专题07 图形的变化（4类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（广东专用）

专题07 图形的变化 课标要求 考点 考向 1. 能准确识别轴对称图形和中心对称图形； 2. 相似的性质：理解相似图形的对应角相等、对应边成比例的性质，能运用这些性质进行相关的计算和推理。 3. 相似的判定：掌握相似三角形的判定定理，如两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例等，并能熟练运用这些判定定理来判断两个三角形是否相似。 4. 锐角三角函数：熟悉正弦、余弦、正切等锐角三角函数的定义，能够根据直角三角形的边长求出相应的三角函数值，以及利用三角函数值解决与直角三角形相关的问题。 对称 考向一 图形的识别 相似 考向一 相似的性质与判定 锐角三角函数 考向一 计算 考向二 实际应用 考点一 对称 ►考向一 图形的识别 1.（2024·广东·中考真题）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·广东广州·中考真题）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     考点二 相似 ►考向一 相似的性质与判定 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 2.（2023·广东·中考真题）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．    易错易混提醒：相似三角形的判定定理较多，容易混淆使用条件。例如，两角对应相等的两个三角形相似，但容易与其他判定定理混淆，导致判定错误。 解题技巧：根据已知条件选择合适的相似判定定理。如果已知两角对应相等，可以直接判定两个三角形相似；如果已知两边对应成比例且夹角相等，也可以判定相似；如果已知三边对应成比例，同样可以判定相似。在判定过程中，要注意条件的充分性和必要性。 考点三 锐角三角函数 ►考向一 计算 1.（2024·广东深圳·中考真题）计算：． 2.（2023·广东深圳·中考真题）计算：． ►考向二 实际应用 1.（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米． (1)求的长； (2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，） 2.（2023·广东·中考真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂，两臂夹角时，求A，B两点间的距离．(结果精确到，参考数据，，)    1.（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．    根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)求的长； (2)该充电站有20个停车位，求的长． 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点B，则直线的表达式为（      ） A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图所示的图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东深圳·一模）如图，矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点C，，三点共线时，交于点E，则的长度是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则的值为（       ） A． B．1 C．4 D． 5．（2024·广东汕头·二模）一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为，则它的宽为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是的边的中点，，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2024·广东·模拟预测）已知：点与点关于原点成中心对称，则 ． 8．（2024·广东深圳·模拟预测）小明希望测量出电线杆的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点处立一标杆使标杆的影子与电线杆的影子部分重叠即点，，在一直线上，量得，，，则电线杆的长为 ． 9．（2024·广东·模拟预测）如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则 ． 三、解答题 10．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：． 11．（2024·广东·模拟预测）计算：． 12．（2024·广东·模拟预测）图（1）是一种安全平推窗在开启时的状态，图（2）是其中一个连接件的平面图． 测得，， 求B， D 两点间的距离．（结果精确到， 参考数据：）    13．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1，佛山电视塔坐落于佛山市禅城区文华公园内，它集广播电视发射、旅游观光以及饮食娱乐于一体，是佛山市标志性建筑之一． 小梁和小罗利用卷尺和自制的测角仪对电视塔的高度进行了测量． 如图2，小梁站在点A 处利用测角仪测得电视塔顶端D 的 仰 角为，小罗站在点B 处利用测角仪测得电视塔顶端D的仰角为．已知测角仪高度均为， 两人相距．( 点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，点A，B，C 在一条直线上) (1)求电视塔的高度． (结果精确到． 参考数据：，， ，) (2)根据“景点简介”显示，佛山电视塔总高为．请提出一条减小误差的合理化建议 ． 14．（2024·广东·模拟预测）路边有一口废弃的圆柱形枯井，出于安全考虑，大家准备运来泥土把它填平，如图，先测得井口的直径，然后在D处立一根长的铁管，用聚光笔从铁管的顶端E点照射井底B点，光线与直径交于点O，测得．求填平这口井需要的泥土的体积（参考数据：）． 15．（2024·广东东莞·三模）【综合与实践】 要测量学校旗杆的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，小镜子，直角三角形纸板等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图                                                    说明 利用镜子反射测量旗杆的高度，点O为镜子，眼睛B看到镜子中的旗杆顶端C． 先测量观测台的高，再在观测点E处测得旗杆顶端C点的仰角，旗杆底端D点的俯角．（其中于F） 利用直角三角形纸板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上，直角三角板的斜边与旗杆顶端C在同一直线上． 测量数据 ，． ，，． ，，． (1)根据测量数据，无法计算学校旗杆的高度的小组有第________小组和第_______小组； (2)请选择其中一个可计算的方案及运用其数据求学校旗杆的高度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 图形的变化 课标要求 考点 考向 1. 能准确识别轴对称图形和中心对称图形； 2. 相似的性质：理解相似图形的对应角相等、对应边成比例的性质，能运用这些性质进行相关的计算和推理。 3. 相似的判定：掌握相似三角形的判定定理，如两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例等，并能熟练运用这些判定定理来判断两个三角形是否相似。 4. 锐角三角函数：熟悉正弦、余弦、正切等锐角三角函数的定义，能够根据直角三角形的边长求出相应的三角函数值，以及利用三角函数值解决与直角三角形相关的问题。 对称 考向一 图形的识别 相似 考向一 相似的性质与判定 锐角三角函数 考向一 计算 考向二 实际应用 考点一 对称 ►考向一 图形的识别 1.（2024·广东·中考真题）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2.（2024·广东广州·中考真题）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】C 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 考点二 相似 ►考向一 相似的性质与判定 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 2.（2023·广东·中考真题）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】15 【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图，    由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为15． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 易错易混提醒：相似三角形的判定定理较多，容易混淆使用条件。例如，两角对应相等的两个三角形相似，但容易与其他判定定理混淆，导致判定错误。 解题技巧：根据已知条件选择合适的相似判定定理。如果已知两角对应相等，可以直接判定两个三角形相似；如果已知两边对应成比例且夹角相等，也可以判定相似；如果已知三边对应成比例，同样可以判定相似。在判定过程中，要注意条件的充分性和必要性。 考点三 锐角三角函数 ►考向一 计算 1.（2024·广东深圳·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂．先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得 【详解】解： ． 2.（2023·广东深圳·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】根据零次幂及特殊三角函数值可进行求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键． ►考向二 实际应用 1.（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米． (1)求的长； (2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，） 【答案】(1)的长约为8米； (2)模拟装置从点下降到点的时间为秒． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键． （1）过点作交于点，根据余弦值求出的长即可； （2）先由勾股定理，求出的长，再利用正弦值求出的长，进而得到的长，然后除以速度，即可求出下降时间． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， 由题意可知，， ， 在中，，米， ， 米， 即的长约为8米； （2）解：米，米， 米， 在中，，米， ， 米， 米， 模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点， 模拟装置从点下降到点的时间为秒， 即模拟装置从点下降到点的时间为秒． 2.（2023·广东·中考真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂，两臂夹角时，求A，B两点间的距离．(结果精确到，参考数据，，)    【答案】 【分析】连接，作作于D，由等腰三角形“三线合一”性质可知，，，在中利用求出，继而求出即可． 【详解】解：连接，作于D，    ∵，， ∴是边边上的中线，也是的角平分线， ∴，， 在中，，， ∴， ∴ ∴ 答：A，B两点间的距离为． 【点睛】本题考查等腰三角的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 1.（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．    根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)求的长； (2)该充电站有20个停车位，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用： （1）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案； （2）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴    （2）解：在中，， 在中，， ∵该充电站有20个停车位， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点B，则直线的表达式为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数解析式的求解，根据题干信息得出，再利用待定系数法求解． 【详解】解：点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点， 设直线的表达式为，则 ， 解得：， ， 故选：B． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图所示的图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质：不改变图形的形状和大小解答即可． 此题主要考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，掌握图形平移的性质是解题的关键． 【详解】解：观察图形可知，A选项图案可以看作由“基本图案”经过平移得到， 故选：A． 3．（2024·广东深圳·一模）如图，矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点C，，三点共线时，交于点E，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先证明，进而证明，于是可得，，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 矩形， ，，， 由旋转的性质可得：，，，， 是等腰三角形，且， ， ， 在和中， ， ， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， ， 解得：， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 4．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则的值为（       ） A． B．1 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了两个点关于原点对称的坐标特征，代数式求值，根据两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号相反，进而可得的值，解题的关键是掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标是， ∴，， ∴， 故选：D． 5．（2024·广东汕头·二模）一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为，则它的宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是黄金分割，根据黄金比值是进行计算即可，掌握黄金比值为是解题的关键． 【详解】解：一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为， 它的宽， 故选：D． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是的边的中点，，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，求角的正弦值，延长 至点，使，连接，，可证明四边形是平行四边形，得到，则当最大时，最小；过点A作 交的延长线于点，由于，则最大为30度，据此可得答案． 【详解】解：如图，延长 至点，使，连接，． 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， 当最大时，最小． 过点A作 交的延长线于点， ∴， 当且仅当 时等号成立，此时最大，， 的最小值为， 故选：D． 二、填空题 7．（2024·广东·模拟预测）已知：点与点关于原点成中心对称，则 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，即横、纵坐标均互为相反数．先根据关于原点对称点的特点求得的值，然后代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，，即，， ， 故答案为：2024． 8．（2024·广东深圳·模拟预测）小明希望测量出电线杆的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点处立一标杆使标杆的影子与电线杆的影子部分重叠即点，，在一直线上，量得，，，则电线杆的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，根据题意易证，得到，利用相似三角形的相似比即可求出电线杆长． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 9．（2024·广东·模拟预测）如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，求正切值，等边对等角，结合题意，由正方形的性质可知，则，，再根据即可求解，熟练理解相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， 由题意可知，则， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 10．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． 11．（2024·广东·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数，负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键； 根据零指数，负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行化简即可求解． 【详解】解： 12．（2024·广东·模拟预测）图（1）是一种安全平推窗在开启时的状态，图（2）是其中一个连接件的平面图． 测得，， 求B， D 两点间的距离．（结果精确到， 参考数据：）    【答案】19.3厘米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，连接，过点O作，垂足为点H，利用三线合一和锐角三角函数，求出的长即可 【详解】解：连接，过点O作，垂足为点H，则：．    ∵， ， 在中， ， ∴． 答：B，D两点间的距离为． 13．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1，佛山电视塔坐落于佛山市禅城区文华公园内，它集广播电视发射、旅游观光以及饮食娱乐于一体，是佛山市标志性建筑之一． 小梁和小罗利用卷尺和自制的测角仪对电视塔的高度进行了测量． 如图2，小梁站在点A 处利用测角仪测得电视塔顶端D 的 仰 角为，小罗站在点B 处利用测角仪测得电视塔顶端D的仰角为．已知测角仪高度均为， 两人相距．( 点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，点A，B，C 在一条直线上) (1)求电视塔的高度． (结果精确到． 参考数据：，， ，) (2)根据“景点简介”显示，佛山电视塔总高为．请提出一条减小误差的合理化建议 ． 【答案】(1)的高度约为； (2)减小误差可多次测量，去测量数据的平均值． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意可得，再根据锐角三角函数表示出的长，结合图形列出方程，解方程得到答案； （2）结合（1）误差为，进而可得减小误差的建议：多次测量，求平均值． 【详解】（1）解：如图，延长交于点． 由题意知，四边形和四边形均为矩形． ，，． 设，则． 在中， ， ， 在中， ， ， ． 解得． 答：电视塔的高度约为； （2）误差为． 减小误差可多次测量，去测量数据的平均值． 14．（2024·广东·模拟预测）路边有一口废弃的圆柱形枯井，出于安全考虑，大家准备运来泥土把它填平，如图，先测得井口的直径，然后在D处立一根长的铁管，用聚光笔从铁管的顶端E点照射井底B点，光线与直径交于点O，测得．求填平这口井需要的泥土的体积（参考数据：）． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质及圆柱体积计算，先证明，求出枯井的深，进而求出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ 解得， ∴圆柱形枯井的体积为， ∴填平这口井需要的泥土的体积大约是． 15．（2024·广东东莞·三模）【综合与实践】 要测量学校旗杆的高度，三个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，小镜子，直角三角形纸板等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图                                                    说明 利用镜子反射测量旗杆的高度，点O为镜子，眼睛B看到镜子中的旗杆顶端C． 先测量观测台的高，再在观测点E处测得旗杆顶端C点的仰角，旗杆底端D点的俯角．（其中于F） 利用直角三角形纸板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上，直角三角板的斜边与旗杆顶端C在同一直线上． 测量数据 ，． ，，． ，，． (1)根据测量数据，无法计算学校旗杆的高度的小组有第________小组和第_______小组； (2)请选择其中一个可计算的方案及运用其数据求学校旗杆的高度． 【答案】(1)一；三 (2)选择方案二，旗杆的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，解决本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义． （1）根据相似三角形的性质和解直角三角形的知识，可作出判断； （2）对方案二，先求出，进而求出，即可求出． 【详解】（1）解：第一，第三小组的数据无法算出大楼高度， 理由：第一小组是利用进行计算的，即利用求，但只测量了，，没有测量长度，所以第一小组的数据无法算出大楼高度， 第三小组利用进行计算的，即利用求，再加，但只测量了，，．没有测量线段或的长度，所以第三小组的数据无法算出大楼高度， 故答案为：一，三； （2）解：选择第二小组的方案， 在中，，，， ∴， 在中，，， ， ∴， 答：学校旗杆的高度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$