精品解析：山东省枣庄市山亭区翼云中学2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

九年级下学期开学考试数学试题 时间：80分钟分值：100分 一、选择题（每题4分，共16分） 1. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 2. 关于x的一元一次不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．先求出不等式组的解集为，再根据这个不等式组只有4个整数解，确定，再进行求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 又∵x的一元一次不等式组只有4个整数解， ∴整数解为：，，，； ∴， ∴， 故选：C． 3. 如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（ ）． A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意证明，所以，则是等腰直角三角形；过点F作，得出是等腰直角三角形，推出，进而根据勾股定理可求出． 【详解】解：在正方形中，和为对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 过点F作，如图，    AI ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，含的直角三角形的三边关系，勾股定理，解题关键是得出是等腰直角三角形． 4. 已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式等知识．数形结合是解题的关键． 由题意知，图象开口向下，即，对称轴为直线，则，，当时，，可得，可判断①的正误；图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，可判断②的正误；将代入得，，可判断③的正误；由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，则关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1，由图象可知，，；可判断④的正误；由，可知过点，如图2，由图象可知，关于x的不等式，即的解集为，可判断⑤的正误． 【详解】解：由题意知，图象开口向下，即， 对称轴为直线，则， ∴， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，②错误，故不符合要求； 将代入得，，③正确，故符合要求； 由题意知，关于对称轴对称的点坐标为， ∵关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1， 由图象可知，，；④正确，故符合要求； ∵， ∴过点，如图2， ∴关于x的不等式，即的解集为，⑤正确，故符合要求； ∴正确结论的个数为4个， 故选：B． 二、填空题（每题4分，共16分） 5. 如果点在二次函数的图像上，那么a________b填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，分别求出当时，当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 6. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也蕴含着“黄金分割”．如图（），若，则的长为____．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割点的运用，掌握黄金分割点的计算公式是解题的关键． 根据题意，运用黄金分割的计算公式得到，解出的值，再有即可求解． 【详解】解：∵为的黄金分割点（）， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7. 定义运算：若am＝b，则logab＝m（a＞0），例如23＝8，则log28＝3．运用以上定义，计算：log5125﹣log381＝________ 【答案】-1 【解析】 【分析】根据新定义，分别求出log5125与log381的值，进而即可求解． 【详解】解：由题意可得， log5125﹣log381 ＝3−4 ＝−1， 故答案是：-1． 【点睛】本题考查实数的混合运算，解答本题的关键是明确新定义运算的意义． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是9，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，设点B坐标为，得到，继而，利用，求出值，继而得到k值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 设点B坐标为，则，， ∵， ∴， ∵点D、E在反比例函数图象上，点D纵坐标为， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共9小题）解答时，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9. 先化简，再求值：（＋1）÷，其中a＝﹣4． 【答案】a＋1，﹣3 【解析】 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（＋1）÷ ＝ ＝ ＝a＋1， 当a＝﹣4时，原式＝﹣4＋1＝﹣3． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行化简，代入数值后准确进行计算． 10. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析． 【解析】 【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集规律：大小小大中间找确定解集即可． 【详解】解：解不等式5x＞x−10，得：x＞−2.5， 解不等式，得：x≤3， 所以不等式组的解集是−2.5＜x≤3， 将解集表示在数轴上如下： 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了用数轴表示不等式组的解集． 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标是−4； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线：沿y向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2）或 （3）平移后的直线的函数表达式为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移； （1）由正比例函数解析式确定，然后把A点坐标代入中求出得到反比例函数解析式； （2）根据，，然后利用函数图象写出反比例函数图象在一次函数下方所对应的自变量的范围，即可求解； （3）设平移后的直线与轴交于点，连接，，则的面积与的面积相等，进而求得,设平移后的直线的函数表达式为，待定系数法求一次函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线：经过点A，A点的纵坐标是2， ∴当时，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵直线：与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴， ∴不等式解集为或； 【小问3详解】 如图，设平移后的直线与轴交于点，连接，， ， 的面积与的面积相等， 的面积为30， ，即， ， ， ， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，可得， 解得， ∴平移后的直线的函数表达式为． 12. 某种商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．经市场调查发现如下信息： 设每件商品的售价为x元，每星期可获得的销售利润为y元． （1）求y与x的函数解析式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每星期可获得的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每件商品的售价定为元时，每星期可获得的销售利润最大，最大利润是 元 【解析】 【分析】（1）依题意得，，整理作答即可； （2）由题意知，，可求，则，由题意知，然后求最值并作答即可． 【小问1详解】 解：设每件商品的售价为x元，每星期可获得的销售利润为y元， 依题意得，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意知，， 解得，， ∴， ∴，； 由题意知， ∵，， ∴当时，最大，， ∴每件商品的售价定为元时，每星期可获得的销售利润最大，最大利润是 元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，二次函数解析式，二次函数最值等知识．熟练掌握二次函数的应用，一元一次不等式的应用，二次函数解析式，二次函数最值是解题的关键． 13. 如图，四边形是平行四边形，相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，根据已知可得，所以，于点，于点，则，先证明四边形是平行四边形，再证是直角即可； （2）根据菱形的性质可知，根据已知可求出，然后利用等面积法求出即可． 本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ． ， ， 于点，于点， ， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是矩形； 小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，，， ，， ，， 在中，， ， 即， ． 14. 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，） （1）求液压杆顶端B到底盘的距离的长； （2）求的长． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）根据，代入数进行计算，即可求解； （2）利用，先求出米，再利用，求出米，问题得解． 本题考查了解直角三角形的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：液压杆与底盘夹角为β．已知液压杆米，， 在中， ∴， ∴米， 即的长为2.55米； 【小问2详解】 解：在中，，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴（米）， 即的长为米． 15. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接. （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由. 【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，，. 【解析】 详解】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可； （2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可； （3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可． 详解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6）， ∴， 解得：， 所以二次函数的解析式为：y=； （2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=， 过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图， 设D（m，），则点F（m，）， ∴DF=﹣（）=， ∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH =×DF×AG+×DF×EH =×4×DF =2×（） =， ∴当m=时，△ADE的面积取得最大值为． （3）y=的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种情况讨论： 当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（﹣1，1）； 当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（﹣1，）； 当PE=AE时，=，解得：n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）． 综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）． 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键． 16. 【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在中，在上，在的延长上，交于点，且，求证:. 小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过点作交于，进而解决了该问题.（不需要证明） 【探究】如图③，在四边形中，，为边的中点，与的延长线交于点，试探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论. 【应用】如图④，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若＝1，＝，∠＝90°，则的长为 . 【答案】探究：；应用：. 【解析】 分析】探究：分别延长DC、AE，交于点G，根据已知条件可以得到△ABE≌△GCE，由此得到AB＝CG，由∠BAE＝∠EAF，等量代换可证∠CGE＝∠EAF，进而得到AF＝GF，即可得出结论； 应用：分别延长FB、GE，交于点M，根据已知条件可以得到△AEG≌△BEM，由此得到AG=BM，GE=ME，然后利用三线合一的性质得到FG＝FM，即可求出GF. 【详解】解：探究：AB＝AF＋CF； 证明：如图1，分别延长DC、AE，交于点G， ∵AB∥DC， ∴∠BAE＝∠CGE，∠ABE＝∠GCE， ∵BE=CE， ∴△ABE≌△GCE， ∴AB＝CG， 又∵∠BAE＝∠EAF， ∴∠CGE＝∠EAF， ∴AF＝GF， ∴AB＝CG＝GF＋CF＝AF＋CF； 应用：如图，分别延长FB、GE，交于点M， ∵∠A＝∠EBM＝90°，∠GEA＝∠MEB，AE＝BE， ∴△AEG≌△BEM， ∴AG=BM，GE=ME， 又∵∠GEF＝90°，即FE⊥GM， ∴FG＝FM， ∵FM＝BF+BM＝BF+AG＝， ∴GF＝. 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，正确理解感知中辅助线的作法，结合实际问题作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级下学期开学考试数学试题 时间：80分钟分值：100分 一、选择题（每题4分，共16分） 1. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（　　） A B. C. D. 2. 关于x的一元一次不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（ ）． A. 2 B. C. D. 4. 已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（每题4分，共16分） 5. 如果点在二次函数的图像上，那么a________b填“”“”或“”） 6. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也蕴含着“黄金分割”．如图（），若，则的长为____．（结果保留根号） 7. 定义运算：若am＝b，则logab＝m（a＞0），例如23＝8，则log28＝3．运用以上定义，计算：log5125﹣log381＝________ 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是9，则k的值为_______． 三、解答题（共9小题）解答时，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9. 先化简，再求值：（＋1）÷，其中a＝﹣4． 10. 解不等式组：并把解集数轴上表示出来． 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标是−4； （1）求反比例函数表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线：沿y向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． 12. 某种商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．经市场调查发现如下信息： 设每件商品的售价为x元，每星期可获得的销售利润为y元． （1）求y与x的函数解析式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每星期可获得的销售利润最大，最大利润是多少？ 13. 如图，四边形是平行四边形，相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，求的长． 14. 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，） （1）求液压杆顶端B到底盘距离的长； （2）求的长． 15. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接. （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由. 16. 【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在中，在上，在的延长上，交于点，且，求证:. 小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过点作交于，进而解决了该问题.（不需要证明） 【探究】如图③，在四边形中，，为边的中点，与的延长线交于点，试探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论. 【应用】如图④，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若＝1，＝，∠＝90°，则的长为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$