精品解析：吉林省长春市公主岭市2024-2025学年八年级上学期12月期末考试数学试题

2024—2025学年度上学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如果，那么x的值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义，一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根）．即如果，那么x叫做a的平方根． 根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：如果，那么． 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，根据同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 3. 已知（n为正整数），则n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解决本题的关键是估算出的取值范围， 首先得出，得出的取值范围，即可得出n的值． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 4. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握全等三角形对应角相等成为解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，然后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选A． 5. 如图，在中，，平分，若，，则的面积为（ ） A. 7 B. 13 C. 15 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出边上的高是解题的关键． 过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，    平分， ， 的面积， 故选：C． 6. 小明在纸上写出一组数字“”，则这组数字中出现2的频数是（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了频数的判断，根据出现的次数即可确定频数，理解频数表示出现的次数是解题的关键． 【详解】解：一组数字“”中出现了次， ∴这组数字中出现的频数为， 故选：D． 7. 如图，中，，，观察尺规作图的痕迹，则的周长是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据线段垂直平分线的性质，得到，再结合已知及三角形周长公式解题即可． 【详解】解：如图，垂直平分， ， ， 又， 的周长， 故选：A． 8. 《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去木四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，则的长为（ ） A. 4.2尺 B. 4.3尺 C. 4.4尺 D. 4.5尺 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键． 设尺，则尺，利用勾股定理解答． 【详解】解：设尺，则尺， 在中，，， ∴， 解得：， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可. 【详解】要使有意义，则需要，解出得到. 【点睛】本题考查根式有意义的条件，能够得到不等式是解题关键. 10. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 11. 命题“数轴上的点与有理数一一对应”是__________命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、判断命题的真假，熟练掌握数轴上的点与有理数一一对应是解题关键． 【详解】解：∵数轴上的点与实数一一对应， ∴命题“数轴上的点与有理数一一对应”是假命题． 故答案为：假． 12. 已知：如图，平分，若要得到，则应添加的条件是__________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一，或） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等；若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 根据平分，可得，再根据是公共边，可添加角相等或边相等的条件，答案不唯一． 【详解】解：平分， ， 又， 添加后，根据可判定， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6和10，则正方形B的边长是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理的意义是解题的关键． 根据正方形的面积与边长的关系，可知，则由此即可求解． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知， ∴． ∴正方形B边长是2． 故答案为：2． 14. 如图，，，，且点B、D、E在同一条直线上．给出下面四个结论； ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过可得出，即可判断①；根据可得，，再通过外角和定理即可得出，即可判断②；根据已知条件无法得出，即可判断③；根据可得，再根据，，即可得出结论，即可判断④；综合即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴在和中， ， ∴， 故①正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， 故②正确； 根据已知条件不能证明， 故③不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故④正确； 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则、运算顺序是解决本题的关键． 先计算积的乘方乘方，然后计算同底数幂的乘法，最后算加法． 【详解】解： ． 16. 先化简，再求值，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和多项式除以单项式以及代数求值， 根据平方差公式和多项式除以单项式运算法则化简，然后代数求解即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 17. 如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据“”证明即可． 【详解】证明：，，点E、F为垂足， ， 和均为直角三角形． 为的中点， ． 在和中， ， ． 18. 中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下而两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息回答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有__________人． （2）扇形统计图中m的值为__________，并补全条形统计图（不用写计算过程）． （3）扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为__________． 【答案】（1）80 （2）20；见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，能从统计图中获取有用信息是解题关键． （1）用“基本了解”的人数除以其所占的百分比即可求出接受随机抽样调查的学生人数； （2）将总人数减去其他三组人数即可求出“了解很少”的学生人数，然后除以总数即可求出m的值； （3）将“非常了解”部分所占比乘以即可求出所对应扇形的圆心角的度数． 【小问1详解】 接受问卷调查的学生共有（人）， 故答案为：80； 【小问2详解】 “了解很少”的学生人数为（人）， ∴； 故答案为：20， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 “非常了解”学生所在扇形的圆心角为：， 故答案为：． 19. 如图，为的角平分线，过点A作交的延长线于点E．若，则是__________三角形，并写出推理过程． 【答案】等边，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定，平行线的性质是解答此题的关键．先由得，再根据角平分线的定义得，然后根据平行线的性质得，，进而得，据此可得出结论． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ，， ， 是等边三角形． 20. 如图①、②、③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请仅用无刻度的直尺按要求画出符合的图形． （1）请在图①中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为有理数． （2）请在图②中，找一格点C，使是直角三角形，且为直角边． （3）请在图③中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为无理数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的分类，勾股定理与网格的计算，掌握三角形的分类，勾股定理的运用是解题的关键． （1）根据三角形的分类进行作图即可； （2）根据等腰三角形的定义，勾股定理逆定理的运用进行作图； （3）根据等腰三角形的定义，钝角三角形的定义作图即可． 【小问1详解】 解：如图，点C为所求作的点； 【小问2详解】 解：如图，点C为所求作的点； 【小问3详解】 解：如图，点C为所求作的点； 21. 如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． （1）连接，则是__________三角形，请写出推理过程． （2）点C到的距离是__________． 【答案】（1）直角，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，点到直线的距离，解题的关键是正确的识别图形． （1）过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：过点作于点，则的长即点到的距离， 在中， ∵，，， ，， ， 为直角三角形； 【小问2详解】 ， ，即， ． 22. 综合与实践 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在中，，，点D、E分别是上的动点，且，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题，再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C作，且使，连接．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）连接__________，的最小值即为线段__________的长度． 【方法应用】如图③，在中，，，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且，当的值最小时，的度数为__________． 【答案】（1）见解析；（2），；方法应用： 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，最短路径问题以及等腰三角形的性质的运用等知识点，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 问题解决：（1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）连接，连接的最小值即为线段的长度． 方法应用：在下方作，使，连接，则最小值为，此时三点在同一直线上，推出，所以，即可得到． 【详解】问题解决：（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， ； （2）解：连接的最小值即为线段的长度． 则， 故最小值即为线段的长度． 故答案：； 方法应用：解：在下方作，使，连接． 则． ， 即最小值为，此时三点在同一直线上． ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， 故答案为：． 23. 【阅读理解】 题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． ，． ，， ． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则__________． （2）若满足，求的值． 【拓展应用】 如图，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在外部作正方形和正方形，连结．若，的面积为，直接写出正方形和正方形的面积和． 【答案】；；拓展应用： 【解析】 【分析】本题考查了换元法、完全平方公式的应用．解决本题的关键是利用完全平方公式把代数式进行变形求值． 【理解应用】设，，从而可得，，根据求出结果； 设，，从而可得，，根据完全平方公式进行变形可得，所以可得，从而可求； 【拓展应用】根据已知可知，，根据的面积为，可得，设，，可得、，利用完全平方公式进行变形可得：． 【详解】【理解应用】解：设，， 则，， ， ， 故答案为：； 设，， 则， ， ， ， ， ， 解得：， ； 【拓展应用】解：，，， ，， ， ， ， 设，， 则，， ． 24. 如图，是等边三角形，．动点P从点C出发，以的速度在边的延长线上运动，以为边作等边三角形，点A、Q在直线同侧，连接、相交于点E．设点P的运动时间为． （1）当______s时，． （2）求证：． （3）求的度数． （4）设与交于点F，与交于点G，连接，当点G将边分成的两部分时，直接写出的周长． 【答案】（1）2； （2）证明见解析； （3）； （4）或． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到，再利用全等三角形的性质得到，即可求出的值； （2）根据等边三角形的性质，利用“”即可证明三角形全等； （3）根据全等三角形的性质得到，再利用等边三角形的性质，得到，进而推出，最后根据三角形外角的性质即可求出的度数； （4）根据全等三角形的性质和等边三角形的性质，利用“”证明，从而得到是等边三角形，分两种情况讨论：和，分别求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：是等边三角形，， ， ， ， 动点P的速度为，运动时间为， ， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ； 【小问3详解】 解：， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， 当时，如图1，，即的周长为， 当时，如图2，，即的周长为， 综上可知，的周长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如果，那么x的值是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 已知（n为正整数），则n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，平分，若，，则的面积为（ ） A. 7 B. 13 C. 15 D. 30 6. 小明在纸上写出一组数字“”，则这组数字中出现2的频数是（ ） A. B. C. 3 D. 5 7. 如图，中，，，观察尺规作图的痕迹，则的周长是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 12 8. 《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去木四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，则的长为（ ） A. 4.2尺 B. 4.3尺 C. 4.4尺 D. 4.5尺 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________________. 10. 分解因式：2x2﹣8=_______ 11. 命题“数轴上的点与有理数一一对应”是__________命题（填“真”或“假”）． 12. 已知：如图，平分，若要得到，则应添加条件是__________（写出一种情况即可）． 13. 如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6和10，则正方形B的边长是__________． 14. 如图，，，，且点B、D、E同一条直线上．给出下面四个结论； ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值，其中． 17. 如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 18. 中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下而两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息回答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有__________人． （2）扇形统计图中m的值为__________，并补全条形统计图（不用写计算过程）． （3）扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为__________． 19. 如图，为的角平分线，过点A作交的延长线于点E．若，则是__________三角形，并写出推理过程． 20. 如图①、②、③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请仅用无刻度的直尺按要求画出符合的图形． （1）请在图①中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为有理数． （2）请在图②中，找一格点C，使是直角三角形，且为直角边． （3）请在图③中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为无理数． 21. 如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． （1）连接，则是__________三角形，请写出推理过程． （2）点C到的距离是__________． 22. 综合与实践 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在中，，，点D、E分别是上的动点，且，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题，再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C作，且使，连接．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）连接__________，的最小值即为线段__________的长度． 【方法应用】如图③，在中，，，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且，当的值最小时，的度数为__________． 23. 阅读理解】 题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． ，． ，， ． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 理解应用】 （1）若，则__________． （2）若满足，求的值． 【拓展应用】 如图，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在外部作正方形和正方形，连结．若，的面积为，直接写出正方形和正方形的面积和． 24. 如图，是等边三角形，．动点P从点C出发，以的速度在边的延长线上运动，以为边作等边三角形，点A、Q在直线同侧，连接、相交于点E．设点P的运动时间为． （1）当______s时，． （2）求证：． （3）求的度数． （4）设与交于点F，与交于点G，连接，当点G将边分成的两部分时，直接写出的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $