精品解析：江苏省宿迁市宿豫区宿豫区城区三校联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期九年级 数学试卷 （总分：150分，时长：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、中当时．y是x的一次函数，则A不符合题意； B、不是二次函数，则B不符合题意； C、是一次函数，则C不符合题意； D、符合二次函数定义，它是二次函数，则D符合题意； 故选：D． 2. 某小组8名学生的中考体育分数如下：39，40，40，42，42，42，43，44，则该组数据的众数、中位数分别为（   ） A. 40，42 B. 42，43 C. 42，42 D. 42，41 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义，先确定出现次数最多的数得到众数，再将数据排序后，计算偶数个数据的中间两个数的平均数得到中位数． 【详解】解：∵将数据从小到大排列为：，，，，，，，， 其中出现次数最多， ∴该组数据的众数为. ∵数据共个，中位数为第个和第个数据的平均数， 第个数据为，第个数据为， ∴中位数为. 因此该组数据的众数、中位数分别为，． 3. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了主要二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．求出二次函数的对称轴，得到点关于的对称点为，结合二次函数增减性判断即可． 【详解】解：依题意可得函数图象的对称轴为：直线，且函数图象的开口向上， 点关于的对称点为， 根据题意可得，当时，随着轴的增大而减小， ∵， ， 故选：B． 4. 如图，分别切于两点，点在优弧上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、四边形内角和定理及圆周角定理，连接，根据切线的性质得出，再由四边形内角和为360度得出，最后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解即可，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】连接， ∵分别切于两点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，在中，，点是的重心，连接，若，则线段长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的重心，直角三角形斜边的中线，关键是由重心的性质得到，D是中点． 延长交于D，由重心的性质得到，D是中点，求出，由直角三角形斜边中线的性质得到． 【详解】解：延长交于D， 点G是的重心， ，D是中点， ， ， ，D是中点， 故选：C． 6. 如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质并能准确计算是解题关键．连接、、、，过点作于点，利用求出圆的半径，再求出和，利用直角三角形性质和勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：连接、、、，过点作于点，如图， ∵正方形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵等边三角形内接于， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 二次函数的图象如图所示．则a、b、c的值为（ ） A. ，，2 B. ，4，2 C. ，4，2 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式．根据该二次函数的图象与轴的一个交点，结合函数图象的对称轴，可得该二次函数的图象与轴的另外一个交点，再将该二次函数的图象与轴的交点，三点代入，解方程组即可． 【详解】解：根据函数图象可知， 该二次函数的图象与轴的一个交点， ∵函数图象的对称轴， ∴， ∴该二次函数的图象与轴的另外一个交点， ∵该二次函数的图象与轴的交点， ∴， 解得：， 故选：A． 8. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则的值为（　　） A. 4 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，利用三角形相似建立等式，再根据根的判别式等于0建立方程求解． 【详解】∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵满足条件的点P有且只有一个， ∴方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定定理及性质，方程的思想，解题的关键是：掌握相似三角形的判定定理及建立方程进行求解． 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．） 9. 已知，那么代数式的值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】已知，则设，，把和的值代入代数式化简即可． 【详解】解：∵， 设，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，根据已知设出，是解题的关键． 10. 已知线段，点是线段的黄金分割点．则的长为___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此求解即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的底面半径，掌握弧长公式是解题关键．根据题意画出大致图形，由弧长公式可求出围成的圆锥的底面圆的周长为，从而可求出围成的圆锥的底面圆的半径． 【详解】解：如图， 由弧长公式可求出， ∴围成的圆锥的底面圆的周长为， ∴围成的圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：2． 12. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．由根与系数的关系可求得，，代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 13. 如图，是一块草坪，其中，，，阴影部分是的内切圆，则阴影部分的面积为_______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，勾股定理，利用三角形内切圆的性质求出内切圆的半径是解题关键．先用勾股定理求出的长度，根据三角形内切圆的性质，结合三角形的周长和面积求出内切圆的半径，即可解答． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴的周长， 设的内切圆半径为， ∴， ∴ ， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 14. 抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解：∵把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位， ∴得到的抛物线的解析式为， 故答案为：． 15. 已知函数的图象经过点，，则与的大小关系为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别把和代入解析式，计算出对应的函数值，然后比较大小． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 将抛物线绕顶点旋转后的图象的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，先将函数解析式整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再根据绕顶点旋转后的图象与原图象开口相反，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：， ， ， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线绕顶点旋转后的图象的解析式为， 即． 故答案为：． 17. 如图，是的中线，E是上一点，的延长线交于F，的面积与的面积之比是，且，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理、三角形面积等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．作交于，证出，根据三角形面积关系得，根据平行线分线段成比例定理得到，则，进而得到答案． 【详解】解：作交于， 是的中线， ， ， ， 的面积与的面积之比是， ， ， ， ， ； 故答案为：12． 18. 如图，在中，，，，点是边上一动点，且，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，根据题意证明得出，，设，则，进而表示出面积，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，，，， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， 设，则 ∴ ∴ 当时，面积的最大值为 故答案为：． 三、解答题（本大题共10题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程； （1）可得，，，求出利用公式法求解即可； （2）因式分解得的形式可得或，即可求解； 掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【小问1详解】 解：，，， ， ， ，； 【小问2详解】 解： ， 或， ，． 20. 如图，点，在线段上，且是等边三角形，，，．求证：． 【答案】 证明：为等边三角形， ，， ， ． ． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定和等边三角形的性质，先证明，然后由为等边三角形可证明，从而可证明． 【详解】略 21. 某地区教育部门为了解初中数学课堂中学生参与情况，并按“主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目”四个项目进行评价．检测小组随机抽查部分学校若干名学生，并将抽查学生的课堂参与情况绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（均不完整）．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽查的样本容量是_____； （2）在扇形统计图中，“主动质疑”对应的圆心角为_____； （3）将条形统计图补充完整； （4）如果该地区初中学生共有名，那么在课堂中能“独立思考”的学生约有多少人？ 【答案】（1） （2） （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联、样本估计总体等知识． （1）用专注听讲的人数除以对应的百分比即可； （2）用 乘以“主动质疑”的百分比即可； （3）求出“讲解题目”的人数，据此补全统计图即可； （4）该地区初中学生总数乘以样本中“独立思考”的学生的占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量为 (人)； 故答案为： 【小问2详解】 “主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：； 故答案为： 【小问3详解】 “讲解题目”的人数是： (人)． 【小问4详解】 (人)，  答：在课堂中能“独立思考”的学生约有人． 22. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】（1）解析式为，顶点坐标为 （2）点P的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质； （1）用待定系数法即可求得解析式，再解析式配方即可求得顶点坐标； （2）首先验证P是顶点时是否满足题意，再考虑点P在x轴上方时的情况即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 解析式配方得， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴顶点到x轴距离为4， 则，表明点P是抛物线的顶点时，也满足， ∴点P坐标为； 当点P在x轴上方时，设，其中， ∵， ∴，即， 解得：， ∴点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或． 23. 已知二次函数的图像为抛物线C． （1）抛物线C顶点坐标为______； （2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，请判断抛物线是否经过点，并说明理由； （3）当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】（1） （2）不经过，说明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）一般解析式化为顶点式，进行求解即可． （2）由题意得出平移后的函数表达式，将点横坐标2代入，求纵坐标的值并与3比较，相等则抛物线过该点． （3）先判断该函数图像开口向上，对称轴在所求自变量的范围内，可求得函数值的最小值，然后将代入解析式求解，取最大的函数值，进而得出取值范围． 【小问1详解】 解：化成顶点式为 ∴顶点坐标为 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意知抛物线的解析式为 将代入解析式解得 ∴不经过点． 【小问3详解】 解：∵对称轴直线在中 ∴最小的函数值 将代入解析式得 将代入解析式得 ∵ ∴函数值的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数值顶点式，图像的平移，函数值的取值范围等知识．解题的关键在于正确的表示出函数解析式． 24. 某网店专门销售某种品牌的学习用品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． (1) 求y与x之间的函数关系式； (2) 当销售单价x为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）y=﹣10x+700；（2）当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元 【解析】 【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式； （2）利用利润w=销量乘以每件利润进而得出关系式求出答案； 【详解】（1）由题意得：， 解得：． 故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+700， （2）设利润为w=（x﹣30）•y=（x﹣30）（﹣10x+700）， w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10（x﹣50）2+4000， ∵﹣10＜0，∴x=50时，w大=﹣10（50﹣50）2+4000=4000 答：当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元 【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，正确掌握二次函数的性质是解题关键． 25. 如图，是的直径，D为上一点，点C是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径及的长． 【答案】（1）见解析 （2）半径为3， 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对圆周角为，推出，再根据，结合，推出，即可证明； （2）在中利用勾股定理即可求出的半径，再证明，推出，设，则，利用勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即的半径为3 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理；掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 26. （1）如图1，在中，，请用无刻度的直尺和圆规在上确定一点P，使得（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，若，，则的长为 ； （3）在如图2的正方形网格中，的三个顶点均为格点，请用无刻度的直尺，在边上确定一点M，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）以点C为顶点，作，点P在线段上，则点P即为所求； （2）利用得到，代入数值即可得到答案； （3）在网格中取连接交于点M，则M点即为所求． 【详解】（1）如图，点P满足要求， ∵，， ∴ （2）∵ ∴， ∵，， ∴， 故答案为： （3）如图，点M即为所求， 如图，取连接交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴点M满足要求． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、基本作图等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C．二次函数的图象经过A、C两点，与x轴的另一个交点为B． （1）求二次函数的表达式； （2）点P是该函数在第一象限内图象上的一个动点，连接、，求的面积最大时，点P的坐标，并求出的最大面积． 【答案】（1） （2）点P的坐标为，的最大面积为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据待定系数法可进行求解二次函数解析式； （2）过点P作轴于点D，交于点E，设，则，求出，由，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：令，则， 将代入，则． ，， 把，代入得： ，解方程组得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：过点P作轴于点D，交于点E，如图所示： 设，则， ∴， ∴， 当时，的最大面积为， 则， ∴． 28. 【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）． 【答案】 （1）证明：在正方形中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出； （3），作于点N，证明，得出．证明，得出，求出． 【详解】（1）略 （2）如图1，作于点N，如图所示： ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ， ∴， ∴． ∵， ∴， 如图2，作于点N， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期九年级 数学试卷 （总分：150分，时长：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 某小组8名学生的中考体育分数如下：39，40，40，42，42，42，43，44，则该组数据的众数、中位数分别为（   ） A. 40，42 B. 42，43 C. 42，42 D. 42，41 3. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，分别切于两点，点在优弧上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点是的重心，连接，若，则线段长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 6. 如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示．则a、b、c的值为（ ） A. ，，2 B. ，4，2 C. ，4，2 D. 无法确定 8. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则的值为（　　） A. 4 B. C. D. 5 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．） 9. 已知，那么代数式的值是_______． 10. 已知线段，点是线段的黄金分割点．则的长为___________； 11. 已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面圆的半径为______． 12. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____． 13. 如图，是一块草坪，其中，，，阴影部分是的内切圆，则阴影部分的面积为_______（结果保留）． 14. 抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式_______． 15. 已知函数的图象经过点，，则与的大小关系为_______． 16. 将抛物线绕顶点旋转后的图象的解析式为______． 17. 如图，是的中线，E是上一点，的延长线交于F，的面积与的面积之比是，且，则________． 18. 如图，在中，，，，点是边上一动点，且，则面积的最大值为______． 三、解答题（本大题共10题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）； 20. 如图，点，在线段上，且是等边三角形，，，．求证：． 21. 某地区教育部门为了解初中数学课堂中学生参与情况，并按“主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目”四个项目进行评价．检测小组随机抽查部分学校若干名学生，并将抽查学生的课堂参与情况绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（均不完整）．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽查的样本容量是_____； （2）在扇形统计图中，“主动质疑”对应的圆心角为_____； （3）将条形统计图补充完整； （4）如果该地区初中学生共有名，那么在课堂中能“独立思考”的学生约有多少人？ 22. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 23. 已知二次函数的图像为抛物线C． （1）抛物线C顶点坐标为______； （2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，请判断抛物线是否经过点，并说明理由； （3）当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 24. 某网店专门销售某种品牌的学习用品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． (1) 求y与x之间的函数关系式； (2) 当销售单价x为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 25. 如图，是的直径，D为上一点，点C是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径及的长． 26. （1）如图1，在中，，请用无刻度的直尺和圆规在上确定一点P，使得（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，若，，则的长为 ； （3）在如图2的正方形网格中，的三个顶点均为格点，请用无刻度的直尺，在边上确定一点M，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 27. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C．二次函数的图象经过A、C两点，与x轴的另一个交点为B． （1）求二次函数的表达式； （2）点P是该函数在第一象限内图象上的一个动点，连接、，求的面积最大时，点P的坐标，并求出的最大面积． 28. 【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $