第15讲 反比例函数和反比例函数的图像与性质（5个知识点+5类题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

八年级下苏科版 第15讲 反比例函数和反比例函数的图像与性质5个知识点+5类题型 课程标准 学习目标 1. 反比例函数的概念和解析式； 2. 反比例函数的图像与性质； 1.理解反比例函数的概念，并会用待定系数法求函数的解析式； 2.会画反比例函数的图像，并能根据图像说出图像的特征，并掌握反比例函数的性质； 3.能数形结合，综合运用反比例函数的性质。 知识点1：反比例函数的概念 ①一般的，形如 的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数。例如 等。 注意： ②反比例函数的3种表达形式 【即学即练】 1．（2024秋•都安县期末）下列选项中y与x是反比例关系的是（　　） A．x+y＝8 B．xy＝8 C．y＝8x D． 2．（2024秋•淄川区期末）下列函数：，y＝5﹣x，，为常数，a≠0）．其中能表示y是x的反比例函数的共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2024秋•牡丹江期末）下面各种关系中，成反比例关系的是（　　） A．铺地面积一定，每块砖的边长和砖的数量 B．如果5x＝7y，那么x和y C．车行驶的路程一定，车行驶的速度和时间 D．圆柱的体积一定，它的底面半径和高 4．（2024秋•沅江市期末）若y＝2xa﹣2为关于x的反比例函数，则a的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 5．（2024•溆浦县校级开学）已知y＝（m2+2m）x|m|﹣3是关于x的反比例函数，求（m﹣2）2023的值． 知识点2：用待定系数法求反比例函数的表达式 ①设所求的反比例函数为：； ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程； ③解出k的值； ④把k值代入函数关系式中。 【即学即练】 6．（2024•柳州一模）已知y是x的反比例函数，并且x＝2时，y＝6，求出y与x的函数解析式． 7．（2024秋•庐阳区校级期中）已知y1与x成正比例，y2与x成反比例，函数y＝y1+y2的图象经过点（1，3）、，求y与x的函数关系式． 知识点3：反比例函数的图像与性质 反比例函数 k＞0 k＜0 图像 特征 分别都是由两支曲线组成的（一般把这两个分支组成的曲线称为双曲线），它们都不与坐标轴相交 对称性 ①关于原点对称 ②关于y=x对称 ③关于y=-x对称 象限 一、三象限 二、四象限 增减性 每一支曲线在各自的象限内，y随x的增大而减小 每一支曲线在各自的象限内，y随x的增大而增大 越大，双曲线距离坐标轴越远。 【即学即练】 8．（2024秋•铜仁市期末）反比例函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 9．（2024秋•闵行区期末）已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 10．（2024秋•曲阜市期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A．点（2，1）在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．当x＜﹣1时，y＜﹣2 11．（2025•鹿城区校级一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜0，则y1•y2＜0 B．若x1+x2＞0，则y1•y2＞0 C．若y1•y2＜0，则x1•x2＜0 D．若y1•y2＞0，则x1•x2＜0 12．（2025春•香坊区校级月考）对于双曲线，在每一象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣2 B．m＞2 C．m＜﹣2 D．m＜2 13．（2023秋•新罗区校级期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数的图象上．其中x1＜x2＜0＜x3．下列结论正确的是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 14．（2024秋•秦都区期末）已知反比例函数y（k＞0），当2≤x≤3时，函数y的最大值为a，则当﹣2≤x≤﹣1时，函数y有（　　） A．最大值﹣2a B．最小值﹣2a C．最小值﹣a D．最大值 知识点4：反比例函数与正比例函数 反比例函数与正比例函数都关于原点对称，所以反比例函数与正比例函数相交于A、B两点时，A、B两点的坐标也关于原点对称。 【即学即练】 15．（2024•开福区校级三模）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（　　） A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 16．（2023•思明区校级模拟）如图，点P（3a，a）是反比例函数y（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为　 　． 知识点5：反比例函数与一次函数比较大小 比较反比例函数与一次函数的函数值大小时，从2个交点处将图像分为4部分，分别观察每一个部分的图像，图像在上面的函数值＞图像在下面的函数值 【即学即练】 17．（2024秋•临邑县期末）如图，函数y＝kx+b（k≠0）与的图象相交于点A（﹣2，3），B（6，﹣1）两点，则不等式的解集为（　　） A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞6 C．x＜6 D．x＜﹣2或0＜x＜6 18．（2025•安徽模拟）如图，反比例函数与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（1，3），B（c，﹣1），则k﹣a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【类型一：反比例函数的概念】 1．（2024秋•惠城区期末）下列函数：①y＝2x，②，③xy＝﹣2，④，⑤．其中反比例函数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2024秋•惠州期末）下面几组相关联的量中，不成反比例关系的是（　　） A．车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数 B．社团共有50名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组人数 C．圆柱体的体积为6m3，圆柱的底面积与高 D．计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 【类型二：用待定系数法求反比例函数解析式】 3．（2024秋•襄都区校级月考）在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为7.5cm时，它的另一边长为8cm． （1）设矩形相邻的两边长分别为x（cm），y（cm），求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． （2）若其中一个矩形的一条边长为5cm，求这个矩形与之相邻的另一边长． 4．（2022秋•石阡县月考）已知函数． （1）若y是关于x的正比例函数，求m的值； （2）若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式． 5．（2024•海淀区校级开学）已知y是z的反比例函数，z是x的正比例函数． （1）当时，y＝6．当x＝6时，z＝4．求y与x之间的函数关系式； （2）证明y是x的反比例函数． 6．（2024秋•邵东市月考）已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且当x＝2和x＝3时，y的值都为19，求y与变量x的函数关系式． 【类型三：反比例函数的图像与性质】 7．（2024秋•中山区期末）矩形的面积为6，它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•源城区期末）函数和y＝kx﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．（2025•柳州一模）已知反比例函数y的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．3 10．（2024秋•高新区校级月考）若点A（﹣3，a）、B（1，b）、C（2，c）都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为（　　） A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a 11．（2024秋•碧江区 期中）已知函数，，当时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣6，则ak＝（　　） A． B．9 C． D．3 12．（2024秋•张店区期末）若A（m，y1），B（m+5，y2）两点在反比例函数的图象上，则下列正确的选项是（　　） A．当m＜﹣5时，y1＞y2＞0 B．当﹣5＜m＜0时，y1＞0＞y2 C．当0＜m＜5时，y2＞0＞y1 D．当m＞5时，y2＞y1＞0 13．（2024秋•威县期末）已知反比例函数． （1）若该函数图象在第二、四象限，求k的取值范围； （2）当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？ 14．（2024秋•峰峰矿区期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小． 【类型四：反比例函数与一次函数】 15．（2024秋•丰润区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（n，﹣2）两点．当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜1 B．0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1 16．（2024秋•济南期末）如图，在直角坐标系中，直线y1＝﹣x﹣1与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接OC，过点C作CM⊥x轴，垂足为点M，且OA＝AM．则下列结论正确的个数是（　　） ①S△CMO＝1； ②当x＜0时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大； ③方程只有一个解为x＝﹣2； ④当x＜﹣2，y1＜y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【类型五：反比例函数与几何综合】 17．（2024秋•曲阜市期末）如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，OA在y轴上，点A的坐标为（0，4），将△AOB绕点A逆时针旋转60°得到△ADC，点C刚好在x轴上，点D在反比例函数y的图象上，则k的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 18．（2025•新乐市校级开学）如图，△AOB的顶点坐标分别为A（1，3），O（0，0），B（3，1）．若反比例函数的图象经过△AOB内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数），则k的取值共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 19．（2024秋•濮阳期末）如图，点A，B分别在函数，的图象上，点D，C在x轴上．若四边形ABCD为正方形．则点A的坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（﹣2，4） C．（﹣3，5） D．（﹣3，4） 20．（2025•迁安市校级开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象和菱形ABCD都在第一象限内，，B∥x轴，且BD＝4，点A的坐标为（3，5）． （1）若反比例函数（x＞0）的图象经过点C，求此反比例函数的解析式； （2）若将菱形ABCD向下平移m（m＞0）个单位长度，使菱形ABCD的两个顶点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m及此时k的值． 1．（2025•海淀区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，当x≤﹣1时，对于x的每一个值，反比例函数的值大于一次函数y＝2x﹣2的值，则m的取值范围是 　 　． 2．（2025•栾城区校级开学）已知点M（a1，b1），N（a2，b2）为反比例函数图象上的两个点，并且a1＜a2，则关于b1和b2关系的描述正确的是（　　） A．b1＞b2 B．b1＜b2 C．当a1＜0＜a2时，b1＞b2 D．当0＜a1＜a2时，b1＞b2 3．（2024秋•邵阳期末）定义：在平面直角坐标系中，将点P绕原点逆时针旋转90°后得到的点P′称为点P的孪生点，连接PP′形成的直线称为孪生线，当直线PP′与函数L的图象有交点时，此时的孪生线称为和谐直线．给出下列四个结论： ①若点P的坐标为（1，0），则点P的孪生点P′的坐标为（0，1）； ②若点P的孪生点P′的坐标为（0，﹣3），则点P的坐标为（3，0）； ③若点P的坐标为（0，4），则孪生线PP′的解析式为y＝x+4； ④若点P的坐标为（2，0），且函数L的解析式为，则孪生线PP′是和谐直线． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025•碑林区校级一模）如图，直线与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°至线段BC，若点C恰好也在反比例函数图象上，则k的值为 　 　． 5．（2024秋•怀化期末）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系xOy中，双曲线与直线y＝3x交于第一象限内的点A，点P在射线OA上，分别过点P作x轴、y轴的垂线，交双曲线于点B、C，将线段PB、PC和函数的图象在B、C之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域W．如果区域W内恰有8个整点，那么点P的横坐标x的取值范围是　 ． 6．（2024秋•温岭市期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、B落在反比例函数的图象上，则正方形OABC的面积为（　　） A．6 B．5 C． D． 7．（2024秋•织金县期末）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥OB交y轴于点A，BC⊥OC，∠AOB＝∠BOC＝30°，AB＝1，反比例函数恰好经过点C，则k的值为（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•濉溪县期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集 　 　； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求△ABC的面积． 9．（2024秋•长沙县期末）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，a），B（b，﹣1），过点A作x轴的垂线，垂足为C，△AOC的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）在y轴上取一点P，使|PB|﹣|PA|取得最大值，求出此时点P的坐标． 10．（2024•东兴区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：yx与反比例函数y的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标是﹣4； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出x的解集； （3）将直线l1：yx沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式． 11．（2024秋•宽城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx+1与双曲线y（k＞0）相交于点A，B，已知点B（a，﹣2），点C在x轴正半轴上，点D（2，﹣3），连接OA，OD，DC，AC，四边形AODC为菱形． （1）反比例函数的表达式为 　 　； （2）不等式mx+1的解集是 　 　； （3）设P是y轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，则点P的坐标为 　 　． 12．（2023春•赣榆区校级月考）如图，四边形ABCD为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且OA＝2，OB＝4，反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点D． （1）求反比例函数的关系式； （2）将正方形ABCD沿x轴负方向平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图形上． 13．（2023春•信丰县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC＝90°．点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（3，4），M是BC边的中点，函数y（x＞0）的图象经过点M． （1）求k的值； （2）将△ABC绕某个点旋转180°后得到△DEF（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F），且EF在y轴上，点D在函数y（x＞0）的图象上，求直线DF的表达式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下苏科版 第15讲 反比例函数和反比例函数的图像与性质5个知识点+5类题型 课程标准 学习目标 1. 反比例函数的概念和解析式； 2. 反比例函数的图像与性质； 1.理解反比例函数的概念，并会用待定系数法求函数的解析式； 2.会画反比例函数的图像，并能根据图像说出图像的特征，并掌握反比例函数的性质； 3.能数形结合，综合运用反比例函数的性质。 知识点1：反比例函数的概念 ①一般的，形如 的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数。例如 等。 注意： ②反比例函数的3种表达形式 【即学即练】 1．（2024秋•都安县期末）下列选项中y与x是反比例关系的是（　　） A．x+y＝8 B．xy＝8 C．y＝8x D． 【分析】根据反比例关系的定义“y与x的积是一个常数，则y与x是反比例关系”，进行判断即可． 【解答】解：A、y与x不是反比例关系，不符合题意； B、y与x是反比例关系，符合题意； C、y与x是正比例关系，不符合题意； D、y与x不是反比例关系，不符合题意； 故选：B． 2．（2024秋•淄川区期末）下列函数：，y＝5﹣x，，为常数，a≠0）．其中能表示y是x的反比例函数的共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据反比例函数的定义即可作答． 【解答】解：根据反比例函数的定义可得，，为常数，a≠0）是反比例函数． 则能表示y是x的反比例函数的共有3个． 故选：B． 3．（2024秋•牡丹江期末）下面各种关系中，成反比例关系的是（　　） A．铺地面积一定，每块砖的边长和砖的数量 B．如果5x＝7y，那么x和y C．车行驶的路程一定，车行驶的速度和时间 D．圆柱的体积一定，它的底面半径和高 【分析】两个量的乘积一定时，成反比例关系，两个量的比值一定时，成正比例关系．根据题意逐项分析判断，即可求解． 【解答】解：A、因为铺地面积S＝a2n（a为边长，n为砖的数量），当铺地面积一定时，每块砖的边长和砖的数量不成反比例； B、如果5x＝7y，则，因此x和y不成反比例； C、因为车行驶的路程S＝vt（v为车行驶的速度，t为时间），当车行驶的路程一定，车行驶的速度和时间成反比例； D、因为圆柱的体积V＝πr2h（r是底面半径，h是高），当圆柱的体积一定，它的底面半径和高不成反比例． 故选：C． 4．（2024秋•沅江市期末）若y＝2xa﹣2为关于x的反比例函数，则a的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据反比例函数的定义得出关于a的方程，求出a的值即可． 【解答】解：∵y＝2xa﹣2为关于x的反比例函数， ∴a﹣2＝﹣1， 解得a＝1． 故选：C． 5．（2024•溆浦县校级开学）已知y＝（m2+2m）x|m|﹣3是关于x的反比例函数，求（m﹣2）2023的值． 【分析】根据反比例函数的定义：形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，得到，求出m＝2，然后代入求解即可． 【解答】解：因为y＝（m2+2m）x|m|﹣3是关于x的反比例函数， 所以，解得，， 所以m＝2， 所以（m﹣2）2023＝（2﹣2）2023＝0． 知识点2：用待定系数法求反比例函数的表达式 ①设所求的反比例函数为：； ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程； ③解出k的值； ④把k值代入函数关系式中。 【即学即练】 6．（2024•柳州一模）已知y是x的反比例函数，并且x＝2时，y＝6，求出y与x的函数解析式． 【分析】先设该函数解析式为y，再运用反比例函数的定义进行求解． 【解答】解：设该函数解析式为y， 得6， 解得k＝12， ∴y与x的函数解析式为y． 7．（2024秋•庐阳区校级期中）已知y1与x成正比例，y2与x成反比例，函数y＝y1+y2的图象经过点（1，3）、，求y与x的函数关系式． 【分析】根据题意设y1＝k1x（k1≠0），，则，再代入点（1，3）、解方程组即可． 【解答】解：设y1＝k1x（k1≠0），， ∴， 由条件可得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为． 知识点3：反比例函数的图像与性质 反比例函数 k＞0 k＜0 图像 特征 分别都是由两支曲线组成的（一般把这两个分支组成的曲线称为双曲线），它们都不与坐标轴相交 对称性 ①关于原点对称 ②关于y=x对称 ③关于y=-x对称 象限 一、三象限 二、四象限 增减性 每一支曲线在各自的象限内，y随x的增大而减小 每一支曲线在各自的象限内，y随x的增大而增大 越大，双曲线距离坐标轴越远。 【即学即练】 8．（2024秋•铜仁市期末）反比例函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的k＝8＞0，可知反比例函数的图象是双曲线且在第一、三象限，根据各选项的图象和图象所在的象限判断即可． 【解答】解：反比例函数的大致图象是双曲线，且在第一、三象限， A、是正比例函数图象，故A选项不符合题意； B、是正比例函数图象，故B选项不符合题意； C、是双曲线，且在第一、三象限，故C选项符合题意； D、是双曲线，但是在第二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：C． 9．（2024秋•闵行区期末）已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，在确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案． 【解答】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴k＜0， ∴双曲线在第二、四象限， ∴函数y＝kx的图象经过第二、四象限， 故选：B． 10．（2024秋•曲阜市期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A．点（2，1）在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．当x＜﹣1时，y＜﹣2 【分析】根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可． 【解答】解：根据反比例函数的图象与性质逐一判断如下： A、当x＝2时，y＝1， ∴点（2，1）在它的图象上，故原选项正确，不符合题意； B、由可知，2＞0， 则它的图象在第一、三象限，故原选项正确，不符合题意； C、由可知，2＞0， ∴当x＞0时，y随x的增大而减小，故原选项正确，不符合题意； D、当x＜﹣1时，y＞﹣2，故原选项错误，符合题意． 故选：D． 11．（2025•鹿城区校级一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜0，则y1•y2＜0 B．若x1+x2＞0，则y1•y2＞0 C．若y1•y2＜0，则x1•x2＜0 D．若y1•y2＞0，则x1•x2＜0 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵反比例函数的常量k＜0， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数图象上， ∴x1y1＜0，x2y2＜0， A、若x1+x2＜0，则y1•y2＞0或y1•y2＜0，选项错误，不符合题意； B、若x1+x2＞0，则y1•y2＞0或y1•y2＜0，选项错误，不符合题意； C、若y1•y2＜0，则x1•x2＜0，选项正确，符合题意； D、若y1•y2＞0，则x1•x2＞0，选项错误，不符合题意； 故选：C． 12．（2025春•香坊区校级月考）对于双曲线，在每一象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣2 B．m＞2 C．m＜﹣2 D．m＜2 【分析】先根据反比例函数的性质得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵双曲线，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∴m﹣2＜0， 解得m＜2． 故选：D． 13．（2023秋•新罗区校级期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数的图象上．其中x1＜x2＜0＜x3．下列结论正确的是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【分析】依据反比例函数为可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，进而得到y1，y2，y3的大小关系． 【解答】解：∵反比例函数， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大， 又∵x1＜x2＜0＜x3， ∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，y1＜y2， ∴y3＜y1＜y2， 故选：A． 14．（2024秋•秦都区期末）已知反比例函数y（k＞0），当2≤x≤3时，函数y的最大值为a，则当﹣2≤x≤﹣1时，函数y有（　　） A．最大值﹣2a B．最小值﹣2a C．最小值﹣a D．最大值 【分析】根据反比例函数在一，三象限，在每一个象限内，y随着x的值的增大而减小性质，可求得k＝a，进而可判断：当x＝﹣2时，函数有最大值ya，当x＝﹣1时，函数有最小值y2a． 【解答】解：∵y（k＞0）， ∴反比例函数在一，三象限，在每一个象限内，y随着x的值的增大而减小， ∵当2≤x≤3时，函数y的最大值是a， ∴当x＝2时，y＝a， ∴k＝2×a＝2a， 当﹣2≤x≤﹣1时，反比例函数在第三象限， ∴当x＝﹣2时，函数有最大值ya，当x＝﹣1时，函数有最小值y2a． 故选：B． 知识点4：反比例函数与正比例函数 反比例函数与正比例函数都关于原点对称，所以反比例函数与正比例函数相交于A、B两点时，A、B两点的坐标也关于原点对称。 【即学即练】 15．（2024•开福区校级三模）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（　　） A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（1，﹣2）， ∴另一个交点的坐标是（﹣1，2）． 故选：B． 16．（2023•思明区校级模拟）如图，点P（3a，a）是反比例函数y（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为　y　． 【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值． 【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得： πr2＝10π 解得：r＝2． ∵点P（3a，a）是反比例函数y（k＞0）与⊙O的一个交点． ∴3a2＝k． r ∴a2（2）2＝4． ∴k＝3×4＝12， 则反比例函数的解析式是：y． 故答案为：y． 知识点5：反比例函数与一次函数比较大小 比较反比例函数与一次函数的函数值大小时，从2个交点处将图像分为4部分，分别观察每一个部分的图像，图像在上面的函数值＞图像在下面的函数值 【即学即练】 17．（2024秋•临邑县期末）如图，函数y＝kx+b（k≠0）与的图象相交于点A（﹣2，3），B（6，﹣1）两点，则不等式的解集为（　　） A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞6 C．x＜6 D．x＜﹣2或0＜x＜6 【分析】结合图象，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：∵函数y＝kx+b（k≠0）与的图象相交于点A（﹣2，3），B（6，﹣1）两点， ∴不等式的解集为：x＜﹣2或0＜x＜6， 故选：D． 18．（2025•安徽模拟）如图，反比例函数与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（1，3），B（c，﹣1），则k﹣a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，则可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，把A、B坐标代入一次函数解析式可求得a、b，进一步求得k﹣a的值． 【解答】解：∵点A（1，3）在反比例函数图象上， ∴k＝1×3＝3， ∴反比例函数解析式为y， ∵B（c，﹣1）在反比例函数图象上， ∴c＝﹣3， ∴B（﹣3，﹣1）， ∵A、B在一次函数图象上， ∴，解得， ∴k﹣a＝3﹣1＝2． 故选：A． 【类型一：反比例函数的概念】 1．（2024秋•惠城区期末）下列函数：①y＝2x，②，③xy＝﹣2，④，⑤．其中反比例函数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据反比例函数的定义即可作答． 【解答】解：①是正比例函数，不是反比例函数； ②是反比例函数； ③是反比例函数； ④y是x+1反比例函数； ⑤y﹣3是x反比例函数； 所以反比例函数有2个． 故选：C． 2．（2024秋•惠州期末）下面几组相关联的量中，不成反比例关系的是（　　） A．车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数 B．社团共有50名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组人数 C．圆柱体的体积为6m3，圆柱的底面积与高 D．计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可． 【解答】解：A、加工时间×每天加工的零件个数＝800，则加工时间与每天加工的零件个数的乘积是定值，此选项正确，成反比例关系，不符合题意； B、组数×每组人数＝50，则组数与每组人数的乘积是定值，成反比例关系，此选项正确，不符合题意； C、底面积×高＝6，则底面积与高的乘积是定值，成反比例关系，此选项正确，不符合题意； D、购买苹果的金额+购买香蕉的金额＝100，则购买苹果的金额与购买香蕉的金额的和是定值，不成反比例关系，此选项错误，符合题意， 故选：D． 【类型二：用待定系数法求反比例函数解析式】 3．（2024秋•襄都区校级月考）在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为7.5cm时，它的另一边长为8cm． （1）设矩形相邻的两边长分别为x（cm），y（cm），求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． （2）若其中一个矩形的一条边长为5cm，求这个矩形与之相邻的另一边长． 【分析】根据反比例函数的定义即可求解． 【解答】解：（1）设矩形的面积为S cm2，则S＝7.5×8＝60， 即xy＝60，y， 即y关于x的函数解析式是y，这个函数是反比例函数，系数为60； （2）当x＝5时，y12， 故这个矩形与之相邻的另一边长为12． 4．（2022秋•石阡县月考）已知函数． （1）若y是关于x的正比例函数，求m的值； （2）若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式． 【分析】（1）根据y＝kx（k是不等于零的常数）是正比例函数，可得答案； （2）根据y（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式． 【解答】解：（1）由y＝（m2﹣2m）是正比例函数，得 m2﹣m﹣1＝1且m2﹣2m≠0， 解得m＝﹣1； （2）由y＝（m2﹣2m）是反比例函数，得 m2﹣m﹣1＝﹣1且m2﹣2m≠0， 解得m＝1． 故y与x的函数关系式y＝﹣x﹣1． 5．（2024•海淀区校级开学）已知y是z的反比例函数，z是x的正比例函数． （1）当时，y＝6．当x＝6时，z＝4．求y与x之间的函数关系式； （2）证明y是x的反比例函数． 【分析】（1）依题意设（a≠0），z＝bx（b≠0），根据时，y＝6，x＝6时，z＝4求出a＝﹣4，b＝4/6＝2/3，则①，②，将②代入①即可得出y与x之间的函数关系式； （2）由（1）得（a≠0），z＝bx（b≠0），则，由此即可得出结论． 【解答】（1）解：∵y是z的反比例函数， ∴设（a≠0）， ∵当时，y＝6， ∴a4， ∴①， ∵z是x的正比例函数， ∴设z＝bx（b≠0）， 又∵当x＝6时，z＝4， ∴， ∴②， 将②代入①，得：； （2）证明：由（1）得：（a≠0），z＝bx， ∴， ∴y是x的反比例函数． 6．（2024秋•邵东市月考）已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且当x＝2和x＝3时，y的值都为19，求y与变量x的函数关系式． 【分析】设y1＝ax（a≠0），y2（k≠0），代入得出y＝ax，把x、y的值代入，求出a和k的值即可． 【解答】解：∵y1与x成正比例，y2与x2成反比例， ∴设y1＝ax（a≠0），y2（k≠0）， ∴y＝y1+y2＝ax， ∵当x＝2和x＝3时，y的值都为19， ∴， 解得a＝5，k＝36， 所以y与变量x的函数关系式是． 【类型三：反比例函数的图像与性质】 7．（2024秋•中山区期末）矩形的面积为6，它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意y，（x＞0），所以y是x的反比例函数，由此即可解决问题． 【解答】解：由题意y，（x＞0）， 所以y是x的反比例函数，图象在第一象限， 故选：D． 8．（2024秋•源城区期末）函数和y＝kx﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质、一次函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合题意． 【解答】解：当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故选项C不符合题意．选项D符合题意； 当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故选项A、B均不符合题意； 故选：D． 9．（2025•柳州一模）已知反比例函数y的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．3 【分析】直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，进而得出n的取值范围，即可得出答案． 【解答】解：∵反比例函数y的图象位于第一、三象限， ∴n﹣2＞0， 解得：n＞2． 故n的取值可以是：3． 故选：D． 10．（2024秋•高新区校级月考）若点A（﹣3，a）、B（1，b）、C（2，c）都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为（　　） A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a 【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数常数k＝﹣m2﹣3＜0， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵A（﹣3，a）在第二象限， ∴a＞0， ∵B（1，b）、C（2，c）在第四象限， ∴0＞c＞b， ∴b＜c＜a． 故选：D． 11．（2024秋•碧江区 期中）已知函数，，当时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣6，则ak＝（　　） A． B．9 C． D．3 【分析】根据题意可得函数经过第一、三象限，在每个象限内y1随x增大而减小，经过第二、四象限，在每个象限内y2随x增大而增大，则，解方程组即可得到答案． 【解答】解：由条件可知：函数经过第一、三象限，在每个象限内y1随x增大而减小，经过第二、四象限，在每个象限内y2随x增大而增大， ∵当时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣6， ， ∴， ∴ak＝3， 故选：D． 12．（2024秋•张店区期末）若A（m，y1），B（m+5，y2）两点在反比例函数的图象上，则下列正确的选项是（　　） A．当m＜﹣5时，y1＞y2＞0 B．当﹣5＜m＜0时，y1＞0＞y2 C．当0＜m＜5时，y2＞0＞y1 D．当m＞5时，y2＞y1＞0 【分析】根据反比例函数的解析式得到反比例函数经过第二、四象限，每个象限y随x的增大而增大，由此即可求解． 【解答】解：反比例函数k＝﹣5＜0， ∴图象经过第二、四象限，每个象限y随x的增大而增大， 当m＜﹣5时，0＜y1＜y2，故A选项错误，不符合题意； 当，﹣5＜m＜0时，y1＞0＞y2，故B选项正确，符合题意； 当m＞0时，y1＜y2＜0，故C，D选项错误，不符合题意； 故选：B． 13．（2024秋•威县期末）已知反比例函数． （1）若该函数图象在第二、四象限，求k的取值范围； （2）当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？ 【分析】（1）根据反比例函数的性质求解即可； （2）根据反比例函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴2k+1＜0， 解得：； （2）∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小， ∴2k+1＞0， ∴． 14．（2024秋•峰峰矿区期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小． 【分析】（1）根据反比例函数的图象即可得出k﹣2＜0，即可求出答案； （2）根据反比例函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k﹣2＜0， ∴k＜2； （2）∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， ∵﹣4＜﹣1＜0， ∴y1＜y2． 【类型四：反比例函数与一次函数】 15．（2024秋•丰润区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（n，﹣2）两点．当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜1 B．0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1 【分析】将A（2，1）代入，求出m的值可得反比例函数的解析式．将B（﹣1，n）代入反比例函数的解析式，求出n的值，结合图象可直接得出答案． 【解答】解：将A（﹣2，1）代入， 得m＝﹣2， ∴反比例函数的表达式为y， 将B（n，﹣2）代入y， 得n＝1， ∴B（1，﹣2）， ∴当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1， 故选：D． 16．（2024秋•济南期末）如图，在直角坐标系中，直线y1＝﹣x﹣1与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接OC，过点C作CM⊥x轴，垂足为点M，且OA＝AM．则下列结论正确的个数是（　　） ①S△CMO＝1； ②当x＜0时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大； ③方程只有一个解为x＝﹣2； ④当x＜﹣2，y1＜y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据题意当y＝0，可求出x的值，即可得出A点的坐标，即可得出AO的长度，根据题意可知MO的长度，即可得出点M的坐标，由一次函数解析式即可算出点C的坐标，即可得出CM的长度，即可计算出△CMO的面积，即可判定①的结论是否正确；根据图象的增减性即可得出②的结论是否正确；由一次函数与反比例函数的交点坐标即可得出③结论是否正确；由图象可知比较函数的大小即可得出④结论是否正确． 【解答】解：当y＝0时，x＝﹣1， ∴点A（﹣1，0）， ∴AO＝1， ∵AO＝MA， ∴MO＝2AO＝2， ∴点M（﹣2，0）， 把点x＝﹣2代入y＝﹣x﹣1中， 得y＝1， ∴点C（﹣2，1），CM＝1， ∴， ∴①结论正确； 由图象可知，当x＜0时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大， ∴②结论正确； 解方程可得：x2+x+k＝0，Δ＝12﹣4k＞0，有两个解， ∴③结论错误； 由图象可知，当x＜﹣2，y1＞y2， ∴④结论错误． 故选：B． 【类型五：反比例函数与几何综合】 17．（2024秋•曲阜市期末）如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，OA在y轴上，点A的坐标为（0，4），将△AOB绕点A逆时针旋转60°得到△ADC，点C刚好在x轴上，点D在反比例函数y的图象上，则k的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【分析】作DE⊥x轴于E，如图，根据旋转的性质得到AB＝AC，AD＝AO，OB＝CD，利用等腰三角形三线合一的性质得出OB＝OC，进一步得出OC＝CD，即可证得Rt△AOC≌Rt△ADC（HL），得出∠OAC＝∠DAC＝30°，在Rt△ACO中利用直角三角函数得到CD＝OCOA，通过解直角三角形CDE，确定CE、DE，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征可计算出k的值． 【解答】解：作DE⊥x轴于E， ∵点A的坐标为（0，4）， ∴OA＝4， ∵将△AOB绕点A逆时针旋转60°得到△ADC，点C刚好在x轴上， ∴AB＝AC，AD＝AO，OB＝CD， ∵AB＝AC，AO⊥BC， ∴OB＝OC， ∴OC＝CD， ∵∠AOC＝∠ADC＝90°， ∴Rt△AOC≌Rt△ADC（HL）， ∴∠OAC＝∠DAC， ∵∠OAD＝60°， ∴∠OAC＝∠DAC＝30°， ∴∠ACO＝∠ACD＝60°， ∴OCOA，∠DCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴CD， ∴CE，DECD＝2， ∴OE＝OC+CE2， ∴D（2，2）， ∵点D在反比例函数y的图象上， ∴k＝24． 故选：D． 18．（2025•新乐市校级开学）如图，△AOB的顶点坐标分别为A（1，3），O（0，0），B（3，1）．若反比例函数的图象经过△AOB内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数），则k的取值共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据题意，找到符合条件整点即可得到k的个数． 【解答】解：∵△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（1，3），B（3，1），点P为△OAB内部或边界上的整点， ∴这样的整点有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，2）， ∵反比例函数的图象经过△AOB内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数）， ∴k值有1，2，3，4，共4个． 故选：B． 19．（2024秋•濮阳期末）如图，点A，B分别在函数，的图象上，点D，C在x轴上．若四边形ABCD为正方形．则点A的坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（﹣2，4） C．（﹣3，5） D．（﹣3，4） 【分析】设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n，根据点A，B分别在函数，的图象上得，，根据四边形ABCD为正方形得，解得n＝5，得点A的纵坐标为5，将n＝5代入，进行计算即可得． 【解答】解：设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n， ∵点A，B分别在两个反比例函数的图象上， ∴，， ∴， n2＝25， n＝5，n＝﹣5（舍）， ∴点A的纵坐标为5， 将n＝5代入得，， x＝﹣3， ∴A（﹣3，5）， 故选：C． 20．（2025•迁安市校级开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象和菱形ABCD都在第一象限内，，B∥x轴，且BD＝4，点A的坐标为（3，5）． （1）若反比例函数（x＞0）的图象经过点C，求此反比例函数的解析式； （2）若将菱形ABCD向下平移m（m＞0）个单位长度，使菱形ABCD的两个顶点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m及此时k的值． 【分析】（1）根据已知求出B、C、D点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）表示出相应的平移后A、B、C、D对应的点的坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解． 【解答】解：（1）连接AC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AE＝CE，BE＝DE， ∵反比例函数的图象和菱形ABCD都在第一象限内，，BD∥x轴，BD＝4， ∴AB＝AC，BE＝DE＝2， ∴CE＝AE， ∵点A（3，5）， ∴B（1，），D（5，）， ∴C（3，2）， 若反比例函数（x＞0）的图象经过点C，则k＝3×2＝6， ∴反比例函数的解析式为y； （2）∵点A（3，5）．D（5，）， 将菱形ABCD向下平移m（m＞0）个单位长度， ∴A′（3，5﹣m），B′（1，m），C′（3，2﹣m），D′（5，m）， 当A′，D′两点同时落在反比例函数图象上时， ∴3（5﹣m）＝5（m）， ∴m， ∴A′（3，）， k＝3． 当B′，C′两点同时落在反比例函数图象上时，则B′（1，）， ∴k＝1． 故m的值为，此时k的值为或． 1．（2025•海淀区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，当x≤﹣1时，对于x的每一个值，反比例函数的值大于一次函数y＝2x﹣2的值，则m的取值范围是 　0＜m＜4　． 【分析】把x＝﹣1代入y＝2x﹣2，求得y＝﹣4，然后把点（﹣1，﹣4）代入求得m的值，结合图象即可求得． 【解答】解：把x＝﹣1代入y＝2x﹣2，得y＝﹣4， 把x＝﹣1，y＝﹣4代入得，m＝4， ∵当x≤﹣1时，对于x的每一个值，反比例函数的值大于一次函数y＝2x﹣2的值， ∴0＜m＜4； 故答案为：0＜m＜4． 2．（2025•栾城区校级开学）已知点M（a1，b1），N（a2，b2）为反比例函数图象上的两个点，并且a1＜a2，则关于b1和b2关系的描述正确的是（　　） A．b1＞b2 B．b1＜b2 C．当a1＜0＜a2时，b1＞b2 D．当0＜a1＜a2时，b1＞b2 【分析】利用反比例函数图象的增减性解答． 【解答】解：∵k＜0， ∴该反比例函数图象经过第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ①若点（a1，b1）和（a2，b2）同位于第二象限，由a1＜a2＜0，得到：b1＜b2． ②若点（a1，b1）和（a2，b2）同位于第四象限，由0＜a1＜a2，得到：b1＜b2． ③若点（a1，b1）位于第二象限，点（a2，b2）位于第四象限，由a1＜0＜a2，得到：b1＞b2． 故选：C． 3．（2024秋•邵阳期末）定义：在平面直角坐标系中，将点P绕原点逆时针旋转90°后得到的点P′称为点P的孪生点，连接PP′形成的直线称为孪生线，当直线PP′与函数L的图象有交点时，此时的孪生线称为和谐直线．给出下列四个结论： ①若点P的坐标为（1，0），则点P的孪生点P′的坐标为（0，1）； ②若点P的孪生点P′的坐标为（0，﹣3），则点P的坐标为（3，0）； ③若点P的坐标为（0，4），则孪生线PP′的解析式为y＝x+4； ④若点P的坐标为（2，0），且函数L的解析式为，则孪生线PP′是和谐直线． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】将点P（1，0）绕原点逆时针旋转90°即可判断①；将点P的孪生点P′（0，﹣3）绕原点顺时针旋转90°即可判断②；求出点P′的坐标，再根据待定系数法求出直线PP′的解析式即可判断③；求出直线PP′的解析式与函数L的解析式联立，判断是否有解，即可确定④． 【解答】解：①将点P绕原点逆时针旋转90°后得到（0，1），则点P的孪生点P′的坐标为（0，1），故①正确； ②若点P的孪生点P′绕原点顺时针旋转90°后得到（﹣3，0），则点P的坐标为（﹣3，0），故②错误； ③若点P的坐标为（0，4），则点P的孪生点P′的坐标为（﹣4，0）， 设直线PP′的解析式为y＝kx+4，代入（﹣4，0）得0＝﹣4k+4，解得：k＝1， 孪生线PP′的解析式为y＝x+4，故③正确； ④若点P的坐标为（2，0），则点P′的坐标为（0，2）， 设直线PP′的解析式为y＝k′x+2，代入（2，0）得0＝2k′+2，解得：k′＝﹣1， PP′：y＝﹣x+2， 联立PP′的解析式y＝﹣x+2和函数L的解析式， 整理可得x2﹣2x+3＝0， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＜0， ∴直线PP′与函数L的图象无交点， 则孪生线PP′不是和谐直线，故④错误． 故选：B． 4．（2025•碑林区校级一模）如图，直线与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°至线段BC，若点C恰好也在反比例函数图象上，则k的值为 　24　． 【分析】先判断出△ABD≌△BCE（AAS），得出AD＝BE，BD＝CE，再判断出点B的坐标，设点A（m，），进而得出点C（12，m﹣8），再代入y即可得到k＝（12）（m﹣8）＝m（），即可求得m的值，进一步求得k的值． 【解答】解：如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点A作AD⊥x轴于D， ∴∠BEC＝∠BDA＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝90°， 由旋转知，AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝∠CBE， ∴△ABD≌△BCE（AAS）， ∴AD＝BE，BD＝CE， ∵直线与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B， ∴B（8，0）， 设点A（m，）， ∴OA＝m，AD， ∴CE＝BD＝m﹣8，BE＝AD， ∴OE＝8﹣（）＝12， ∴点C（12，m﹣8）， ∵点A、C在反比例函数y 的图象上， ∴k＝（12）（m﹣8）＝m（）， 整理得m2﹣20m+96＝0， 解得m＝12或m＝8（舍去）， ∴A（12，2）， ∴k＝12×2＝24． 故答案为：24． 5．（2024秋•怀化期末）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系xOy中，双曲线与直线y＝3x交于第一象限内的点A，点P在射线OA上，分别过点P作x轴、y轴的垂线，交双曲线于点B、C，将线段PB、PC和函数的图象在B、C之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域W．如果区域W内恰有8个整点，那么点P的横坐标x的取值范围是　　． 【分析】由图可知点P不可能在点A下方，故点P在点A上方，结合函数图象列出不等式组求解即可． 【解答】解：区域W内恰有8个整点，由图可知点P只能位于A的上方如图： 如图，当P的纵坐标为7时，横坐标为x， 结合图象可知，当2＜x时，区域内有8个整数点． 故答案为：2＜x． 6．（2024秋•温岭市期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、B落在反比例函数的图象上，则正方形OABC的面积为（　　） A．6 B．5 C． D． 【分析】如图，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥AM于点N．证明△AMO≌△BNA（AAS），推出AM＝BN，OM＝AN，设A（m，n），则B（m﹣n，m+n），构建方程组求解即可． 【解答】解：如图，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥AM于点N． ∵四边形ABCO是正方形， ∴∠OAB＝90°，AB＝AO， ∵∠ANB＝∠AMO＝90°， ∴∠OAM+∠AOM＝90°，∠OAM+∠BAN＝90°， ∴∠AOM＝∠BAN， ∴△AMO≌△BNA（AAS）， ∴AM＝BN，OM＝AN， 设A（m，n），则B（m﹣n，m+n）， ∵A，B在反比例函数y上， ∴， 解得m2，n2， ∴OA2＝m2+n25， ∴正方形ABCO的面积为5． 故选：B． 7．（2024秋•织金县期末）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥OB交y轴于点A，BC⊥OC，∠AOB＝∠BOC＝30°，AB＝1，反比例函数恰好经过点C，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据勾股定理，算出点C的横坐标和纵坐标，即可求出k的值． 【解答】解：在Rt△AOB中， ∠AOB＝30°，AB＝1， ∴AO＝1×2＝2， BO； 在Rt△COB中， ∠COB＝30°，BO， ∴BC， OC． ∴C点的纵坐标为：； C点的横坐标为：， ∴k， 故选：B． 8．（2024秋•濉溪县期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集 　x＜﹣3或0＜x＜2　； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求△ABC的面积． 【分析】（1）把A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值即可； （2）利用图象找出所求不等式的解集即可； （3）以BC为底，A与B横坐标相减为高求出三角形面积即可． 【解答】解：（1）把A（2，3）代入反比例解析式得：m＝6， ∴反比例解析式为y， 把B（﹣3，n）代入反比例解析式得：n＝﹣2，即B（﹣3，﹣2）， 把A与B代入一次函数解析式得：， 解得：k＝1，b＝1，即一次函数解析式为y＝x+1； （2）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）， ∴由图象得：kx+b的解集为x＜﹣3或0＜x＜2， 故答案为：x＜﹣3或0＜x＜2； （3）根据题意得：△ABC的面积S|﹣2|×[2﹣（﹣3）]＝5． 9．（2024秋•长沙县期末）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，a），B（b，﹣1），过点A作x轴的垂线，垂足为C，△AOC的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）在y轴上取一点P，使|PB|﹣|PA|取得最大值，求出此时点P的坐标． 【分析】（1）根据点A的坐标可知，OC＝2，AC＝a，根据△AOC的面积为4，可求出a的值，从而求出反比例函数解析式，将点B的坐标代入即可求出b的值； （2）设点P（0，c），作点A关于y轴的对称点A′，当点P，A′，B三点共线时，|PA﹣PB|取得最大值，运用待定系数法求出A′B所在直线的解析，令x＝0，即可求解点P的坐标． 【解答】解：（1）（1）点A（﹣2，a）在第二象限，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4， ∴OC＝2，AC＝a， ∴S△AOC＝4OC•a，解得a＝4，即A（﹣2，4）， ∵点A（﹣2，4）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上， ∴4，解得k＝﹣8， ∴反比例函数y， ∵点B（b，﹣1）在反比例函数y的图象上， ∴b＝8， ∴a＝4，b＝8； （2）如图所示，作点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′， ∴A′（2，4），且点B（8，﹣1）， 设A′B所在直线的解析式为y＝ex+f（e≠0）， ∴，解得， ∴直线A′B的解析式为y＝﹣，yx， 当点P，A′，B三点共线时，|PA﹣PB|取得最大值，且点P在y轴上， ∴令x＝0时，y， ∴点P的坐标为（0，）． 10．（2024•东兴区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：yx与反比例函数y的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标是﹣4； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出x的解集； （3）将直线l1：yx沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式． 【分析】（1）直线l1经过点A，且A点的纵坐标是2，可得A（﹣4，2），代入反比例函数解析式可得k的值； （2）依据直线l1：yx与反比例函数y的图象交于A，B两点，即可得到不等式x的解集为x＜﹣4或0＜x＜4； （3）设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，依据CD∥AB，即可得出△ABC的面积与△ABD的面积相等，求得D（15，0），即可得出平移后的直线l2的函数表达式． 【解答】解：（1）∵直线l1：yx经过点A，A点的横坐标是﹣4， ∴当x＝﹣4时，y＝2， ∴A（﹣4，2）， ∵反比例函数y的图象经过点A， ∴k＝﹣4×2＝﹣8， ∴反比例函数的表达式为y； （2）∵直线l1：yx与反比例函数y的图象交于A，B两点， ∴B（4，﹣2）， ∴不等式x的解集为x＜﹣4或0＜x＜4； （3）如图，设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD， ∵CD∥AB， ∴△ABC的面积与△ABD的面积相等， ∵△ABC的面积为30， ∴S△ABD＝S△AOD+S△BOD＝30，即OD（|yA|+|yB|）＝30， ∴OD×4＝30， ∴OD＝15， ∴D（15，0）， 设平移后的直线l2的函数表达式为yx+b， 把D（15，0）代入，可得015+b， 解得b， ∴平移后的直线l2的函数表达式为yx． 11．（2024秋•宽城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx+1与双曲线y（k＞0）相交于点A，B，已知点B（a，﹣2），点C在x轴正半轴上，点D（2，﹣3），连接OA，OD，DC，AC，四边形AODC为菱形． （1）反比例函数的表达式为 　y　； （2）不等式mx+1的解集是 　x＜﹣3或0＜x＜2　； （3）设P是y轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，则点P的坐标为 　（0，12）或（0，﹣12）　． 【分析】（1）连接AD，与x轴交于点E，由四边形AODC为菱形，得到AE＝DE，OE＝CE，根据D坐标确定出DE的长，确定出AE与OE的长，进而求出A的坐标，将A坐标代入直线解析式求出m的值，代入反比例解析式求出k的值． （2）联立两函数解析式求出B坐标，根据A与B横坐标，利用图象求出反比例函数值大于一次函数值时x的范围即可． （3）根据OC与AD的长，求出菱形ABCD的面积，设P（0，p），由OP为底，A横坐标为高表示出△OAP面积，根据△OAP的面积等于菱形OACD的面积，列出关于p的方程，求出方程的解即可得到p的值． 【解答】解：（1）连接AD，与x轴交于点E， ∵D（2，﹣3）， ∴OE＝2，ED＝3， ∵菱形AODC， ∴AE＝DE＝3，EC＝OE＝2， ∴A（2，3）， 将A坐标代入直线y＝mx+1得：2m+1＝3，即m＝1， 将A坐标代入反比例y得：k＝6， ∴反比例函数的表达式为y， 故答案为：y； （2）联立直线与反比例解析式得：， 解得：或， 由图象可知当x＜﹣3或0＜x＜2时，反比例函数值大于一次函数值； ∴不等式mx+1的解集是x＜﹣3或0＜x＜2， 故答案为：x＜﹣3或0＜x＜2； （3）∵OC＝2OE＝4，AD＝2DE＝6， ∴S菱形AODCOC•AD＝12， ∵S△OAP＝S菱形OACD，即OP•OE＝12， ∴设P（0，p），则|p|×2＝12，即|p|＝12， 解得：p＝12或p＝﹣12， 则P的坐标为（0，12）或（0，﹣12）． 故答案为：（0，12）或（0，﹣12）． 12．（2023春•赣榆区校级月考）如图，四边形ABCD为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且OA＝2，OB＝4，反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点D． （1）求反比例函数的关系式； （2）将正方形ABCD沿x轴负方向平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图形上． 【分析】（1）过点D作DE⊥x轴于点E，由全等三角形的判定定理得出△AOB≌△DEA，再由全等三角形的性质可得出OE＝OA+EA＝6，ED＝OA＝2，故可得出D点坐标，把D点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值，进而得出结论； （2）过点C作CF⊥y轴于点F，同（1）可得△AOB≌△BFC，故CF＝OB＝4，BF＝OA＝2，故可得出C点坐标，把C点纵坐标代入反比例函数的解析式求出M点坐标，再把C、M两点的横坐标相减即可得出结论． 【解答】解：（1）如图1，过点D作DE⊥x轴于点E．则∠DEA＝∠AOB＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝DA， ∴∠2+∠3＝90°， ∵∠1+∠3＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴△AOB≌△DEA， ∴ED＝OA＝2，EA＝OB＝4， ∴OE＝OA+EA＝6， ∴点D的坐标为（6，2）， 把D（6，2）代入得：，解得：k＝12， ∴所求的反比例函数关系式为； （2）如图2，过点C作CF⊥y轴于点F，交双曲线于点M， 同（1）可得△AOB≌△BFC，故CF＝OB＝4，BF＝OA＝2， ∴C（4，6）， ∵在反比例函数y中，当y＝6时，x2， ∴M（2，6）， ∵CM＝CF﹣MF＝4﹣2＝2， ∴将正方形ABCD沿x轴向左平移2个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上． 13．（2023春•信丰县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC＝90°．点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（3，4），M是BC边的中点，函数y（x＞0）的图象经过点M． （1）求k的值； （2）将△ABC绕某个点旋转180°后得到△DEF（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F），且EF在y轴上，点D在函数y（x＞0）的图象上，求直线DF的表达式． 【分析】（1）根据直角三角形的性质和坐标与图形的特点求得点M的坐标，将其代入反比例函数解析式求得k的值； （2）根据旋转的性质推知：△DEF≌△ABC．故其对应边、角相等：DE＝AB，EF＝BC，∠DEF＝∠ABC＝90°．由函数图象上点的坐标特征得到：D（2，3）． E（0，3）．结合EF＝BC＝4得到F（0，﹣1）． 利用待定系数法求得结果． 【解答】解：（1）∵Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC＝90°，点C的坐标为（3，4）， ∴点B的坐标为（3，0），CB＝4． ∵M是BC边的中点， ∴点M的坐标为（3，2）． ∵函数（x＞0）的图象经过点M， ∴k＝3×2＝6． （2）∵△ABC绕某个点旋转180°后得到△DEF， ∴△DEF≌△ABC． ∴DE＝AB，EF＝BC，∠DEF＝∠ABC＝90°． ∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）， ∴AB＝2． ∴DE＝2． ∵EF在y轴上， ∴点D的横坐标为2． ∵点D在函数（x＞0）的图象上， 当x＝2时，y＝3． ∴点D的坐标为（2，3）． ∴点E的坐标为（0，3）． ∵EF＝BC＝4， ∴点F的坐标为（0，﹣1）． 设直线DF的表达式为y＝ax+b，将点D，F的坐标代入， 得 解得 ∴直线DF的表达式为y＝2x﹣1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$