第15讲 全等三角形及其性质（三类知识点+八大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第15讲 全等三角形及其性质（八大题型） 学习目标 1．了解全等形与全等三角形的概念； 2．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素； 3．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的应用. 知识点1 全等形 全等三角形 定义 如果一个图形经过平移、 旋转、 翻折后， 与另一个图形能够完全重合， 那么这两个图形叫作全等形． 是全等形的两个三角形叫作全等三角形. 例如，图17-3-1(1)中，△ABC和△DEF是全等三角形，记作△ABC≌△DEF,符号“ ≌ ”表示全等，读作“全等于”. 知识点2 全等三角形的对应关系 思考：图 17 -3 -1中有四对三角形，每对中的 △ABC通过怎样的运动能与另一个三角形重合？ 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角. 例如，图17-3-1(1)中，△ABC和△DEF是全等三角形，点A和点D、点B和点E、点C和点F分别是对应顶点；边AB和边DE、边BC和边EF、边AC和边DF分别是对应边；∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F分别是对应角 要点： 1.在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角. 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点3 全等三角形的性质 由全等三角形的定义可知：①全等三角形的对应边相等，对应角相等. ②如果两个三角形都与第三个三角形全等，那么这两个三角形全等.这个性质叫作三角形全等的传递性. 要点：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【即学即练1】2024年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（     ） A． B． C． D． 【即学即练2】如图，与全等，可表示为 ，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 ． 【即学即练3】如图，，若 ，则 ， ． 【即学即练4】如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是 ． 【即学即练5】如图，，若，，则的度数为 ． 题型1:全等形的概念 【典例1】．下列各组图形中，属于全等形的是（    ） A．  B．  C． D．   【变式1-1】．找出下列图形中的全等形． 题型2:全等形的判定与性质 【典例2】．对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】．下列说法正确的是（     ） A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个正方形是全等形 C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D．两个全等形的面积一定相等 【变式2-2】．下列说法：①两个形状相同的图形称为全等形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是_________________．（只填正确说法的序号） 【变式2-3】．下面各对图形是不是全等形？为什么？ (1)边长都是的两个正方形． (2)如图所示的两件衣服． 题型3:将已知图形分割成几个全等形 【典例3】．沿网格线把正方形分割成两个全等形？用两种不同的方法试一试． 【变式3-1】．把的正方形方格图形分割成两个全等形，如图，沿着虚线画出种不同的分法，把的正方形方格图形分割成两个全等形． 【变式3-2】．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．” 理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等形． 范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来． 题型4:全等三角形的概念 【典例4】．下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 【变式4-1】．关于全等三角形，下列说法正确的是（    ） A．大小相等的三角形是全等三角形 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．三个角对应相等的三角形是全等三角形 D．两个三角形全等，它们的形状一定相同 【变式4-2】．能够完全重合的两个三角形叫做_______． 【变式4-3】．如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′． 说理过程如下： 把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 　 　＝　 　，所以可以使点B与点B′重合．又因为　 　＝　 　，所以射线　 　能落在射线　 　上，这时因为 　 　＝　 　，所以点 　 　与 　 　重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′． 题型5:全等三角形的对应关系 【典例5】．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做_________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________．记两个三角形全等时，通常把表示_________的字母写在对应位置上． 【变式5-1】．如图，与全等，可表示为________，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是________，其余的对应边是________． 【变式5-2】．如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边． 题型6:全等三角形的性质 【典例6】．已知图中的两个三角形全等，则______° 【变式6-1】．已知，若，，则的度数为______________． 【变式6-2】．如图，，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】．如图，，，，相交于点F，则的度数是_____． 【变式6-4】．如图，中，，点D、E在上，，若，则（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 题型7:三角形全等的传递性 【典例7】．已知，其中，，则 ． 【变式7-1】．已知 ，若的周长为，则 ． 题型8:全等三角形性质的应用 【典例8】．如图，， 与，与是对应边，则下列结论错误的是（      ） A． B． C． D． 【变式8-1】．如图，，且点D在上，求证：．    【变式8-2】．如图，已知，点E在上，与相交于点F． (1)当，时，求线段AE的长； (2)已知，，求与的度数． 【变式8-3】．如图，，，三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？并说明理由． 一、单选题 1．下列各组图形是全等形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．已知图中的两个三角形全等，AD与CE是对应边，则A的对应角是（ ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个等边三角形是全等形 C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D．两个全等形的周长一定相等 4．如图，，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．下列命题中，真命题的个数是（    ）． ①全等三角形的周长相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的面积相等；④全等三角形的对应边上的高相等． A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　） A．72° B．60° C．58° D．50° 7．如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么DE的长是（　　） A．6cm B．5cm C．7cm D．无法确定 8．已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18cm2，则EF边上的高是（　　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 9．如图所示的网格中，每个小正方形的边长都相等，若，则点可能是图中的（   ） A．点A B．点B C．点 D．点 10．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．请观察图中的5组图案，其中是全等形的是 （填序号）；    12．一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，但 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 13．如图，画在透明纸上的和是全等形吗？ （填“是”或“不是”），理由是 ．    14．如图,将△ABC沿BC所在的直线平移到△A'B'C'的位置,则△ABC △A'B'C',图中∠A与 ,∠B与 ,∠ACB与 是对应角.    15．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y= ． 16．如图所示，与全等，则的对应角是 ，AC的对应边是 ． 17．已知与全等，，，，则的长为 ． 18．如图，△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△A′B′C≌△ABC，则∠BCA′：∠BCB′的值为 ． 三、解答题 19．找出下列图形中的全等形． 20．如图，，和，和是对应边．写出其他对应边及对应角． 21．如图，，点E和点D是对应顶点． （1）写出它们的对应边和对应角； （2）若，且，求的度数． 22．如图，△ABC ≌△DEF，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在一条直线上，∠A = 85°，∠E = 50°，AB = 4，EF = 6． （1）求∠ACB的度数． （2）求AC边的取值范围． 23．如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P．已知 ，，，． （1）求∠CBE的度数．     （2）求△CDP与△BEP的周长和． 24．如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D． （1）求证∶ CE⊥AB （2）已知BC=7，AD=5，求 AF的长． 25．如图所示，已知，且． 说明经过怎样的变换后可与重合； 与有何关系？请说明理由； 与相等吗？为什么？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 全等三角形及其性质（八大题型） 学习目标 1．了解全等形与全等三角形的概念； 2．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素； 3．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的应用. 知识点1 全等形 全等三角形 定义 如果一个图形经过平移、 旋转、 翻折后， 与另一个图形能够完全重合， 那么这两个图形叫作全等形． 是全等形的两个三角形叫作全等三角形. 例如，图17-3-1(1)中，△ABC和△DEF是全等三角形，记作△ABC≌△DEF,符号“ ≌ ”表示全等，读作“全等于”. 知识点2 全等三角形的对应关系 思考：图 17 -3 -1中有四对三角形，每对中的 △ABC通过怎样的运动能与另一个三角形重合？ 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角. 例如，图17-3-1(1)中，△ABC和△DEF是全等三角形，点A和点D、点B和点E、点C和点F分别是对应顶点；边AB和边DE、边BC和边EF、边AC和边DF分别是对应边；∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F分别是对应角 要点： 1.在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角. 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点3 全等三角形的性质 由全等三角形的定义可知：①全等三角形的对应边相等，对应角相等. ②如果两个三角形都与第三个三角形全等，那么这两个三角形全等.这个性质叫作三角形全等的传递性. 要点：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【即学即练1】2024年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等形“能够完全重合的两个图形叫做全等形”，熟练掌握全等形的定义是解题关键．根据全等形的定义即可得． 【解析】解：A、不是全等形，则此项不符合题意； B、不是全等形，则此项不符合题意； C、是全等形，则此项符合题意； D、不是全等形，则此项不符合题意； 故选：C． 【即学即练2】如图，与全等，可表示为 ，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 ． 【答案】 与，与 AB与BA，BC与AD 【分析】由，结合图形可得其余的对应角与对应边． 【解析】解：，与是对应角，AC与BD是对应边， 其余的对应角是与，与； 其余的对应边是AB与BA，BC与AD． 故答案为：，与，与，AB与BA，BC与AD 【点睛】本题考查的是三角形全等的表示，全等三角形的对应边与对应角的理解，掌握以上知识是解题的关键． 【即学即练3】如图，，若 ，则 ， ． 【答案】 5 4 【分析】已知△ABD≌△CDB，根据全等三角形的对应边相等从而求解． 【解析】解：∵△ABD≌△CDB． ∴BC＝AD，CD＝AB． ∵AB＝4，AD＝5． ∴BC＝5，CD＝4． 故答案为5，4． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的边对应相等的理解及运用． 【即学即练4】如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键． 如图，先根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质求出的度数即可． 【解析】解：由三角形内角和定理得：， 两个三角形全等， ， 故答案为：． 【即学即练5】如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【解析】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 题型1:全等形的概念 【典例1】．下列各组图形中，属于全等形的是（    ） A．  B．  C． D．   【答案】C 【分析】根据全等形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得． 【解析】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等形，则此项不符合题意； B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等形，则此项不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等形，则此项符合题意； D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等形，则此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等形，熟记定义是解题关键． 【变式1-1】．找出下列图形中的全等形． 【答案】（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等形 【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等形即可判断出答案． 【解析】解：由题意得：（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等形． 【点睛】本题考查了全等形的定义，属于基础题，注意掌握全等形的定义． 题型2:全等形的判定与性质 【典例2】．对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．强调能够完全重合，对选择项进行验证可得答案． 【解析】解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ②如果面积相同而形状不同也不全等； ③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等， ④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确． 所以只有1个正确， 故选A． 【点睛】本题考查了全等形的概念，做题时要根据定义进行验证． 【变式2-1】．下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个正方形是全等形 C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D．两个全等形的面积一定相等 【答案】D 【分析】依据全等形的定义和性质进行判断即可． 【解析】解：A、两个面积相等的图形不一定是全等形，说法错误，不符合题意； B、两个边长相等的正方形是全等形，说法错误，不符合题意； C、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等形，说法错误，不符合题意； D、两个全等形的面积一定相等，说法正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等形的性质和定义，掌握全等形的性质和定义是解题的关键． 【变式2-2】．下列说法：①两个形状相同的图形称为全等形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是_________________．（只填正确说法的序号） 【答案】②③/③② 【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可． 【解析】解：①两个大小、形状相同的图形称为全等形，故原说法错误； ②边、角分别对应相等的两个多边形全等，故原说法正确； ③全等形的形状、大小都相同，故原说法正确； ④面积相等的两个三角形不一定全等，故原说法错误． 故答案为：②③ 【点睛】此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形的形状和大小完全相同． 【变式2-3】．下面各对图形是不是全等形？为什么？ (1)边长都是的两个正方形． (2)如图所示的两件衣服． 【答案】(1)是全等形； (2)不是全等形 【分析】（1）根据全等形的定义，即可判断； （2）根据全等形的定义，即可判断． 【解析】（1）解：边长都是的两个正方形能完全重合，是全等形； （2）解：如图的两件衣服，大小不一样，不能完全重合，不是全等形． 【点睛】本题主要考查全等形的定义，掌握“能够完全重合的图形叫做全等形”是关键． 题型3:将已知图形分割成几个全等形 【典例3】．沿网格线把正方形分割成两个全等形？用两种不同的方法试一试． 【答案】见解析 【分析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可． 【解析】解：如图所示即为所求． 【点睛】题目主要考查了全等形的定义及学生的空间想象能力，理解全等形的定义是解题关键． 【变式3-1】．把的正方形方格图形分割成两个全等形，如图，沿着虚线画出种不同的分法，把的正方形方格图形分割成两个全等形． 【答案】见解析 【分析】利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【解析】解：三种不同的分法： 【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题． 【变式3-2】．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．” 理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等形． 范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来． 【答案】见解析 【分析】根据网格的特点和全等形的定义进行作图即可． 【解析】依题意，如图 【点睛】本题考查了全等形的定义，熟练掌握网格特点作图和全等形的概念是解题的关键． 题型4:全等三角形的概念 【典例4】．下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 【答案】D 【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形为全等三角形，据此判断即可． 【解析】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； D、边长为的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，熟记定义是解本题的关键． 【变式4-1】．关于全等三角形，下列说法正确的是（    ） A．大小相等的三角形是全等三角形 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．三个角对应相等的三角形是全等三角形 D．两个三角形全等，它们的形状一定相同 【答案】D 【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，对各个选项进行判断即可． 【解析】解：A、大小相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意； B、面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意； C、三个角对应相等的三角形，边长不一定相等，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意； D、两个三角形全等，它们的形状一定相同，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的概念，熟记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题关键． 【变式4-2】．能够完全重合的两个三角形叫做_______． 【答案】全等三角形 【解析】略 【变式4-3】．如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′． 说理过程如下： 把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 　 　＝　 　，所以可以使点B与点B′重合．又因为　 　＝　 　，所以射线　 　能落在射线　 　上，这时因为 　 　＝　 　，所以点 　 　与 　 　重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′． 【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C' 【分析】直接利用已知结合全等的定义得出答案． 【解析】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C 与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′． 故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空． 题型5:全等三角形的对应关系 【典例5】．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做_________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________．记两个三角形全等时，通常把表示_________的字母写在对应位置上． 【答案】 对应顶点 对应边 对应角 对应顶点 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及对应顶点、对应边、对应角的概念填空． 【解析】解：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 故答案为：对应顶点；对应边；对应角；对应顶点． 【点睛】此题主要考查了全等形及相关概念，属于基本概念题，是需要识记的内容． 【变式5-1】．如图，与全等，可表示为________，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是________，其余的对应边是________． 【答案】 与，与 AB与BA，BC与AD 【分析】由，结合图形可得其余的对应角与对应边． 【解析】解：，与是对应角，AC与BD是对应边， 其余的对应角是与，与； 其余的对应边是AB与BA，BC与AD． 故答案为：，与，与，AB与BA，BC与AD 【点睛】本题考查的是三角形全等的表示，全等三角形的对应边与对应角的理解，掌握以上知识是解题的关键． 【变式5-2】．如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边． 【答案】．对应角是：与，与； 对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD． 【分析】根据全等三角形的表示法以及全等三角形的性质即可得到答案． 【解析】解  ． 因为与是对应角，所以其余的对应角是： 与，与； 对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD． 【点睛】本题主要考查全等三角形的表示法和性质，准确找到全等三角形的对应角和对应边是关键． 题型6:全等三角形的性质 【典例6】．已知图中的两个三角形全等，则______° 【答案】 【分析】三角形全等，有对应边相等，对应角相等，找到的对应角即可． 【解析】解：如图，是边和的夹角，左图是， 故 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等． 【变式6-1】．已知，若，，则的度数为______________． 【答案】60 【分析】根据全等三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【解析】解：根据题意画出图如图所示： ， ， ， ， ， 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 【变式6-2】．如图，，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等三角形的性质可得，再根据线段的和差求出长，继而求出长． 【解析】解：， ， ， 即：， ． 故选C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，利用全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【变式6-3】．如图，，，，相交于点F，则的度数是_____． 【答案】/20度 【分析】根据全等三角形的性质得到，，求出，根据三角形内角和定理可求得到答案． 【解析】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【变式6-4】．如图，中，，点D、E在上，，若，则（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得，再说明即可得到结论． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 题型7:三角形全等的传递性 【典例7】．已知，其中，，则 ． 【答案】 【变式7-1】．已知 ，若的周长为，则 ． 【答案】11 题型8:全等三角形性质的应用 【典例8】．如图，， 与，与是对应边，则下列结论错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定，根据全等三角形对应角相等得到，进而得到，据此可得答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明， 故选：C． 【变式8-1】．如图，，且点D在上，求证：．    【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的性质得到，根据三角形外角的性质可得，由此即可得到． 【解析】证明：∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键． 【变式8-2】．如图，已知，点E在上，与相交于点F． (1)当，时，求线段AE的长； (2)已知，，求与的度数． 【答案】(1)3 (2)， 【分析】(1)根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，即可得到答案； (2)根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可求得． 【解析】（1）解：，，， ，， ； （2）解：，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【变式8-3】．如图，，，三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，．理由见解析 【分析】（1）由得出，再进行相应等量代换； （2）当时，．由，得出，，若，则，因而，所以，进而，从而得证． 【解析】（1）证明：， ，， ． （2）解：当时，．理由如下： ， ． ， ，， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、平行线的判定及三角形内角和定理；根据全等的条件，得出等角及等量线段，进行相应的等量代换是解题的关键． 一、单选题 1．下列各组图形是全等形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【解析】解：观察发现，A、B、C选项中的两个图形不可能完全重合， ∴不是全等形， D选项的两个图形都可以完全重合， ∴是全等形． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是全等形，解题的关键是熟练的掌握全等形． 2．已知图中的两个三角形全等，AD与CE是对应边，则A的对应角是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形，AD与CE是对应边，根据对应边去找对应角． 【解析】观察图形知，AD与CE是对应边 ∴∠B与∠ACD是对应角 又∠D与∠E是对应角 ∴∠A与∠BCE是对应角． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 3．下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个等边三角形是全等形 C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D．两个全等形的周长一定相等 【答案】D 【分析】根据全等形的判定和性质，对每个选项进行判断，即可得到答案． 【解析】解：A、两个面积相等的图形，形状不一定相同，所以不一定是全等形，故A错误； B、两个等边三角形，边长不一定相等，所以不一定是全等形，故B错误； C、若两个图形的周长相等，形状不一定相同，所以它们不一定是全等形，故C错误； D、两个全等三角形的对应边相等，所以周长一定相等，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等形的定义和性质． 4．如图，，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得到，则，进而根据已知求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，解得， 故选：A． 5．下列命题中，真命题的个数是（    ）． ①全等三角形的周长相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的面积相等；④全等三角形的对应边上的高相等． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质即可作出判断． 【解析】全等三角形的对应边相等，对应角相等，面积相等，周长相等，对应边上的高、中线及角平分线均相等．故四个命题全部正确． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的概念及性质，掌握全等三角形的概念及性质是关键． 6．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　） A．72° B．60° C．58° D．50° 【答案】A 【分析】根据∠α是b、c边的夹角，然后写出即可． 【解析】解：∵两个三角形全等， ∴∠α的度数是72°． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．全等三角形的对应角相等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边． 7．如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么DE的长是（　　） A．6cm B．5cm C．7cm D．无法确定 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质计算即可； 【解析】∵△ABC≌△ADE， ∴， ∵BC＝7cm， ∴； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 8．已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18cm2，则EF边上的高是（　　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】A 【分析】利用全等三角形的性质找出同一个三角形的底边长及面积，代入面积公式即可求解三角形的高． 【解析】解：设△DEF的面积为s，边EF上的高为h， ∵△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18平方厘米， ∴两三角形的面积相等，即s=18，即有， 解得：h=6， 即EF边上的高为6cm， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形性质的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 9．如图所示的网格中，每个小正方形的边长都相等，若，则点可能是图中的（   ） A．点A B．点B C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准全等三角形的对应点． 【解析】解：∵， ∴因点M、P在方格正方形的两个对角顶点上，故点M、Q也应在方格正方形的两个对角顶点上．所以点Q是图中点D的位置，如下图： ， 故选：D． 10．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO=∠CAD，然后求出∠BAC=α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可． 【解析】∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 二、填空题 11．请观察图中的5组图案，其中是全等形的是 （填序号）；    【答案】（5） 【分析】根据全等形的定义：形状、大小相同，能够完全重合的两个图形进行判断即可． 【解析】解：（1）形状、大小不相等，不是全等形； （2）大小不同，不是全等形； （3）形状，大小都不相同，不是全等形； （4）形状，大小都不相同，不是全等形； （5）形状，大小都相同，是全等形； 故答案为：（5）． 【点睛】本题考查全等形的识别．熟练掌握形状、大小相同，能够完全重合的两个图形是全等形是解题的关键． 12．一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，但 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 【答案】 位置 形状、大小 【分析】分别根据全等形的性质以及平移、翻折、旋转的性质即可求解． 【解析】解：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 故答案为：位置；形状、大小． 【点睛】此题主要考查了全等形的性质以及平移、翻折、旋转的性质，熟练掌握全等形的概念是解题关键 13．如图，画在透明纸上的和是全等形吗？ （填“是”或“不是”），理由是 ．    【答案】 是 把和放在一起能够完全重合 【分析】根据全等三角形的性质可进行求解． 【解析】解：根据题意可知和是全等形；理由是能把和放在一起能够完全重合； 故答案为是，把和放在一起能够完全重合． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 14．如图,将△ABC沿BC所在的直线平移到△A'B'C'的位置,则△ABC △A'B'C',图中∠A与 ,∠B与 ,∠ACB与 是对应角.    【答案】 ≌ ∠A' ∠A'B'C' ∠C' 【解析】∵△ABC沿BC所在的直线平移到△A'B'C'的位置, ∴△ABC ≌△A'B'C', ∴∠A=∠A'，∠B=∠A'B'C'，∠ACB=∠C'， ∴∠A与∠A'，∠B与∠A'B'C'，∠ACB与∠C'是对应角， 故答案为≌、∠A'、∠A'B'C'、∠C' 15．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y= ． 【答案】9 【分析】根据全等三角形对应边相等求出x、y的值，然后相加即可得解. 【解析】解：∵两个三角形全等， ∴x=4，y=5， ∴x+y=4+5=9． 故答案为9. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，比较简单，准确确定对应边是解题的关键. 16．如图所示，与全等，则的对应角是 ，AC的对应边是 ． 【答案】 ∠E AD 【解析】首先确定三角形的对应顶点，再将对应顶点放在对应位置写出两个三角形的全等关系，即，然后按照对应关系即可写出对应边和对应角，的对应角为，AC的对应边为AD． 答案：∠E   AD 17．已知与全等，，，，则的长为 ． 【答案】7或8 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据与全等，且，所以进行分类讨论，当，则；当，则，即可作答． 【解析】解：∵与全等，， ∴当，则； 当，则， 综上：的长为7或8， 故答案为：7或8 18．如图，△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△A′B′C≌△ABC，则∠BCA′：∠BCB′的值为 ． 【答案】1：4 【分析】根据题意可先求出∠ACB的度数，然后根据全等的性质分别求出∠BCA′，∠BCB′的值即可得出结论． 【解析】解：∵∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10， ∴∠ACB＝180°×＝100°， ∵△A′B′C≌△ABC， ∴∠A′CB′＝∠ACB＝100°， ∴∠BCB′＝180°﹣∠ACB＝180°﹣100°＝80°， ∠BCA′＝∠ACB﹣∠A′CB′＝100°﹣80°＝20°， ∴∠BCA′：∠BCB′＝20°：80°＝1：4． 故答案为：1：4． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，理解并熟练运用全等三角形的性质是解题关键． 三、解答题 19．找出下列图形中的全等形． 【答案】（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等形 【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等形即可判断出答案． 【解析】解：由题意得：（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等形． 【点睛】本题考查了全等形的定义，属于基础题，注意掌握全等形的定义． 20．如图，，和，和是对应边．写出其他对应边及对应角． 【答案】其他对应边：和．对应角：和，和，和． 【分析】根据全等三角形的概念，写出相对应的边和角即可． 【解析】解：∵△ABC≌△CDA， ∴其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的概念，解题的关键在于能够熟记概念． 21．如图，，点E和点D是对应顶点． （1）写出它们的对应边和对应角； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）对应边：和，和，和．对应角：和，和，和；（2）． 【分析】（1）根据△AEC≌△ADB找出相等的边及角，将其一一列出即可； （2）根据全等三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠1的度数． 【解析】解：（1）∵△AEC≌△ADB，点E和点D是对应顶点， ∴AE＝AD，AC＝AB，EC＝DB，∠AEC＝∠ADB，∠ACE＝∠ABD，， ∴AE和AD是对应边，AC和AB是对应边，EC和DB是对应边，∠AEC和∠ADB是对应角，∠ACE和∠ABD是对应角，和是对应角． （2）∵△AEC≌△ADB， ∴∠ACE＝∠ABD＝39°． ∵在△ABC中有：∠A＋∠ABD＋∠1＋∠2＋∠ACE＝180°，∠A＝50°，∠ACE＝∠ABD＝39°，∠1＝∠2， ∴∠1＝26°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）根据全等三角形的性质找出相等的边及角；（2）利用三角形内角和定理求出∠1的度数． 22．如图，△ABC ≌△DEF，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在一条直线上，∠A = 85°，∠E = 50°，AB = 4，EF = 6． （1）求∠ACB的度数． （2）求AC边的取值范围． 【答案】（1）45°；（2）2＜AC＜10 【分析】（1）根据全等三角形的性质求出∠B，再利用三角形内角和求解； （2）根据全等三角形的性质求出BC，再根据三角形的三边关系求解即可． 【解析】解：（1）∵△ABC ≌△DEF， ∴∠B=∠E=50°， ∵∠A=85°， ∴∠ACB=180°-∠B-∠A=45°； （2）∵△ABC ≌△DEF， ∴BC=EF=6， ∵AB=4， ∴AC的范围是2＜AC＜10． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的三边关系，三角形内角和定理，解题的关键是利用全等三角形得到相等边和角． 23．如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P．已知 ，，，． （1）求∠CBE的度数．     （2）求△CDP与△BEP的周长和． 【答案】（1）66°；（2）15.5 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC=∠DBE，然后根据角度之间的关系计算即可． （2）根据全等三角形的性质求出BE，DE，然后根据三角形的周长公式计算即可． 【解析】解：（1）解：∵△ABC≌△DBE， ∴∠ABC=∠DBE． ∴∠ABC-∠DBC =∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE． ∵∠ABD+∠DBC+∠CBE =∠ABE， ∴∠CBE= (∠ABE-∠DBC)=×(162°-30°)=66°． （2）解：∵△ABC≌△DBE，   ∴DE=AC=AD+DC=5，BE=BC=4， ∴△CDP与△BEP的周长和=DC+DP+PC+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=2.5+5+4+4=15.5． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，角的和与差的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等． 24．如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D． （1）求证∶ CE⊥AB （2）已知BC=7，AD=5，求 AF的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）由△ABD≌△CFD，得出∠BAD＝∠DCF，再利用三角形内角和即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出AD＝DC，即可得出BD＝DF，进而解决问题． 【解析】（1）证明：∵AD⊥BC ∴∠CDF＝90° ∵△ABD≌△CFD， ∴∠BAD＝∠DCF， 又∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CDF＝90°， ∴CE⊥AB； （2）解：∵△ABD≌△CFD， ∴BD＝DF，AD＝DC， ∵BC＝7，AD＝5， ∴BD＝BC−CD＝2， ∴AF＝AD−DF＝5−2＝3． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟练应用全等三角形的性质是解决问题的关键． 25．如图所示，已知，且． 说明经过怎样的变换后可与重合； 与有何关系？请说明理由； 与相等吗？为什么？ 【答案】（1）先水平翻转，再平移即可与重合；（2）详见解析；（3）详见解析. 【分析】（1）由几何变换的类型说明即可; （2）由三角形全等的性质求解即可; （3）由三角形全等的性质求解即可. 【解析】解：先水平翻转，再平移即可与重合； ． ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了几何变换的类型及三角形全等的性质，解题的关键是熟记几何变换的类型及三角形全等的性质. 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$