精品解析：浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高一下学期2月返校考试数学试题

2024-2025学年浙江省“浙南名校联盟”高一下2月返校联考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（　　） A. B. C.  D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的定义计算． 【详解】因为，所以， 故选：B. 2. “是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：由，得，即解得或， 所以是“”的充分且不必要条件， 故选：A 3. 若函数则的值为（ ） A. B. C. 3e D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整体换元，结合指数运算，可得答案. 【详解】令得则. 故选：D. 4. 终边上一点坐标为则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数的定义先求出 再由同角三角函数基本关系转化，利用诱导公式化简即可. 【详解】由三角函数的定义可知 则 故选：C 5. 若函数对任意的有恒成立，则函数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知函数性质得出函数是下凹函数分别判断各个选项即可. 【详解】因为函数对任意的有恒成立， 即对任意的有恒成立， 故在为向下凹的函数 对于A、的图像为 不满足题意，故A错误； 对于B、的图像为 不满足题意，故B错误； 对于C、的图像为 不满足题意，故C错误； 对于D、的图像为 满足题意，故D正确. 故选：D. 6. 已知函数在上是减函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得解可得a的取值范围，即可得答案. 【详解】根据题意，函数在上是减函数， 则有，解可得， 即a的取值范围为， 故选：B. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得，利用基本不等式即可求解. 【详解】解：由题意得且所以 所以 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为 故选：C. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数单调性比较的大小即可. 【详解】因为，所以，因为在单调递增，且， 所以，所以， 因为，所以，所以； 因为，所以，则， 所以，则， 所以. 故选： 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 为了得到函数的图象，只需将函数图象上的点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】BD 【解析】 【分析】由，根据平移变换逐一验证即可. 【详解】解：因为 对于A：将函数图象上的点向右平移个单位长度， 得故A错误； 对于B：将函数图象上的点向右平移个单位长度， 得故B正确； 对于C：将函数图象上的点向左平移个单位长度， 得故C错误； 对于D：将函数图象上的点向向左平移个单位长度， 得故D正确. 故选：BD. 10. 已知则下列说法正确的有（ ） A. 当时在上单调递增 B. 当时，方程有两个不同的实数根且 C. 若在时，有恒成立，则a的取值范围为 D. 存在实数t，使为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】将代入，得到函数解析式，根据复合函数的单调性判断A；将代入，根据已知条件有，得到方程，利用韦达定理即可判断B；根据函数的定义域，结合对数型函数的性质，分和两种情况验证即可判断C；求出，根据已知条件得方程，化简求解即可判断D. 【详解】对A选项，当时 在上单调递增，且 又上单调递增， 根据复合函数的单调性可得在上单调递增选项正确； 对B选项，当时 令可得，， ，， ，B选项错误； 对C选项，当时，令 因为恒成立， 若则在恒成立，即在恒成立， 因为所以恒成立，满足条件， 若，则在恒成立， 即在恒成立，当时 不满足恒成立，所以a的取值范围是C选项正确； 对D选项又为偶函数， 存在使为偶函数D选项正确. 故选：ACD 11. 对于平面内的一个有限点集由有限个点组成的集合若该点集内的每个点都恰有三个与之距离最近的点这三个点也在点集内则称这样的点集为“对称集”，记作其中n表示该点集内点的个数.如集合不存在；集合存在，该集合内16个点的一种分布方式为如图所示，则使存在的n还可以为（ ） A. 20 B. 24 C. 4 D. 5 【答案】AB 【解析】 【分析】理解题意，分析出n需要满足的特征即可. 【详解】根据题目定义，对称集要求每个点有三个最近的邻点， 且这些邻点均在点集内.结合图论中的正则图每个顶点度数为需满足边数为整数， 故 n必须为偶数.题目中已给出存在的例子，而不存在.几何构造分析表明， 在平面中满足每个点有三个等距邻点的有限点集需要高度对称的结构， 如蜂窝状或特殊网格排列，但此类构造仅对特定偶数可行.最终答案所有可能的n值为偶数且 所以或者. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若扇形的弧长为，面积为，则扇形的圆心角为________弧度． 【答案】## 【解析】 【分析】设扇形半径为，圆心角为根据扇形弧长公式和面积公式列方程即可求解． 【详解】解：设扇形半径为R，圆心角为，则， 则 ，解得 故答案为： 13. 已知函数，且为偶函数，则的值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据为偶函数可得偶函数，进而，即可求解. 【详解】因为为偶函数， 则为偶函数， 而是偶函数，故是偶函数， 所以，所以， 将代入函数，得， 因此，所以的值为1. 故答案为： 14. 已知，若，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合已知条件可得，再结合，可得，则，再利用计算即可得解. 【详解】因为， ， 所以， 于是由已知得：，即， 因为，若，即， 则， 这时，不符合条件； 若，即， 则， 这时，也不符合条件； 因此，一定有， 所以， 因为，所以， ，， 即 当时，， 当时， 因此，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助，从而得到，结合，讨论及不符合题意，从而得到. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）若的解集为C求实数m取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）先求出集合，再求集合； （2）记，由得解出即可. 【小问1详解】 ， ； 所以； 【小问2详解】 记 因为 故，所以 即实数m取值范围为 16. 已知函数 （1）判断在定义域上的单调性，并用定义证明； （2）若存在使方程有解，求实数k的取值范围. 【答案】（1）在定义域上单调递增，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过单调性的定义，作差法即可判断； （2）令，得到方程在在上有解.通过和两类情况讨论即可； 【小问1详解】 在定义域上单调递增， 证明如下：任取且 又则 所以即 即在定义域上单调递增. 【小问2详解】 令， 又在上单调递增，则， 即方程在在上有解. ①当时，此时不成立； ②当即时 当时，，当，， 所以 所以 17. 如图为一个摩天轮的示意图，该摩天轮半径为5m，圆上最低点与地面距离为1m，300秒转动一圈.图中OA与地面垂直，摩天轮上的某车厢开始位于最低点A处，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面距离是 （1）求h与间的函数关系式； （2）设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求该车厢第2次到达最高点时用时是多少. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合条件求出点B的坐标后可得h与之间的函数关系式. （2）由ts转过的弧度数为可得与t之间的关系，代入中的关系式中可得h与t之间的函数解析式，即可求得答案. 【小问1详解】 以圆心原点，建立如图所示的坐标系， 则以为始边，为终边的角为 故点B坐标为， 【小问2详解】 秒转动一圈，所以该摩天轮转动的周期 所以其转动角速度是 故ts转过的弧度数为 令得所以 得令得 该车厢第2次到达最高点时，用的时间为 18. 已知函数为奇函数. （1）求a的值； （2）若求不等式的解集. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义，建立方程，利用对数的运算性质，可得答案； （2）利用对数函数以及一次函数的单调性，结合复合函数单调性，再利用奇函数性质进行等量代换，化简不等式，可得答案. 【小问1详解】 由为奇函数，得 即整理得对定义域内的x都成立， 可得，则， 令，解得，经检验符合题意. 【小问2详解】 由（1）可得 令由在上单调递减在上单调递减， 所以在上单调递增，又在上也单调递增， 所以在上单调递增，由的定义域为得， 所以的定义域为，易知函数在上单调递增， 由，可得，则 则可转化为 因为在上单调递增，所以，解得， 即不等式的解集为 19. 在人教A版必修第一册P160页中，出现了这两个函数.其实这两个函数在数学中被定义为双曲函数：双曲正弦函数双曲余弦函数.(是自然对数的底数，)双曲函数是与三角函数相类似的函数.比如为R上的奇函数为R上的偶函数. （1）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：_________，并加以证明； （2）证明：，在上有且仅有一个零点； （3）已知，记函数，.函数的零点为；函数的零点为，且满足，若恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1），证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意中的函数解析式，利用指数式的运算，可得答案； （2）整理化简函数解析式，明确其单调性，利用零点存在性定理，可得答案； （3）根据零点的定义建立方程求得零点，化简不等式，结合函数单调性，可得答案. 【小问1详解】 由于， , 则， 所以. 【小问2详解】 证明：因为函数， 所以易知函数在上单调递增， 因为，，， 所以由零点存在定理，函数在上有且仅有1个零点. 【小问3详解】 因为函数是偶函数，所以，则，易知， 由，当且仅当时，等号成立，则，所以， 令，整理可得， 因为存在两个零点，所以，，， 同理，整理可得， 由于，所以，又由于为偶函数， 所以，关于单调递增； 由，则， 当c趋向1时，趋向最大的取值5，趋向最小的取值， 所以要使不等式恒成立，则， 令，关于单调递减，且，所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙江省“浙南名校联盟”高一下2月返校联考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（　　） A. B. C.  D. 2. “是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若函数则的值为（ ） A. B. C. 3e D. 4. 终边上一点坐标为则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数对任意的有恒成立，则函数可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上是减函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 8. 设，则（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 为了得到函数的图象，只需将函数图象上的点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 10. 已知则下列说法正确的有（ ） A. 当时在上单调递增 B. 当时，方程有两个不同的实数根且 C. 若在时，有恒成立，则a的取值范围为 D. 存在实数t，使为偶函数 11. 对于平面内的一个有限点集由有限个点组成的集合若该点集内的每个点都恰有三个与之距离最近的点这三个点也在点集内则称这样的点集为“对称集”，记作其中n表示该点集内点的个数.如集合不存在；集合存在，该集合内16个点的一种分布方式为如图所示，则使存在的n还可以为（ ） A. 20 B. 24 C. 4 D. 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若扇形的弧长为，面积为，则扇形的圆心角为________弧度． 13. 已知函数，且为偶函数，则的值为________. 14. 已知，若，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）若的解集为C求实数m取值范围. 16. 已知函数 （1）判断在定义域上单调性，并用定义证明； （2）若存在使方程有解，求实数k的取值范围. 17. 如图为一个摩天轮示意图，该摩天轮半径为5m，圆上最低点与地面距离为1m，300秒转动一圈.图中OA与地面垂直，摩天轮上的某车厢开始位于最低点A处，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面距离是 （1）求h与间函数关系式； （2）设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求该车厢第2次到达最高点时用时是多少. 18. 已知函数为奇函数. （1）求a的值； （2）若求不等式的解集. 19. 在人教A版必修第一册P160页中，出现了这两个函数.其实这两个函数在数学中被定义为双曲函数：双曲正弦函数双曲余弦函数.(是自然对数的底数，)双曲函数是与三角函数相类似的函数.比如为R上的奇函数为R上的偶函数. （1）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：_________，并加以证明； （2）证明：，在上有且仅有一个零点； （3）已知，记函数，.函数零点为；函数的零点为，且满足，若恒成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$