专题08 三角形（8类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（陕西专用）

专题08 三角形 课标要求 考点 考向 三角形中的边角关系与重要线段： 1.会证明三角形的任意两边之和大于第三边。 2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3.①理解三角形及其内角、外角，中线、高线，角平分线等概念，了解三角形重心的概念．了解三角形的稳定性。②掌握三角形的中位线性质定理。 全等三角形： 4．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；掌握全等三角形的性质. 5．理解并掌握全等三角形的判定条件（SSS、SAS、AAS、ASA）： 等腰三角形与直角三角形的性质与判定： 6．①理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质和判定定理；②探索等边三角形的性质和判定定理； ④探索等边三角形的判定定理。 7． ①理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理。②掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。③探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。④探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。 相似三角形与锐角三角函数： 8.①了解黄金分割。②掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。③了解相似三角形的判定定理和性质定理。⑤了解图形的位似。⑥会利用图形的相似解决些简单的实际问题。 9.①探索并认识锐角三角函数(sin A,cosA, tanA), 知道30°，45°，60°角的三角函数值。②会由已知三角函数值求它的对应锐角。③能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。 三角形的认识 考向一 三角形的分类 考向二 三角形中的边角关系 全等三角形的判定与性质 考向一 全等三角形的性质与判定 直角三角形 考向一 勾股定理 等腰三角形 考向一 等腰三角形的判定与性质 运用三角形相关知识测高(求长) 考向一 构造全等三角形 考向二 构造直角三角形 考向三 构造相似三角形 考点脉络梳理 在整个初中阶段，与三角形相关的考点有很多，我们可以如下建构知识体系： 在此知识体系下，勾股定理、锐角三角函数、全等三角形、相似三角形的相关定理都是分析问题的工具，目的是为了在判断全等、构造直角三角形、判断相似之后，得出新的边角关系，最终解决问题。 知识提要 ·应用全等三角形的性质判断边/角相等 ①对应角相等；②对应边相等；③对应周长、面积相等；④对应角平分线、中线、高线相等。 ， ·直角三角形中的边角关系角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 边边关系：勾股定理，即； 边角关系：锐角三角函数，即　 　 ·构造三角形的性质判断边角关系：相似三角形的对应角相等、对应边成比例 ①如图1，⇔⇔． ②如图2，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； （图1） （图2） 考点一 三角形的认识 ►考向一 三角形的分类 考查角度1 直角三角形的概念 1．（2024·陕西）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ►考向二 三角形中的边角关系 ·三角形的三边关系： 图形 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边的和大于第三边 a+b>c,b+c>a,a+c>b 两点之间，线段最短 三角形两边的差小于第三边 a-b<c,b-c<a,a-c<b(a>b>c) ·三角形中的角度关系： ①三角形三个内角的和等于180° 符号表示：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. ②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号表示：∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∴∠ACD =∠A +∠B. ·三角形中的重要线段： 角平分线：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点 中线：三角形都有三条中线，三条中线都在三角形内部，并且三条中线相交于一点 高线：三角形的三条高线交于一点 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 中位线：三角形有三条中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 考查角度1 三角形的内角和 2．（2021·陕西）如图，点D、E分别在线段、上，连接、．若，，，则的大小为（   ） A．60° B．70° C．75° D．85° 考查角度2 三角形的中位线 3．（2023·陕西）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 考点二 全等三角形的判定与性质 ►考向一 全等三角形的判定与性质 考查角度1 矩形的性质与全等三角形的判定和性质 4．（2024·陕西）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 考查角度2 三角形内角和定理与全等三角形的判定和性质 5．（2023·陕西）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．    考查角度3 平行线的性质与全等三角形的判定和性质 6．（2022·陕西）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证：DE=BC． 7．（2021·陕西）如图，，，点在上，且．求证：．    考点三 直角三角形 ►考向一 勾股定理 考查角度1 利用锐角函数和勾股定理解直角三角形 8．（2022·陕西）如图，是的高，若，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 考查角度2 勾股定理与三角形等面积法 ①三角形的中线分成的两个三角形的面积的关系：如图所示，AD是△ABC 的中线，AE是△ ABC的高， 则 ， 因为BD=CD,所以=， 所以=. （等面积法） ②先用“割补法”表示一般三角形的面积，再求三角形一边上的高 9．（2020·陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）    A． B． C． D． ※10．（2024·陕西）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 考点三 等腰三角形 ►考向一 等腰三角形的判定与性质 知识提要： 1.等腰三角形的性质 ·对称性：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴 ·性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） ·几何语言： 如图，在△ ABC 中，∵AB=AC，∴∠ B= ∠ C. 性质定理2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 补充：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”） 2.含 30°角的直角三角形的性质 ·定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （含 30° 角的直角三角形的性质揭示直角边与斜边的数量关系） 几何表述：在Rt△ ABC中 ，∵∠ C=90°，∠A=30°，∴ BC= AB. 易混易错 1.“三线合一”性质应用：在等腰三角形中，运用“三线合一”的性质时，已知其中“一线”，可得到另外“两线”. ·几何表述：如图，在△ ABC 中， (1)∵ AB=AC， AD ⊥ BC ，∴ AD平分∠BAC(或BD=CD)； (2)∵ AB=AC， BD=DC，∴ AD ⊥ BC(或AD平分∠BAC)； (3)∵ AB=AC， AD平分∠BAC，∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)． 2.证明等边三角形的一般思路： 11．（2021·陕西）如图，、、、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（   ） A．6 cm B．7 cm C． D．8cm 考点五 运用三角形相关知识测高（求长） 考向一 构造全等三角形 12．（2020·陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN． 考向二 构造直角三角形（应用锐角三角函数） ·利用锐角三角函数+方程测高 锐 角 三 角 函 数 解 直 角 三 角 形 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A，∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A，∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A，， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A，， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A，， 13．（2024·陕西）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）    14．（2021·陕西）一座吊桥的钢索立柱两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索的长度，他们测得为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知点B、C、D共线，．求钢索的长度．（结果保留根号） 考向三 构造相似三角形 考查角度1 在平行投影问题中构造相似三角形 15．（2022·陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 考查角度2 在仰角俯角问题中构造相似三角形 16．（2023·陕西）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，    1．（2024·陕西·一模）如图，在中，，，平分交于点D，则图中等腰三角形的个数为（    ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，平分交于点D，，则的度数是（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，D为边上一点，且平分，若，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D．25：16 4．（2024·陕西西安·三模）如图，已知，，，则的度数为（         ）    A．30° B．40° C．50° D．60° 5．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在中，为边的中点，，，延长至点，使得，则长度可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2024·陕西商洛·二模）如图，的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）某乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，再沿方向修建．若直线，则、与满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西西安·一模）如图，中，平分，，于，，则的长为（    ） A．8 B．10 C． D． 9．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，则（    ） A．－1 B．－1 C．1 D． 11．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，，，为中点，且交于点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请你帮帮小华．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则CD的长是（    ） A． B．4 C． D． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，是上一点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·陕西渭南·二模）如图，在中，，，，点D在边上，且平分的周长，则的面积是（    ） A． B． C．6 D．12 15．（2024·陕西西安·二模）如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与相似（不含）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，于D点，F边上一动点，过F作交的延长线于点E，当四边形的面积与的面积相等时，的长度为（   ）    A． B． C． D． 17．（2025·陕西·一模）如图，在中，，于点D，若，，则的长为 ． 18．如图，在中，点是延长线上一点，，，，求证：． 19．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在中，是斜边上的高线，于点F，．求证：． 20．（2024·陕西西安·一模）已知与按如图所示的位置放置，，，，垂足为F．求证：．    21．（2024·陕西安康·二模）如图，在中，，，，垂足为F，且连接，．求证：． 22．（2024·陕西·模拟预测）小乐同学家住大楼甲中，某个周末，他站在阳台眺望远方，当看到正对面的大楼乙时，陷入了思考：对面的大楼乙有多高？于是小乐做了一个简易的测角仪用来观测大楼乙的顶端与底端．如图，小乐家在点处，当他抬头观察大楼乙的顶端时，记其仰角为，观测大楼乙的底端时，记其俯角为，整理所测数据：，．已知甲、乙两栋大楼的间距为．请根据题目数据帮助小乐计算出大楼乙的高度．（图中所有点在同一个平面内，，，结果保留根号） 23．（2024·陕西咸阳·三模）某数学兴趣小组将测量学校旗杆的高度作为一次实践活动，活动报告如下： 【活动目的】测量学校旗杆的高度． 【活动工具】测角仪、皮尺等测量工具． 【测量方案】甲同学眼睛位于教学楼的顶端处时，观察得到地面上的点、旗杆顶端、教学楼顶端在一条直线上，乙同学在点处做好标记，并到点处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角的度数，已知点在同一水平直线上，，． 【已知数据】米，米，米，． 【参考数据】，，． 请你根据以上活动报告，计算学校旗杆的高度． 24．（2024·陕西西安·一模）某中学开展综合与实践活动，小宇所在的小组负责测量该校附近的山坡的护坡石坝坝顶与坝脚之间的距离，如图，他们的测量方法如下：小宇将一根长5米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处米）距离地面的高度米，小组其他同学测得石坝与地面的倾斜角．请你根据以上信息，求出石坝坝顶与坝脚之间的距离．（结果保留一位小数；参考数据：，， 25．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是某路段路灯的示意图，灯杆长0.6m，灯柱与灯杆的夹角为．为节能环保并提高路灯的照明效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为12.3，从D，E两处分别测得路灯A的仰角为和，求灯柱的高度（参考数据：，，）． 26．（2024·陕西咸阳·模拟预测）法门寺文化景区地处陕西省宝鸡市的法门镇，法门寺又名“真身宝塔”，被誉为皇家寺庙，因安置释迦牟尼佛指骨舍利而成为举国仰望的佛教圣地，被誉为“护国真身宝塔”．为了测量这座宝塔的高度，某校数学应用实践小组做了如下的探索：小明站在D处，用测角仪测得宝塔顶端A的仰角为；然后，小明在点N处竖立高2.4米的标杆，接着沿走到点F，恰好看到标杆顶端M和宝塔顶端A在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离米，米，米．测量示意图如图所示，已知点D、B、N、F在一条直线上，，，，，求这座宝塔的高度．（参考数据：，，） 27．（2024·陕西西安·模拟预测）某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量建筑物的高度 活 动 过 程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据（A，B，C，D在同一平面上，于点D） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部A测得建筑物顶点C的仰角为； ③斜坡长52米； ④在点B测得建筑物顶点C的仰角为． 步骤四：计算建筑物的高度 请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度．（参考数据：，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 三角形 课标要求 考点 考向 三角形中的边角关系与重要线段： 1.会证明三角形的任意两边之和大于第三边。 2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3.①理解三角形及其内角、外角，中线、高线，角平分线等概念，了解三角形重心的概念．了解三角形的稳定性。②掌握三角形的中位线性质定理。 全等三角形： 4．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；掌握全等三角形的性质. 5．理解并掌握全等三角形的判定条件（SSS、SAS、AAS、ASA）： 等腰三角形与直角三角形的性质与判定： 6．①理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质和判定定理；②探索等边三角形的性质和判定定理； ④探索等边三角形的判定定理。 7． ①理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理。②掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。③探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。④探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。 相似三角形与锐角三角函数： 8.①了解黄金分割。②掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。③了解相似三角形的判定定理和性质定理。⑤了解图形的位似。⑥会利用图形的相似解决些简单的实际问题。 9.①探索并认识锐角三角函数(sin A,cosA, tanA), 知道30°，45°，60°角的三角函数值。②会由已知三角函数值求它的对应锐角。③能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。 三角形的认识 考向一 三角形的分类 考向二 三角形中的边角关系 全等三角形的判定与性质 考向一 全等三角形的性质与判定 直角三角形 考向一 勾股定理 等腰三角形 考向一 等腰三角形的判定与性质 运用三角形相关知识测高(求长) 考向一 构造全等三角形 考向二 构造直角三角形 考向三 构造相似三角形 考点脉络梳理 在整个初中阶段，与三角形相关的考点有很多，我们可以如下建构知识体系： 在此知识体系下，勾股定理、锐角三角函数、全等三角形、相似三角形的相关定理都是分析问题的工具，目的是为了在判断全等、构造直角三角形、判断相似之后，得出新的边角关系，最终解决问题。 知识提要 ·应用全等三角形的性质判断边/角相等 ①对应角相等；②对应边相等；③对应周长、面积相等；④对应角平分线、中线、高线相等。 ， ·直角三角形中的边角关系角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 边边关系：勾股定理，即； 边角关系：锐角三角函数，即　 　 ·构造三角形的性质判断边角关系：相似三角形的对应角相等、对应边成比例 ①如图1，⇔⇔． ②如图2，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； （图1） （图2） 考点一 三角形的认识 ►考向一 三角形的分类 考查角度1 直角三角形的概念 1．（2024·陕西）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：由图得，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． ►考向二 三角形中的边角关系 ·三角形的三边关系： 图形 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边的和大于第三边 a+b>c,b+c>a,a+c>b 两点之间，线段最短 三角形两边的差小于第三边 a-b<c,b-c<a,a-c<b(a>b>c) ·三角形中的角度关系： ①三角形三个内角的和等于180° 符号表示：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. ②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号表示：∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD =∠A +∠B. ·三角形中的重要线段： 角平分线：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点 中线：三角形都有三条中线，三条中线都在三角形内部，并且三条中线相交于一点 高线：三角形的三条高线交于一点 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 中位线：三角形有三条中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 考查角度1 三角形的内角和 2．（2021·陕西）如图，点D、E分别在线段、上，连接、．若，，，则的大小为（   ） A．60° B．70° C．75° D．85° 【答案】B 【分析】由题意易得，然后根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴在△BEC中，由三角形内角和可得， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键． 考查角度2 三角形的中位线 3．（2023·陕西）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 考点二 全等三角形的判定与性质 ►考向一 全等三角形的判定与性质 考查角度1 矩形的性质与全等三角形的判定和性质 4．（2024·陕西）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 考查角度2 三角形内角和定理与全等三角形的判定和性质 5．（2023·陕西）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．    【答案】见解析 【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论． 【详解】证明：在 中，，， ． ． ． ， ． 在和中， ， ∴． ． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 考查角度3 平行线的性质与全等三角形的判定和性质 6．（2022·陕西）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证：DE=BC． 【答案】证明见解析 【分析】利用角边角证明△CDE≌△ABC，即可证明DE=BC． 【详解】证明：∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B． 又∵CD=AB，∠DCE=∠A， ∴△CDE≌△ABC(ASA)． ∴DE=BC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． 7．（2021·陕西）如图，，，点在上，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】由题意易得，进而可证，然后问题可求证． 【详解】证明：∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 考点三 直角三角形 ►考向一 勾股定理 考查角度1 利用锐角函数和勾股定理解直角三角形 8．（2022·陕西）如图，是的高，若，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解直角求出AD，再在直角中应用勾股定理即可求出AB． 【详解】解：∵， ∴， ∵直角中，， ∴， ∴直角中，由勾股定理可得，． 故选D． 【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键． 考查角度2 勾股定理与三角形等面积法 ①三角形的中线分成的两个三角形的面积的关系：如图所示，AD是△ABC 的中线，AE是△ ABC的高， 则 ， 因为BD=CD,所以=， 所以=. （等面积法） ②先用“割补法”表示一般三角形的面积，再求三角形一边上的高 9．（2020·陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可． 【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝， ∵S△ABC＝3×3﹣＝， ∴， ∴， ∴BD＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． ※10．（2024·陕西）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 考点三 等腰三角形 ►考向一 等腰三角形的判定与性质 知识提要： 1.等腰三角形的性质 ·对称性：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴 ·性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） ·几何语言： 如图，在△ ABC 中，∵AB=AC，∴∠ B= ∠ C. 性质定理2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 补充：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”） 2.含 30°角的直角三角形的性质 ·定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （含 30° 角的直角三角形的性质揭示直角边与斜边的数量关系） 几何表述：在Rt△ ABC中 ，∵∠ C=90°，∠A=30°，∴ BC= AB. 易混易错 1.“三线合一”性质应用：在等腰三角形中，运用“三线合一”的性质时，已知其中“一线”，可得到另外“两线”. ·几何表述：如图，在△ ABC 中， (1)∵ AB=AC， AD ⊥ BC ，∴ AD平分∠BAC(或BD=CD)； (2)∵ AB=AC， BD=DC，∴ AD ⊥ BC(或AD平分∠BAC)； (3)∵ AB=AC， AD平分∠BAC，∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)． 2.证明等边三角形的一般思路： 11．（2021·陕西）如图，、、、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（   ） A．6 cm B．7 cm C． D．8cm 【答案】D 【分析】分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，证明，即可证明，进一步计算即可得出答案． 【详解】解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G， ∵，， ∴， ∴， 在和中； ， ∴， ∴BF=CG， ∵， ∴均为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形判定与性质，全等三角形判定与性质以及勾股定理等知识点，正确画出辅助线是解决本题的关键． 考点五 运用三角形相关知识测高（求长） 考向一 构造全等三角形 12．（2020·陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN． 【答案】80m． 【分析】过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，进而可得商业大厦的高MN． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F， ∴∠CEF＝∠BFE＝90°， ∵CA⊥AM，NM⊥AM， ∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形， ∴CE＝BF，ME＝AC，∠1＝∠2， ∴△BFN≌△CEM（ASA）， ∴NF＝EM＝31+18＝49， 由矩形性质可知：EF＝CB＝18， ∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）． 答：商业大厦的高MN为80m． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是构造直角三角形和矩形，得出NF=EM=AC． 考向二 构造直角三角形（应用锐角三角函数） ·利用锐角三角函数+方程测高 锐 角 三 角 函 数 解 直 角 三 角 形 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A，∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A，∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A，， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A，， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A，， 13．（2024·陕西）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）    【答案】山顶C点处的海拔高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点C作交的延长线于点，在和中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】解：过点C作交的延长线于点，设，    在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴山顶C点处的海拔高度为． 14．（2021·陕西）一座吊桥的钢索立柱两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索的长度，他们测得为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知点B、C、D共线，．求钢索的长度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】先设，再通过x表示出BD，最后利用三角函数关系建立方程即可完成求解． 【详解】解：在中，设． ∵，， ∴． 在中，，， ∴， 即． 解之，得 ∴ ∴钢索的长度约为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角函数、一元一次方程等知识，解决本题的关键是能建立题干信息与图形的关联，能正确设出未知数建立方程等，本题涉及到二次根式的运算等内容，对学生的计算能力有一定的考查． 考向三 构造相似三角形 考查角度1 在平行投影问题中构造相似三角形 15．（2022·陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 【答案】旗杆的高AB为3米． 【分析】证明△AOD∽△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∽△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵AD∥EG， ∴∠ADO=∠EGF． 又∵∠AOD=∠EFG=90°， ∴△AOD∽△EFG． ∴． ∴． 同理，△BOC∽△AOD． ∴． ∴． ∴AB=OA−OB=3（米）． ∴旗杆的高AB为3米． 考查角度2 在仰角俯角问题中构造相似三角形 16．（2023·陕西）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，    【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，      由题意得：，， 设， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 该景观灯的高约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 1．（2024·陕西·一模）如图，在中，，，平分交于点D，则图中等腰三角形的个数为（    ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和、等腰三角形的知识；根据等腰三角形性质，得为等腰三角形，结合三角形内角和、角平分线的性质，得、为等腰三角形，从而完成求解． 【详解】∵， ∴为等腰三角形， ∵，，平分交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴、为等腰三角形， ∴图中等腰三角形的个数为3个 故选：B． 2．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，平分交于点D，，则的度数是（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】A 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 由，利用外角的性质求出，再利用平分求出，然后利用三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 故选A． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，D为边上一点，且平分，若，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D．25：16 【答案】A 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】过点C作，交的延长线于点E，利用平行线分线段成比例定理，等腰三角形判定和性质，三角形面积特点解答即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，等腰三角形判定和性质，三角形面积，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 则，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选A． 4．（2024·陕西西安·三模）如图，已知，，，则的度数为（         ）    A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用．根据三角形外角性质求出，根据平行线性质得到即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在中，为边的中点，，，延长至点，使得，则长度可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系；证明，得，在中由三边不等关系确定的取值范围，根据范围即可完成求解． 【详解】解：为边的中点， ； 在与中， ， ， ； ，， ， 故可以为4, 故选：A． 6．（2024·陕西商洛·二模）如图，的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与网格问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查网格与勾股定理、网格中求三角形的面积，先利用割补法和勾股定理求得三角形的面积和，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据网格特点，， ， ∴边长的高=， 故选：B． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）某乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，再沿方向修建．若直线，则、与满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．由平行线的性质推出，，而，即可求解． 【详解】解：， ， , ， ， ， 故选：A． 8．（2024·陕西西安·一模）如图，中，平分，，于，，则的长为（    ） A．8 B．10 C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理， 角平分线的性质，三线合一定理，过点D作于E，则由角平分线的性质可得，由三线合一定理得到，利用勾股定理求出，则． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：C． 9．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，则（    ） A．－1 B．－1 C．1 D． 【答案】A 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，求三角形的面积，先根据三角形的面积公式求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，然后根据勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】∵，， ∴， 解得． ∵是的中线， ∴． 在中，， ∴． 故选：A． 11．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，，，为中点，且交于点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，根据三角形内角和定理求出，解直角三角形求出，，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 为中点，且交于点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 12．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请你帮帮小华．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则CD的长是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【知识点】利用网格求三角形面积、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理，以及根据等面积法求三角形的高，根据勾股定理算出，利用割补法求出的面积，再利用的面积还等于，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， ， ， ，解得， 故选：A． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，是上一点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形判定的应用，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键．根据勾股定理及等腰三角形的判定求出，从而即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 14．（2024·陕西渭南·二模）如图，在中，，，，点D在边上，且平分的周长，则的面积是（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了勾股定理，三角形面积，相似三角形判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 由勾股定理得，由平分的周长可得、，过作于，得，根据相似三角形的性质得到,根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过作于， ， ∴ ， ， 在中，，，由勾股定理可得， ， 又平分的周长，，，， ，， ， ， ． 故选：A． 15．（2024·陕西西安·二模）如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与相似（不含）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的证明、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论． 【详解】解：∵、分别为、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，于D点，F边上一动点，过F作交的延长线于点E，当四边形的面积与的面积相等时，的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形，解题关键是由，，得，，由，得，得，由四边形的面积与的面积相等，得与面积比，得，即，由，得． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 四边形的面积与的面积相等， 与面积比， ，即， ， ． 故选：D． 17．（2025·陕西·一模）如图，在中，，于点D，若，，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据题意，得，结合，证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5． 18．如图，在中，点是延长线上一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键，证明即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 19．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在中，是斜边上的高线，于点F，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意，利用证明即可． 【详解】证明：在中，． ， ． ． ， ． 在和中， ， ． 20．（2024·陕西西安·一模）已知与按如图所示的位置放置，，，，垂足为F．求证：．    【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练利用全等三角形的性质转化线段是解题的关键． 由互余的定义得到，然后根据证明，即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 21．（2024·陕西安康·二模）如图，在中，，，，垂足为F，且连接，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形的判定与性质，是解题的关键． 利用，，证出，利用，， 证出，即得． 【详解】， ． ， ， ， ． ，， ， ． 22．（2024·陕西·模拟预测）小乐同学家住大楼甲中，某个周末，他站在阳台眺望远方，当看到正对面的大楼乙时，陷入了思考：对面的大楼乙有多高？于是小乐做了一个简易的测角仪用来观测大楼乙的顶端与底端．如图，小乐家在点处，当他抬头观察大楼乙的顶端时，记其仰角为，观测大楼乙的底端时，记其俯角为，整理所测数据：，．已知甲、乙两栋大楼的间距为．请根据题目数据帮助小乐计算出大楼乙的高度．（图中所有点在同一个平面内，，，结果保留根号） 【答案】大楼乙的高度为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角与俯角的概念，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为，在中，通过算得，在中，通过算得，最后通过，算得答案． 【详解】如图，过点作，垂足为 根据题意可知， 在中， 在中， 故大楼乙的高度为． 23．（2024·陕西咸阳·三模）某数学兴趣小组将测量学校旗杆的高度作为一次实践活动，活动报告如下： 【活动目的】测量学校旗杆的高度． 【活动工具】测角仪、皮尺等测量工具． 【测量方案】甲同学眼睛位于教学楼的顶端处时，观察得到地面上的点、旗杆顶端、教学楼顶端在一条直线上，乙同学在点处做好标记，并到点处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角的度数，已知点在同一水平直线上，，． 【已知数据】米，米，米，． 【参考数据】，，． 请你根据以上活动报告，计算学校旗杆的高度． 【答案】米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质．熟练掌握解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意知，米，设旗杆的高度为，则，即，可求，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，米， 设旗杆的高度为， ∴，即， 解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴学校旗杆的高度为米． 24．（2024·陕西西安·一模）某中学开展综合与实践活动，小宇所在的小组负责测量该校附近的山坡的护坡石坝坝顶与坝脚之间的距离，如图，他们的测量方法如下：小宇将一根长5米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处米）距离地面的高度米，小组其他同学测得石坝与地面的倾斜角．请你根据以上信息，求出石坝坝顶与坝脚之间的距离．（结果保留一位小数；参考数据：，， 【答案】4.2米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于，根据平行线分线段成比例定理定理求出，再根据正弦的定义求出． 【详解】解：如图，过点作于， 则， ∴ ， 米，米，米， ， 解得：， 在中，， ， （米）， 答：石坝坝顶与坝脚之间的距离约为4.2米． 25．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是某路段路灯的示意图，灯杆长0.6m，灯柱与灯杆的夹角为．为节能环保并提高路灯的照明效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为12.3，从D，E两处分别测得路灯A的仰角为和，求灯柱的高度（参考数据：，，）． 【答案】灯柱的高度约为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【详解】解：如图，过点A作，垂足为F，过点B作，垂足为G， 由题意，得，， ∵， ∴． 在中，， ∴． 设， ∵， ∴． 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴灯柱的高度约为． 26．（2024·陕西咸阳·模拟预测）法门寺文化景区地处陕西省宝鸡市的法门镇，法门寺又名“真身宝塔”，被誉为皇家寺庙，因安置释迦牟尼佛指骨舍利而成为举国仰望的佛教圣地，被誉为“护国真身宝塔”．为了测量这座宝塔的高度，某校数学应用实践小组做了如下的探索：小明站在D处，用测角仪测得宝塔顶端A的仰角为；然后，小明在点N处竖立高2.4米的标杆，接着沿走到点F，恰好看到标杆顶端M和宝塔顶端A在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离米，米，米．测量示意图如图所示，已知点D、B、N、F在一条直线上，，，，，求这座宝塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】这座宝塔的高度为46.8米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 过点E作于点Q，交于点P，由，可得延长经过点C，设，则，在中，解直角三角形求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：过点E作于点Q，交于点P，由，可得延长经过点C， 则，，，． 设，则， 在中，， ， ， ．                      ，， ， ，即，                     解得：，则． 答：这座宝塔的高度为46.8米． 27．（2024·陕西西安·模拟预测）某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量建筑物的高度 活 动 过 程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据（A，B，C，D在同一平面上，于点D） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部A测得建筑物顶点C的仰角为； ③斜坡长52米； ④在点B测得建筑物顶点C的仰角为． 步骤四：计算建筑物的高度 请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度．（参考数据：，） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点B作于点E，过点B作于点F，由斜坡AB的坡度得到设，则，求出，设，得到，，由列方程求出y的值，即可得到答案． 【详解】解：过点B作于点E，过点B作于点F， 由题意可得， ∵斜坡AB的坡度； ∴ 设，则 在中， ∵ ∴ 解得， 则， 设， ∴， 在中，， ∴ 在中，， ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ ∴建筑物的高度约为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$