第12讲 分式和分式的基本性质（5个知识点+6类题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

八年级下苏科版 第12讲 分式和分式的基本性质5个知识点+6类题型 课程标准 学习目标 1.分式和分式的基本性质； 2.分式的约分和通分。 1.掌握分式的概念，并能用分式表示简单问题中的数量关系； 2.会判断分式有意义的条件； 3.掌握分式的基本性质，并根据基本性质熟练运算分式的约分和通分。 知识点1：分式的定义 一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。 注意：判断是不是分式只看式子的原状态，不看化简之后，比如是分式。 【即学即练】 【例题1】（2024秋•金乡县期末）下列各式，，，中，分式有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】（2024秋•怀化期末）下列式子：﹣4x，，，，x，a﹣3b，其中是分式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例题2】（2023春•甘孜州期末）一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要　 　小时． 【变式】（2023秋•厦门期末）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨．现改用喷灌方式，可使同样m吨的水量多用5天．漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的　 　倍． 知识点2：分式有意义的条件 【即学即练】 【例题3】（2024秋•西青区期末）若分式有意义，则x应满足的条件是（　　） A．x＝1 B．x≠1 C．x＝﹣2 D．x≠﹣2 【变式】（2023春•钟楼区期中）使分式 有意义的x的取值范围是 　 　． 【例题4】（2024秋•阳谷县期末）分式的值为0，则x的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．16 【变式】（2024秋•雨花区期末）如果分式的值为0，那么x的值是（　　） A．0 B．5 C．﹣5 D．±5 知识点3：分式的基本性质 分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 【即学即练】 【例题5】（2024秋•济宁期末）下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024秋•集宁区期末）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍 【变式5-2】（2024秋•金乡县期末）如果把分式中的x、y同时扩大2倍，那么该分式的值（　　） A．扩大到原来的2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 【例题6】不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“﹣”号： （1） （2） （3） （4）． 知识点4：分式的约分和最简分式 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫做分式的约分。 最简分式：如果一个分式的分子和分母只有一个公因式1，那么这样的分式叫做最简分式，约分通常要把分式化成最简分式或整式。 例如： 注意：有些隐含的因式需要进行因式分解才能得到 【即学即练】 【例题7】（2024秋•赛罕区期末）下列各式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024秋•福清市期末）若是一个最简分式，则△可以是（　　） A．x2 B．2x C．x D．2 【变式7-2】（2024秋•裕华区校级期中）将分式约分时，分子分母同时除以（　　） A．5m B．5mx C．5mx2 D．10mx2 【例题8】（2024秋•三亚期末）下列分式的约分正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式】（2024秋•路南区月考）化简 ① ② 其中步骤①、②的运算依据分别属于（　　） A．①是整式乘法；②是通分 B．①是分解因式；②是通分 C．①是分解因式；②是约分 D．①是整式乘法；②是约分 知识点5：分式的通分和最简公分母 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母。 最简公分母： ①如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母。 ②当分子的分母是多项式式，先将他们因式分解，再确定最简公分母。 例如： 【即学即练】 【例题9】（2024秋•岳麓区校级期末）下列选项正确的是（　　） A．分式和的最简公分母是10x7 B． C． D．分式中的a，b同时扩大2倍值不变 【变式】（2024秋•青浦区期末）分式和的最简公分母是 　 　． 【例题10】（2024春•宿城区校级期中）通分： （1），； （2），． 【类型一：分式的定义】 1．（2023秋•聊城期末）下列各式中，，，，，是分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2024秋•北湖区校级期中）下列各式，，，，，其中分式共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【类型二：用分式表示数量关系】 3．（2024春•鼓楼区校级期中）甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距skm，若一艘游轮在静水中航行的速度为akm/h，水流速度为bkm/h（b＜a），则该游轮往返两港口所需时间相差　 　h． 4．（2023秋•德惠市校级期末）在一块b公顷的稻田上插秧．如果10个人插秧．要用m天完成；如果一台插秧机工作．要比10个人插秧提前3天完成．一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的　 倍． 5．（2022春•通川区期末）某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，若用p表示d，则d＝　 ． 6．（2021春•新吴区校级期中）食堂有煤m吨，原计划每天烧煤a吨，现每天节约用煤b（b＜a）吨，则这批煤比原计划多烧 　 　天． 7．（2019秋•包河区校级月考）一位同学在斜坡上练习骑自行车，上坡速度为mkm/h，下坡速度为nkm/h，则上下坡的平均速度为 km/h． 【类型三：分式有意义的条件】 8．（2024秋•重庆期末）分式有意义的条件是（　　） A．x＝﹣1 B．x≠﹣1 C．x＝0 D．x≠0 9．（2024秋•西宁期末）当x＝﹣1时，下列分式中有意义的是（　　） A． B． C． D． 10．（2023•锦州模拟）要使式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是　 　． 11．（2024秋•澧县期末）若分式的值为零，则x的值为（　　） A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0 12．（2024秋•南昌期末）若分式的值为零，则a的值为 　 　． 13．（2022秋•灵宝市期末）已知（x﹣1）0有意义，则x的取值范围是　 　 ． 14．（2023秋•青龙县期中）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．0或1或2 B．0或﹣2或2 C．0或1 D．0或﹣2 【类型四：分式的基本性质】 15．（2024秋•鼓楼区校级期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（　　） A． B． C． D． 16．（2024秋•路南区月考）若把分式的x，y同时扩大5倍，则分式的值也扩大5倍，则“□”可以是（　　） A．5 B．y C．3xy D．3y2 17．（2024秋•浦东新区校级期末）在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为　 　． 18．（2023秋•滨城区期末）下列说法错误的是（　　） A．若式子有意义，则x的取值范围是x≠﹣1或x≠1 B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变 C．分式的值不可能等于0 D．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个 19．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数： ① ② ③ ④． 【类型五：最简分式和分式的约分】 20．（2024春•东坡区期末）分式，，，中，最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（2024秋•肥城市期中）若分式可以进行约分化简，则该分式中的A不可以是（　　） A．1 B．x C．﹣x D．4 22．（2024春•梁溪区校级月考）约分 （1） （2）． 23．（2015秋•夏津县校级期末）约分 （1） （2） （3） （4）． 【类型六：最简公分母和分式的通分】 24．（2024秋•南开区期末）分式与的最简公分母是（　　） A．2a2b2c2 B．2a2b2c C．a2b2 D．2a2b 25．（2024秋•大荔县校级期末）下列说法正确的是（　　） A．当x≠3时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是3a2b2 C．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 D．无论x为何值，的值总为正数 26．（2023秋•襄都区期中）若将分式与分式通分后，分式的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式的分子应变为（　　） A．6x2 B．x（x+y） C．x2 D．3x2（x+y） 27．（2023秋•高唐县校级期中）通分： （1），，； （2），，． 1．（2024秋•原阳县期中）若|x|＝10，y2＝25，且x＜y，则的值为（　　） A．或 B．2或﹣2 C．或2 D．或﹣2 2．（2024秋•濮阳期中）a，b，c的大小关系如图所示，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 3．（2023秋•惠州期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．已知，求的值． 5．若，求的值＝　 　． 6．（2024秋•南昌县期末）若2，则 　 　． 7．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：22．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：1； 再如：x+1． 解决下列问题： （1）分式是　　分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）假分式可化为带分式　 　的形式； （3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为　 　． 8．（2024秋•长宁区期末）阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当x＞0时，随着x的增大，1的值 　 　（增大或减小）； 当x＜0时，随着x的增大，的值 　 　（增大或减小）； （2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围． 9．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式中，　 　是和谐分式（填写序号即可）； ；；；④ （2）若分式为和谐分式，且a为整数，请写出所有a的值； （3）在化简时，小东和小强分别进行了如下三步变形： 小东：原式 小强：原式． 显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　 　，请你接着小强的方法完成化简． 10．（2024秋•连江县期末）【问题背景】 科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为x的氯化钠溶液，然后随机抽三位同学配制好的氯化钠溶液进行混合，试探究混合后的氯化钠溶液浓度是否改变．（溶液浓度） 【实验操作】 这三位同学分别按要求配制好氯化钠溶液后，记录所需的氯化钠（溶质）和水（溶剂）的质量（单位：g），并填入实验数据表格． 姓名 氯化钠（溶质）/g 水（溶剂）/g 溶液浓度 同学甲 a b x 同学乙 c d x 同学丙 e f x 【解决问题】 （1）若同学甲记录数据：a＝1，b＝3， ①请直接写出同学甲配制的溶液浓度x＝　 　； ②若同学乙，同学丙想配制的溶液与同学甲配制的溶液浓度相同，若同学乙准备水的质量d＝4.5g，同学丙准备氯化钠的质量e＝2g，请求出c和f的值； 最后，小组组长将同学甲，乙，丙的氯化钠溶液混合后，计算混合后溶液的浓度，得到猜想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变． （2）请你用数学的知识证明：任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变，即已知，其中a，b，c，d，e，f均为正数，求证：； 【拓展延伸】 （3）小明在做数学作业时遇到了这样一道题：已知，其中a，b，c均不为0且a+b+c≠0，求的值．请能类比上面解决问题的方法，帮小明解答这个问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下苏科版 第12讲 分式和分式的基本性质5个知识点+6类题型 课程标准 学习目标 1.分式和分式的基本性质； 2.分式的约分和通分。 1.掌握分式的概念，并能用分式表示简单问题中的数量关系； 2.会判断分式有意义的条件； 3.掌握分式的基本性质，并根据基本性质熟练运算分式的约分和通分。 知识点1：分式的定义 一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。 注意：判断是不是分式只看式子的原状态，不看化简之后，比如是分式。 【即学即练】 【例题1】（2024秋•金乡县期末）下列各式，，，中，分式有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 （B≠0）叫做分式，由此即可判断． 【解答】解：∵，是分式；是多项式；是单项式， ∴分式有2个． 故选：B． 【变式】（2024秋•怀化期末）下列式子：﹣4x，，，，x，a﹣3b，其中是分式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 【解答】解：分式：，，x，共3个， 故选：B． 【例题2】（2023春•甘孜州期末）一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要　　小时． 【分析】甲单独做一天可完成工程总量的，乙单独做一天可完成工程总量的，二人合作一天可完成工程总量的．工程总量除以二人合作一天可完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需天数． 【解答】解：设该工程总量为1．二人合作完成该工程所需天数＝1÷（）＝1． 【变式】（2023秋•厦门期末）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨．现改用喷灌方式，可使同样m吨的水量多用5天．漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的　　倍． 【分析】首先求得漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可． 【解答】解：漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨， 根据题意，得． 故答案为：． 知识点2：分式有意义的条件 【即学即练】 【例题3】（2024秋•西青区期末）若分式有意义，则x应满足的条件是（　　） A．x＝1 B．x≠1 C．x＝﹣2 D．x≠﹣2 【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解． 【解答】解：分式有意义， ∴3x+6≠0， 解得：x≠﹣2， 故选：D． 【变式】（2023春•钟楼区期中）使分式 有意义的x的取值范围是 　x＞﹣2　． 【分析】根据分式、二次根式有意义，分母不等于0列不等式求解即可． 【解答】解：由题意得：x＞﹣2． 故答案为：x＞﹣2． 【例题4】（2024秋•阳谷县期末）分式的值为0，则x的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．16 【分析】根据分式为0的条件为分子为0即可列式求解x的值． 【解答】解：由题意知，x2﹣16＝0，x+4≠0， 解得，x＝±4且x≠﹣4， ∴x＝4， 故选：A． 【变式】（2024秋•雨花区期末）如果分式的值为0，那么x的值是（　　） A．0 B．5 C．﹣5 D．±5 【分析】x要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0． 【解答】解：由分子|x|﹣5＝0解得：x＝±5． 而x＝5时分母x2+5x＝25+25≠0； x＝﹣5时分母x2+5x＝25﹣25＝0，分式没有意义． 即x＝5， 故选：B． 知识点3：分式的基本性质 分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 【即学即练】 【例题5】（2024秋•济宁期末）下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用分式的性质逐项判断即可． 【解答】解：，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选：D． 【变式5-1】（2024秋•集宁区期末）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍 【分析】将原式中的x、y分别用3x、3y代替，化简，再与原分式进行比较． 【解答】解：∵把分式中的x与y同时扩大为原来的3倍， ∴原式变为：9， ∴这个分式的值扩大9倍． 故选：B． 【变式5-2】（2024秋•金乡县期末）如果把分式中的x、y同时扩大2倍，那么该分式的值（　　） A．扩大到原来的2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 【分析】依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【解答】解：原式， 所以分式的值缩小为原来的． 故选：B． 【例题6】不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“﹣”号： （1） （2） （3） （4）． 【分析】原式各项利用分式的基本性质化简即可得到结果． 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 知识点4：分式的约分和最简分式 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫做分式的约分。 最简分式：如果一个分式的分子和分母只有一个公因式1，那么这样的分式叫做最简分式，约分通常要把分式化成最简分式或整式。 例如： 注意：有些隐含的因式需要进行因式分解才能得到 【即学即练】 【例题7】（2024秋•赛罕区期末）下列各式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的概念判断即可． 【解答】解：A、不是分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选：D． 【变式7-1】（2024秋•福清市期末）若是一个最简分式，则△可以是（　　） A．x2 B．2x C．x D．2 【分析】把各选项中的式子分别代入，然后根据最简分式的定义进行判断． 【解答】解：A．若△为x2，则原式，所以A选项不符合题意； B．若△为2x，则原式，所以B选项不符合题意； C．若△为x，则原式，此分式为最简分式，所以C选项符合题意； D．若△为2，则原式，此式子为整式，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【变式7-2】（2024秋•裕华区校级期中）将分式约分时，分子分母同时除以（　　） A．5m B．5mx C．5mx2 D．10mx2 【分析】观察分式的分子、分母，其公因式为5mx2． 【解答】解：，所以将分式约分时，分子分母同时除以5mx2． 故选：C． 【例题8】（2024秋•三亚期末）下列分式的约分正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质，对选项逐一分析判断即可． 【解答】解：A、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意； B、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意； C、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 【变式】（2024秋•路南区月考）化简 ① ② 其中步骤①、②的运算依据分别属于（　　） A．①是整式乘法；②是通分 B．①是分解因式；②是通分 C．①是分解因式；②是约分 D．①是整式乘法；②是约分 【分析】根据分式的化简方法，公式法，因式分解法即可求解． 【解答】解：①提公因式；m2﹣8m+16＝（m﹣4）2＝（4﹣m）2这是用完全平方公式分解因式，最后一步是分式的约分化简， 故选：C． 知识点5：分式的通分和最简公分母 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母。 最简公分母： ①如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母。 ②当分子的分母是多项式式，先将他们因式分解，再确定最简公分母。 例如： 【即学即练】 【例题9】（2024秋•岳麓区校级期末）下列选项正确的是（　　） A．分式和的最简公分母是10x7 B． C． D．分式中的a，b同时扩大2倍值不变 【分析】利用最简公分母的定义对A进行判断；根据分式的基本性质对B、C、D进行判断． 【解答】解：A、分式和的最简公分母是10x5，所以A选项错误； B、当c≠0时，，所以B选项错误； C、，所以C选项正确； D、分式中的a，b同时扩大2倍分式的值扩大2倍，所以D选项错误． 故选：C． 【变式】（2024秋•青浦区期末）分式和的最简公分母是 　a（x﹣y）2（x+y）　． 【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【解答】解：∵分式和的分母分别为a（x﹣y）2、（x+y）（x﹣y）， ∴它们的最简公分母是a（x﹣y）2（x+y）， 故答案为：a（x﹣y）2（x+y）． 【例题10】（2024春•宿城区校级期中）通分： （1），； （2），． 【分析】（1）根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案； （2）根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案． 【解答】解：（1），， ∵最简公分母是a2b2， ∴， ； （2）∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），x2+xy＝x（x+y）， ∴最简公分母是x（x+y）（x﹣y）， ∴， ． 【类型一：分式的定义】 1．（2023秋•聊城期末）下列各式中，，，，，是分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据分式的定义：形如，B中含有字母的式子，判断即可． 【解答】解：在，，，，各式中，是分式的有，，，，共有4个， 故选：C． 2．（2024秋•北湖区校级期中）下列各式，，，，，其中分式共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据分式的定义即可得出答案． 【解答】解：分式有：，共2个， 故选：B． 【类型二：用分式表示数量关系】 3．（2024春•鼓楼区校级期中）甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距skm，若一艘游轮在静水中航行的速度为akm/h，水流速度为bkm/h（b＜a），则该游轮往返两港口所需时间相差　　h． 【分析】游轮逆水行驶的速度为（a﹣b）km/h，顺水行驶的速度为（a+b）km/h，再利用速度公式表示出它们行驶skm所用的时间，然后求它们的差即可． 【解答】解：该游轮往返两港口所需的时间差为：（h）． 故答案为． 4．（2023秋•德惠市校级期末）在一块b公顷的稻田上插秧．如果10个人插秧．要用m天完成；如果一台插秧机工作．要比10个人插秧提前3天完成．一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的　　倍． 【分析】此题可利用工作总量作为相等关系，借助方程解题． 【解答】解：设一台插秧机的工作效率为x，一个人工作效率为y．则10my＝（m﹣3）x．所以． 5．（2022春•通川区期末）某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，若用p表示d，则d＝　　． 【分析】此题中最大的降价率即是保证售价和成本价相等．可以把成本价看作单位1． 【解答】解：设成本价是1，则 （1+p%）（1﹣d%）＝1． 1﹣d%， d%＝1 d%， ∴d． 6．（2021春•新吴区校级期中）食堂有煤m吨，原计划每天烧煤a吨，现每天节约用煤b（b＜a）吨，则这批煤比原计划多烧 　　天． 【分析】求出原计划可以烧的天数，现在可以烧的天数，用现在烧的天数﹣原计划烧的天数即可得出答案． 【解答】解：原计划可以烧天， 现在可以烧天， 则这批煤比原计划多烧（）天， 故答案为：（）． 7．（2019秋•包河区校级月考）一位同学在斜坡上练习骑自行车，上坡速度为mkm/h，下坡速度为nkm/h，则上下坡的平均速度为　　km/h． 【分析】平均速度＝总路程÷总时间，设单程的路程为s，表示出上坡下坡的总时间，把相关数值代入化简即可． 【解答】解：设单程的路程为s km， 上坡需要的时间为（h），下坡需要的时间为（h）， ∴总时间为（h）， ∴上下坡的平均速度为2s（km/h）． 故答案为：． 【类型三：分式有意义的条件】 8．（2024秋•重庆期末）分式有意义的条件是（　　） A．x＝﹣1 B．x≠﹣1 C．x＝0 D．x≠0 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：x+1≠0， ∴x≠﹣1， 故选：B． 9．（2024秋•西宁期末）当x＝﹣1时，下列分式中有意义的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0对各个选项进行判断即可． 【解答】解：当x＝﹣1时，x+1＝0，A不正确； 当x＝﹣1时，|x|﹣1＝0，B不正确； 当x＝﹣1时，x﹣1≠0，C正确； 当x＝﹣1时，x2﹣1＝0，D不正确； 故选：C． 10．（2023•锦州模拟）要使式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是　a≥﹣3且a≠±1　． 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，a+3≥0且a2﹣1≠0， 解得a≥﹣3且a≠±1． 故答案为：a≥﹣3且a≠±1． 11．（2024秋•澧县期末）若分式的值为零，则x的值为（　　） A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0 【分析】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零． 【解答】解：依题意，得 x2﹣4＝0，且x+2≠0， 解得，x＝2． 故选：B． 12．（2024秋•南昌期末）若分式的值为零，则a的值为 　1　． 【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零且分母不为零，进而得出答案． 【解答】解：分式的值为零，则|a|﹣1＝0且a+1≠0， 解得：a＝1． 故答案为：1． 13．（2022秋•灵宝市期末）已知（x﹣1）0有意义，则x的取值范围是　x≠2且x≠1　 ． 【分析】根据分式有意义，分母不等于0，零指数幂的底数不等于0解答． 【解答】解：由题意得，x﹣2≠0且x﹣1≠0， 解得x≠2且x≠1． 故答案为：x≠2且x≠1． 14．（2023秋•青龙县期中）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．0或1或2 B．0或﹣2或2 C．0或1 D．0或﹣2 【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零分母不为零，进而得出答案． 【解答】解：∵的值为0， ∴x（x﹣1）（x﹣2）＝0且x2﹣4≠0， 解得：x＝0或x＝1． 故选：C． 【类型四：分式的基本性质】 15．（2024秋•鼓楼区校级期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断． 【解答】解：A、原变形错误，故本选项不符合题意； B、原变形错误，故本选项不符合题意； C、原变形错误，故本选项不符合题意； D、原变形正确，故本选项符合题意． 故选：D． 16．（2024秋•路南区月考）若把分式的x，y同时扩大5倍，则分式的值也扩大5倍，则“□”可以是（　　） A．5 B．y C．3xy D．3y2 【分析】x和y都扩大5倍，则2xy扩大到原来的25倍，要使分式的值也扩大5倍，则x+□扩大到原来的5倍，即可解答． 【解答】解：x和y都扩大5倍，则2xy扩大到原来的：5×5＝25倍， 根据分式的值也扩大5倍，则x+□扩大到原来的5倍， 故“□”可以是y， 故选：B． 17．（2024秋•浦东新区校级期末）在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为　12x+2y　． 【分析】根据分式的基本性质，对分式的分子和分母同时乘以6，即可得出结论． 【解答】解：． 故答案为：12x+2y． 18．（2023秋•滨城区期末）下列说法错误的是（　　） A．若式子有意义，则x的取值范围是x≠﹣1或x≠1 B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变 C．分式的值不可能等于0 D．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个 【分析】直接利用分式的定义以及分式的性质、分式有意义的条件分别分析得出答案． 【解答】解：A．若式子有意义，则x的取值范围是x≠﹣1且x≠1，故原选项不正确，符合题意； B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，，所以分式的值不变，故原选项正确，不符合题意； C．分式，当x+2＝0且|x﹣2|≠0时，此分式的值不等于0，此时x无解，所以分式的值不可能等于0，故原选项正确，不符合题意； D．若表示一个整数，则整数x可取值是﹣4、﹣2、0、2，共有4个，故原选项正确，不符合题意； 故选：A． 19．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数： ① ② ③ ④． 【分析】①分式分子分母同时乘以30，化简即可得到结果； ②分式分子分母同时乘以60，化简即可得到结果； ③分式分子分母同时乘以50，化简即可得到结果； ④分式分子分母同时乘以20，化简即可得到结果； 【解答】解：①原式； ②原式； ③原式； ④原式． 【类型五：最简分式和分式的约分】 20．（2024春•东坡区期末）分式，，，中，最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【解答】解：分子分母有公因式x2﹣1， ；；这三个是最简分式． 故选：C． 21．（2024秋•肥城市期中）若分式可以进行约分化简，则该分式中的A不可以是（　　） A．1 B．x C．﹣x D．4 【分析】考虑x2﹣A有公因式x﹣1，x+2即可． 【解答】解：A＝1或x或4时，分子分母有公因式，可以约分． 故选：C． 22．（2024春•梁溪区校级月考）约分 （1） （2）． 【分析】（1）根据约分的方法可以解答本题； （2）根据完全平方公式和平方差公式先对题目中式子的分子分母分解因式，即可解答本题． 【解答】解：（1） ； （2） ． 23．（2015秋•夏津县校级期末）约分 （1） （2） （3） （4）． 【分析】（1）将分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式即可； （2）将分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式即可； （3）将分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式即可； （4）将分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式即可． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）a． 【类型六：最简公分母和分式的通分】 24．（2024秋•南开区期末）分式与的最简公分母是（　　） A．2a2b2c2 B．2a2b2c C．a2b2 D．2a2b 【分析】根据最简公分母的定义解答即可． 【解答】解：分式与的最简公分母是2a2b2c， 故选：B． 25．（2024秋•大荔县校级期末）下列说法正确的是（　　） A．当x≠3时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是3a2b2 C．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 D．无论x为何值，的值总为正数 【分析】根据最简公分母的定义、分式有意义的条件、分式的基本性质判断即可． 【解答】解：A、当x≠0时，分式有意义，故本选项说法错误，不符合题意； B、分式与的最简公分母是3ab2，故本选项说法错误，不符合题意； C、分式中x，y都扩大3倍，分式的值扩大3倍，故本选项说法错误，不符合题意； D、无论x为何值，的值总为正数，说法正确，符合题意； 故选：D． 26．（2023秋•襄都区期中）若将分式与分式通分后，分式的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式的分子应变为（　　） A．6x2 B．x（x+y） C．x2 D．3x2（x+y） 【分析】利用分式的性质分别进行通分把分母变为2（x﹣y）（x+y），即可求解． 【解答】解：∵， ∴， ∴分式的分子应变为6x2， 故选：A． 27．（2023秋•高唐县校级期中）通分： （1），，； （2），，． 【分析】（1）利用分式的基本性质把分母都化为12x（x+2）（x﹣2）2即可； （2）用分式的基本性质把分母都化为24x4y3z2即可． 【解答】解：（1）， ， ； （2）， ， ． 1．（2024秋•原阳县期中）若|x|＝10，y2＝25，且x＜y，则的值为（　　） A．或 B．2或﹣2 C．或2 D．或﹣2 【分析】根据绝对值的性质可得x＝﹣10，y＝±5，根据x＜y，得出x＝﹣10，y＝±5，然后再代入即可求解． 【解答】解：由条件可知x＝±10，y＝±5， ∵x＜y， ∴x＝﹣10，y＝±5， 当x＝﹣10，y＝5时，原式＝﹣2； 当x＝﹣10，y＝﹣5时，原式＝2． 故选：B． 2．（2024秋•濮阳期中）a，b，c的大小关系如图所示，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【分析】先根据数轴分别判断出a﹣b，b﹣c，c﹣a的符号，然后根据绝对值的性质去绝对值，化简即可． 【解答】解：由数轴可知：a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0， ∴原式 ＝﹣1﹣1+1 ＝﹣1． 故选：B． 3．（2023秋•惠州期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据，设a＝2k，b＝5k，再将化简为，然后将a＝2k，b＝5k代入计算即可得出答案． 【解答】解：∵， ∴设a＝2k，b＝5k， ∴ ． 故选：A． 4．已知，求的值． 【分析】可以设k，则x＝3k，y＝4k，z＝5k，把这三个式子代入所要求的式子，进行化简就可以求出式子的值． 【解答】解：设k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝5k， ∴． 5．若，求的值＝　3　． 【分析】将通分变形，转化为x﹣y＝﹣3xy，再把它整体代入原式约分求值． 【解答】解：∵，∴x﹣y＝﹣3xy，再把它整体代入原式：3． 故答案为3． 6．（2024秋•南昌县期末）若2，则 　　． 【分析】由2，得x+y＝2xy，整体代入所求的式子化简即可． 【解答】解：由2，得x+y＝2xy 则． 故答案为． 7．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：22．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：1； 再如：x+1． 解决下列问题： （1）分式是　真　分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）假分式可化为带分式　1　的形式； （3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为　0，﹣2，2，﹣4　． 【分析】（1）依据定义进行判断即可； （2）将原式变形为的形式，然后再进行变形即可； （3）首先将原式变形为2，然后依据x+1能够被3整数列方程求解即可． 【解答】解：（1）分式是真分式； （2）假分式1； （3）2． 所以当x+1＝3或﹣3或1或﹣1时，分式的值为整数． 解得x＝2或x＝﹣4或x＝0或x＝﹣2． 故答案为：（1）真；（2）1；（3）0，﹣2，2，﹣4． 8．（2024秋•长宁区期末）阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当x＞0时，随着x的增大，1的值 　减小　（增大或减小）； 当x＜0时，随着x的增大，的值 　减小　（增大或减小）； （2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围． 【分析】（1）由、的变化情况，判断1、1的变化情况即可； （2）由2，即可求解； （3）由2，再结合x的取值范围即可求解． 【解答】解：（1）∵当x＞0时随着x的增大而减小， ∴随着x的增大，1的值减小； ∵当x＜0时随着x的增大而减小， ∵1， ∴随着x的增大，的值减小， 故答案为：减小，减小； （2）∵2， ∵当x＞1时，的值无限接近0， ∴的值无限接近2； （3）∵5， 又∵0≤x≤2， ∴﹣13， ∴﹣8． 9．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式中，　②　是和谐分式（填写序号即可）； ；；；④ （2）若分式为和谐分式，且a为整数，请写出所有a的值； （3）在化简时，小东和小强分别进行了如下三步变形： 小东：原式 小强：原式． 显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　小强通分找的是最简公分母　，请你接着小强的方法完成化简． 【分析】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题； （2）根据和谐分式的定义可以得到a的值； （3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题． 【解答】解：（1）不符合和谐分式的定义，故①不是和谐分式， ，故②是和谐分式， ，故③不是和谐分式， ，故④不是和谐分式， 故答案为：②； （2）∵分式为和谐分式，且a为整数， ∴a＝10，a＝6，a＝﹣6； （3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分找的是最简公分母， 故答案为：小强通分找的是最简公分母； 小强：原式． 10．（2024秋•连江县期末）【问题背景】 科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为x的氯化钠溶液，然后随机抽三位同学配制好的氯化钠溶液进行混合，试探究混合后的氯化钠溶液浓度是否改变．（溶液浓度） 【实验操作】 这三位同学分别按要求配制好氯化钠溶液后，记录所需的氯化钠（溶质）和水（溶剂）的质量（单位：g），并填入实验数据表格． 姓名 氯化钠（溶质）/g 水（溶剂）/g 溶液浓度 同学甲 a b x 同学乙 c d x 同学丙 e f x 【解决问题】 （1）若同学甲记录数据：a＝1，b＝3， ①请直接写出同学甲配制的溶液浓度x＝　25%　； ②若同学乙，同学丙想配制的溶液与同学甲配制的溶液浓度相同，若同学乙准备水的质量d＝4.5g，同学丙准备氯化钠的质量e＝2g，请求出c和f的值； 最后，小组组长将同学甲，乙，丙的氯化钠溶液混合后，计算混合后溶液的浓度，得到猜想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变． （2）请你用数学的知识证明：任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变，即已知，其中a，b，c，d，e，f均为正数，求证：； 【拓展延伸】 （3）小明在做数学作业时遇到了这样一道题：已知，其中a，b，c均不为0且a+b+c≠0，求的值．请能类比上面解决问题的方法，帮小明解答这个问题． 【分析】（1）根据题意，结合已知条件的溶液浓度公式，代入数值，即可得到结果； （2）根据题意，把条件转化为a＝（a+b）x，c＝（c+d）x，e＝（e+f）x，代入到需证明的等式的左边，化简整理，可证得结果； （3）仿照（2）的证明过程，先求得k＝1，再代入到条件中得到a+b＝2c，a+c＝2b，b+c＝2a，即可得到结果． 【解答】（1）解：①∵甲配制的溶液浓度， ∴当a＝1，b＝3时，x25%， 故答案为：25%； ②∵依题意，， ∴当d＝4.5时，， 解得c＝1.5； ∵， ∴当e＝2g时，， 解得f＝6； （2）证明：∵，a，b，c，d，e，f均为正数， ∴a＝（a+b）x，c＝（c+d）x，e＝（e+f）x， ∴a+c+e＝（a+b）x+（c+d）x+（e+f）x， ∴ ＝x， 即； （3）解：∵设k， ∴a+b﹣c＝kc，a﹣b+c＝kb，﹣a+b+c＝ka， ∴（a+b﹣c）+（a﹣b+c）+（﹣a+b+c）＝ka+kb+kc， ∴a+b+c＝k（a+b+c）， ∵a，b，c均不为0且a+b+c≠0， ∴k＝1， ∴a+b﹣c＝kc＝c，a﹣b+c＝kb＝b，﹣a+b+c＝ka＝a， ∴a+b＝2c，a+c＝2b，b+c＝2a， ∴ ＝8． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/2/26 10:10:03；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 1 学科网（北京）股份有限公司 $$