专题07 导数压轴大题综合归类（13题型+提分快招）2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（天津专用）

专题07 导数压轴大题综合归类 目录 题型01 恒成立求参：内点型(基础讨论型） 1 题型02恒成立求参：内点型(隐零点转化型） 2 题型03 能成立求参（内点综合型） 2 题型04 零点求参：一个零点（基础型） 3 题型05 零点求参：两个零点拔高型 4 题型06 零点求参：三个零点综合型 5 题型07 零点求参：含参讨论零点个数型 5 题型08零点求参：参数范围证明型 6 题型09 零点不等式证明：基础型 7 题型10 零点不等式证明：比值代换型 8 题型11数列不等式证明：裂项求和相消型 8 题型12数列不等式证明：三角函数型 9 题型13 数列不等式证明：累积列项相消型 10 题型01 恒成立求参：内点型(基础讨论型） 【解题规律·提分快招】 不等式恒成立求参数取值范围问题 对参数分类讨论研究函数单调性、极值等问题的方法，是我们在解决含参不等式恒成立问题的一般性方法.如果函数结构式不是很复杂，可以通过求导得到函数的极值点（导函数零点）与单调性的情况，再对极值点直接讨论，如果无法求出极值点（导函数零点），可以通过多次求导、或利用零点存在性定理虚设零点进行分析. 【典例1-1】 （21-22高二下·天津滨海新·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若对于，都有不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【典例1-2】 （23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的单调递减区间； (2)若，求函数在区间上的最大值； (3)若在区间上恒成立，求的范围. 【变式1-1】 （高三·河北廊坊·阶段练习）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的值． 题型02恒成立求参：内点型(隐零点转化型） 【解题规律·提分快招】 内点型隐零点转化 1．导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”，即能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达． 2．解决此类问题的基本思路是：形式上虚设，运算上代换，数值上估算，策略上等价转化，方法上分离参数，技巧上反客为主． 3.已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，利用函数零点存在定理判断零点存在，设方程f′(x)＝0的根为x0，则(1)有关系式f′(x0)＝0成立，(2)注意确定x0的范围． 4.已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，需根据题意对参数进行分类讨论． 【典例1-1】 （22-23高二下·吉林白城·期末）已知函数在处的切线与直线：垂直． (1)求的单调区间； (2)若对任意实数，恒成立，求整数的最大值． 【典例1-2】 （22-23高三上·天津·期末）设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求a的值； (2)求的单调区间； (3)若对成立，求b的取值范围． 【变式1-1】 （高三上·四川泸州·期末）已知函数，其中. (1)求函数的单调区间； (2)设，若对任意的，恒成立，求的最大值. 题型03 能成立求参（内点综合型） 【解题规律·提分快招】 能成立与恒成立，最终是转化为“最值” 单变量的恒（能）成立问“ （1），有恒成立； （2），有恒成立； （3），有能成立； （4），有能成立. 双变量的不等关系问题 （1），，有成立，则； （2），，有成立，则； （3），，有成立，则； （4），，有成立，则. 【典例1-1】 （2024·天津河西·三模）已知函数，，其中． (1)若，求实数a的值 (2)当时，求函数的单调区间； (3)若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【典例1-2】 （24-25高三上·天津滨海新·期中）设函数． (1)若，求的单调区间和最小值； (2)在（1）的条件下，若存在零点，则讨论在区间上零点个数； (3)若存在，使得，求a的取值范围． 【变式1-1】 （24-25高三上·天津·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数的最小值，并证明； (3)当时，若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围. 题型04 零点求参：一个零点（基础型） 【解题规律·提分快招】 零点求参基础型： 1. 分类讨论思想与转化化归思想 2. 数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或者“类二次函数”切线处（极值点处） 3.注意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。 【典例1-1】 （24-25高三上·天津西青·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：有唯一极值点； (3)若有唯一零点，求证：. 【典例1-2】 （2022·全国乙卷·高考真题）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 【变式1-1】 （2021·山东济南·一模）已知函数. （1）若在其定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围； （2）设函数. ①若在上恰有1个零点，求实数的取值范围； ②证明：当时，. 题型05 零点求参：两个零点拔高型 【解题规律·提分快招】 两个零点型，比较复杂，多数为所求区间内为“类二次函数型”，所以需要求极值点，还需要“找点” 【典例1-1】 （2024·天津河西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【典例1-2】 （23-24高二下·天津·期中）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)若有两个零点，求实数的取值范围； (3)令，过点做曲线的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证：点一定在第一象限内． 【变式1-1】 （2024·天津·模拟预测）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求证：； (3)函数有且只有两个零点，求a的取值范围． 题型06 零点求参：三个零点综合型 【解题规律·提分快招】 三个零点综合型 1、三个零点型，注意是否有容易观察出来的零点，这样可以转化为两个零点型以降低难度。 2、三个零点型，可通过讨论，研究函数是否是“类一元三次函数”型。 3、如果函数有“断点”，注意分段讨论研究。 【典例1-1】 （24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，且． (1)设，讨论的单调性； (2)若且存在三个零点，，． （i）求实数的取值范围; （ii）设，求证：． 【典例1-2】 （23-24高二下·天津河北·期中）已知函数的图象在点处的切线方程为 (1)求的解析式； (2)若对任意有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在内有3个零点，求实数的取值范围. 【变式1-1】 （23-24高三上·天津武清·阶段练习）已知函数，其中. (1)求曲线在处的切线方程，并证明当时，； (2)若有三个零点，且. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：. 题型07 零点求参：含参讨论零点个数型 【解题规律·提分快招】 判断函数零点个数的方法有： （1）直接法，令，如果能直接求出解，那么有几个不同的解，就有几个零点. （2）图象法，画出函数的图象，函数的图象与轴的交点个数就是函数的零点个数；将函数拆成函数和的差的形式，，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数. （3）函数零点存在定理，利用函数零点存在定理时，不仅要求函数图象在区间上是连续不断的曲线，，还需要结合函数的图象与性质（如单调性､奇偶性）才能确定函数有多少个零点. 【典例1-1】 （24-25高三上·湖南永州·开学考试）已知函数，，． (1)若，求的极值； (2)当时，讨论零点个数； (3)当时，，求实数的取值范围． 【典例1-2】 （23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知在处切线为l． (1)若切线l的斜率，求单调区间； (2)证明：切线l不经过； (3)已知，，，，其中，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？ （参考数据：，，） 【变式1-1】 （22-23高三上·天津南开·阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间和极值； (2)若是函数的极值点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）讨论在区间上的零点个数． 题型08零点求参：参数范围证明型 【典例1-1】 （24-25高三上·天津·阶段练习）设函数 ，其中 . (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程; (2)若 ， （i） 证明: 函数 恰有两个零点; （ii） 设 为函数 的极值点， 为函数 的零点，且 ，证明: . 【典例1-2】 （23-24高三上·天津河西·阶段练习）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值； (3)当时，函数恰有两个不同的零点，，且，求证：. 【变式1-1】 （23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数有两个零点，，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：． 题型09 零点不等式证明：基础型 【解题规律·提分快招】 零点不等式，也是极值点偏移的一个类型。：”偏移“的基本思维 1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3. 若函数存在两个零点且，令，求证：； 4. 若函数中存在且满足，令，求证：. 【典例1-1】 （2023·湖北·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，，，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【典例1-2】 （24-25高三上·天津·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值； (3)已知，函数有3个零点为：，且，证明：. 【变式1-1】 （2024高三·全国·专题练习）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 题型10 零点不等式证明：比值代换型 【典例1-1】 （24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知， (1)求在处的切线方程以及的单调性； (2)对，有恒成立，求的最大整数解； (3)令，若有两个零点分别为且为的唯一的极值点，求证：. 【典例1-2】 （23-24高二下·四川成都·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调区间： (2)若函数有两个不同的零点， ①求的取值范围， ②证明：. 【变式1-1】 （23-24高三上·天津静海·阶段练习）设函数. (1)当时，若函数在其定义域内单调递增.求b的取值范围； (2)若， ，证明：时，； (3)若有两个零点，，且，求证：. .题型11数列不等式证明：裂项求和相消型 【解题规律·提分快招】 证明不等式，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，即 这样一来，设， 则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立. 【典例1-1】 （19-20高三上·天津·期中）已知，. (1)若，判断函数在的单调性； (2)设，对，，有恒成立，求k的最小值； (3)证明：.. 【典例1-2】 （2024·福建莆田·三模）已知函数，其中. (1)当时，，求的取值范围. (2)若，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列. (3)证明：（）. 【变式1-1】 （23-24高三上·山东济南·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若时，，求a的取值范围； (3)对于任意，证明：． 题型12数列不等式证明：三角函数型 【解题规律·提分快招】 对于含有三角函数型不等式证明： 1.证明思路和普通不等式一样。 2.充分利用正余弦的有界性 3.三角函数与函数的重要放缩公式：. 【典例1-1】 （23-24高三上·天津和平·期末）已知函数， (1)若，讨论在的单调性； (2)若，函数，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，求证：． 【典例1-2】 （20-21高三上·天津和平·阶段练习）已知函数. （1）讨论在区间上的单调性； （2）求的最大值和最小值； （3）设，证明：. 【变式1-1】 （2020·天津滨海新·二模）已知，其中． （1）当时，设函数，求函数的极值． （2）若函数在区间上递增，求的取值范围； （3）证明：． 题型13 数列不等式证明：累积列项相消型 【解题规律·提分快招】 累积列项相消证明法 证明不等式为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，如转化为 累积相消型 这样一来，设， 则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立. 证明不等式为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可以通过取对数，把左边的积转化为对数和型，如转化为 累加或者累积相消型 【典例1-1】 （2020·天津·一模）已知函数在处取得极值A，函数，其中…是自然对数的底数． （1）求m的值，并判断A是的最大值还是最小值； （2）求的单调区间； （3）证明：对于任意正整数n，不等式成立． 【典例1-2】 （2022·天津·模拟预测）已知函数. (1)试判断函数在上单调性并证明你的结论； (2)若对于恒成立，求正整数的最大值； (3)求证：． 【变式1-1】 （22-23高二下·天津武清·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求的值； (3)求证：对任意正整数（），都有. 冲高考 1．（24-25高三上·天津·期末）已知函数（），． (1)求函数的极值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：时，． 2．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知， (1)求在处的切线方程以及的单调性； (2)对，有恒成立，求的最大整数解； (3)令，若有两个零点分别为且为的唯一的极值点，求证：. 3．（22-23高三上·山东滨州·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)证明：对任意； (3)讨论函数零点的个数. 4．（24-25高三上·天津北辰·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若恒成立，求的值； (3)，，求证：． 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）设函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，，且，求证：； (3)设，对于任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 6．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若函数有两个极值点，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 导数压轴大题综合归类 目录 题型01 恒成立求参：内点型(基础讨论型） 1 题型02恒成立求参：内点型(隐零点转化型） 3 题型03 能成立求参（内点综合型） 5 题型04 零点求参：一个零点（基础型） 9 题型05 零点求参：两个零点拔高型 12 题型06 零点求参：三个零点综合型 15 题型07 零点求参：含参讨论零点个数型 19 题型08零点求参：参数范围证明型 23 题型09 零点不等式证明：基础型 26 题型10 零点不等式证明：比值代换型 31 题型11数列不等式证明：裂项求和相消型 34 题型12数列不等式证明：三角函数型 39 题型13 数列不等式证明：累积列项相消型 42 题型01 恒成立求参：内点型(基础讨论型） 【解题规律·提分快招】 不等式恒成立求参数取值范围问题 对参数分类讨论研究函数单调性、极值等问题的方法，是我们在解决含参不等式恒成立问题的一般性方法.如果函数结构式不是很复杂，可以通过求导得到函数的极值点（导函数零点）与单调性的情况，再对极值点直接讨论，如果无法求出极值点（导函数零点），可以通过多次求导、或利用零点存在性定理虚设零点进行分析. 【典例1-1】 （21-22高二下·天津滨海新·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若对于，都有不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)增区间为，减区间为；极大值为，极小值为； (2). 【分析】（1）利用导数研究的单调性，进而确定单调区间和极值. （2）将问题转化为在上恒成立，利用导数求最值，即可求参数范围. 【详解】（1）当时，，∴， 令得，，∴的变化如下表： x 2 + 0 - 0 + 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 ∴的增区间为；减区间为∴极大值，极小值. （2）由，则，令， ∴，由， 所以时单调递减；时单调递增． ∴只需恒成立，则． 【典例1-2】 （23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的单调递减区间； (2)若，求函数在区间上的最大值； (3)若在区间上恒成立，求的范围. 【答案】(1)(2)当时，最大值为；当时，最大值为． (3) 【分析】（1）求导，利用导数求原函数单调递减区间； （2）分类讨论判断导函数符号，进而确定原函数的单调性及最大值； （3）根据恒成立可得，分类讨论，结合（2）中的结果求解. 【详解】（1）当时，，则， 令．因为 ，则，所以函数的单调递减区间是 （2）．令，由，解得，（舍去）． 当，即时，在区间上，函数在上是减函数．所以函数在区间上的最大值为； 当，即时，在上变化时，的变化情况如下表 x + + - ↗ ↘ 所以函数在区间上的最大值为． 综上所述：当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为． （3）当时，则在上恒成立∴函数在上是减函数，则∴成立当时，由（2）可知： ①当时，在区间上恒成立，则成立； ②当时，由于在区间上是增函数， 所以 ，即在区间上存在使得，不成立 综上所述：的取值范围为. 【变式1-1】 （高三·河北廊坊·阶段练习）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的值． 【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）先求导函数，再分两种情况结合导函数正负讨论函数的单调性； （2）特殊值缩小参数范围，再根据导函数得出函数单调性得出最小值，再构造函数得出函数单调性及最值即可求参. 【详解】（1）, 当时，恒成立；当时，； 综上，当时，在上单调递增，无减区间；当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减；所以， 因为所以，令， 当单调递增，当单调递减， 所以， 所以满足，只能是，所以. 题型02恒成立求参：内点型(隐零点转化型） 【解题规律·提分快招】 内点型隐零点转化 1．导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”，即能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达． 2．解决此类问题的基本思路是：形式上虚设，运算上代换，数值上估算，策略上等价转化，方法上分离参数，技巧上反客为主． 3.已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，利用函数零点存在定理判断零点存在，设方程f′(x)＝0的根为x0，则(1)有关系式f′(x0)＝0成立，(2)注意确定x0的范围． 4.已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，需根据题意对参数进行分类讨论． 【典例1-1】 （22-23高二下·吉林白城·期末）已知函数在处的切线与直线：垂直． (1)求的单调区间； (2)若对任意实数，恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为．(2)1 【分析】（1）利用导数的几何意义得出，再利用导数判断单调区间即可； （2）分离参数将问题转化为恒成立，利用导数求最值结合隐零点计算即可. 【详解】（1）由，得，又切线与直线：垂直，所以，即． 所以，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）对任意实数，恒成立，即对任意实数恒成立． 设，即．，令， 所以恒成立，所以在上单调递增． 又，，所以存在，使得， 即，所以．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以 ，当时，， 所以，由题意知且所以，即整数的最大值为1． 【典例1-2】 （22-23高三上·天津·期末）设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求a的值； (2)求的单调区间； (3)若对成立，求b的取值范围． 【答案】(1)2(2)答案见解析(3) 【分析】（1）利用导数的几何意义可得关于a的方程，解方程即可得出答案； （2）对求导，分和讨论的正负，即可求出的单调性； （3）由恒成立，等价于，令，转化为求. 【详解】（1）的定义域为，       ，   由于直线的斜率为，. （2），，     ①当时，，在R上单调递增； ②当时，令有， 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 综上所述：，的单调递增区间为R， ，的单调减区间为，的单调增区间为. （3）由恒成立，等价于， 令（），，   ①若时，，所以在上单调递增， ，即，满足， ②若时，则，所以在上单调递增， 当趋近于0时，趋近于，不成立，故不满足题意.                     ③若时，令，，，， ，单调递减，，单调递增， 只需即可， ，，令，，在上单调递增， ，时，，，，所以在上单调递增， ，即，   综上：. 【变式1-1】 （高三上·四川泸州·期末）已知函数，其中. (1)求函数的单调区间； (2)设，若对任意的，恒成立，求的最大值. 【答案】(1)当时，在上单调递增，无单调递减区间； 当时，在上单调递增，在上单调递减.(2) 【分析】（1）先确定函数的定义域，然后求导，通过讨论a的正负判断导函数在定义域内有无零点，无零点时原函数在定义域内单调，有零点时再通过导函数确定各区间的单调性； （2）原不等式恒成立等价于原函数的最大值小于等于0成立，由第一问的单调区间求得原函数的最大值，记为关于a的函数，再通过对新函数求导判断单调性，得到满足新函数小于等于0的自变量a的最大整数值即可. 【详解】（1），定义域为 当时，，在上递增. 当时，，在上递增. 当时，令，得；令，得. 即在上递增，在上递减. 综上：当时，在上单调递增，无单调递减区间； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）在上恒成立，等价于. 由（1）得，当时，在上单调递增，无最大值，故此时原不等式无法恒成立； 当时，在上单调递增，在上单调递减，则此时 即须成立.记函数，且则 即在单调递增.因为， 所以满足的a的最大整数值为.综上：的最大值为. 题型03 能成立求参（内点综合型） 【解题规律·提分快招】 能成立与恒成立，最终是转化为“最值” 单变量的恒（能）成立问“ （1），有恒成立； （2），有恒成立； （3），有能成立； （4），有能成立. 双变量的不等关系问题 （1），，有成立，则； （2），，有成立，则； （3），，有成立，则； （4），，有成立，则. 【典例1-1】 （2024·天津河西·三模）已知函数，，其中． (1)若，求实数a的值 (2)当时，求函数的单调区间； (3)若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【分析】（1）求导可得，由代入计算，即可求解； （2）求导可得，然后分讨论，即可求解； （3）根据题意，由分离参数可得，然后构造函数求导得最值即可得到结果. 【详解】（1）因为，则， 由可得，解得. （2）函数的定义域为， 且， 当时，令，可得或， ①当，即时，对任意的，，的单调递增区间为． ②当，即时，，得或，，得， 的单调递增区间为和，单调递减区间为 ③当，即时，得或；，得， 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 综上所述，时，函数的单调增区间为； 时，函数的单调增区间为和，单调减区间为； 时，函数的单调增区间为和，单调减区间为. （3）由，可得，即，其中，令，， 若存在，不等式成立，则，，，令，得，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以函数在端点或处取得最小值．因为，，所以， 所以，所以，因此，实数的取值范围是． 【典例1-2】 （24-25高三上·天津滨海新·期中）设函数． (1)若，求的单调区间和最小值； (2)在（1）的条件下，若存在零点，则讨论在区间上零点个数； (3)若存在，使得，求a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是，最小值 (2)仅有一个零点(3) 【分析】（1）对函数进行求导通分化简，求出解得，在列出与在区间上的表格，即可得到答案. （2）由（1）知，在区间上的最小值为，因为存在零点，所以，从而．在对进行分类讨论，再利用函数的单调性得出结论. （3）构造函数，在对进行求导，在对进行分情况讨论，即可得的得到答案. 【详解】（1）函数的定义域为，， 由解得． 与在区间上的情况如下： – ↘ ↗ 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值，无极大值，所以的最小值为. （2）由（1）知，在区间上的最小值为． 因为存在零点，所以，即，从而． 当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点． 当时，在区间上单调递减，且，，所以在区间上仅有一个零点．综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点． （3）设，． ①若，则，符合题意． ②若，则，故当时，，在上单调递增． 所以，存在，使得的充要条件为，解得． ③若，则，故当时，；当时，． 在上单调递减，在上单调递增． 所以，存在，使得的充要条件为， 而，所以不合题意． 综上，的取值范围是． 【变式1-1】 （24-25高三上·天津·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数的最小值，并证明； (3)当时，若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析(2)最小值为，证明见解析(3) 【分析】（1）求导可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果； （2）由条件可得，即可得到，再由裂项相消法代入计算，即可证明； （3）将不等式转化为在上有解，令，转化为在上有解，然后求导计算，即可得到结果. 【详解】（1）的定义域为，， ①当时，恒成立，在上单调递减. ②当时，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增.综上可得：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 故，所以当时，函数的最小值为，因为，即， 当时，，即，即， 令，则， 所以， 故当时，.即 （3）关于的不等式在区间上有解，即在上有解， 即在上有解，又，由（1）可知时，即， 令，则，则在上有解， 令，则，令，得， 所以，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以存在使得， 所以，当或时，，当时，， 所以只需，即时满足题意.所以的取值范围为 题型04 零点求参：一个零点（基础型） 【解题规律·提分快招】 零点求参基础型： 1. 分类讨论思想与转化化归思想 2. 数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或者“类二次函数”切线处（极值点处） 3.注意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。 【典例1-1】 （24-25高三上·天津西青·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：有唯一极值点； (3)若有唯一零点，求证：. 【答案】(1).(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）根据函数在某点处的导数的几何意义求得切线的斜率，再利用点斜式求切线方程即可； （2）利用二次求导判断导函数在上单调递增，再构造函数判断，结合即可得存在唯一的，使得，从而证得有唯一极值点； （3）由（2）知函数有唯一极小值点，结合有唯一零点，可得，利用，得，进一步得，利用导函数判断函数的单调性，结合区间端点处的函数值的符号即可证得. 【详解】（1）函数的定义域为，因为，所以，则，所以斜率，又， 所以切线方程为，即. （2）因为，，所以，， 令，，则，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增，构造函数，则， 当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以，所以，即，所以，又，所以存在唯一的，使得，当时，单调递减； 当时，单调递增；所以函数有唯一极值点. （3）由（2）得，因为函数有唯一零点，所以，所以， 即，所以，设，所以，所以在单调递减， 因为，所以. 【典例1-2】 （2022·全国乙卷·高考真题）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)(2)【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可 （2）求导,对分类讨论,对分两部分研究 【详解】（1）的定义域为 当时,,所以切点为,所以切线斜率为2 所以曲线在点处的切线方程为 （2）设 若,当,即所以在上单调递增, 故在上没有零点,不合题意 若,当,则所以在上单调递增所以,即所以在上单调递增,故在上没有零点,不合题意 若 (1)当,则,所以在上单调递增 所以存在,使得,即当单调递减 当单调递增所以当, 令则所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又，，所以在上有唯一零点 又没有零点,即在上有唯一零点 (2)当设 所以在单调递增所以存在,使得 当单调递减 当单调递增,又 所以存在,使得,即当单调递增,当单调递减， 当，，又， 而,所以当所以在上有唯一零点,上无零点 即在上有唯一零点所以,符合题意 所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为 【变式1-1】 （2021·山东济南·一模）已知函数. （1）若在其定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围； （2）设函数. ①若在上恰有1个零点，求实数的取值范围； ②证明：当时，. 【答案】（1）；（2）①；②证明见解析. 【分析】（1）将问题转化为“恒成立”，构造函数，分析其单调性和最值，由此求解出的最小值，则的取值范围可求； （2）①先求解出，然后根据三角函数的有界性对进行分类讨论：、、，分别确定出的单调性并分析其最值由此确定出零点个数并求解出的取值范围； ②先将不等式变形为“”，然后结合（1）的结论进行证明. 【详解】解：（1）法一：在上恒成立， 所以，令，则，由，得，所以在单调递增， 由，得，所以在单调递减，所以当时，取得最小值， 所以. 法二：在上恒成立，， 当时，，不满足题设， 当时，令，， 在上，单调递增；在上，单调递减； ，所以. （2）①，，所以， 当时，，所以在单调递增，又因为，所以在上无零点. 当时，，使得，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，又因为，， 所以若，即时，在上无零点，若，即时，在上有一个零点， 当时，，在上单调递减且，所以在上无零点， 综上：当时，在上有一个零点. ②证明：，等价于， 即证， 由（1）得，可得，所以， 又当时，，所以， 所以恒成立. 题型05 零点求参：两个零点拔高型 【解题规律·提分快招】 两个零点型，比较复杂，多数为所求区间内为“类二次函数型”，所以需要求极值点，还需要“找点” 【典例1-1】 （2024·天津河西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求证； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）对参数进行分类讨论，求解函数单调性即可. （2）利用给定条件进行放缩，利用隐零点代换证明即可. （3）对参数范围进行讨论，找到符合零点要求的参数范围即可. 【详解】（1）由题意得定义域为， 而， 当时，，在上单调递减， 当时，， 当时，解得：，当时，解得：， 在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）， 若证成立，只需证成立即可， 所以定义域为，，在上单调递增， 在上单调递增，，在上有唯一实根，当时，单调递减，当时，单调递增， ，，，同时取对数得， ，，， （3）若时，由已知得最多有一个零点，当时，由已知得当时，取得最小值， ，当时，，故只有一个零点， 当时，由，即，故没有零点， 当时，，由， 故在有一个零点，， ，，设，， 在上单调递增，，， ，在上有一个零点， 在上有两个零点，综上得到的取值范围是. 【典例1-2】 （23-24高二下·天津·期中）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)若有两个零点，求实数的取值范围； (3)令，过点做曲线的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证：点一定在第一象限内． 【答案】(1)极大值为，无极小值(2)(3)证明见解析 【分析】（1）当时，可得，由，得，再由函数极值的定义，即可求解； （2）对求导，得到，对进行分类讨论，求出函数的单调区间，即可求解； （3），设两切点为，，进而得，两点处的切线方程分别为，，令，解得，，利用分析法可证得点一定在第一象限内． 【详解】（1）当时，的定义域为，， 令，得到，当时，，当时，， 由函数极值的定义知，在处取到极大值，极大值为，无极小值. （2）易知函数的定义域为，因为， 当时，在区间上恒成立，此时在区间上单调递增， 最多有个零点，不合题意， 当时，由，得到，当时，， 当时，，即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又当时，，时，，且有两个零点， 所以，得到，所以， 所以实数的取值范围为. （3）因为，设两切点为，,，不妨设在的右边，则，， 所以，两点处的切线方程分别为，， 令，解得，， 因为，所以， 要证明，即证明，因为，即证， 设，则， 所以在上是增函数，所以，则， 所以，故点一定在第一象限内. 【变式1-1】 （2024·天津·模拟预测）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求证：； (3)函数有且只有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2)证明见详解；(3). 【分析】（1）利用导数求斜率，利用解析式求切点纵坐标，然后可得切线方程； （2）构造函数，利用导数求最小值即可得证； （3）构造函数，将问题转化为函数的图象与直线有两个交点，利用导数研究函数单调性，然后作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】（1）因为，所以曲线在处的切线斜率为， 又，所以切线方程为. （2）记，则，当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 所以当时，取得最小值，所以，即. （3）， 由题知，有且只有两个不相等实数根，即有且只有两个不相等实数根， 令，则，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减. 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 又，所以可得的图象如图： 由图可知，当时，函数的图象与直线有两个交点，所以，a的取值范围为. 题型06 零点求参：三个零点综合型 【解题规律·提分快招】 三个零点综合型 1、三个零点型，注意是否有容易观察出来的零点，这样可以转化为两个零点型以降低难度。 2、三个零点型，可通过讨论，研究函数是否是“类一元三次函数”型。 3、如果函数有“断点”，注意分段讨论研究。 【典例1-1】 （24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，且． (1)设，讨论的单调性； (2)若且存在三个零点，，． （i）求实数的取值范围; （ii）设，求证：． 【答案】(1)答案见解析(2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）先求的导函数，再分类讨论即可； （2）（i）根据存在三个零点，转化为两个函数有三个交点，再根据最值可求；（ii）根据三个零点所在区间，把要证明的式子分解为三个部分，分别求解后可得. 【详解】（1）因为，所以， 因为，定义域为， 当时，，由，得，由，得或， 当时，，由，得，由，得或， 综上，当时， 的增区间为，减区间为， 当时， 的增区间为，减区间为. （2）（i）因为且存在三个零点， 所以有3个根 当时， ， 在上是单调递增的，由零点存在定理，方程必有一个负根， 当，由题可得，即有两个根， 令，可转化为与有两个交点，又， 当，，是单调递增的，当，，是单调递减的， 且，易知，所以，可得，即得. （ii）因为且存在三个零点， 设，，易知其中，， 因为，得到，所以，即，所以，故可知；① 由（i）可知与有两个交点，且， 又，是单调递增的，，，，所以；② 又，若，则若， 构造函数，， 则， 设，， 因为， 又因为，所以③ 因为， 又因为所以 即得④ 由③④可知，在上单调递增，由，可得， ，可知与同号，所以， 在上单调递增，， ，，又由（i）可知， 所以，，，是单调递增的， 所以⑤由①②⑤可知. 【典例1-2】 （23-24高二下·天津河北·期中）已知函数的图象在点处的切线方程为 (1)求的解析式； (2)若对任意有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在内有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，，即可求出、的值，从而得解； （2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最大值（），即可得解； （3）由（1）可得，利用导数研究函数的单调性极值与最值，根据函数在区间内有3个零点，可得最值满足的条件，进而得出实数的取值范围． 【详解】（1）因为，则， 依题意，，解得，，所以； （2）由（1）可得，当时恒成立， 所以在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，， 因为对任意有恒成立，所以，. .实数的取值范围为. （3）由（1）可得：，， 令，解得或，所以、、列表如下： 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值，且当时，当时， 要满足函数在区间内有3个零点， 则，解得，所以实数的取值范围. 【变式1-1】 （23-24高三上·天津武清·阶段练习）已知函数，其中. (1)求曲线在处的切线方程，并证明当时，； (2)若有三个零点，且. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：. 【答案】(1)，证明见解析(2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，求得切线方程得到，进而得到，令，利用导数求得函数的单调性，结合，即可得证； （2）（i）根据题意得到，令，求得，令，结合二次函数的性质，求得 ，设两个零点为和，得出的单调性，得到，，结合，，得出函数零点的个数，求得实数的范围； （ii）由（i）中，转化为证明，进而转化为，令，利用导数求得在上单调递增，得到，得出，进而得到，化简得到，进而证得. 【详解】（1）解：由函数，可得， 且，则，可得切线方程为 所以，所以，令，则，所以在单调递增，因此当时，， 又因为，所以当时，. （2）解：（i）由等价于，令.注意到，，依题意，除了1之外，还有两个零点，又由，令， 当时，恒成立，故这时在单调递减，不合题意； 当时，由题意，首先在上有两个零点，故，解得， 设两个零点为和，有，，故可知，均大于0， 由此可得在单调递增，单调递减，单调递增， 而，即，，，又因为，， 故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点，又1为的一个零点， 所以恰有3个零点，亦即恰有3个零点，综上，实数的取值范围是. （ii）由（i）中，由， 由此可得.要想证明，只需证明，而， 因此只需要证明当时，，令，， 可得，故在上单调递增， 因此当时，，即当时，， 因此，由，有，即， 两边同时除以，由，有，即. 题型07 零点求参：含参讨论零点个数型 【解题规律·提分快招】 判断函数零点个数的方法有： （1）直接法，令，如果能直接求出解，那么有几个不同的解，就有几个零点. （2）图象法，画出函数的图象，函数的图象与轴的交点个数就是函数的零点个数；将函数拆成函数和的差的形式，，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数. （3）函数零点存在定理，利用函数零点存在定理时，不仅要求函数图象在区间上是连续不断的曲线，，还需要结合函数的图象与性质（如单调性､奇偶性）才能确定函数有多少个零点. 【典例1-1】 （24-25高三上·湖南永州·开学考试）已知函数，，． (1)若，求的极值； (2)当时，讨论零点个数； (3)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值，无极小值(2)答案见解析(3) 【分析】（1）对求导，根据导数的正负得出单调区间，进而得出极值； （2）对求导，根据导数的正负得出单调区间，进而得出最小值，设，再根据导数确定的正负，结合，当时，，即可得出零点情况； （3）将问题转化为，当时，，设，根据导数确定单调性，再根据当时，，所以，即可求解． 【详解】（1）当时，，则， 令，解得，当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减，所以有极大值，无极小值． （2）， 令，则，因为，所以， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，设，则，因为，所以，所以在单调递减， 又因为，所以当时，，则，无零点； 当时，，有1个零点， 当时，，又，当时，，有2个零点． （3）， 因为时，，所以， 两边同时取自然对数得，，当时，成立， 当时，，则， 设，则， 设，则， 设，则， 设，则，所以在单调递增， 又，所以，所以，则在单调递增， 又，所以，所以，则在单调递增， 又，所以，所以，则在单调递增， 又当时，，所以，所以． 【典例1-2】 （23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知在处切线为l． (1)若切线l的斜率，求单调区间； (2)证明：切线l不经过； (3)已知，，，，其中，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？ （参考数据：，，） 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明见解析(3)两个 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； （2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可； （3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可. 【详解】（1）， 当时，；当，；可知在上单调递减，在上单调递增.所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）因为，切线的斜率为，则切线方程为， 将代入则，即，则，，令，假设过，则在存在零点. 因为，可知在上单调递增，， 所以在无零点，这与假设矛盾，故直线不过. （3）当时，.则， 设与轴交点为，当时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以，则切线的方程为，令，则.因为，则，即， 设，则满足条件的A有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的A有两个. 【变式1-1】 （22-23高三上·天津南开·阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间和极值； (2)若是函数的极值点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）讨论在区间上的零点个数． 【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无极小值. (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2 【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定单调区间，计算极值得到答案. （2）（ⅰ）计算得到，确定，设，根据函数的单调性结合，得到证明； （ⅱ）求导得到导函数，考虑，，三种情况，构造，确定函数的单调区间，根据，，得到零点个数. 【详解】（1），，取得到， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减. 故函数在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无极小值. （2）（ⅰ），，，故， 设，函数单调递增，，. 根据零点存在定理知. （ⅱ），，，设，， 当时，，故，单调递增，，故函数单调递减，，故函数在上无零点； 当时，， 设，， 设，则， 当时，，当时， 故在单调递增，在上单调递减，，，， 故存在使，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. ，故，，故函数在上有1个零点. 综上所述：在区间上的零点个数为2 题型08零点求参：参数范围证明型 【典例1-1】 （24-25高三上·天津·阶段练习）设函数 ，其中 . (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程; (2)若 ， （i） 证明: 函数 恰有两个零点; （ii） 设 为函数 的极值点， 为函数 的零点，且 ，证明: . 【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）先，再求，由点斜式即可求解； （2）（i）求导得，构造并应用导数研究单调性，进而判断符号确定单调性，可求极值点所在的区间为，再证上，由此得，结合零点存在性定理即可证结论； （ii）由①结合题设可得，结合上，即可证结论. 【详解】（1）由题设，且，则，所以，又， 所以切线方程为，即：. （2）（i）由，令，又，易知在上递减， 又，，∴在上有唯一零点，即在上唯一零点，设零点为，则，∴，，递增；，，递减； ∴是唯一极值点，且为极大值，令且，则，故在上递减，∴，即，∴，又， 根据零点存在性定理知在上存在零点，又∵在单调递减； ∴在存在唯一零点，又∵，在上单调递增；， ∴在上的唯一零点为1，故恰有两个零点； （ii）由题意，，即，则，即， 当时，，又，则， ∴，得，即，得证. 【典例1-2】 （23-24高三上·天津河西·阶段练习）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值； (3)当时，函数恰有两个不同的零点，，且，求证：. 【答案】(1)有极大值，无极小值(2)2(3)证明见解析 【分析】（1）先求出，再利用导数求出的单调增区间； （2）先利用分离参数法得到对恒成立.构造和，求导结合零点存在性定理判断出， ，得到.由，求出整数的最小值； （3）用分析法证明：当时，先整理化简得到，只需证.令，构造函数，利用导数证明出.即证. 【详解】（1）当时，，所以，则，定义域为. 令，解得：.所以的单调增区间为，单调减区间为； 则当时，有极大值，无极小值； （2）依题意对恒成立，等价于对恒成立. 令，则令,则在上是增函数，，所以，使即 对，，，所以在上单调递增； 对，，，所以在上单调递减. 所以.所以. 又，所以整数的最小值2 （3）当时，，令，故在上单调递增，在上单调递减且，时，；时，； 依题意存在使得，已知可得，要证成立， 因为，是的零点，所以， 两式相减得：，即， 要证，只需证， 又因为只需证，即证， 令，则，所以， 所以在增函数，所以即. 即成立.所以原不等式得证. 【变式1-1】 （23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数有两个零点，，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解；（2）首先判断函数的单调性，以及极值，根据函数的零点个数判断，再通过构造函数，根据函数的单调性，以及零点，求解不等式的解集；（3）根据函数的单调性，转化为证明，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可证明. 【详解】（1）当时，，，，，所以函数在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为，， 当时，恒成立，单调递增，所以不可能有2个零点； 当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，当时，，所以要满足函数有2个零点，只需， 即，整理得， 设，函数的定义域为，，所以在定义域上单调递增，且，则不等式的解集为，所以的取值范围为； （3）证明：由（2）知，，则，要证明，即证明， 不妨设，因为，所以，又，函数在上单调递增，此时需证明，当，时， 可得，因为，即证明， 设，函数的定义域为， ， 所以在单调递增，则， ，所以，所以， 即，命题得证. 题型09 零点不等式证明：基础型 【解题规律·提分快招】 零点不等式，也是极值点偏移的一个类型。：”偏移“的基本思维 1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3. 若函数存在两个零点且，令，求证：； 4. 若函数中存在且满足，令，求证：. 【典例1-1】 （2023·湖北·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，，，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间.(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数后可得函数的单调性； （2）（ⅰ）由题设可得零点个数为2且零点异于1，求出后就分类讨论其符号后结合零点存在定理可得参数的取值范围；（ⅱ）先证明先证明不等式恒成立，从而可利用放缩法证明题设中的不等式. 【详解】（1）当时，，， 则在恒成立，所以在单调递增， 故的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）（ⅰ）， ，，则除1外还有两个零点. ，令， 当时，在恒成立，则， 所以在单调递减，不满足，舍去； 当时，要是除1外还有两个零点，则不单调， 所以存在两个零点，所以，解得， 当时，设的两个零点为，则，，所以. 当时，，，则单调递增； 当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增； 又，所以，，而，且， ，且，所以存在，，使得， 即有3个零点，，.综上，实数的取值范围为 （ⅱ）因为，所以若，则，所以.当时，先证明不等式恒成立，设， 则，所以函数在上单调递增，于是， 即当时，不等式恒成立.由，可得， 因为，所以，即，两边同除以， 得，所以， 【典例1-2】 （24-25高三上·天津·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值； (3)已知，函数有3个零点为：，且，证明：. 【答案】(1)单调递增区间是和，单调递减区间是(2)(3)证明见解析 【分析】（1）先求导，然后根据导函数的正负判断的单调性，由此可确定出单调区间； （2）根据条件写出切线方程，通过联立思想求解出关于切点坐标的表示，由此构造函数分析单调性和最小值，即可确定出整数的最小值； （3）将问题转化为方程有三个根，借助图象分析出的范围，然后通过转化将待证明的问题变为证明，再通过构造函数分析单调性和最值完成证明. 【详解】（1），令，解得或， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以的单调递增区间是和，单调递减区间是. （2）设切线分别与和交于， 的导数为，的导数为，所以处切线方程为，处切线方程为，由公切线可知，， 所以，化简可得， 因为公切线有两条，所以有两个根； 设，所以， 因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 且，所以存在唯一使得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以且，所以，由对勾函数性质可知在时单调递增，所以，所以，且时，，时，，所以若有两个根，则，故整数的最小值为. （3）的定义域为，由题意可知，是方程的三个根；当时，令所以， 令，所以， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以，所以在上单调递增，且；当时，所以，由解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 且，，作出的简图如下图所示， 由图象可知，， 要证，只需证，即证，因为，所以，又因为在上单调递增， 所以只需证，且，所以只需证，即证（*）； 设， 所以， 所以， 因为，对称轴且开口向下， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以，所以对恒成立， 所以（*）成立，即成立. 【变式1-1】 （2024高三·全国·专题练习）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)答案见解析(2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据题意，求导即可得到结果； （2）①根据题意，将问题转化为有两个零点，然后利用导数，分类讨论即可得到的取值范围； ②根据题意，将问题转化为，再由①中的结论，即只需证，然后构造函数求导即可得到证明. 【详解】（1）由题意可得，，当时，，在上单调递增； 当时，由解得，由解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）①等价于有两个零点， 令，则，在时恒成立，∴在时单调递增， ∴有两个零点，等价于有两个零点. ∵ ，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点； 当时，令，得，单调递增，令，得，单调递减，∴，若，得，此时恒成立，没有零点； 若，得，此时有一个零点；若，得，∵，， 记，则，记，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故在上单调递增，所以， 即， ∴在，上各存在一个零点，符合题意， 综上，的取值范围为. ②因为，不等式两边同时取对数化简可得， 要证即证：， 即证，由（2）中①知，，∴只需证. ∵，，∴，， ∴ ，只需证. 设，令， 则，∴只需证 ， 即证 ， 令，，则 ，， 即当时， 成立.∴，即. 题型10 零点不等式证明：比值代换型 【典例1-1】 （24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知， (1)求在处的切线方程以及的单调性； (2)对，有恒成立，求的最大整数解； (3)令，若有两个零点分别为且为的唯一的极值点，求证：. 【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，求出，即可得到切线方程，解得到单调递增区间，解得到单调递减区间，需注意在定义域范围内； （2）等价于，求导分析的单调性，即可求出的最大整数解； （3）由，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明. 【详解】（1）因为，所以定义域为，且， 从而，又，所以切线方程为即； ，令解得，令解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）对，有恒成立， 等价于恒成立，等价于恒成立， 等价于恒成立，记，则， 则，记，因为，所以为上的递增函数， 又，，所以，使得， 即，所以在上递减，在上递增，且； 所以的最大整数解为. （3）由题意，则， 令得，当，，当时，； 所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足， 即；因为，，令， 由，所以，即， 所以，而要证，只需证，即证：， 即：，由，只需证：， 令，则令，则，故在上递增，； 故在上递增，；所以. 【典例1-2】 （23-24高二下·四川成都·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调区间： (2)若函数有两个不同的零点， ①求的取值范围， ②证明：. 【答案】(1)答案见详解(2)①；②见答案详解. 【分析】（1）写出，求导，根据的正负判断的符号，进而求出单调区间. （2）①分离参数求导，有两个交点即可；②把变成整式，作差得到，把中换掉，变量集中，令，得到，求导证明即可. 【详解】（1），定义域为， 当时，，在递增；当时，，，，， 递增，在递减. 综上所述：当时，递增区间为，无递减区间； 当时，递增区间为，递减区间为. （2）①有两个不同的零点，有两个根，即有两个根， 令，则， 则时，，递增；时，，递减， 极大值为，当时，，当时，，的范围为. ②有两个不同的零点，， 两式作差得，，要证，及证， 即证：，同除，得到不妨设，令，则， 则证明，即证，令，则， 则在上增，且，，.得证. 【变式1-1】 （23-24高三上·天津静海·阶段练习）设函数. (1)当时，若函数在其定义域内单调递增.求b的取值范围； (2)若， ，证明：时，； (3)若有两个零点，，且，求证：. 【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得对恒成立，即只需，由基本不等式求即可； （2）要证时，，即证，令，对求导，得到的单调性和最值，即可证明； （3）由有两个零点，可得，两式相减化简可得，再求得，令，则令，求出的单调性和最值，即可证明.【详解】（1）依题意：， 在上递增，对恒成立， 即对恒成立，只需，，当且仅当时取等号，，的取值范围是； （2）要证时，，即证， 令且，则， 所以在上递增，则，即.所以时，. （3）证明：由已知得，即， 两式相减得：，即， 由，得 ，令，则令， 则，是上的减函数，， 所以，又，， .题型11数列不等式证明：裂项求和相消型 【解题规律·提分快招】 证明不等式，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，即 这样一来，设， 则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立. 【典例1-1】 （19-20高三上·天津·期中）已知，. (1)若，判断函数在的单调性； (2)设，对，，有恒成立，求k的最小值； (3)证明：.. 【答案】(1)单调递增(2)2(3)证明见解析 【分析】（1）求导，根据三角函数的有界性以及可判断，即可求解单调性， （2）求导，构造函数，进而根据导数判断单调递增，结合零点存在性定理可得，即，构造函数，结合导数即可求解. （3）根据（1）的结论可得,即可令，利用对数的运算性质即可求证. 【详解】（1）由题意，函数，. 则，又，故，而，所以，故在上单调递增. （2）由题意知，，对，，有恒成立. ，设，则，由于，故，时，单调递增，又，，因此在内存在唯一零点，使，即，且当，，，单调递减；，，，单调递增.故，故，由于，则，故，即， 设，，， 又设，故在上单调递增， 因此，即，在上单调递增， ，又，所以，故所求k的最小值为2. （3）由（1）可知时，，即，设，则， 因此，即，得证. 【典例1-2】 （2024·福建莆田·三模）已知函数，其中. (1)当时，，求的取值范围. (2)若，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列. (3)证明：（）. 【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）法一：先求的导数，再由导数讨论函数的单调性，判断是否成立，从而确定的取值范围；法二：由题意得，，即确定的单调性，由，得，然后通过设，利用导数证明即可； （2）由（1）可知，的单调性，由此可判断上存在唯一零点，在上存在唯一零点，由即可证明； （3）由题意，可得，即，进而得到，原命题即可证. 【详解】（1）（解法一）由题意可知的定义域为， ， 设，其中. ①当，即时，，所以，单调递增， 所以当时，，故满足题意； ②当，且，即时，， 所以，单调递增， 所以当时，，故满足题意； ③当，且，即时， 设的两根为，， 解得，， 则当时，，所以，单调递减， 则，故不满足题意 . 综上，的取值范围是 . （解法二）由题意可知的定义域为， ， 因为，，所以，解得， 以下证明满足题意. 由可知，，所以当时，， 设，，所以为递增函数， 所以，所以， 综上，a的取值范围是. （2）由（1）可知，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，， 取，， （其中，所以，即）， 取，. （其中，所以，即）， 所以在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，且，所以，， 又，所以也是函数的零点， 显然且，所以，即，所以，所以，，成等比数列. （3）由（1）可知当时，为单调递增函数，所以当时，，即， 整理得，即，所以（）， 则（），故（）. 【点睛】关键点点睛：本题后两问关键是利用（1）的结论，将所要证明的问题进行转化. 【变式1-1】 （23-24高三上·山东济南·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若时，，求a的取值范围； (3)对于任意，证明：． 【答案】(1)的单调递增区间为，无单调递减区间；(2)；(3)证明见解析． 【分析】（1）将代入函数，对函数二次求导，即可求出函数的单调区间； （2）分情况讨论，结合（1）中结论，判断符合题意，对函数二次求导，分别判断和不符合题意，最终确定的取值范围； （3）根据（2）中结论先得到，取取，得到，令，，…，，累加可得；又构造函数， 求导判断函数单调性可得：，，取（），得，令，，…，，累加得，结论得证. 【详解】（1）的定义域为； 当时，，则； 令，则；故当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增．于是，即， 故的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）由题意知，令，则； 由（1）可知若，则当时，， 若，则当时，有，符合题意； 若，则当时，，于是， 单调递减，则，与题意矛盾； 若，则当时，，于是， 单调递减，此时，与题意矛盾；综上所述：a的取值范围是． （3）当时，上（2）可知， 即，取，可得 ，即． 令，，…，，累加可得 ．另一方面，考虑函数，， 则，在上单调递减，则， 于是，．取（），可得， 整理得．令，，…，， 累加可得． 综上所述，对于任意，成立． 题型12数列不等式证明：三角函数型 【解题规律·提分快招】 对于含有三角函数型不等式证明： 1.证明思路和普通不等式一样。 2.充分利用正余弦的有界性 3.三角函数与函数的重要放缩公式：. 【典例1-1】 （23-24高三上·天津和平·期末）已知函数， (1)若，讨论在的单调性； (2)若，函数，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，求证：． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2)(3)证明见解析 【分析】（1）求导函数研究函数的单调性； （2）构造函数，多次求导连锁反应研究导函数的单调性，进而分类讨论探究函数的极值点与单调性，通过函数值范围判断不等式是否恒成立即可； （3）由（2）问中当时，不等式恒成立结论，赋值、累加法证明不等式. 【详解】（1）因为，所以，在上，，在上，, 所以，函数在上单调递增，在上单调递减． （2）不等式可化为：，设， 令，则，令， 则，再令， 则，所以在单调递增，则，即，所以在单调递增，所以，，则的值域为． ①当时，即时，，即， 则在单调递增，所以恒成立，符合题意． ②当时，即时，， 若取时，， 所以存在，使，则当时，，即， 则函数在上单调递减，此时， 所以当时，，与原题矛盾，不符合题意．综上所述，的取值范围是． （3）原式即证． 由（2）可知，当时，，即时，，则． 令，则． 则，，， 各式相加得， ．所以当时，成立． 【典例1-2】 （20-21高三上·天津和平·阶段练习）已知函数. （1）讨论在区间上的单调性； （2）求的最大值和最小值； （3）设，证明：. 【答案】（1）在，单调递增；在上单调递减； （2），；（3）证明见详解. 【解析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可； (2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值； (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得：，则：， 在上的根为：，当时，单调递增， 当时，单调递减，当时，单调递增. (2)注意到， 故函数是周期为的函数，结合(1)的结论，计算可得：， ，， 据此可得：，， (3)结合(2)的结论有： . 【变式1-1】 （2020·天津滨海新·二模）已知，其中． （1）当时，设函数，求函数的极值． （2）若函数在区间上递增，求的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）极大值，无极小值；（2）．（3）见解析 【解析】（1）先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出； （2）先求导，再函数在区间上递增，分离参数，构造函数，求出函数的最值，问题得以解决； （3）取得到，取，可得 ，累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明. 【详解】解：（1）当时，设函数，则 令，解得当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减 所以当时，函数取得极大值，即极大值为，无极小值； （2）因为，所以，因为在区间上递增， 所以在上恒成立，所以在区间上恒成立． 当时，在区间上恒成立，当时，， 设，则在区间上恒成立． 所以在单调递增，则，所以，即综上所述． （3）由（2）可知当时，函数在区间上递增， 所以，即， 取，则． 所以所以 【点睛】此题考查了参数的取值范围以及恒成立的问题，以及不等式的证明，构造函数是关键，属于较难题. 题型13 数列不等式证明：累积列项相消型 【解题规律·提分快招】 累积列项相消证明法 证明不等式为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，如转化为 累积相消型 这样一来，设， 则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立. 证明不等式为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可以通过取对数，把左边的积转化为对数和型，如转化为 累加或者累积相消型 【典例1-1】 （2020·天津·一模）已知函数在处取得极值A，函数，其中…是自然对数的底数． （1）求m的值，并判断A是的最大值还是最小值； （2）求的单调区间； （3）证明：对于任意正整数n，不等式成立． 【答案】（1）；是最小值；（2）单调递减区间是，单调递增区间是；（3）证明过程见详解. 【分析】（1）先对函数求导，根据题意，得到，求出，研究函数单调性，即可判断出结果； （2）对函数求导，得到，令，对其求导，研究其单调性，即可判断函数的单调性； （3）先由（1）得时，恒成立，令，则，进而求和，即可得出结果. 【详解】（1）因为，，所以， 又在处取得极值，则，即；所以， 由得；由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得最小值，即是最小值； （2）由（1）得，所以， 令，则，因为，所以恒成立， 因此在上单调递增；又，所以，当时，，即； 当时，，即； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是； （3）由（1）知，，所以，当时，恒成立； 令，则，因此 ，即， 因此. 【典例1-2】 （2022·天津·模拟预测）已知函数. (1)试判断函数在上单调性并证明你的结论； (2)若对于恒成立，求正整数的最大值； (3)求证：． 【答案】(1)函数在上为减函数，证明见解析(2)(3)证明见解析 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系可得出结论； （2）由恒成立，即恒成立，构造函数，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出整数的最大值； （3）由（2）可得出，令，可得出，利用裂项法结合指数与对数互化可证得结论成立. 【详解】（1）解：函数在上为减函数，证明如下：因为，所以，又因为，所以，，所以， 即函数在上为减函数. （2）解：由恒成立，即恒成立，即， 设，其中，所以， 令，则，即在为增函数， 又 ，， 即存在唯一的实数，满足， 当时，，，当时，，， 即函数在为减函数，在为增函数， 则， 故整数的最大值为. （3）证明：由（2）知，，则，其中， 令，则， 则 ， 故. 【变式1-1】 （22-23高二下·天津武清·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求的值； (3)求证：对任意正整数（），都有. 【答案】(1)(2)(3)见解析 【分析】（1）求导，即可由点斜式得切线方程， （2）构造函数以及利用导数求解函数的单调性，进而可得最值，即可求解， （3）利用得，即可由放缩法以及裂项求和，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）由得，由得，又， 所以切线方程为，即 （2）由恒成立可得恒成立，记，则， 当时，在恒成立，所以在单调递减，而，故当时，不符合题意，故舍去， 当时，当时，,当，故在单调递增，在单调递减，故， 记当时，，当，所以在单调递减，在单调递增，故，因此，又，所以， （3）记，则， 当时，,当，故在单调递增，在单调递减，故，当且仅当取等号， 令，则， 所以，由于, 所以，即 冲高考 1．（24-25高三上·天津·期末）已知函数（），． (1)求函数的极值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：时，． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，按分类讨论求出函数的极值. （2）构造函数，利用导数探讨单调性求出的范围. （3）利用导数分别证明不等式，在时成立，再利用不等式的性质推理得证. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， ①当时，恒成立，无极值； ②当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数极小值为，无极大值，所以当时，无极值； 当时，极小值为，无极大值． （2）对任意的，不等式， 设，且，求导得， 令，求导得， 函数在上单调递增，则在上单调递增，， 函数在上单调递增，而， 当时，恒成立，函数在上单调递增，恒成立； 当，则，又， 则在内存在，使得，当时，， 函数在上单调递减，当时，，不合题意， 所以实数的取值范围是. （3）令函数，，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 则，函数在上单调递增，，即， 令函数，，求导得， 函数在上单调递增，，即， 因此当时，，即， 所以成立. 2．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知， (1)求在处的切线方程以及的单调性； (2)对，有恒成立，求的最大整数解； (3)令，若有两个零点分别为且为的唯一的极值点，求证：. 【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为；(2)(3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，求出，即可得到切线方程，解得到单调递增区间，解得到单调递减区间，需注意在定义域范围内； （2）等价于，求导分析的单调性，即可求出的最大整数解； （3）由，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明. 【详解】（1）因为，所以定义域为，且， 从而，又，所以切线方程为即； ，令解得，令解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）对，有恒成立，等价于恒成立，等价于恒成立，等价于恒成立，记，则， 则，记，因为，所以为上的递增函数， 又，，所以，使得，即， 所以在上递减，在上递增，且； 所以的最大整数解为. （3）由题意，则， 令得，当，，当时，； 所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足， 即；因为，，令， 由，所以，即所以， 而要证，只需证，即证：，即：，由，只需证：，令，则 令，则， 故在上递增，； 故在上递增，；所以. 3．（22-23高三上·山东滨州·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)证明：对任意； (3)讨论函数零点的个数. 【答案】(1)；(2)见详解；(3)时，有一个零点，时，有三个零点. 【分析】（1）进行求导可得，讨论函数的单调性，求得最大值满足小于0即可； （2）取，时，成立，代入（）整理即可得证； （3）由导函数，讨论的单调性，结合图象即可求得零点. 【详解】（1）求导可得：， 若，对任意的，，为减函数，所以，符合题意； 若，考查函数， 当，即时，，此时在上为减函数，有，符合题意； 当，即时，令可得： ，，所以，当时，，为增函数，所以，不符题意，综上可得：的取值范围为. （2）由（1）知当时，成立，即时，恒有， 即当时，成立.取（），有， 即，， 所以，, 将上述不等式相加可得：，整理可得，即成立； （3）由（），当时，，为减函数， 又，，此时在内有一个零点； 当时，令，可得或（舍），此时有一个零点， 当时，考查函数，若，即时，， 所以为减函数，由，，此时有一个零点在内；若，时，有两解， ，，此时在上为减函数，在上为增函数，由可知，所以极小值,极大值， 由，取，，令， ，令，则，由所以，所以为减函数， 所以，所以为减函数，所以，所以，可得，此时有三个零点， 综上可得：时，有一个零点，时，有三个零点. 4．（24-25高三上·天津北辰·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若恒成立，求的值； (3)，，求证：． 【答案】(1)(2)2(3)证明见解析 【分析】（1）求出切点坐标和切线斜率，即可得到切线方程； （2）根据题意求出极大值点，进而求出的值，然后利用导数证明不等式恒成立； （3）利用，转化为，然后利用导函数求单调性证明即可. 【详解】（1），有，因为，所以， 则曲线在点处的切线方程为．所以时，切线方程为：； （2）因为，的定义域为，所以是的极大值点，因为，所以，所以， 需验证，当时，恒成立即可，因为， 令，则， ①当时，，则在上单调递减， 所以在上单调递增，， ②当时，，则在上单调递减，所以， 综上，符合题意．所以恒成立时，. （3）由（2）可知，，当且仅当时取等号，当时，，所以，， 因为， 所以即证，令，则，当时，，， 所以即证：，令，则， 所以时，单调递减，所以，即， 综上，. 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）设函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，，且，求证：； (3)设，对于任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)递增区间为，，递减区间为(2)证明见解析(3) 【分析】（1）利用导数求得函数的单调区间. （2）根据极值点列方程，由进行化简，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立. （3）利用导数研究的最大值，利用构造函数法，结合对进行分类讨论以及导数求得的取值范围. 【详解】（1），当时，， 当时或；时，∴的递增区间为，，递减区间为； （2）函数有两个极值点，，则，是方程的两个不相等的实根，所以，，即，．所以． 令，则 所以，在上单调递减．，即． （3）∵，∴， ∵，，∴，在上单调递增．∴，∴对于任意，总存在，使成立，等价于在上恒成立， 令，则在上恒成立． ，， i．当时．，在上单调递减，，不合题意； ii．当时，令，得， ①当，即时，在上单调递减，存在不合题意； ②，即时，在上单调递增，，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 6．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若函数有两个极值点，求证：. 【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析 【分析】（1）求出切点坐标和切线斜率可得答案； （2）分、、三种情况讨论求解即可； （3）首先可得，然后可得，令，然后利用导数求出的极大值即可证明. 【详解】（1）当时，，所以，故切点坐标为， 又，所以，故切线的斜率为，由点斜式可得，即， 故曲线在点处的切线方程为； （2）的定义域为，又， 当，即时，在上恒成立，故在上单调递减； 当，即或，令，解得， 若时，则当或时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若时，在上恒成立，故在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （3）由（2）可知，当时，有两个极值点，则， 由题意可得：，则 ，令，则， 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 故当时，取得最大值， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$