6.4三元一次方程组（3大题型提分练）（题型专练）数学新教材冀教版七年级下册

6.4简单的三元一次方程组 题型一 三元一次方程(组)的定义 1．下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．下列方程组中，不是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 题型二 解三元一次方程组 1．解方程组，最简便的消元方法是（    ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数项 2．解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（　　） A．①③，①② B．①③，③② C．②①，②③ D．①②，①③ 3．若二元一次方程，，有公共解，则k的取值为（   ） A．3 B．-3 C．-4 D．4 4．已知方程组 ，则a+b+c＝ ． 5．已知与的和还是单项式，则a＝ ，b＝ ，c＝ ． 7．解方程组： (1) (2) (3) (4) 题型三 三元一次方程组的应用 1．如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“”的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 2．有甲、乙、丙三种商品，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙 件、丙件，共需元，则购甲、乙、丙三种商品各件共需 （    ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 3．甲，乙，丙三人共解出100道题，每人都解对其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出叫做中等题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题和容易题谁多，多几题（    ） A．容易题比难题多20题 B．难题比容易题多20题 C．一样多 D．无法确定 4．甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需钱 元． 5．现有三箱精装苹果，其中两箱共个苹果，两箱共个苹果，两箱共个苹果，求每箱各有多少个苹果？ 6．如图是一个正方体展开图，已知正方体相对两面的代数式的值相等； （1）求a、b、c 的值； （2）判断a+b﹣c的平方根是有理数还是无理数． 1．三元一次方程组 的 的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．已知，，，则代数式的值是（　　） A．32 B．64 C．96 D．128 3．已知是方程组的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 4．已知，则 ． 5．若三元一次方程，当，时，，则的值为 ． 6．解方程组：． 7． 一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数． 8．某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数？ 9．【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1) 已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 10．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4简单的三元一次方程组 题型一 三元一次方程(组)的定义 1．下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程的识别，含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意； C、是三元一次方程，符合题意； D、方程化简为：，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； 故选C． 2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程组叫做三元一次方程组．利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：由三元一次方程组的定义得 是三元一次方程组， 故选：C． 【点睛】此题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 3．下列方程组中，不是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据三元一次方程组的定义即可求解 题型二 解三元一次方程组 1．解方程组，最简便的消元方法是（    ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数项 【答案】B 【解析】根据消元的思想思路即可求解. 2．解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（　　） A．①③，①② B．①③，③② C．②①，②③ D．①②，①③ 【答案】C 【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去． 【详解】解：解三元一次方程组， 得： 得： 方程组变形为，刚好消去z， 故选：C． 【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征灵活应用加减消元法． 3．若二元一次方程，，有公共解，则k的取值为（   ） A．3 B．-3 C．-4 D．4 【答案】D 【分析】先利用方程和组成方程组，求出x、y，再代入求出k值. 【详解】由题意，得： 解得： 将代入中，得：， 解得：. 故选D. 【点睛】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单. 4．已知方程组 ，则a+b+c＝ ． 【答案】2 【分析】方程组三方程相加即可求出所求． 【详解】， ①+②+③得：2（a+b+c）=4， 则a+b+c=2， 故答案为2 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 5．已知与的和还是单项式，则a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 5 6 【解析】根据单项式的定义列出关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组即可求解. 6．已知从方程组中求出 . 【答案】2:5 【分析】根据方程组系数的特点，消去未知数y，得出x与z的关系，便可求出比值． 【详解】解：， ①+②得：5x-2z=0，∴5x=2z，即x:z=2:5， 故答案为2:5. 【点睛】本题考查了解三元一次方程组．可利用加减消元或代入消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组. 7．解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用加减消元和代入消元法解方程即可； （2）利用加减消元和代入消元法解方程即可； （3）利用代入消元法解方程即可； （4）利用加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解：， ①②得： ④， 把③代入④得： ， 解得：， 把代入③得： ， 把，代入①得： ， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解： 得：， ∴， 由②得：④， 将④代入①得： ， 解得：， 将，代入④得：， ∴原方程组的解为：； （3）解：， 由①得 ④， 由②得 ⑤， 把④、⑤代入③得：， 解得 ， 把代入④得 ， 把代入⑤得， ∴； （4）解： ，得， ，得， 解方程组 ， 解得， 把代入①，得， 所以原方程组的解为 ． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． 题型三 三元一次方程组的应用 1．如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“”的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答． 【详解】 解：设1个“”， “”，“”的质量分别为， ∴， ∴， ∴， 即：与1个“”质量相等的“”的个数为2； 故选C． 2．有甲、乙、丙三种商品，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙 件、丙件，共需元，则购甲、乙、丙三种商品各件共需 （    ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】A 【分析】设甲件元、乙件元、丙件元，根据数量关系，列方程，解方程即可求解． 【详解】解：设甲件元、乙件元、丙件元，根据题意得， ，两个式子相加得，， ∴，即甲、乙、丙三种商品各件共需元， 故选：． 【点睛】本题主要考查三元一次方程与实际问题的综合应用，理解题目数量关系，列方程是解题的关键． 3．甲，乙，丙三人共解出100道题，每人都解对其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出叫做中等题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题和容易题谁多，多几题（    ） A．容易题比难题多20题 B．难题比容易题多20题 C．一样多 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题有三个未知数：难题个数、容易题个数、正好两人解出的题（中等难度的题）的个数，有两个等量关系：（1）难度题个数＋容易题个数＋中等难度题个数＝100．（2）难题个数＋容易题个数×3＋中等难度题个数×2＝60×3． 【详解】设共有x道题难题，z道容易题，中等难度的题为y道，根据题意得 由①×2−②，得x−z＝20． 故难题比容易题多20道． 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据答题的总数，难题、中档题、容易题的总数得出方程组是解题关键，解题技巧是：加减消元法消去y． 4．甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需钱 元． 【答案】55 【分析】设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，根据“购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱”列出方程组，用含y的代数式分别表示出x、z，再将x、y、z三者相加即可得出结论. 【详解】解：设一件甲商品x元，乙y元，丙z元． 根据题意得： ， 解的 ， ∴2x+2y+2z=150-3y+2y+y-40=110， ∴x+y+z=55， 故答案为55. 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题时认真审题，弄清题意，再列方程解答，含y的代数式分别表示出x、z是解题的关键. 5．现有三箱精装苹果，其中两箱共个苹果，两箱共个苹果，两箱共个苹果，求每箱各有多少个苹果？ 【答案】A箱有48个，B箱有52个，C箱有54个 【分析】可以列三元一次方程组来求解，设A箱有x个苹果，B箱有y个苹果，C箱有z个苹果，三句话可以列三个等式，解出三元一次方程组即可 【详解】解：设A有x个，B有y个，C有z个，依题意可得：    解得 故答案为A箱有48个苹果，B箱有52个苹果，C箱有54个苹果. 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，会根据题目给出的信息找出等量关系是关键. 6．如图是一个正方体展开图，已知正方体相对两面的代数式的值相等； （1）求a、b、c 的值； （2）判断a+b﹣c的平方根是有理数还是无理数． 【答案】（1）a=3，b=1，c=±2；（2）无理数． 【分析】（1）根据正方体相对两面的代数式的值相等可列出方程组，从而解出即可得出答案． （2）根据（1）的结果，将各组数据分别代入可判断出结果． 【详解】（1）依题意，得  ， 由 ①、②得方程组：， 解得：， 由③得：c=±2， ∴a=3，b=1，c=±2． （2）当a=3，b=1，c=﹣2 时 a+b﹣c=3+1+2=6， a=3，b=1，c=2时 a+b﹣c=3+1﹣2=2． ∵和都是无理数， ∴a+b﹣c的平方根是无理数． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，对于本题来说，正确的列出并解出三元一次方程组是关键，注意第二问要在第一问的基础上进行． 1．三元一次方程组 的 的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，先将三个式子相加，求出，再用可得答案． 【详解】解：， 由，得， 即， 由，得． 故选：B． 2．已知，，，则代数式的值是（　　） A．32 B．64 C．96 D．128 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程的解法，解题的关键是读懂题目． 首先利用将三个方程看出三元一次方程组求出x，z的值，然后代入所求代数式即可求解． 【详解】解：，， 得：， ， 而， 得， ， 把代入得：， ． 故选：C． 3．已知是方程组的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了三元一次方程组的解，以及解三元一次方程组，方程组的解为能使方程组中每一个方程左右两边相等的未知数的值，本题的技巧性比较强，求不要求出，及的值，而是整体求出．由题意，可将，及的值代入方程组得到关于，，的方程组，将方程组中三个方程左右两边相加，变形后即可求出的值． 【详解】解：由题意将代入方程组得： ， 得：， 即， ∴． 故选：． 4．已知，则 ． 【答案】1 【分析】该题主要考查了三元一次方程组，解题的关键是加减消元． 根据算出，再根据算出，代入即可求解； 【详解】解：， 得：，即， 得：，即， ∴， 故答案为：1． 5．若三元一次方程，当，时，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三元一次方程，一元一次方程的应用，关键是能得出关于的一元一次方程．把，，代入三元一次方程得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】把，，，代入三元一次方程得： ， 解得：， 故答案为． 6．解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，采用加减消元法即可作答． 【详解】解：， ①②得：④， ③④得： 解得：， 把代入③得：， 把，代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：． 7．一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数． 【答案】原来的三位数为287． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用， 先设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，再根据等量关系列出方程组，求出解即可. 【详解】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z， 由题意，得， 解得， 答：原来的三位数为287． 8．某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数？ 【答案】第一道工序里有30人，第二道工序里有18人，第三道工序里有15人 【分析】本题主要考查三元一次方程组的运用，根据题意，设第一道工序里有x人，第二道工序里有y人，第三道工序里有z人，由数量关系列式求解即可． 【详解】解：设第一道工序里有x人，第二道工序里有y人，第三道工序里有z人，依题意，得     ， 解得 ， 答：第一道工序里有30人，第二道工序里有18人，第三道工序里有15人． 9．【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 【答案】(1)， (2)1根丙种钢条长米． 【分析】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键． （1）利用整体思想进行求解即可； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可； 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米， 由题意，得：， ，得：； ∴丙种钢条长米． 10．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$