第四章 因式分解（压轴专练）（六大题型）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第四章 因式分解（压轴专练）（六大题型） 目录： 题型1：利用完全平方公式因式分解求值 题型2：利用因式分解进行有理数的混合运算 题型3：新定义题 题型4：最值问题 题型5：整式的乘除、因式分解、几何图形综合 题型6：因式分解在几何证明、平面直角坐标系中的应用 题型1：利用完全平方公式因式分解求值 1．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 2．若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知三个实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知满足，，则的值为（   ） A．4 B．1 C．0 D．-8 6．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（　　） A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11 题型2：利用因式分解进行有理数的混合运算 7． 的值最接近（    ） A． B． C． D． 8．已知，，则（　　） A． B．3 C． D．1 9．计算： ． 题型3：新定义题 10．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（    ） A．56 B．60 C．62 D．88 11．已知六元方程，满足，且a，b，c，d，e，f为正整数，则下列关于这个六元方程的正整数解的说法中正确的个数为（   ） ①，，，，，是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解； ③若，则该六元方程有20组解； ④若，则该六元方程有1组解． A．1 B．2 C．3 D．4 12．对于一个任意的四位数，若的千位数字和百位数字之和为4的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，我们称这样的四位数为“扩张数”．例如：四位数3197，因为，，所以3197是“扩张数”；四位数6238，因为，，11不是8的倍数，所以6238不是“扩张数”．若是“扩张数”，其中，，，，且、、、都是整数，记，；若是5的倍数，则满足条件的的最大值为 ． 题型4：最值问题 13．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值．可知 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)若满足，求的值； (3)已知,（为任意实数），比较的大小； (4)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 14．若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． 15．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 题型5：整式的乘除、因式分解、几何图形综合 16．【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】：因式分解（1）； （2）． 【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试． （1）已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积； （2）如图，长方形，已知，其中，且，求长方形的边的长度．（，用含的式子表示） 17．【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积． 18．做一做计算： 探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母 x 的系数是 1 的 两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为 ． 尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项 式的因式分解． (2)若，则 ． (3)若可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 p 的值一定是 ． (4)若 可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 q 的值一定是 ． A．4             B．0              C．有限个             D．有无数个 题型6：因式分解在几何证明、平面直角坐标系中的应用 19．阅读理解应用:要想比较和的大小关系，可以进行作差法，结果如下:若，则;若，则;若，则. (1)比较与的大小，并说明理由. (2)比较与的大小，并说明理由. (3)直接利用(2)的结论解决:求的最小值. (4)已知如图，直线于，在上各有两点和, ，且，求四边形面积的最小值. 20．如图所示，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2， 0），点B坐标为（3， 1），将直线AB沿x轴向左平移经过点C （1，1）． （1）求平移后直线L的解析式； （2）若点P从点C出发，沿（1）中的直线L以每秒1个单位长度的速度向直线L与x轴的交点运动，点Q从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向点A运动，两点中有任意一点到达终点运动即停止，设运动时间为t．是否存在t，使得△OPQ为等腰三角形?若存在，直接写出此时t的值：若不存在，请说明理由，      21．如果一个三角形有两个顶点满足横坐标的平方和等于横坐标积的二倍，且这两个顶点不在坐标轴上，则称这个三角形为垂轴三角形，这两点称为垂顶点． (1)若已知，，，判断是否为垂轴三角形； (2)如图，为垂轴三角形，点O是坐标原点．设点，．若，以为边作等边，顶点P在落在第二象限，平分，且，连接交y轴于点E． ①探究与的位置关系； ②若P点的坐标为，求点F的坐标（用含a、m的式子表示）． 22．如图，平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上，点（其中），点在轴正半轴上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，连接，在内取一点，使，若，求的度数. (3)如图3，点在轴上，直线交于点，当点在轴负半轴上运动时，请解决下列问题： ①求证：； ②度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 因式分解（压轴专练）（六大题型） 目录： 题型1：利用完全平方公式因式分解求值 题型2：利用因式分解进行有理数的混合运算 题型3：新定义题 题型4：最值问题 题型5：整式的乘除、因式分解、几何图形综合 题型6：因式分解在几何证明、平面直角坐标系中的应用 题型1：利用完全平方公式因式分解求值 1．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键． 先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【解析】解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 2．若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的应用，由，，的代数式，求出，，的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值． 【解析】解：，，， ，，， 则 ， 当，，时，原式． 故选：D． 3．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 4．已知三个实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先把变形为，然后整体代入即可求出，把代入进行化简成，即可判断. 【解析】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ . 故选：A. 【点睛】此题考查了不等式的性质，完全平方公式等知识点，把代入化简是解题的关键. 5．已知满足，，则的值为（   ） A．4 B．1 C．0 D．-8 【答案】C 【分析】根据题目条件可用x来表示z，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得，再根据平方数的非负性可分别求出x，z的值，最后运算即可． 【解析】解：，， 又， ， ，， ， ， ， 代入得，=0． 故选：C． 【点睛】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题的关键． 6．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（　　） A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11 【答案】B 【分析】由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通过配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整体求出ab+bc+ac即可． 【解析】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2， ∴a﹣c＝4， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12， ∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1． 故答案为B． 【点睛】本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成为解答本题的关键． 题型2：利用因式分解进行有理数的混合运算 7． 的值最接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解的应用，利用立方和与立方差公式化简计算，即可得出答案． 【解析】解：由立方和、立方差公式可得， ， ， ∴， ∴ 故选：B． 8．已知，，则（　　） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用因式分解的方法将各数变形后化简运算是解题的关键．利用因式分解的方法将各数变形后化简运算即可． 【解析】解：∵， ， ∴． 故选：A． 9．计算： ． 【答案】65 【分析】本题考查因式分解的应用，根据完全平方公式及平方差公式整理算式，化简即可求解． 【解析】解： ， ； ； ； ； ； ； ； ； 原式 ， 故答案为：65． 题型3：新定义题 10．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（    ） A．56 B．60 C．62 D．88 【答案】B 【分析】设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），则“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合． 【解析】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数）， ∴“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)， A、若4(2m+1)=56，解得m=，错误； B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确； C、若4(2m+1)=62，解得m=，错误； D、若4(2m+1)=88，解得m=，错误； 故选：B． 【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理解是解题的关键． 11．已知六元方程，满足，且a，b，c，d，e，f为正整数，则下列关于这个六元方程的正整数解的说法中正确的个数为（   ） ①，，，，，是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解； ③若，则该六元方程有20组解； ④若，则该六元方程有1组解． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，根据因式分解得到，，是解决本题的关键．①把所给数值分别代入等式的左边和右边，看是否相等；②设最小的正整数为，分别计算出等式的左边和右边，看是否相等；③根据②得到的知识，结合③给的条件，看该六元方程有几组解即可．根据③的结论可得，据此可判断④． 【解析】解：，，，，，， ，． ． ，，，，，是该六元方程的一组解． ①正确； 设最小的正整数为，那么其余的数为：，，，，． ，． ． 连续的六个正整数一定是该六元方程的解． ②正确； ，连续的六个正整数一定是该六元方程的解． 连续正整数解为：1、2、3、4、5、6， 2、3、4、5、6、7， 3、4、5、6、7、8， 4、5、6、7、8、9共4组； ， ， ，，． 不连续正整数解为：1、2、3、4、6、7， 1、2、3、4、7、8， 1、2、3、4、8、9， 1、2、4、5、6、7， 1、2、4、5、7、8， 1、2、4、5、8、9， 1、2、5、6、7、8， 1、2、5、6、8、9， 1、2、6、7、8、9， 2、3、4、5、7、8， 2、3、4、5、8、9， 2、3、5、6、7、8， 2、3、5、6、8、9， 2、3、6、7、8、9， 3、4、5、6、8、9， 3、4、6、7、8、9共16组． 则该六元方程有20组解．故③符合题意； ④∵， 由③得：， ∴ ∴， ∵a，c，e均为正整数，且， ∴若， 当时，，此时符合题意， 当时，， 此时，，，，，，不符合题意舍去， 若， 此时，，则，不符合题意， ∴此时不再存在符合题意的解， ∴当，则该六元方程有1组解． 故④符合题意． 故选：D． 12．对于一个任意的四位数，若的千位数字和百位数字之和为4的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，我们称这样的四位数为“扩张数”．例如：四位数3197，因为，，所以3197是“扩张数”；四位数6238，因为，，11不是8的倍数，所以6238不是“扩张数”．若是“扩张数”，其中，，，，且、、、都是整数，记，；若是5的倍数，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】7997 【分析】本题主要考查了新定义——“扩张数”．熟练掌握“扩张数”的定义，十进制数表达式，进率，各数位数字取值范围，分类讨论，是解决问题的关键． 根据，当时，，是4的倍数，是8 的倍数，分或16，或12或16，对字母赋值解答；当时，，是4的倍数，是8的倍数，分或16，或16，对字母赋值解答，比较3个N值即得． 【解析】∵，，，， ∴当时， ． ∵N是“扩张数”， ∴是4的倍数，是8 的倍数． ∴当， 得， ，，． 当， 得，． 当， 得，． 当， 得，，，，，． 当， 得，． ∵是5的倍数， ∴只有，，，是5的倍数． 此时，，． ∴． 当时， ． ∵N是“扩张数”， ∴是4的倍数，是8的倍数． 当， 得，． 当， 得，． 当， 得，；， ． 当， 得，； ，． 只有，，，是5的倍数． 此时，，或． ∴，或． ∵． ∴N的最大值为：7997． 故答案为：7997． 题型4：最值问题 13．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值．可知 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)若满足，求的值； (3)已知,（为任意实数），比较的大小； (4)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)9 (3) (4)，，16 【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，完全平方公式的应用， （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质可得，，进而可得的值； （3）用减得，利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可； （4）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可． 【解析】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴ ∴，即； （4）解： ， ∴当且时，有最小值16， 此时得：，， ∴，时，多项式有最小值为16． 14．若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值13 (3)84 【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键． （1）把变形为即可求解； （2）将原式配方为，根据平方非负性即可求解； （3）将原式因式分解变形为，分类讨论求解即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值13． （3）解：设， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以 因为（因为为完全平方数），且m与k都为整数， 所以①，，解得：，； ②，，解得：，； ③，，解得：，； ④，，解得：，． 所以所有m的积为． 15．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)5 (3)时，最大值为16． 【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值； （3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值； 【解析】（1）解：原式 =； 故答案为： （2）， ， ， 解得：， 、、是 的三边长， ， 又是整数，； 边长的最小值是5； （3） ， ，； ， 当 时, 即 时，取得最大值为16． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 题型5：整式的乘除、因式分解、几何图形综合 16．【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】：因式分解（1）； （2）． 【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试． （1）已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积； （2）如图，长方形，已知，其中，且，求长方形的边的长度．（，用含的式子表示） 【答案】学以致用：（1）；（2）；拓展延伸：（1）48或；（2） 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的性质，勾股定理． [学以致用] （1）根据提公因式法因式分解，即可求解； （2）先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解； [拓展延伸] （1）根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数的性质求得的值，进而根据等腰三角形的性质以及勾股定理计算即可求解； （2）同（1）的方法因式分解，进而得出，即可求解． 【解析】解：[学以致用] （1） ． （2） [拓展延伸] （1） 等腰的三边为或 ， ， 等腰的面积为48或． （2） 且 ． 17．【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)，90 (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，注意掌握并能够由面积相等并过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． （1）由题意利用面积相等推导公式：； （2）由题意利用体积相等推导； 可得，再代入求值即可， （3）由图可知，．求得，，根据图中阴影部分的面积 由此即可解题． 【解析】（1）解：由图可知：边长为的大正方形由四个边长为、的长方形和一个边长为正方形组成， 知识生成：， 故答案为：； （2）正方体棱长为， ∴体积为， ∵正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即， ∴； ∴， ∵，， ∴ （3）有图可知：，． ∴， ∴，， ∵， ∴， 图中阴影部分的面积 18．做一做计算： 探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母 x 的系数是 1 的 两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为 ． 尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项 式的因式分解． (2)若，则 ． (3)若可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 p 的值一定是 ． (4)若 可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 q 的值一定是 ． A．4             B．0              C．有限个             D．有无数个 【答案】(1) (2) (3)0或 (4)D 【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则，即可求解； （2）把展开，即可求解； （3）由，进而即可求解； （4）根据“和为的两个整数有无数组”，进而即可求解． 【解析】（1）∵，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴， ∴或， 故答案为：或 （4）∵和为的两个整数有无数组， ∴整数的值有无数个， 故选D． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的运算法则，因式分解，通过题目得到结论：是解题的关键． 题型6：因式分解在几何证明、平面直角坐标系中的应用 19．阅读理解应用:要想比较和的大小关系，可以进行作差法，结果如下:若，则;若，则;若，则. (1)比较与的大小，并说明理由. (2)比较与的大小，并说明理由. (3)直接利用(2)的结论解决:求的最小值. (4)已知如图，直线于，在上各有两点和, ，且，求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3）的最小值是5. （4） 【分析】（1）（2）直接利用作差法，进一步分解因式，利用非负数的性质判定即可； （3）利用（2）的结论得出答案即可； （4）利用四边形ABCD面积等于三角形ABD的面积加上三角形BCD的面积列出式子，利用（3）的结论解决问题． 【解析】解：（1） , . （2） 理由： （3） 的最小值是5. （4） , 【点睛】此题考查因式分解的实际运用，非负数的性质，作差法是比较两个式子大小常用的方法，掌握完全平方公式是解决问题的关键． 20．如图所示，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2， 0），点B坐标为（3， 1），将直线AB沿x轴向左平移经过点C （1，1）． （1）求平移后直线L的解析式； （2）若点P从点C出发，沿（1）中的直线L以每秒1个单位长度的速度向直线L与x轴的交点运动，点Q从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向点A运动，两点中有任意一点到达终点运动即停止，设运动时间为t．是否存在t，使得△OPQ为等腰三角形?若存在，直接写出此时t的值：若不存在，请说明理由，      【答案】（1）；（2）存在t，使得△OPQ为等腰三角形，其中，， 【分析】（1） 先求出AB解析式，再根据平移k不变即可求出平移后直线L的解析式； （2）用时间t表示出△OPQ的三边的长，再分类讨论解方程即可. 【解析】（1）设AB解析式为 ∵点A坐标为（2， 0），点B坐标为（3， 1） ∴ 解得 ∴AB解析式为 ∴设AB平移后直线L的解析式为 ∵平移经过点C （1，1） ∴ 解得 ∴AB平移后直线L的解析式为 （2）过P作PD⊥OA与D，    由题意得, ∵C （1，1） ∴∠COA=45°， ∴ ∴ ∴ ∴ ①当OP=OQ时，，解得； ②当OP=PQ时， 解得（舍去），或 ②当OQ=PQ时， 解得（舍去），或 综上所述存在t，使得△OPQ为等腰三角形，其中，， 【点睛】本题考查动点问题中的等腰三角形存在性问题，解题的关键是用时间t表示三角形的边长，计算量有点大，但是如果注意计算技巧不是太难. 21．如果一个三角形有两个顶点满足横坐标的平方和等于横坐标积的二倍，且这两个顶点不在坐标轴上，则称这个三角形为垂轴三角形，这两点称为垂顶点． (1)若已知，，，判断是否为垂轴三角形； (2)如图，为垂轴三角形，点O是坐标原点．设点，．若，以为边作等边，顶点P在落在第二象限，平分，且，连接交y轴于点E． ①探究与的位置关系； ②若P点的坐标为，求点F的坐标（用含a、m的式子表示）． 【答案】(1)是垂轴三角形，理由见解析； (2)①见解析；②点的坐标为：． 【分析】（1）设垂轴三角形的两个垂顶点坐标为，，根据定义可得垂轴三角形的两个垂顶点坐标的横坐标相等，在根据此结论判断即可； （2）①由题意可知轴，在延长线上取，易知点在点下方，，，可证得，由等边三角形得性质及角平分线得定义可证得（SAS），可得，，根据，可求得，进而求得，由，得，进而可得，即可证明是等边三角形，由三线合一可得证； ②由①可知，，交于，轴，可知，由，表示出，，，的长，根据，可得点的坐标． 【解析】（1）解：设垂轴三角形的两个垂顶点坐标为，， 由定义可知，，即：， ∴， ∴，即：垂轴三角形的两个垂顶点坐标的横坐标相等， ∵，，，即、两点横坐标相等， ∴是以、两点为垂顶点的垂轴三角形； （2）①∵为垂轴三角形，点O是坐标原点，点，， ∴以，两点为垂顶点的垂轴三角形，即轴， ∴， ∵，轴， ∴，， 在延长线上取，连接，使， ∴， ∴，， ∵， ∴点在上方， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴，则 ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴平分， 由等腰三角形三线合一可知：； ②由①可知，，交于，轴， ∴， ∵且点在第二象限， ∴，，则， ∵是等边三角形， ∴，则， ∴， ∴点的坐标为：． 【点睛】本题属于新定义类型，主要考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，解决问题的关键在于求得和添加辅助线构造平行． 22．如图，平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上，点（其中），点在轴正半轴上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，连接，在内取一点，使，若，求的度数. (3)如图3，点在轴上，直线交于点，当点在轴负半轴上运动时，请解决下列问题： ①求证：； ②度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)①证明见解析，②的度数为定值， 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形、运用完全平方式进行因式分解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据完全平方公式因式分解得出，进而得出，即可得证； （2）过作的垂线交延长线于，证明，，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得解； （3）①分别表示出和，即可得证；②过作于，取，连接，证明，得出，证明出是等腰直角三角形，得出，从而得出，即可得解． 【解析】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：，而， 为等腰直角三角形， 过作的垂线交延长线于，    ，而， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， 在中，， 为等腰直角三角形，， ； （3）①证明：， ， ， ， 又， ， ； ②的度数为定值，， 过作于，取，连接，    ， ， ， ， ，即是等腰直角三角形， ， ， ∴， ∴可由平移所得， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$