精品解析：浙江省名校协作体2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

2024学年第二学期浙江省名校协作体试题 高二年级数学学科 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线l的方向向量，平面的法向量，若直线l与平面平行，则实数x的值为（ ） A. 7 B. C. 2 D. 3. 已知直线与直线垂直，则实数m的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 4. 已知双曲线的焦距为，则m的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 5. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列，，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在直三棱柱中，，，P是棱的中点，则C到平面的距离为（ ） A B. C. D. 8. 已知F为抛物线的焦点，其中O为坐标原点，直线l交抛物线C于A、B两点，，点F关于直线的对称点为H，则直线的斜率的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 空间中任意两个向量一定共面 B. 若空间向量，，则与的夹角为钝角 C. 若是空间一个基底，则，，中任意两个向量不共线 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 已知等差数列，的前项和分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则为常数列 B. 若，则为常数列 C. 若，则 D. 若，则是递增数列 11. 在平面直角坐标系中，圆锥曲线可以用方程来表示，图形的几何性质被方程的系数所确定．曲线的方程是依赖于坐标系的，而方程所表示的曲线的几何性质是不依赖于坐标系的，所以表示这些几何性质的量，如圆锥曲线的离心率，焦距等，不会由于直角坐标系的位置变化而变化．已知某圆锥曲线的方程为，是曲线上任意一点，则（ ） A. 该曲线关于坐标原点O对称 B. 的取值范围是 C. 该曲线是双曲线，离心率为 D. 该曲线是椭圆，离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知公比不为的等比数列满足，则正整数的值为______． 13. 已知圆，其中为坐标原点，直线与圆交于点，则的面积的最大值为______． 14. 在正方体中，点P是线段上的一点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，． （1）求通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上． （1）求圆C的方程； （2）设P是直线上的一点，过P向圆C引两条切线，切点为A、B，使得为正三角形，求点P的坐标． 17. 如图，在四棱锥中，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求椭圆C的方程： （2）过点的直线交圆于点M、N，直线垂直，且交C于点P、Q，交于点A．记，的面积分别为，． （i）若，求t的取值范围； （ii）是否存在常数t，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知数列，，定义和的“生成数列”为：，，其中表示和两个数中较小的数；定义和的“生成点列”为：． （1）若，，，，求的值及线段的长； （2）若，求的所有可能值； （3）若，求的最大值，并求出此时所有可能的数列与． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期浙江省名校协作体试题 高二年级数学学科 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系得出结果. 【详解】由题意知，， 所以直线的斜率为，即（为直线倾斜角）， 由，解得. 故选：B. 2. 已知直线l的方向向量，平面的法向量，若直线l与平面平行，则实数x的值为（ ） A. 7 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与平面平行可得，利用空间向量的数量积运算可得结果. 【详解】∵直线l与平面平行，∴， ∴，解得. 故选：B. 3. 已知直线与直线垂直，则实数m的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的公式计算可得实数m的值. 【详解】由题意得，，解得. 故选：A. 4. 已知双曲线的焦距为，则m的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件得出及双曲线的性质，即可求出m的值. 【详解】由焦距为，， 则，解得：， 故m的值为1. 故选：C. 5. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，再根据垂径定理和点到直线的距离公式可得. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 联立与得公共弦所在直线为， 圆心到直线的距离为， 故弦长为， 故选：C 6. 已知等差数列，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的概念可确定选项. 【详解】设等差数列的公差为，则. 当时，， ∴由可得. 当时，，恒成立，不能得到， ∴由不能得到， ∴“”是“”充分不必要条件. 故选：A. 7. 在直三棱柱中，，，P是棱的中点，则C到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合三棱锥得体积，直接使用等体积法得到答案. 【详解】由条件可得是等腰直角三角形，且， 故， 所以, , 设P到直线的距离为h， 则由, 可知, 设所求距离为d， 因， 则， 解得：. 故选：D. 8. 已知F为抛物线的焦点，其中O为坐标原点，直线l交抛物线C于A、B两点，，点F关于直线的对称点为H，则直线的斜率的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，联立抛物线方程，由，结合韦达定理求得，再由对称性求得H坐标，通过斜率公式，构造函数，求导确定最值； 【详解】由题意可知，直线斜率不为0， 设 联立抛物线方程，消去可得：， 所以 又， 所以，解得：， 所以， 又，设， 所以， 解得：， 所以， 结合图像可知， 要使斜率最大，需在第一象限，所以， 令， ， 令可得：， 可得：， 所以在单调递增，单调递减， 当时，取得最大值， 故选：C 【点睛】关键点点睛：通过对称性求得坐标，通过斜率公式构造函数求导求最值. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 空间中任意两个向量一定共面 B. 若空间向量，，则与的夹角为钝角 C. 若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的性质可判断A；利用空间向量坐标计算，即可判断B错误；根据空间基底的性质及定义，可判定CD正确. 【详解】对于A，因为空间中任意两个向量都可以平移至起点重合，成为同一个平面的两个向量，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，基底的性质知，空间基底是由非零且不共面的三个向量构成，故C正确； 对于D，由是空间的一个基底，设，显然不存在实数使得成立， 所以一定不共面，则也是空间的一个基底，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知等差数列，的前项和分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则为常数列 B. 若，则为常数列 C. 若，则 D. 若，则是递增数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项求和公式计算，判断ABC，结合二次函数的图象与性质即可判断D. 【详解】设等差数列的公差分别为. 若，则，即， ，即， ，即， 解得，所以等差数列为常数列，故A正确，B错误； 若，则，即， ，即， ，即， 解得，所以，故C正确； ， 所以， 而函数在上单调递增， 又，所以数列为递增数列. 故选：ACD 11. 在平面直角坐标系中，圆锥曲线可以用方程来表示，图形的几何性质被方程的系数所确定．曲线的方程是依赖于坐标系的，而方程所表示的曲线的几何性质是不依赖于坐标系的，所以表示这些几何性质的量，如圆锥曲线的离心率，焦距等，不会由于直角坐标系的位置变化而变化．已知某圆锥曲线的方程为，是曲线上任意一点，则（ ） A. 该曲线关于坐标原点O对称 B. 的取值范围是 C. 该曲线是双曲线，离心率为 D. 该曲线是椭圆，离心率为 【答案】AD 【解析】 【分析】令，代入原方程即可判断A；利用基本不等式，令，结合三角函数的性质计算即可判断B；令，代入原方程，结合椭圆的标准方程和离心率的概念计算即可判断CD. 【详解】由，得， 则曲线关于原点对称，故A正确； 由题意知，（当且仅当时等号成立）， 得，则，所以； 令，由，得， 即，得（当时等号成立）， 即，所以，故B错误； 令，代入， 得， 整理得，即， 所以曲线为椭圆，离心率为，故C错误，D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：解决本题CD选项的关键是利用坐标的变换（令），将原方程转化为椭圆的标准方程即可突破. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知公比不为的等比数列满足，则正整数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列下标和的性质可得的值. 【详解】∵数列是公比不为的等比数列，且， ∴， ∴. 故答案为：. 13. 已知圆，其中为坐标原点，直线与圆交于点，则的面积的最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，根据几何法求弦长，表示出三角形的面积为，结合导数求出面积的最大值即可. 【详解】如图， 点到直线的距离为，则， ， 所以， 令，则， 所以函数在上单调递增， 得，即的最大值为. 故答案为：2 14. 在正方体中，点P是线段上的一点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，代入空间线面角公式，分和再利用换元法结合二次函数的性质求出范围即可. 详解】 设正方体的棱长为2， 以为原点建立空间直角坐标系，， 设， 则， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成的角为， 则， 当时，， 当时，， 设，， 所以， 综上，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是能够利用空间线面角公式表示出所求角，再利用二次函数的性质求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系可求数列的通项公式. （2）根据裂项相消法可求数列的前n项和． 【小问1详解】 当时，， 当时，，符合上式， ∴. 【小问2详解】 由（1）得，， ∴． 16. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上． （1）求圆C的方程； （2）设P是直线上的一点，过P向圆C引两条切线，切点为A、B，使得为正三角形，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求得曲线与坐标轴的交点，根据圆的几何性质设圆心坐标为，利用两点间的距离公式列方程解得的值，即可得圆C的方程； （2）根据等边三角形和圆的几何性质可得，根据点P在直线上设，根据两点间的距离公式列方程即可解得的值，进而得点P的坐标. 【小问1详解】 曲线与坐标轴的交点为，，． 由题意可设C的圆心坐标为， 所以，解得， 则半径， 所以圆C的方程为． 【小问2详解】 由题意得，在中，， 设，则，解得或， 所以点P的坐标为或． 17. 如图，在四棱锥中，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证； （2）取中点，连接，，即可证明平面，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 取中点，连接，，由条件可知，是的中位线， 所以且，又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 取中点，连接，， 因为，， 所以，即， 所以为等腰直角三角形，则， 在直角梯形中，且，所以四边形为平行四边形， 又，所以为矩形，所以，，由，故， 又因为，，平面，，所以平面， 如图以为坐标原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，，，， 设平面的一个法向量为，则，得 取， 设平面的一个法向量为，则得 取，设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求椭圆C的方程： （2）过点的直线交圆于点M、N，直线垂直，且交C于点P、Q，交于点A．记，的面积分别为，． （i）若，求t的取值范围； （ii）是否存在常数t，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由长轴长，离心率，求出，得到椭圆方程； （2）（i）由垂径定理，由对称性可知，根据面积之比得到，A是的中点，时，得到，时，联立求出点坐标，进而得到点坐标，表达出直线的方程，求出，并得到，换元后，由对勾函数单调性得到，从而得到答案； （ii），由（i）可知，，由垂径定理得，所以，故当，即时，即为定值3． 【小问1详解】 由题意知：，，解得，，故， 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 （i）由垂径定理可得A是的中点，即，由对称性可知， 易知，，故， 所以，故A是的中点． ①当时，易知，故由中点坐标公式得，此时； ②当时，由得， 解得，故 由条件可知，由中点坐标公式得， 故直线的方程为：， 令得， 由直线过点，故． 由可知得，又，故， 此时令，则， 则， 任取，， 则， 因为，，所以，， 所以，即， 故当时，t单调递减， 故． 综上，取值范围是． （ii）由题得， 由（i）可知，故， 又，直线，即， 所以，故， 由垂径定理得， 所以， 故当，即时，， 即为定值3． 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 19. 已知数列，，定义和的“生成数列”为：，，其中表示和两个数中较小的数；定义和的“生成点列”为：． （1）若，，，，求的值及线段的长； （2）若，求的所有可能值； （3）若，求的最大值，并求出此时所有可能的数列与． 【答案】（1）， （2）21或19 （3）的最大值为58，答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据“生成数列”的定义可计算的值，结合题目条件得到的坐标即可得到线段的长. （2）分类讨论的值即可计算结果. （3）通过计算得到，根据不成立可得的最大值为58，由此可列出所有可能的数列与. 【小问1详解】 由题可知，，， 因为，，所以． 小问2详解】 若，，，，则，， 若，，，，则，， 综上：的可能取值为21或19． 【小问3详解】 当时，， 所以，， ， ， 即， 故是下述“Z”型折线中的各数之和的最小值． 下面尝试寻求的最大值，为了使得和尽量的大，上述“Z”型折线应该尽量经过较大的数字，故我们可以尝试下述填法： 20 12 12 12 此时不难进一步得到下述填法： 20 12 6 2 12 12 10 1 7 12 ，，，，． 下面我们证明58是的最大值，设存在某种填法，使得， 情形一：若，则，矛盾，从而； 情形二：，则，此时填法如下 20 12 从而，所以，所以， ①若填法为 20 12 12 12 则，所以，所以， 故填法如下： 20 12 12 12 12 10 则，所以，矛盾，舍； ②若填法为 20 12 12 10 则，所以，所以， 故填法如下： 20 12 12 12 10 12 则，所以，矛盾，舍； 综上，的最大值为58，且所有可能的填法如下： 20 12 6 2 12 12 10 1 7 12 20 12 6 12 2 12 10 1 12 7 20 12 12 6 2 12 12 10 1 7 即取到最大值的，如下： ①，， ②，， ③，． 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$