精品解析： 安徽省亳州市利辛县2024一2025学年上学期义务教育数学质量监测九年级试题(中考一模数学试题)

利辛县2024-2025学年度第一学期义务教育教学质量监测 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，先根据，化简得，再代入，即可作答． 【详解】解：因为， 所以， 则， 故选：D． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：． 3. 在中，，，，则的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义直接计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故选C． 4. 大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义得到，进而可求出的长． 【详解】解： P为的黄金分割点，， ， ． 故选D． 5. 点（-1，），（3，），（5，）均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. >> B. >= C. >> D. => 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的对称轴为x＝1，抛物线开口向下，然后根据抛物线的增减性和对称性判断即可． 【详解】解：∵，a＝－1＜0， ∴对称轴为x＝1，抛物线开口向下， ∴（3，），（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵3<5， ∴>， 根据二次函数图象的对称性可知，（-1，）与（3，）关于对称轴对称， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 6. 若，则锐角的度数应是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，由可得，据此即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 在中，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交延长线于点，则，由邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，由线段之间的和差关系可得，由勾股定理可得，于是得解． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含度角的直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定、、的正负，再利用代入解析式，得到的正负即可判定两个函数的图象所在的象限，即可得出正确选项． 【详解】解：由图象可知：图象开口向下，对称轴位于轴左侧，与轴正半轴交于一点， 可得： 又由于当时， 因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于一、三象限； 故选：A． 9. 如图，是的中线，点F在上，延长交于点D，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 过点E作交于G，先利用三角形的中线的定义得到，再根据相似三角形的性质得到，由得到，最后由相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：过点E作交于G， ∵是的中线， ∴， 如图：过点E作交于G， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF的面积最大值为( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据AP=PF得到点P在AF的垂直平分线上，过P作PG⊥AF，G为垂足，则AG=GF，DG=PG，设DF=x，得到AG=，GD=PG=，利用三角形面积公式计算得到S△APF=，根据函数性质即可得到答案． 【详解】∵AP=PF， ∴点P在AF的垂直平分线上， 过P作PG⊥AF，G为垂足，则AG=GF，DG=PG， 设DF=x，则AG=， ∴GD=PG=， ∴S△APF=≤4， 所以△APF面积最大值为4； 故选：C． ． 【点睛】此题考查正方形的性质，线段垂直平分线的判定及性质，二次函数的最值问题，正确引出辅助线并设定未知数解决问题是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知，且，则的值为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案． 【详解】解：∵， ∴设a=6x，b=5x，c=4x， ∵a+b-2c=6， ∴6x+5x-8x=6， 解得：x=2， 故a=12． 故答案为12． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键． 12. 若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一次函数的性质，分两种情况：当，即时，此时为一次函数；当时，此时为二次函数，由此计算即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵函数的图象与x轴只有一个交点， ∴当，即时，函数为，此时为一次函数，该函数图象与x轴只有一个交点， 当时，此时为二次函数，令，则，此时， 解得， 综上所述，m的值为或， 故答案为：或． 13. 在中，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值非负性，特殊角的三角函数，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 由绝对值的非负性及完全平方式的非负性可得，，进而可得，，由特殊角的三角函数可得，，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点A在第一象限，点．双曲线（，）把分成两部分，与边，分别交于C，D两点，若． （1）k的值为______； （2）连接，则的面积为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，则，由等边三角形的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，设，则，在中，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，进而可得，在中，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，进而可得，将、两点坐标代入双曲线，由此即可求出的值； （2）过点作轴于点，过点作于点，由垂直于同一直线的两直线平行可得，由平行线分线段成比例定理可得，由三线合一可得，由勾股定理可得，进而可得，由（1）得，易证得四边形为矩形，于是可得，进而可得，连接，由三角形的面积公式可得，由垂直于同一直线的两直线平行可得，由平行线分线段成比例定理可得，由（1）得，则，，于是可得，由三角形的面积公式可得由此即可求出的面积． 【详解】解：（1）如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 是等边三角形， ， ， ， 设， 则， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 又、在双曲线上， ， ，， ，， 故答案为：； （2）如图，过点作轴于点，过点作于点， ，， ， 是等边三角形，且轴， ，， ， ， 由（1）得：， 且易证得四边形为矩形， ， ， 如图，连接， ， ， 轴，轴， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，三线合一，矩形的判定与性质，三角形的面积公式，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 将特殊角的三角函数值代入原式进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点，（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为． （1）画出关于y轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）与的相似比是______． 【答案】（1） 如图所示：即为所求； （2） 如图所示：即为所求； （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了作图位似变换，坐标与图形变化—轴对称： （1）根据轴对称的性质作出图形即可； （2）利用点和的坐标特征得到位似比为2，连接并延长至点使得，同理得到点，顺次连接即可得到； （3）根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知，，， 与的相似比， 故答案为：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，延长平行四边形一边至点F，连接交于点E，． （1）若，求线段的长； （2）若的面积为6，求平行四边形的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了三角形的面积公式和平行四边形的性质及面积公式． （1）利用平行四边形的性质可以证明，然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解； （2）利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可以求出，然后利用平行四边形的面积即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴， ∴． 又∵，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点E作于点M，交CF于点N． ∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∵的面积为6， ∴，即， ∴平行四边形的面积． 18. 某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：） 【答案】教学楼BC高约13米 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，构造直角三角形是解题关键．作于点E，过点C作于点F，由求得米，由米知米，再根据四边形是矩形知米．由知米，从而得的长． 【详解】过点D作于点E，过点C作于点F． ∵， ∴四边形是矩形． 由题意得，米，米，． 在中，， ∴． ∴米， ∵米， ∴米， ∵四边形是矩形， ∴米． 在中，， ∴． ∴米， ∴（米）． 答：教学楼高约13米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点、． （1）求反比例函数与一次函数的解析式． （2）连接OA、OB，求△AOB的面积． （3）直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）， （2）1.5 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题． （1）将A的坐标代入反比例函数求出m的值，然后将B的坐标代入反比例函数求出n的值，然后将A、B两点的坐标代入一次函数解析式中即可求出答案． （2）求出直线与y轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求出答案． （3）根据图象即可求出x的取值范围． 【小问1详解】 将代入， ∴， ∴反比例函数的解析式为： ， 将代入， ∴， ∴， 将和代入， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 令代入， ∴， ∴， 【小问3详解】 由图象可知：当y1＜y2时，，或 20. 已知抛物线经过点且与直线的一个交点为． （1）求的值； （2）判断抛物线的顶点是否在直线上； （3）平移抛物线，使其顶点在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 【答案】（1） （2）抛物线的顶点坐标在直线上 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数，待定系数法求解一次函数与二次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质，及二次函数的最值是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）把，代入，求出二次函数解析式，再求得其顶点坐标，判断此坐标是否在一次函数上即可； （3）设平移后的抛物线的解析式为，得出其顶点坐标为，代入可得，再利用二次函数的最值即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴将代入， 得：； 【小问2详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴把，代入， 得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 对于一次函数，当时，， ∴抛物线的顶点坐标在直线上； 【小问3详解】 解：设平移后的抛物线的解析式为， 则其顶点坐标为， ∵顶点仍在直线上， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点的纵坐标为， ∴， ∴当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标有最大值，最大值为． 六、（本题满分12分） 21. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） （1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ （3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，日获利w最大，最大利润为元 （3） 【解析】 【分析】（1）设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式，将，，代入得，，计算求解，进而可得结果； （2）依题意得，，由，，可知当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）令，则，可求或，由，可得，由，可得． 【小问1详解】 解：设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式， 将，，代入得，， 解得，， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； 【小问2详解】 解：依题意得，， ∵，， ∴当时，日获利w最大，最大利润为元； 【小问3详解】 解：令，则， 解得，或， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使C点恰好落在边上点F处，且． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2．当，且时．求BC的长； （3）如图3，作的角平分线交于点N，若，．求的值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）依据折叠即可得到；根据，可得出；再根据矩形的性质以及折叠的性质，即可求出∠CBE的度数； （2）先证明，可得出，依据，求出的长度，进而得到、的长度；再根据勾股定理求得的长，依据相似三角形的性质求得的长，即可得出的长以及的长． （3）过点作于点，先证明，利用对应边成比例得出，再利用角平分线的性质证明，利用勾股定理、结合全等三角形的性质建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处， ∴， 又∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当，且时． 有， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， ∴的值为4． 【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，角平分线的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 八、（本题满分14分） 23. 平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与y轴交于，与x轴交于B、C两点（C在B的右侧），顶点坐标为． （1）求抛物线解析式； （2）点是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点作的垂线交于点，求长度的最大值； （3）在直线上是否存在点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数的解析式为； （2）的最大值为； （3）点的坐标为：或． 【解析】 【分析】本题为二次函数综合题，涉及到二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）根据顶点坐标为，设二次函数的顶点式为，由题意，将代入解析式得，，即可求解； （2）作轴交于点，是等腰直角三角形，当最大时，最大，求得关于m的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； （3）当，则，即，进而求解． 【小问1详解】 解：顶点坐标为， 设二次函数的顶点式为， 抛物线与轴交于， ， 解得，． 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令， ． 或3． 抛物线与轴的交点，． 由，得，直线为． 作轴交于点， 设，则， ∵直线与轴夹角， ∴是等腰直角三角形，当最大时，最大． ， ∵， ∴有最大值，最大值为， ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：存在，理由： 如图，当， 则， 即， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点的坐标为：， 当时， 即， 解得：， 则点； 当点在点的上方时， 则，设点， 则， 解得：（舍去）或， 则点， 综上，点的坐标为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 利辛县2024-2025学年度第一学期义务教育教学质量监测 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 4. 大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 5. 点（-1，），（3，），（5，）均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. >> B. >= C. >> D. => 6. 若，则锐角的度数应是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的中线，点F在上，延长交于点D，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF的面积最大值为( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知，且，则的值为__________． 12. 若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为______． 13. 在中，若，则_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点A在第一象限，点．双曲线（，）把分成两部分，与边，分别交于C，D两点，若． （1）k的值为______； （2）连接，则的面积为_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点，（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为． （1）画出关于y轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）与的相似比是______． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，延长平行四边形一边至点F，连接交于点E，． （1）若，求线段的长； （2）若的面积为6，求平行四边形的面积． 18. 某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点、． （1）求反比例函数与一次函数的解析式． （2）连接OA、OB，求△AOB的面积． （3）直接写出当时，自变量x的取值范围． 20. 已知抛物线经过点且与直线的一个交点为． （1）求的值； （2）判断抛物线的顶点是否在直线上； （3）平移抛物线，使其顶点在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 六、（本题满分12分） 21. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） （1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ （3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 七、（本题满分12分） 22. 在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使C点恰好落在边上点F处，且． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2．当，且时．求BC的长； （3）如图3，作的角平分线交于点N，若，．求的值． 八、（本题满分14分） 23. 平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与y轴交于，与x轴交于B、C两点（C在B的右侧），顶点坐标为． （1）求抛物线解析式； （2）点是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点作的垂线交于点，求长度的最大值； （3）在直线上是否存在点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $