第08讲 三角形的中位线和中点四边形（4个知识点+4类题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

八年级下苏科版 第08讲 三角形的中位线和中点四边形4个知识点+4类题型 课程标准 学习目标 1.三角形的中位线定理； 2.中点四边形。 1.理解三角形的中位线定理，并能够综合运用； 2.理解原四边形的对角线与中点四边形的关系； 知识点1：三角形的中位线定理 ①定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 ②三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 图1：D、E分别是AB和AC的中点，DE是△ABC的中位线， （图1） （图2） 证明（如图2）：延长DE至H，使DE=EH，连接CH 在△ADE与△CHE中 ∴△ADE≌△CHE（SAS） ∴∠A=∠HCE,AD=CH ∴ 又∵AD=BD ∴ ∴四边形DBCH是平行四边形 ∴ ∴ 【即学及练】 1.（2024春•姑苏区校级期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段AO、BO的中点，若EF＝3，△OAB的周长是14，则AC+BD＝　 　． 2．（2024春•阜宁县期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（　　） A．3 B．2 C．1 D．1.5 3．（2024春•建湖县期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，AH是高．若∠DEF＝64°，则∠DHF的度数为（　　） A．56° B．60° C．64° D．76° 4．（2024春•睢宁县期中）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，矩形ABCD的面积为 　 　． 知识点2：三角形中位线的拓展（了解） 拓展一：梯形的中位线 （图3） （图4） 图3：在梯形ABCD中，AB∥DC，E、F分别是AD、BC的中点，则 证明（如图4）：延长AF与DC交于H，得△ABF≌HCF，F是AH中点，所以,又AB=CH，所以。 拓展二：8字型中位线 （图5） （图6） 图5：AB∥DC，E、F分别是AD、BC的中点，则 证明（如图6）：延长AF交DC于H，得△ABF≌HCF，F是AH中点，所以,又AB=CH，所以。 【即学及练】 5．（2021秋•安溪县期末）如图，AB∥CD，AC、BD相交于P，E、F分别为AC、BD的中点，若AB＝10，CD＝6，则EF的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2022秋•渭滨区期末）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为6和2，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　 　． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/2/21 0:25:42；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 知识点3：构造中位线的常用技巧 ①连接两点构造中位线 7．（2024春•锡山区期中）如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＝BC，，点N是BC边上一点，点M为AB边上一点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 　　． 8．（2024春•南京期中）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝　　． ②取中点构造中位线 9．（2022春•丹江口市期中）如图，四边形ABCD中，AB＝6，CD＝8，E，F分别是AD，BC的中点，则EF长x的取值范围为（　　） A．6＜x＜8 B．2＜x＜14 C．1＜x≤7 D．3＜x＜4 10．（2023春•黄石期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝12，点E是BC上一点，BE＝6，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN的值为 　 ． 11．（2024秋•洪雅县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长（　　） A． B．3 C．3 D． ③利用延长线构造中位线 12．（2024春•丹阳市期中）如图，平行四边形BDEF的顶点F在等腰直角三角形ABC的边AB上，点D在CB的延长线上，G为EC的中点，连接FG，若DE＝6，，则FG＝　 　． 13．（2023春•营口期末）如图，△ABC中，CD平分∠ACB，过点A作AD⊥CD于点D，点E是AB的中点，连接DE，若AC＝20，BC＝14，求DE的长． 14．（2024春•苏州期中）如图，在矩形ABCD中，DC＝2，∠DAC＝30°，P是边AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为 　　． 知识点4：中点四边形 E、F、G、H分别是四边形AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，那么四边形EFGH就是四边形ABCD的中点四边形。 （图7） （图8） 结论①：任意四边形的中点四边形都是平行四边形； 证明（如图8）：连接AC、BD，所以，所以四边形EFGH是平行四边形； 结论②：若AC⊥BD，那么中点四边形是矩形； 结论③：若AC=BD，那么中点四边形是菱形； 结论④：若AC⊥BD，且AC=BD，那么中点四边形是正方形； 【即学及练】 15．（2024秋•榆中县期末）如图，连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，则对角线AC，BD应满足（　　） A．AC＝BD B．AC平分BD C．BD平分AC D．AC⊥BD 16．（2024秋•凌河区校级月考）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，AD的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（　　） A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 17．（2024秋•普宁市期中）如图，E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，顺次连接E，F，G，H，得到四边形EFGH，下列描述错误的是（　　） A．四边形EFGH一定是平行四边形 B．当∠BAC＝90°时，四边形EFGH为矩形 C．当AC＝BD时，四边形EFGH为菱形 D．当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 18．（2024秋•北镇市期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，E，F，G，H分别为四边的中点，连接EF，FG，GH，HE，若AC＝BD＝16，则四边形EFGH的面积为（　　） A．16 B．32 C．48 D．64 【分析】利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可． 【解答】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AB、BC的中点， ∴EF∥AC，且EFAC＝8， 同理：EH∥BD，EHBD＝8， ∴EF∥GH，EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴EF⊥FG． ∴四边形EFGH是矩形． ∴四边形EFGH的面积＝EF•EH＝8×8＝64， 即四边形EFGH的面积是64． 故选：D． 19．（2025•登封市一模）已知菱形ABCD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形EFGH的面积为2，则菱形ABCD的面积为 　　． 【类型一：中位线定理的运用】 1．（2024春•新吴区期中）▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，求证： （1）BE⊥AC； （2）EG＝EF． 2．（2024春•苏州期中）如图，点E为平行四边形ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF． （1）求证：四边形AFHD为平行四边形； （2）连接EH，交BC于点O，若OB＝OE，FG＝8，求OH的长度． 3．（2024春•灌云县期中）在四边形ABCD中，如果两条对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，则AB2+CD2＝AD2+BC2． 如图，若四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OA，OD的中点，连接BE，CF并延长交于点P．若BP2+CP2＝80，求菱形的周长． 【类型二：利用中位线确定点的轨迹问题】 4．（2024春•秦淮区期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AD＝7，DC＝24，AB＝15．M是AD边上的定点，N是BC边上的动点，O是MN的中点．点N从点B运动到点C的过程中，点O运动的路径长为 　 　． 5．（2024春•江都区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点F在CD上，且DF＝5，E是BC边上的一动点，M，N分别是AE、EF的中点，则在点E从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形面积是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 6．（2024春•宝应县期中）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是AB的中点，F是线段EC上一动点，P为DF的中点，连接PB，则线段PB的最小值为 　 ． 7．（2024春•东台市期中）如图，已知AB＝10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是　 　． 【类型三：中位线的综合应用】 8．（2024春•宝应县期中）【教材原题】如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN＝∠PNM． 【应用】如图②，连结图①中的AC，并取AC中点Q，连结MQ、NQ． （1）若AD＝8，则四边形PMQN的周长为 　 　． （2）若AD＝4，且∠DAB+∠ABC＝90°，则四边形PMQN的面积为 　 　． 9．（2024春•阜宁县期中）（1）用数学的眼光观察 如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM． （2）用数学的思维思考 如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F． （3）用数学的语言表达 如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明． 10．（2024春•姑苏区校级期中）问题情景：老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C＝90°，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，点M，P，N分别为DE，AD， AB的中点．试判断线段PM与PN的数量关系和位置关系． 问题探究： （1）甲小组发现：图1中，线段PM与PN的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　； （2）乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把△CDE绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置，请判断△PMN的形状并证明； 问题拓展： （3）两小组的同学继续探究：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若CD＝2，当△CDE旋转到B、D、E三点共线，且时，连结EN，直接写出线段EN的长度． 11．（2024春•滨湖区期中）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于点E，F是AE中点． （1）线段FD与线段FC的数量关系是FD 　　FC，位置关系是FD 　　FC； （2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其他条件不变，线段FD与线段FC的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； （3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果，BE＝2，直接写出线段BF长的取值范围 . 12．（2024春•灌南县期中）[回归课本]苏科版初中数学八上教材第86页三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，即可得证． [类比迁移]（1）如图2，AD是BC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF， 求证：AC＝BF，小明发现可以类比以上思路进行证明． 证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，… 请你根据小明的思路完成证明过程． [方法运用]（2）如图3，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E为射线BC上一个动点（在点C右侧），把线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段EC′，连接BC′，点F是BC′的中点，连接AE，CF，EF． ①请你判断线段EF和AE的数量关系是 　 　，并说明理由； ②若菱形ABCD的边长为4，CFCE，请直接写出CF的长． 【类型四：中点四边形的应用】 13．（2024•资阳区开学）如图，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点． （1）证明：四边形EFGH为平行四边形； （2）若四边形ABCD是矩形，且其面积是8cm2，求四边形EFGH的面积． 14．（2024春•金水区期末）在▱ABCD中，点E、F、G、H分别是 AB，BC，CD，AD的中点，连接EH，HG，GF，FE，得到四边形 EHGF． （1）求证：四边形 EHGF 是平行四边形； （2）设△ABCD对角线 AC与BD 的交点为O1，四边形EHGF对角线EG与FH的交点为O2，那么O1与O2是同一个点吗？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下苏科版 第08讲 三角形的中位线和中点四边形4个知识点+4类题型 课程标准 学习目标 1.三角形的中位线定理； 2.中点四边形。 1.理解三角形的中位线定理，并能够综合运用； 2.理解原四边形的对角线与中点四边形的关系； 知识点1：三角形的中位线定理 ①定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 ②三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 图1：D、E分别是AB和AC的中点，DE是△ABC的中位线， （图1） （图2） 证明（如图2）：延长DE至H，使DE=EH，连接CH 在△ADE与△CHE中 ∴△ADE≌△CHE（SAS） ∴∠A=∠HCE,AD=CH ∴ 又∵AD=BD ∴ ∴四边形DBCH是平行四边形 ∴ ∴ 【即学及练】 1.（2024春•姑苏区校级期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段AO、BO的中点，若EF＝3，△OAB的周长是14，则AC+BD＝　16　． 【分析】根据已知条件可以得到EF是△OAB的中位线，则AB＝2EF＝6．然后结合三角形的周长公式可以得到OA+OB＝8；最后结合平行四边形的对角线相互平分可以得到AC+BD＝2（OA+OB）． 【解答】解：如图，∵点E、F分别是线段AO、BO的中点， ∴EF是△OAB的中位线， ∴AB＝2EF． 又∵EF＝3， ∴AB＝6． ∵△OAB的周长是14， ∴AB+OA+OB＝14，即6+OA+OB＝14， ∴OA+OB＝8． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2OA，BD＝2OB． ∴AC+BD＝2（OA+OB）＝16． 故答案为：16． 2．（2024春•阜宁县期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（　　） A．3 B．2 C．1 D．1.5 【分析】由平行四边形的性质推出CD∥AB，CD＝AB＝7，DO＝OB，由平行线的性质推出∠APD＝∠CDP，由角平分线定义得到∠ADP＝∠CDP，因此∠ADP＝∠APD，推出AP＝AD＝4，求出PB＝AB﹣AP＝7﹣4＝3，由三角形中位线定理得到OEPB＝1.5． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB＝7，DO＝OB， ∴∠APD＝∠CDP， ∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP＝∠CDP， ∴∠ADP＝∠APD， ∴AP＝AD＝4， ∴PB＝AB﹣AP＝7﹣4＝3， ∵O是BD中点，E是PD中点， ∴OE是△DPB的中位线， ∴OEPB＝1.5． 故选：D． 3．（2024春•建湖县期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，AH是高．若∠DEF＝64°，则∠DHF的度数为（　　） A．56° B．60° C．64° D．76° 【分析】由三角形中位线定理推出DE∥AC，EF∥AB，判定四边形ADEF是平行四边形，推出∠DAF＝∠DEF，由直角三角形斜边中线的性质推出DH＝AD，得到∠DHA＝∠DAH，同理∠AHF＝∠FAH，即可得到∠DHF＝∠DEF＝64°． 【解答】解：∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点， ∴DE，EF是△ABC的中位线， ∴DE∥AC，EF∥AB， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴∠DAF＝∠DEF， ∵AH是高， ∴∠AHB＝90°，D是AB中点， ∴DHAB， ∴DH＝AD， ∴∠DHA＝∠DAH， 同理：∠AHF＝∠FAH， ∴∠DHA+∠AHF＝∠DAH+∠FAH， ∴∠DHF＝∠DAF， ∴∠DHF＝∠DEF＝64°， 故选：C． 4．（2024春•睢宁县期中）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，矩形ABCD的面积为 　48　． 【分析】由矩形的性质得出∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC，由直角三角形斜边上中线的性质及三角形中位线的性质求出BE＝6，CE＝8，BC＝10，由勾股定理的逆定理得出△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，进而求出24，即可求出矩形ABCD的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC， ∵F，G分别是BE，CE的中点，AF＝3，DG＝4，FG＝5， ∴BE＝2AF＝6，CE＝2DG＝8，BC＝2FG＝10， ∴BE2+CE2＝BC2， ∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°， ∴24， ∵AD∥BC， ∴S矩形ABCD＝2S△BCE＝2×24＝48， 故答案为：48． 知识点2：三角形中位线的拓展（了解） 拓展一：梯形的中位线 （图3） （图4） 图3：在梯形ABCD中，AB∥DC，E、F分别是AD、BC的中点，则 证明（如图4）：延长AF与DC交于H，得△ABF≌HCF，F是AH中点，所以,又AB=CH，所以。 拓展二：8字型中位线 （图5） （图6） 图5：AB∥DC，E、F分别是AD、BC的中点，则 证明（如图6）：延长AF交DC于H，得△ABF≌HCF，F是AH中点，所以,又AB=CH，所以。 【即学及练】 5．（2021秋•安溪县期末）如图，AB∥CD，AC、BD相交于P，E、F分别为AC、BD的中点，若AB＝10，CD＝6，则EF的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】连接CF并延长，交AB于G，证明△DFC≌△BFG，根据全等三角形的性质得到BG＝CD＝6，CF＝FG，进而求出AG，根据三角形中位线定理定理计算即可． 【解答】解：连接CF并延长，交AB于G， ∵AB∥DC， ∴∠D＝∠B， ∵F为BD的中点， ∴DF＝BF， 在△DFC和△BFG中， ， ∴△DFC≌△BFG（ASA）， ∴BG＝CD＝6，CF＝FG， ∴AG＝AB﹣BG＝4， ∵CF＝FG，CE＝EA， ∴EFAG4＝2， 故选：B． 6．（2022秋•渭滨区期末）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为6和2，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　2　． 【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解． 【解答】解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H． 则PH∥AB． ∵P是AE的中点， ∴PH是△AOE的中位线， ∴PHOA（6﹣2）＝2． ∵直角△AOE中，∠OAE＝45°， ∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝4， 同理△PHE中，HE＝PH＝2． ∴HG＝HE+EG＝2+2＝4． ∴在Rt△PHG中，PG． 故答案是2 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/2/21 0:25:42；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 知识点3：构造中位线的常用技巧 ①连接两点构造中位线 7．（2024春•锡山区期中）如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＝BC，，点N是BC边上一点，点M为AB边上一点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 　　． 【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可． 【解答】解：如图，连接CM， ∵点D、E分别为CN，MN的中点， ∴DECM． 当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小． ∵∠C＝120°，AC＝BC， ∴AM＝BMAB＝3，∠A＝∠B＝30°， ∴AC＝2CM， 由勾股定理得：AC2＝AM2+CM2， ∴4CM2＝27+CM2， ∴CM＝3， ∴DECM． 故答案为：． 8．（2024春•南京期中）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝　　． 【分析】连接CF，则MN为△DCF的中位线，根据勾股定理求出CF长即可求出MN的长． 【解答】解：连接CF， ∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5， ∴GF＝GB＝5，BC＝7， ∴GC＝GB+BC＝5+7＝12， ∴13． ∵M、N分别是DC、DF的中点， ∴MN． 故答案为：． ②取中点构造中位线 9．（2022春•丹江口市期中）如图，四边形ABCD中，AB＝6，CD＝8，E，F分别是AD，BC的中点，则EF长x的取值范围为（　　） A．6＜x＜8 B．2＜x＜14 C．1＜x≤7 D．3＜x＜4 【分析】连接AF并延长至G，使得AF＝FG，连接CG、DG，证明△BAF≌△CGF，根据三角形三边关系，可得GD的范围，根据中位线的性质即可求解． 【解答】解：如图，连接AF并延长至G，使得AF＝FG，连接CG、DG， ∵F是BC的中点， ∴BF＝CF， 在△BAF与△CGF中， ， ∴△BAF≌△CGF（SAS）， ∴AB＝CG， ∵AB＝6，CD＝8， ∴8﹣6＜DG＜8+6， 当∠ABC＝∠DCB＝90°时，G，D，C三点共线， ∴2＜DG≤14， ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴，EF长x的取值范围为：1＜x≤7． 故选：C． 10．（2023春•黄石期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝12，点E是BC上一点，BE＝6，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN的值为 　3　． 【分析】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，证明NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出NF∥BE，MF∥AD，NFBE＝5，MFAD＝12，证出NF⊥MF，在Rt△MNF中，由勾股定理即可得出答案． 【解答】解：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示： ∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点， ∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线， ∴NF∥BE，MF∥AD，NFBE＝3，MFAD＝6， ∵∠ACB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵MF∥AD， ∴MF⊥BC， ∵NF∥BE， ∴NF⊥MF， 在Rt△MNF中，由勾股定理得：MN3． 故答案为：3． 11．（2024秋•洪雅县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长（　　） A． B．3 C．3 D． 【分析】取AB的中点F，连接NF、MF，根据直角三角形的性质得到∠CAB+∠CBA＝90°，根据三角形中位线定理分别求出MF、NF，以及∠MFN＝90°，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：取AB的中点F，连接NF、MF， △ABC中，∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AM＝MD，AF＝FB， ∴MF是△ABD的中位线， ∴MFBD＝3，MF∥BC， ∴∠AFM＝∠CBA， 同理，NFAE＝2，NF∥CC， ∴∠BFN＝∠CAB， ∴∠AFM+∠BFN＝∠CAB+∠CBA＝90°， ∴∠MFN＝90°， ∴MN， 故选：D． ③利用延长线构造中位线 12．（2024春•丹阳市期中）如图，平行四边形BDEF的顶点F在等腰直角三角形ABC的边AB上，点D在CB的延长线上，G为EC的中点，连接FG，若DE＝6，，则FG＝　3　． 【分析】延长EF交AC于点M，由平行四边形的性质得出EF∥BD，ED＝BF＝6，证出EF＝FM，证明FG为△ECM的中位线，则可得出答案． 【解答】解：延长EF交AC于点M， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴EF∥BD，ED＝BF＝6， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC， ∴∠AFM＝∠AMF＝45°， ∴AF＝AM， ∴FMAF， ∵EFAF， ∴EF＝FM， ∵G为CE的中点， ∴FG为△ECM的中位线， ∴FG3． 故答案为：3． 13．（2023春•营口期末）如图，△ABC中，CD平分∠ACB，过点A作AD⊥CD于点D，点E是AB的中点，连接DE，若AC＝20，BC＝14，求DE的长． 【分析】延长CB交AD延长线于F，由角平分线的定义得到∠ACD＝∠FCD，由垂直的定义得到∠ADC＝∠FDC＝90°，因此∠F＝∠CAD，推出CF＝AC＝20，求出BF＝CF﹣BC＝6，由等腰三角形的性质得到AD＝FD，即可证明DE是△AFB的中位线，从而求出DE的长． 【解答】解：延长CB交AD延长线于F， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠FCD， ∵AD⊥CD于点D， ∴∠ADC＝∠FDC＝90°， ∴∠F＝∠CAD， ∴CF＝AC＝20， ∵BC＝14， ∴BF＝CF﹣BC＝6， ∵AC＝CF，CD⊥AD， ∴AD＝FD， ∵点E是AB的中点， ∴DE是△ABF的中位线， ∴DEBF＝3． 14．（2024春•苏州期中）如图，在矩形ABCD中，DC＝2，∠DAC＝30°，P是边AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为 　　． 【分析】延长PG，使得PG＝GQ，连接BQ，AQ，先根据题意得出∠QAP＝60°，进而求出∠BAQ＝30°，再根据中位线的性质得出GEBQ，当BQ最小时，GE有最小值，当BQ⊥AQ时，BQ最小，根据∠BAQ＝30°，DC＝2求出此时BQ的长即可解答． 【解答】解：延长PG，使得PG＝GQ，连接BQ，AQ，如图， ∵PG⊥AC，G是PQ的中点， ∴AG平分∠PAQ， ∵∠DAC＝30°， ∴∠QAP＝60°， ∴∠BAQ＝30°， ∵E是BP的中点， ∴GEBQ， ∴当BQ最小时，GE有最小值， 当BQ⊥AQ时，BQ最小， 此时BQAB＝1， ∴CE的最小值为． 故答案为：． 知识点4：中点四边形 E、F、G、H分别是四边形AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，那么四边形EFGH就是四边形ABCD的中点四边形。 （图7） （图8） 结论①：任意四边形的中点四边形都是平行四边形； 证明（如图8）：连接AC、BD，所以，所以四边形EFGH是平行四边形； 结论②：若AC⊥BD，那么中点四边形是矩形； 结论③：若AC=BD，那么中点四边形是菱形； 结论④：若AC⊥BD，且AC=BD，那么中点四边形是正方形； 【即学及练】 15．（2024秋•榆中县期末）如图，连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，则对角线AC，BD应满足（　　） A．AC＝BD B．AC平分BD C．BD平分AC D．AC⊥BD 【分析】根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理得到四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的判定定理解答即可． 【解答】解：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点， ∴EHBD，EH∥BD，FGBD，FG∥BD， ∴EH＝FG，EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 当AC⊥BD时，AC⊥EH， ∴EH⊥EF， ∴四边形EFGH为矩形， 故选：D． 16．（2024秋•凌河区校级月考）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，AD的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（　　） A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 【分析】根据题意画出示意图，得出中点四边形的形状与原四边形对角线之间的关系即可解决问题． 【解答】解：如图，连接BD，AC， ∵点H和点E分别是AD和AB的中点， ∴HE是△ABD的中位线， ∴，HE∥BD，同理可得，，GF∥BD， ∴HE＝GF，HE∥GF， ∴四边形HEFG是平行四边形， ∵，，且AC＝BD， ∴HE＝HG， ∴▱HEFG是菱形， ∴EG与HF互相垂直平分， 故选：A． 17．（2024秋•普宁市期中）如图，E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，顺次连接E，F，G，H，得到四边形EFGH，下列描述错误的是（　　） A．四边形EFGH一定是平行四边形 B．当∠BAC＝90°时，四边形EFGH为矩形 C．当AC＝BD时，四边形EFGH为菱形 D．当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 【分析】根据题意证出四边形EFGH是平行四边形，再分别证明当∠BAC＝90°时，当AC＝BD时，当AC⊥BD时，四边形EFGH的形状即可． 【解答】解：连接AC，BD， ∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点， ∴， 且EF∥AC，HG∥AC，EF∥BD，EG∥BD， ∴EF＝GH，EH＝FG， 且EF∥GH，EH∥FG， 故四边形EFGH为平行四边形，故A正确； 当∠BAC＝90°时， ∵EF∥AC ∴∠BEF＝∠BAC＝90° ∴∠FEH＜90° 故平行四边形EFGH不是矩形，B错误； 当AC＝BD时，则EF＝GH＝EH＝FG，故四边形EFGH为菱形，C正确； 当AC⊥BD时， ∵EF∥AC，HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD， ∴AC⊥FG，FG⊥HG， 故四边形EFGH为矩形，D正确； 故选：B． 18．（2024秋•北镇市期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，E，F，G，H分别为四边的中点，连接EF，FG，GH，HE，若AC＝BD＝16，则四边形EFGH的面积为（　　） A．16 B．32 C．48 D．64 【分析】利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可． 【解答】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AB、BC的中点， ∴EF∥AC，且EFAC＝8， 同理：EH∥BD，EHBD＝8， ∴EF∥GH，EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴EF⊥FG． ∴四边形EFGH是矩形． ∴四边形EFGH的面积＝EF•EH＝8×8＝64， 即四边形EFGH的面积是64． 故选：D． 19．（2025•登封市一模）已知菱形ABCD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形EFGH的面积为2，则菱形ABCD的面积为 　4　． 【分析】根据三角形中位线定理得EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，BD＝2EF，AC＝2EH，证明四边形EFGH是矩形，面积是EF×EH，进而得菱形ABCD的面积AC•BD＝2EF•EH． 【解答】解：连接AC、BD交于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，BD＝2EF，AC＝2EH， ∴EH∥FG，EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴∠BAO+∠ABO＝90°， ∵∠AEH＝∠ABO，∠BEF＝∠EAO， ∴∠AEH+∠BEF＝90°， ∴∠HEF＝90°， ∴四边形EFGH是矩形， ∵四边形EFGH的面积为2， ∴EF•EH＝2， ∴菱形ABCD的面积AC•BD2EF•2EH＝2EF•EH＝4． 故答案为：4． 【类型一：中位线定理的运用】 1．（2024春•新吴区期中）▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，求证： （1）BE⊥AC； （2）EG＝EF． 【分析】（1）利用平行四边形的性质以及等腰三角形的性质得出即可； （2）利用直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形中位线性质得出答案即可． 【解答】证明：（1）∵▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD＝2AD， ∴BO＝DO＝AD＝BC， ∵E为CO的中点，BO＝BC， ∴BE⊥CO； （2）∵BE⊥CO， ∴∠BEA＝90°， ∵G为AB的中点， ∴GEAB， ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EFCD， 又∵AB＝CD， ∴GE＝EF． 2．（2024春•苏州期中）如图，点E为平行四边形ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF． （1）求证：四边形AFHD为平行四边形； （2）连接EH，交BC于点O，若OB＝OE，FG＝8，求OH的长度． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再证BC是△EFG的中位线，得BC∥FG，BCFG，证出AD∥FH，AD∥FH，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接BH、EH、CH，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD， ∵BF＝BE，CG＝CE， ∴BC是△EFG 的中位线， ∴BC∥FG，， ∵H为FG的中点，， ∴BC∥FH，BC＝FH， ∴AD∥FH，AD＝FH， ∴四边形AFHD是平行四边形； （2）解：连接BH，EH，CH， ∵CE＝CG，FH＝HG， ∴，CH∥EF， ∵， ∴BE＝CH， ∴四边形EBHC是平行四边形， ∴OB＝OC，OE＝OH， ∵OB＝OE， ∴， ∵， ∴OH＝2． 3．（2024春•灌云县期中）在四边形ABCD中，如果两条对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，则AB2+CD2＝AD2+BC2． 如图，若四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OA，OD的中点，连接BE，CF并延长交于点P．若BP2+CP2＝80，求菱形的周长． 【分析】连接EF，先证EF是△AOD的中位线，得EF∥AD∥BC，EFADBC，则EF是△BCP的中位线，得EP＝BEBP，CF＝FPCP，然后由BE2+CF2＝BC2+EF2求出BC的长，即可求解． 【解答】解：连接EF，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AD∥BC， ∵点E，F分别是OA，OD的中点， ∴EF是△AOD的中位线， ∴EF∥AD∥BC，EFADBC， ∴EF是△BCP的中位线， ∴EP＝BEBP，CF＝FPCP， 在四边形BCFE中，CE⊥BF， ∴BE2+CF2＝BC2+EF2， 即（BP）2+（CP）2＝BC2+（BC）2， ∴（BP2+CP2）BC2， ∵BP2+CP2＝80， ∴80BC2， ∴BC＝4， ∴菱形的周长＝4BC＝16． 【类型二：利用中位线确定点的轨迹问题】 4．（2024春•秦淮区期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AD＝7，DC＝24，AB＝15．M是AD边上的定点，N是BC边上的动点，O是MN的中点．点N从点B运动到点C的过程中，点O运动的路径长为 　10　． 【分析】连接BM，CM，AC，过O作OF∥BC交BM于G，交CM于H，由三角形中位线定理可以判断，GH就是O的运动轨迹，然后根据勾股定理求出BC的长即可求出GH的长． 【解答】解：连接BM，CM，AC，过O作OF∥BC交BM于G，交CM于H，如图： ∵O是MN中点，GH∥BC， ∴G，H分别为BM和CM的中点， ∴在N点移动过程中，由三角形中位线定理可知，OG∥BC，OH∥BC， ∴GH即为O的运动轨迹， ∴GHBC， 在Rt△ACD中，AC25， 在Rt△ABC中，BC20， ∴GH＝10． 故答案为：10． 5．（2024春•江都区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点F在CD上，且DF＝5，E是BC边上的一动点，M，N分别是AE、EF的中点，则在点E从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形面积是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】分情况进行讨论，当E与B或当E与C重合时找到MN的位置，结合图象即可判断MN扫过区域的形状并求出面积． 【解答】解：如图所示：当点E与B点重合时，点M位于AB中点，点N位于BF中点； 当点E与C点重合时，点M'位于AC中点，点N'位于FC中点； ∵M是AB的中点，M'是AC的中点，N是BF的中点，点N'是FC中点， ∴MM'、NN'分别是△ABC、△FBC的中位线， ∴MM'∥BC且MM'BC，NN'∥BC且NN'BC， ∴四边形MM'N'N为平行四边形， ∴MN扫过的区域为平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝9， ∵DF＝5， ∴FC＝9﹣5＝4， ∴S平行四边形MM'N'NBC•（ABFC）12×（94）＝15， 故选：C． 6．（2024春•宝应县期中）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是AB的中点，F是线段EC上一动点，P为DF的中点，连接PB，则线段PB的最小值为 　　． 【分析】如图，取CD中点G，连接AG交DE于O，连接EG，BG，作BH⊥AG于点H，根据矩形的性质得到可得AH∥CE，当BP⊥OG时，BP有最小值，即可求解． 【解答】解：如图，取CD中点G，连接AG交DE于O，连接EG，BG，作BH⊥AG于点H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝4，CD∥AB， ∵点E是AB中点，点G是CD中点， ∴CG＝AE＝DG＝BE＝3， ∴AG＝5， ∴四边形AEGD是矩形， ∴点O是ED的中点， OG即为点P的运动轨迹， ∴当BP⊥OG时，BP有最小值， ∵2S△ABG＝AG•BH＝AB•EG， ∴BH， ∴BP的最小值为， 故答案为：． 7．（2024春•东台市期中）如图，已知AB＝10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是　5　． 【分析】分别延长AC、BD交于点H，过G作MN∥AB，分别交AH于M，BH于N，易证四边形CPDH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹△HAB的中位线MN，运用中位线的性质求出MN的长度即可． 【解答】解：如图，分别延长AC、BD交于点H，过G作MN∥AB，分别交AH于M，BH于N， ∵△APC和△BPD是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， ∴△AHB是等边三角形， ∵∠A＝∠DPB＝60°， ∴AH∥PD， ∵∠B＝∠CPA＝60°， ∴BH∥PC， ∴四边形CPDH为平行四边形， ∴CD与HP互相平分． ∵G为CD的中点， ∴G正好为PH中点， ∵△ABH是等边三角形， ∴在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN． ∴MNAB＝5，即G的移动路径长为5． 故答案为：5． 【类型三：中位线的综合应用】 8．（2024春•宝应县期中）【教材原题】如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN＝∠PNM． 【应用】如图②，连结图①中的AC，并取AC中点Q，连结MQ、NQ． （1）若AD＝8，则四边形PMQN的周长为 　16　． （2）若AD＝4，且∠DAB+∠ABC＝90°，则四边形PMQN的面积为 　4　． 【分析】【教材原题】运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论； 【应用】（1）运用三角形中位线定理可得PN＝MQAD，PM＝QNBC，再由AD＝BC＝8，可得PN＝MQ＝PM＝QN＝4，即可得出答案； （2）由（1）得PN＝MQ＝PM＝QN＝4，得出四边形PNQM是菱形，再证得∠PNQ＝90°，得出四边形PNQM是正方形，即可求得答案． 【解答】【教材原题】证明：如图①，∵P、M、N分别是BD、DC、AB的中点， ∴PN、PM分别是△ABD、△BCD的中位线， ∴PNAD，PMBC， ∵AD＝BC， ∴PN＝PM， ∴∠PMN＝∠PNM． 【应用】解：（1）如图②，∵P、Q、M、N分别是BD、AC、DC、AB的中点， ∴PN＝MQAD，PM＝QNBC， ∵AD＝BC＝8， ∴PN＝MQ＝PM＝QN＝4， ∴四边形PMQN的周长为16， 故答案为：16； （2）如图③，∵P、Q、M、N分别是BD、AC、DC、AB的中点， ∴PN＝MQAD，PM＝QNBC，PN∥AD，QN∥BC， ∴∠BNP＝∠DAB，∠ANQ＝∠ABC， ∵AD＝BC＝4， ∴PN＝MQ＝PM＝QN＝2， ∴四边形PNQM是菱形， ∵∠DAB+∠ABC＝90°， ∴∠BNP+∠ANQ＝90°， ∴∠PNQ＝90°， ∴菱形PNQM是正方形， ∴S四边形PMQN＝22＝4， 故答案为：4． 9．（2024春•阜宁县期中）（1）用数学的眼光观察 如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM． （2）用数学的思维思考 如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F． （3）用数学的语言表达 如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明． 【分析】（1）证PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，则PNBC，PMAD，再证PM＝PN，即可得出结论； （2）由三角形中位线定理得PN∥BC，PM∥AD，再由平行线的性质得∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM，然后由（1）可知∠PNM＝∠PMN，即可得出结论； （3）连接BD，取BD的中点P，连接PM、PN，由三角形中位线定理得PN∥BC，PNBC，PM∥AD，PMAD，再证△CGN是等边三角形．得CN＝GN，则DN＝GN，然后由等腰三角形的性质得∠NDG＝∠NGD＝30°，则∠CGD＝∠CGN+∠NGD＝90°，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵P是BD的中点，N是DC的中点， ∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线， ∴PNBC，PMAD， ∵AD＝BC， ∴PM＝PN， ∴∠PMN＝∠PNM； （2）证明：由（1）知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线， ∴PN∥BC，PM∥AD， ∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM， ∵∠PNM＝∠PMN， ∴∠AEM＝∠F； （3）解：△CGD是直角三角形，理由如下： 如图③，取BD的中点P，连接PM、PN， ∵N是CD的中点，M是AB的中点， ∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线， ∴PN∥BC，PNBC，PM∥AD，PMAD， ∵AD＝BC， ∴PM＝PN， ∴∠PNM＝∠PMN， ∵PM∥AD， ∴∠PMN＝∠ANM＝60°， ∴∠PNM＝∠PMN＝60°， ∵PN∥BC， ∴∠CGN＝∠PNM＝60°， 又∵∠CNG＝∠ANM＝60°， ∴△CGN是等边三角形． ∴CN＝GN， 又∵CN＝DN， ∴DN＝GN， ∴∠NDG＝∠NGDCNG＝30°， ∴∠CGD＝∠CGN+∠NGD＝90°， ∴△CGD是直角三角形． 10．（2024春•姑苏区校级期中）问题情景：老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C＝90°，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，点M，P，N分别为DE，AD， AB的中点．试判断线段PM与PN的数量关系和位置关系． 问题探究： （1）甲小组发现：图1中，线段PM与PN的数量关系是 　PM＝PN　，位置关系是 　PM⊥PN　； （2）乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把△CDE绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置，请判断△PMN的形状并证明； 问题拓展： （3）两小组的同学继续探究：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若CD＝2，当△CDE旋转到B、D、E三点共线，且时，连结EN，直接写出线段EN的长度． 【分析】（1）利用三角形中位线定理，平行线的性质解决问题即可； （2）根据SAS证明△CBD≌△CAE．推出∠CBD＝∠CAE，BD＝AE，再利用三角形的中位线定理，平行线的性质证明即可； （3）如图3，根据等腰直角三角形的性质得到∠CED＝∠CDE＝45°，求得∠CDB＝135°，由（2）知，∠CBD＝∠CAE＝135°，BD＝AE＝4，得到∠AEB＝90°，根据勾股定理得到AB2，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵点M，P，N分别为DE，AD，AB的中点， ∴PM是△ADE的中位线，PN是△ADB的中位线， ∴PM∥AE，PMAE，PN∥BD，PNBD， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴BD＝AE， ∴PM＝PN， ∵PN∥BD， ∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥AE， ∴∠DPM＝∠DAC， ∵∠BCA＝90°， ∴∠ADC+∠CAD＝90°， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠CAD+∠ADC＝90°， ∴PM⊥PN， 故答案为：PM＝PN，PM⊥PN； （2）△PMN是等腰直角三角形，理由如下： 如图2中，连接BD，AE， 由旋转知，∠BCD＝∠ACE． ∵CB＝CA，CD＝CE， ∴△CBD≌△CAE（SAS）， ∴∠CBD＝∠CAE，BD＝AE， ∵M，P，N分别为DE，AD，AB的中点， ∴PN，PM分别是△ABD，△ADE的中位线， ∴PNBD，PN∥BD，PMAE，PM∥AE， ∴PM＝PN， ∴△PMN是等腰三角形． 又∵PM∥AE，PN∥BD， ∴∠DPM＝∠DAE，∠PNA＝∠DBA， ∵∠DPN＝∠DAB+∠PNA＝∠DAB+∠DBA， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DAE+∠DAB+∠DBA＝∠BAE+∠DBA＝∠CAB+∠CAE+∠DBA＝∠CAB+∠CBD+∠DBA＝∠CAB+∠ABC， ∵∠BCA＝90°， ∴∠CAB+∠ABC＝90°． ∴∠MPN＝90°， ∴△PMN是等腰直角三角形； （3）如图3， ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CED＝∠CDE＝45°， ∴∠CDB＝135°， 由（2）知，∠CDB＝∠CEA＝135°，BD＝AE＝4， ∴∠AEB＝90°， ∵CD＝2， ∴DE＝2， ∴BE＝BD+DE＝6， ∴AB2， ∵点N是AB的中点， ∴EN． 如图4， ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CED＝∠CDE＝45°， ∴∠CEB＝135°， 由（2）知，∠CDB＝∠CEA＝45°，BD＝AE＝4， ∴∠AEB＝90°， ∵CD＝2， ∴DE＝2， ∴BE＝BD﹣DE＝2， ∴AB2， ∵点N是AB的中点， ∴EN． 综上所述，EN的长度为或． 11．（2024春•滨湖区期中）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于点E，F是AE中点． （1）线段FD与线段FC的数量关系是FD 　＝　FC，位置关系是FD 　⊥　FC； （2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其他条件不变，线段FD与线段FC的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； （3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果，BE＝2，直接写出线段BF长的取值范围 　1≤BF≤3．　． 【分析】（1）FD＝FC，DF⊥CF．理由直角三角形斜边中线定理即可证明； （2）如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM、EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．证明△ABN≌△MBE，推出 AN＝EM，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出BF的最大值、最小值即可解决问题． 【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE， ∴DF＝AF＝EF＝CF， ∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA， ∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝45°， ∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°， ∴DF＝FCDF⊥FC， 故答案为：＝，⊥； （2）线段FD与线段FC的关系不发生变化．理由如下： 如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM、EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O． ∵BC⊥AM，AC＝CM， ∴BA＝BM，同理可证BE＝BN， ∵∠ABM＝∠EBN＝90°， ∴∠NBA＝∠EBM， ∴△ABN≌△MBE（SAS）， ∴AN＝EM，∠BAN＝∠BME， ∵AF＝FE，AC＝CM，CF＝EMFC∥EM， 同理可证FD＝ANFD∥AN， ∴FD＝FC， ∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH， ∴∠BAN+∠AOH＝90°， ∴∠AHO＝90°， ∴AN⊥MH，FD⊥FC； （3）如图2﹣1，连接BF． ∵|BE﹣BF|≤BF≤BE+BF， ∴如图3时BF取得最大值，如图4时BF取得最小值；如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大． ∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°， ∴AB4， ∵BE＝2， ∴AE＝4﹣2＝2， ∵点F是AE的中点， ∴AF＝EF＝1， ∴BF的最大值＝AB﹣AF＝4﹣1＝3； 如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小． ∵AB＝4，BE＝2， ∴AE＝AB+BE＝6， ∵点F是AE的中点， ∴AF＝EF＝3， ∴BF的最小值＝AB﹣AF＝4﹣3＝1， 综上所述，1≤BF≤3． 12．（2024春•灌南县期中）[回归课本]苏科版初中数学八上教材第86页三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，即可得证． [类比迁移]（1）如图2，AD是BC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF， 求证：AC＝BF，小明发现可以类比以上思路进行证明． 证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，… 请你根据小明的思路完成证明过程． [方法运用]（2）如图3，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E为射线BC上一个动点（在点C右侧），把线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段EC′，连接BC′，点F是BC′的中点，连接AE，CF，EF． ①请你判断线段EF和AE的数量关系是 　AE＝2EF　，并说明理由； ②若菱形ABCD的边长为4，CFCE，请直接写出CF的长． 【分析】（1）延长AD至M，使MD＝FD，连接MC，证明△BDF≌△CDM（SAS），由全等三角形的性质可得出MC＝BF，∠M＝∠BFM，则可得出结论； （2）①延长EF至点M，使EF＝FM，连接BM、AM，先证△BFM≌△C′FE（SAS），得BM＝C′E，∠MBF＝∠EC′F，则BM∥C′E，再证△ABM≌△ACE（SAS），得AM＝AE，∠BAM＝∠CAE，然后证△AME是等边三角形，即可得出结论； ②分两种情况，当CF为△BC′E的中位线时，CFC′ECE，可求出答案；当CF不是△BC′E的中位线时，连接CC′，取BC的中点N，连接FN，过点E作EG⊥CC′，过点G作GI⊥CE于点I，过点F作FH⊥BC于点H，证明Rt△FCH≌Rt△GEI（HL），得出CH＝EI，则可得出答案． 【解答】（1）证明：延长AD至M，使MD＝FD，连接MC， 在△BDF和△CDM中， ， ∴△BDF≌△CDM（SAS）， ∴MC＝BF，∠M＝∠BFM， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， ∵∠EFA＝∠BFM， ∴∠M＝∠MAC， ∴AC＝MC， ∴AC＝BF； （2）①解：线段EF与AE的数量关系为：AE＝2EF， 理由：延长EF至点M，使EF＝FM，连接BM、AM， ∵点F为BC′的中点， ∴BF＝C′F， 在△BFM和△CFE中， ， ∴△BFM≌△C′FE（SAS）， ∴BM＝C′E，∠MBF＝∠EC′F， ∴BM∥C′E， ∵线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段EC， ∴CE＝C′E＝BM，∠BEC＝120°， ∴∠MBE＝180°﹣120°＝60°， ∵四边形是ABCD菱形，∠D＝60°， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABM＝∠ABC+∠MBE＝60°+60°＝120°， ∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°， ∴∠ABM＝∠ACE， 在△ABM和△ACE中， ， ∴△ABM≌△ACE（SAS）， ∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE， ∴∠MAE＝∠MAC+∠CAE＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°， ∴△AME是等边三角形， ∴AE＝EM＝2EF； 故答案为：AE＝2EF； ②解：CF的长为1或2． 当CF为△BC′E的中位线时，CFC′ECE，CF∥C′E， ∵点F是BC′的中点， ∴C为BE的中点， ∴CE＝BC＝4， ∴CFCE＝2； 如图，当CF不是△BC′E的中位线时，连接CC′，取BC的中点N，连接FN，过点E作EG⊥CC′，过点G作GI⊥CE于点I，过点F作FH⊥BC于点H， ∵△CC′E为等腰三角形，∠CEC′＝120°， ∴∠C′CE＝30°， ∴EGCE，CGCC′， ∵CFCE， ∴EG＝CF， ∵N为BC的中点，F为BC′的中点， ∴NF是△BCC′的中位线， ∴NF∥C′C，NFCC′＝CG， ∴∠CNF＝∠C′CE＝30°， ∴HFNF，GICG， ∴HF＝GI，NH＝CI， ∵FC＝GE， ∴Rt△FCH≌Rt△GEI（HL）， ∴CH＝EI， ∴NH+CH＝CI+EI，即NC＝CE， ∴CE＝NCBC＝2，即CFCE＝1， 综上所述，CF的长为1或2． 【类型四：中点四边形的应用】 13．（2024•资阳区开学）如图，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点． （1）证明：四边形EFGH为平行四边形； （2）若四边形ABCD是矩形，且其面积是8cm2，求四边形EFGH的面积． 【分析】（1）连接BD，由三角形中位线定理可得出EF＝GH，EF∥GH，由平行四边形的判定可得出结论； （2）由矩形的判定与性质得出答案． 【解答】（1）证明：（1）连接BD， ∵E、F分别为AD、AB的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴， 同理，， ∴EF＝GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形 （2）解：如图，由（1）知四边形EFGH为平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形，且E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点， ∴DH＝AF＝CH＝BF， ∴四边形AFHD和四边形HFBC都是矩形， ∴HF＝AD＝BC，EG＝AB＝DC，EG⊥FH， ∴四边形EFGH是菱形， ∴， ∵四边形ABCD的面积是8cm2， ∴AB•BC＝8（cm2）， ∴． 14．（2024春•金水区期末）在▱ABCD中，点E、F、G、H分别是 AB，BC，CD，AD的中点，连接EH，HG，GF，FE，得到四边形 EHGF． （1）求证：四边形 EHGF 是平行四边形； （2）设△ABCD对角线 AC与BD 的交点为O1，四边形EHGF对角线EG与FH的交点为O2，那么O1与O2是同一个点吗？请说明理由． 【分析】（1）连接AC，根据三角形的中位线定理证明EF∥HG且EF＝HG，即可证明四边形 EHGF 是平行四边形； （2）根据平行四边形的中心对称性可得答案． 【解答】（1）证明：连接AC， ∵点E、F、G、H分别是 AB，BC，CD，AD的中点， ∴EF和HG分别是△ABC和△ADC的中位数， ∴EF∥HG且EF＝HG， ∴四边形 EHGF 是平行四边形； （2）解：O1与O2是同一个点，理由如下： ∵▱ABCD绕点O1旋转180°后与原▱ABCD重合，▱EHGF绕点O2旋转180°后与原▱EHGF重合， ∴O1与O2是同一个点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$