精品解析： 安徽省亳州市利辛县2024一2025学年上学期义务教育数学质量监测九年级试题(中考一模数学试题)

利辛县2024-2025学年度第一学期义务教育教学质量监测 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知，则的值等于（） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则的值为（ ） A 10 B. 8 C. 6 D. 4 4. 大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 5. 点（-1，），（3，），（5，）均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. >> B. >= C. >> D. => 6. 若，则锐角的度数应是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，则的长是（ 　） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的中线，点在上，延长交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF的面积最大值为( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知，且，则的值为___________． 12. 已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是________． 13. 在中，若，则__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中．等边的顶点A在第一象限，点．双曲线把分成两部分，若． （1）双曲线与边，分别交于，两点，的值为________． （2）连接，则的面积为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为． （1）画出关于y轴对称的； （2）以点O为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）与的相似比是____． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17 如图，延长平行四边形一边至点F，连接交于点E，． （1）若，求线段的长； （2）若的面积为6，求平行四边形的面积． 18. 某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点、． （1）求反比例函数与一次函数的解析式． （2）连接OA、OB，求△AOB的面积． （3）直接写出当时，自变量x的取值范围． 20. 已知抛物线经过点且与直线的一个交点为． （1）求的值； （2）判断抛物线的顶点是否在直线上； （3）平移抛物线，使其顶点在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标最大值． 六、（本题满分12分） 21. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） （1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ （3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 七、（本题满分12分） 22. 在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使C点恰好落在边上点F处，且． （1）如图1，若，求度数； （2）如图2．当，且时．求BC的长； （3）如图3，作的角平分线交于点N，若，．求的值． 八、（本题满分14分） 23. 平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与y轴交于，与x轴交于B、C两点（C在B的右侧），顶点坐标为． （1）求抛物线解析式； （2）点是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点作的垂线交于点，求长度的最大值； （3）在直线上是否存在点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 利辛县2024-2025学年度第一学期义务教育教学质量监测 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知，则的值等于（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例的性质知识点，解题的关键是利用设参数法来求解． 根据已知的比例关系设出参数，然后将其代入所求式子进行化简求值． 【详解】因为，所以可设． 将代入可得： ， 所以的值等于， 故选：D． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键． 根据二次根式的顶点式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数为， ∴顶点坐标是， 故选：． 3. 在中，，，，则的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦的定义，掌握正弦等于直角三角形该角的对边与斜边的比成为解题的关键． 直接根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，即，解得：． 故选C． 4. 大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义得到，进而可求出的长． 【详解】解： P为的黄金分割点，， ， ． 故选D． 5. 点（-1，），（3，），（5，）均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. >> B. >= C. >> D. => 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的对称轴为x＝1，抛物线开口向下，然后根据抛物线的增减性和对称性判断即可． 【详解】解：∵，a＝－1＜0， ∴对称轴为x＝1，抛物线开口向下， ∴（3，），（5，）在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵3<5， ∴>， 根据二次函数图象的对称性可知，（-1，）与（3，）关于对称轴对称， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 6. 若，则锐角的度数应是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数值以及角度的计算知识点，解题的关键是牢记特殊角的正切函数值． 先根据特殊角的正切值得到的度数，再计算出的度数． 【详解】解：因为，已知，为锐角， ∴， 则， 故选：C． 7. 如图，在中，，则的长是（ 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， 在中，， 故选：． 【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握含的直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定、、的正负，再利用代入解析式，得到的正负即可判定两个函数的图象所在的象限，即可得出正确选项． 【详解】解：由图象可知：图象开口向下，对称轴位于轴左侧，与轴正半轴交于一点， 可得： 又由于当时， 因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于一、三象限； 故选：A． 9. 如图，是的中线，点在上，延长交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作，构造相似三角形是解题的关键． 先利用三角形的中线的定义得到，过点E作交于G，再根据相似三角形的性质得到，由得到，最后由相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵BE是的中线， ∴， 过点E作交AD于G， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF的面积最大值为( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据AP=PF得到点P在AF的垂直平分线上，过P作PG⊥AF，G为垂足，则AG=GF，DG=PG，设DF=x，得到AG=，GD=PG=，利用三角形面积公式计算得到S△APF=，根据函数性质即可得到答案． 【详解】∵AP=PF， ∴点P在AF的垂直平分线上， 过P作PG⊥AF，G为垂足，则AG=GF，DG=PG， 设DF=x，则AG=， ∴GD=PG=， ∴S△APF=≤4， 所以△APF面积最大值为4； 故选：C． ． 【点睛】此题考查正方形的性质，线段垂直平分线的判定及性质，二次函数的最值问题，正确引出辅助线并设定未知数解决问题是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知，且，则的值为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质、代数式求值等知识点，正确表示出各数是解题关键． 设，则，再进而利用列一元二次方程求出x的值，进而求得a的值即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴，解得：， ∴． 故答案为：12． 12. 已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程决定抛物线与轴的交点个数，由于只有一个公共点，因此． 【详解】由于二次函数的图像与轴只有一个公共点． 即 解得： 将代入二次函数二次项系数中，得： 符合题意． 故答案为：． 13. 在中，若，则__________． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性，特殊角的三角函数值以及三角形内角和定理知识点，解题的关键是根据绝对值与平方数的非负性求出和的度数． 根据绝对值与平方数的非负性求出和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵， ， 由，可得，因为，所以， 由，可得，因为，所以， 根据三角形内角和定理，三角形内角和为， 在中，， 即． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中．等边的顶点A在第一象限，点．双曲线把分成两部分，若． （1）双曲线与边，分别交于，两点，的值为________． （2）连接，则的面积为________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，反比例函数系数的几何意义，三角形的面积． （1）依据题意，作轴于，轴于，设，从而，再表示出，，从而可得，计算可以得解； （2）依据题意，连接，作轴于，于，从而，进而，再结合题意得，故可得，又由，从而，最后可以计算得解． 【详解】解：（1）如图，作轴于，轴于， 设， ． 在中，， ，． ， 在中，， ，． 又， ． ， 又、在上， ． ，． 故答案为：； （2）如图，连接，作轴于，于． ∴， ∴， ， 由题意，， ， 又由（1）得，， ，． ． 连接． ， 又， ． 又，即， ． ． ． ． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的乘绝对值等知识点，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据殊角的三角函数值化简，然后根据二次根式和绝对值求解即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为． （1）画出关于y轴对称的； （2）以点O为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）与的相似比是____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了作图位似变换，坐标与图形变化—轴对称，解题的关键是： （1）根据轴对称的性质作出图形即可； （2）利用点和的坐标特征得到位似比，再把、的横纵坐标都乘以2得到、的坐标，然后描点即可； （3）根据相似三角形性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求； 【小问2详解】 如图所示：即为所求； 【小问3详解】 ，， 与的相似比， 故答案为：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，延长平行四边形一边至点F，连接交于点E，． （1）若，求线段的长； （2）若的面积为6，求平行四边形的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了三角形的面积公式和平行四边形的性质及面积公式． （1）利用平行四边形的性质可以证明，然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解； （2）利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可以求出，然后利用平行四边形的面积即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴， ∴． 又∵，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点E作于点M，交CF于点N． ∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∵的面积为6， ∴，即， ∴平行四边形的面积． 18. 某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：） 【答案】教学楼BC高约13米 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，构造直角三角形是解题关键．作于点E，过点C作于点F，由求得米，由米知米，再根据四边形是矩形知米．由知米，从而得的长． 【详解】过点D作于点E，过点C作于点F． ∵， ∴四边形是矩形． 由题意得，米，米，． 在中，， ∴． ∴米， ∵米， ∴米， ∵四边形是矩形， ∴米． 在中，， ∴． ∴米， ∴（米）． 答：教学楼高约13米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点、． （1）求反比例函数与一次函数的解析式． （2）连接OA、OB，求△AOB的面积． （3）直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）， （2）1.5 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题． （1）将A的坐标代入反比例函数求出m的值，然后将B的坐标代入反比例函数求出n的值，然后将A、B两点的坐标代入一次函数解析式中即可求出答案． （2）求出直线与y轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求出答案． （3）根据图象即可求出x的取值范围． 【小问1详解】 将代入， ∴， ∴反比例函数的解析式为： ， 将代入， ∴， ∴， 将和代入， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 令代入， ∴， ∴， 【小问3详解】 由图象可知：当y1＜y2时，，或 20. 已知抛物线经过点且与直线的一个交点为． （1）求的值； （2）判断抛物线的顶点是否在直线上； （3）平移抛物线，使其顶点在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 【答案】（1）2 （2）抛物线的顶点是否在直线上 （3） 【解析】 【分析】（1）直接将代入直线求解即可； （2）由（1）可得，将、代入列方程组求得a、b的值，可求得抛物线的解析式，然后画成顶点式确定顶点，最后代入直线验证即可． （3）设平移后的解析式为：，由题意可得，即；令，则有，然后配方运用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：将代入直线可得：． 【小问2详解】 解：由（1）可得：， 将、代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； 当时，，则抛物线的顶点在直线上． 小问3详解】 解：设平移后的解析式为：， ∵平移后的解析式的顶点在直线上， ∴， ∴， 令，则有， ∴当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上的点、二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数求最值，二次函数图象的平移等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） （1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ （3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，日获利w最大，最大利润为元 （3） 【解析】 【分析】（1）设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式，将，，代入得，，计算求解，进而可得结果； （2）依题意得，，由，，可知当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）令，则，可求或，由，可得，由，可得． 【小问1详解】 解：设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式， 将，，代入得，， 解得，， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； 【小问2详解】 解：依题意得，， ∵，， ∴当时，日获利w最大，最大利润为元； 【小问3详解】 解：令，则， 解得，或， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使C点恰好落在边上点F处，且． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2．当，且时．求BC的长； （3）如图3，作的角平分线交于点N，若，．求的值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）依据折叠即可得到；根据，可得出；再根据矩形的性质以及折叠的性质，即可求出∠CBE的度数； （2）先证明，可得出，依据，求出的长度，进而得到、的长度；再根据勾股定理求得的长，依据相似三角形的性质求得的长，即可得出的长以及的长． （3）过点作于点，先证明，利用对应边成比例得出，再利用角平分线的性质证明，利用勾股定理、结合全等三角形的性质建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵将沿翻折，使点C恰好落边上点F处， ∴， 又∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当，且时． 有， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， ∴的值为4． 【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，角平分线的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 八、（本题满分14分） 23. 平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与y轴交于，与x轴交于B、C两点（C在B的右侧），顶点坐标为． （1）求抛物线解析式； （2）点是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点作的垂线交于点，求长度的最大值； （3）在直线上是否存在点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数的解析式为； （2）的最大值为； （3）点的坐标为：或． 【解析】 【分析】本题为二次函数综合题，涉及到二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）根据顶点坐标为，设二次函数的顶点式为，由题意，将代入解析式得，，即可求解； （2）作轴交于点，是等腰直角三角形，当最大时，最大，求得关于m的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； （3）当，则，即，进而求解． 【小问1详解】 解：顶点坐标为， 设二次函数的顶点式为， 抛物线与轴交于， ， 解得，． 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令， ． 或3． 抛物线与轴的交点，． 由，得，直线为． 作轴交于点， 设，则， ∵直线与轴夹角， ∴是等腰直角三角形，当最大时，最大． ， ∵， ∴有最大值，最大值为， ∴最大值为； 【小问3详解】 解：存在，理由： 如图，当， 则， 即， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点的坐标为：， 当时， 即， 解得：， 则点； 当点在点的上方时， 则，设点， 则， 解得：（舍去）或， 则点， 综上，点的坐标为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$