. 1002 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（ ） A. 若两圆有3条公切线，则 B. 若两圆公共弦所在的直线方程为，则 C. 若两圆公共弦长为，则 D. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 曲线关于坐标轴对称 C. 曲线与轴没有交点 D. 的面积不大于 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸中相应的横线上．） 12. 函数的最小值为________． 13. 双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点P，若，则双曲线的离心率为______． 14. 如图所示，在平行四边形中，为中点，，，.沿着将折起，使到达点的位置，且平面平面.若点为内的动点，且满足，则点的轨迹的长度为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 16. 已知函数（其中e为自然对数的底数）． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值； （3）设函数，若对，不等式恒成立，求a的取值范围． 17. 已知四棱柱的所有棱长都为2，且. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为．已知点，且的面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点． 19. 已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $