模型突破02 不可存在模型及物理悖论-2025届高考物理二轮专题讲义

2025届物理总复习·二轮·模型突破 模型突破02 不可存在模型及物理悖论 ( E A B D R O C P θ )1．不可存在的“永动机”模型 【例1】（高考中常见的“永动机”模型）如图所示，竖直平面内一光滑绝缘 圆管半径为R，圆管的下半部分处在水平向右的匀强电场中，电场方向与圆管的 水平直径AC平行，BD为竖直直径。一质量为m的带正电小球，直径比圆管内径 略小，可在圆管内自由运动，且不会将电荷传给圆管。将小球从A点由静止释放， 小球第一次恰能绕过D点，从而在管内连续转圈。下列说法正确的有（ ） A．小球在电场中运动时所受电场力大小等于mg B．小球第n次经过B点时对圆管的压力大小为（n＋1.5）mg C．从A点算起，在转同一圈的过程中，小球经B点时对圆管的压力最大 ( E A B D R O C P mg F N v n F 电 )D．若将小球从C点由静止释放，到达P点时速度为0，则tanθ＝0.5 【答案】BD 【解析】另类回旋加速器 A：小球第一次恰能绕过D点，即到达D点的速度为0，由动能定理得 ，A错； B：设小球第n经B点时速度为vn，对整个过程用动能定理，得 ( E A B D R O C α F 电 mg )设圆管对小球的支持力为FN，则 则压力大小为（n＋1.5）mg，B对； C：可以推导证明，即使圆管上半部分没有磁场，小球同样是经电场中的 等效最低点时对圆管的压力最大（tanα＝2） 等效最低点位于BC之间，不是B点，C错； ( E A B D O C P θ h x )D：设从C到P，水平位移大小为x，竖直位移大小为h，由动能定理得： ，D对。 【质疑】按题意，小球从A点开始沿逆时针方向转动，每转一圈过程中，电场力 做功，重力做功为0，所以随着转的圈数增多，带电小球的运动 越来越快，机械能越来越大。但问题是，本题中的电场是稳定的，并不提 供电场能，那么小球越来越大的机械能是哪来的？ 【根源】不存在有理想边界的匀强电场。在圆环的上半部分空间中，其实也有电场。 ( C 1 C 2 + - + - )【例2】（民间曾经出现过的“永动机”模型）如图所示，有一传送带装置只依靠电场力转动。绝缘皮带质量为m、总长度为L、均匀带有正电荷Q。皮带上下两水平部分通过两个相同的电容器极板中心的小孔各有一部分处在一个电容器内的电场中（假设为匀强电场），每个电容器两极板间的距离为L/4。两电容器极板间的电压均为U。不计皮带轮的质量及转轴的摩擦，且认为皮带不会将电荷传给皮带轮，根据题中描述的情景，下列说法正确的有（ ） A．皮带转动时的加速度大小 B．由静止释放皮带，刚转过一圈时皮带获得的速度大小 C．每转一圈，电场力做功相等，所以功率不变 D．题中描述的情景符合物理规律，皮带能够一直加速度下去，不断获得动能，这个事例说明永动机是可以制成的 ( C 1 C 2 + - + - F F )【答案】ACD 【解析】另类回旋加速器 A：每个电容器内的电场强度大小 每个电容器内的一段皮带上所带电荷量 则皮带的加速度大小，A错； B：每转一圈通过的路程为L，由速度—位移公式得，B对； C：皮带做加速运动，速度v逐渐增大，而电场力F不变，则电场力的功率增大，C错； D：题中假设的情景不存在。电容器带电后，并不只是在两极板之间形成电场，电容器之外其实也有电场。带电皮带转动时，电容器内部的电场对内部皮带上的电荷做正功，外部的电场对外部的皮带上的电荷要做负功，任何一段过程中，其实电场力的总功为0，并不能使皮带加速而使皮带的动能增大。这类永动机违背能量守恒定律，不可能制成。D错。 【根源】同例1 ( ω F 浮 水 )【例3】（民间曾经出现过的“永动机”模型）曾有人设计了如图所示的“永动机”：取一个容器，右侧面开一条矩形槽，在槽内安装一个大圆轮，圆轮左半部分处在容器内，右半部分处在容器外，容器内装水，圆轮表面与容器的矩形槽严丝合缝，保证容器内的水不流出，同时保证圆轮可以自由转动（现在的制造工艺 很容易做到这一点）。按照阿基米德原理，圆轮浸在水中的一半受到竖直向上的 浮力等于排开水的重力，在这个浮力F浮作用下圆轮获得动力不停地转动，带动 其他机器设备运行。对于这种“永动机”，下列理解正确的有（ ） A．原理上没问题，这种永动机可以制造出来，并为人类彻底解决能源问题 B．左半轮受到向上的浮力，但浮力不做功，所以这种永动机造不出来 C．左半轮受到向上的浮力，且浮力做功使圆轮转动，将水的内能转化为圆 轮的机械能，但由于水的内能有限，制造这种机器意义不大 D．左半轮根本就不受浮力，圆轮不会转动，这种永动机无法制成 【答案】D 【解析】浮力的本质是压力差。左半轮浸在水中，前后两平面受到水的压力大小相等方向相反，合力为0；圆弧形侧面各处受到水的压力都指向转轴，不使圆轮产生转动效果，圆轮不会转动。圆轮左半轮其实不受水的浮力。 【根源】认为能制造这种“永动机”，是因为没有理解产生浮力的本质。 ( B A 棉 纱 吸 水 水 水轮机 转动 水 水循环 )【例4】（民间曾经出现过的“永动机”模型）毛巾吸水、灯芯吸油，这都是 大家熟知的生活现象，有人据此设计了一种“永动机”模型。如图所示，低处的 A容器中装水，通过一捆棉纱将A中的水吸到高处的B容器中，B容器通过管道 往低处A容器中放水形成水循环，水在管中流动时推动水轮机旋转，形成永动。 对于这个装置及工作情况的理解，下列说法正确的有（ ） A．棉纱能够往高处吸水，是因为水对棉纱是浸润的，这是一种毛细现象 B．棉纱能够往高处吸水，这是一种虹吸现象 C．水在棉纱纤维的毛细管内确实能够上升，所以这种永动机可行 D．水能够沿毛细管上升，但不能从低处的A容器中吸到高处的B容器中 E．利用棉纱对水的毛细现象，能够将高处容器中的水吸到低处容器中 【答案】ADE 【解析】液体在浸润的毛细管中能够上升，在不浸润的毛细管中能够下降。水能够被棉纱往高处吸，说明水对棉纱是浸润的，这是一种毛细现象，不是虹吸现象，A对B错； 浸润液体之所以能够沿毛细管上升，是因为液体对毛细管有一种向上的附着力，所以水被吸到棉纱的上端后会附着在棉纱上，不会往下脱离棉纱而进入高处的容器B中，C错D对； E正确，这类似于虹吸现象，是受附着力和水的重力共同作用产生的结果，因为从高处往低处吸时，往下垂下的棉纱比较长，其中的水在重力作用下会往下流动进入下方的容器中。 利用棉纱对水的毛细现象，可以将水往低处转移，不能往高处转移，所以不能制成永动机。 2．不可存在的不均匀模型 【例5】下列用电场线分布情况表示的静电场不存在的有（ ） ( D ) ( C ) ( B ) ( A ) ( B P P ′ Q Q ′ D )【答案】BCD 【解析】A是非常常见的非匀强电场，A存在； B：如图作两个垂直于电场方向的平行平面M与N，将试探电荷沿M或N移动，电场力 方向与移动方向垂直，电场力不做功，因而平面M与平面N都是等势面，即 而从分析可知＞ 两种结果相矛盾，所以B的电场不存在； C：因为顺着电场线方向电势降低，则静电场中的电场线不闭合，所以C的电场不存在； D：以中心点为球心作两个同心球面，同B的分析，知D的静电场不存在。 ( B ) 【推广】同上述B中的电场类似，磁感线彼此平行，但疏密分布不均匀，这样的磁场 其实也是不存在的，但在很多习题甚至高考题中，这样的磁场也出现过。 ( B v d c b a x O y )【例6】如图，垂直于xOy平面向里的磁场沿y轴方向强弱相同；沿x轴正方向均匀增强，变化梯度△B/△x＝1T/m。有一长ad＝0.2m、宽ab＝0.1m的矩形线圈（ad∥y轴、ab∥x轴）以v＝2m/s的速度沿x轴正方向匀速运动，则线圈中的感应电动势为多少？若线圈电阻R＝0.02Ω，为使线圈匀速运动需多大的外力？ 【答案】0.04V，0.04N 3．不可存在的突变模型 （1）空间上不突变——关于理想边界 ( M N v 0 v M v N B E m ， +q P )【例7】高中物理习题中有很多如图所示的场景：匀强电场E水平向前，匀强磁场B竖直向下。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从电场中某点O开始以垂直于电场的初速度v0开始运动，经电场偏转后通过分界面上的M点垂直进入磁场，在磁场中经一段圆弧MPN运动后从分界面上的N点再次进入电场。运动 过程中只考虑电场力和洛伦兹力作用，下列说法正确的有（ ） A．M、N两点间的距离，与O点在电场中的位置无关 B．粒子在磁场中运动的轨迹圆半径与v0的大小成正比 C．因洛伦兹力不做功，粒子经M、N两点时动能Ek相等 D．因电场中电势φM＜φN，则粒子在电场中M、N两点时的电势能＜ 【延伸分析】从功能关系、能量守恒方面来说，你对本题如何理解？ ( v M N v 0 B P v 0 θ θ R d )【答案】ACD 【解析】A：，A对； （相当于以垂直于边界的速度v0在磁场中做圆周运动对应的轨道半径） B：，由于进入磁场的速度v的方向与v0的方向夹角θ 可能不同，R并不与v0的大小成正比，B错； C与D很显然是对的。 【质疑】在磁场中，带电粒子从M点经圆弧MPN运动到N点，没有外力做功，动能不变，但电势能增大了，这增大的电势能哪来的？ 【根源】不存在有理想分界面的匀强磁场和匀强电场 （2）时间上不突变——关于变化率 【总结】 （1）方向平行的电场（或磁场），一定是匀强电场（匀强磁场） （2）不存在有理想边界（或分界面）的电场（或磁场） 理想边界，是指从有电场（E≠0）或磁场（B≠0），突然变成E＝0或B＝0。若发生突变，则随空间的变化梯度为无穷大，这是违背客观规律的。 在电场或磁场的边缘处，E或B只能逐渐变为0（或逐渐减为0再反向） （3）不存在随时间突变的电场或磁场。因为突变条件下，其变化率为无穷大，违背客观事实。 【应对策略】 平时学习或考试中，我们经常会遇到上述不可存在的模型。当你发现不可存在或其他不合客观规律的问题时，不要太过“钻牛角尖”，应顺着题目意思及命题都意图来分析解题，因为中学阶段限于学识层次，对有些问题本来就不要求那么严谨。 【作业】 班次 座次 姓名 ( A C B D O E R )1．（“永动机”模型）如图所示，竖直平面内一光滑绝缘圆形轨道半径为R， AC、BD分别为其水平直径和竖直直径，轨道左半部分处在竖直向下的的匀强电 场中，右半部分无电场，一质量为m的带正电小球从A点由静止释放，小球第一 次刚能绕过最高点D，从而不停地在轨道内转圈。下列说法正确的有（ ） A．小球在电场中运动时所受电场力大小为3mg B．小球第n次经过C点时对轨道的压力大小为6（2n－1）mg C．小球从A点出发后第一次回到A点时对轨道的压力大小，与第一次经过C 点时对轨道的压力大小相等 D．小球在正常转圈过程中，每经过B点时对轨道的压力突然变小，而经过D 点时对轨道的压力突然增大 【答案】AB 2．（2015年重庆卷）（“永动机”模型）如图为某种离子加速器的设计方案。两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场。其中MN和M N 是间距为h的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔O和Oʹ，OʹNʹ＝ON＝d，P为靶点，OʹP＝kd（k为大于1的整数）。极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为U，质量为m、带电量为q的正离子从O点由静止开始加速，经O 进入磁场区域。当离子打到极板上ON区域，（含N点）或外壳上时将会被吸收。两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过，忽略相对论效应和离子所受的重力。求： （1）离子经过电场仅加速一次后能打到P点所需的磁感应强度大小； （2）能使离子打到P点的磁感应强度的所有可能值； ( kd M P d h N O M ʹ O ʹ N ʹ )（3）打到P点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间。 【答案】（1）磁感应强度大小：； （2）磁感应强度的所有可能值：（n＝1，2，3，……，k2-1）； （3）在磁场中运动的时间：，在电场中运动的时间： ▲另类回旋加速器 3．（2023年山东卷）（“永动机”模型）如图所示，在0≤x≤2d，0≤y≤2d的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。 （1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小； （2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。 （i）求改变后电场强度E′的大小和粒子的初速度v0； （ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。 【答案】（1）；（2）（i），；（ii）不会 【解析】（1）由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，轨迹如图 根据几何关系可知 联立可得 （2）（i）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图 在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知 解得 所以有， 洛伦兹力提供向心力 带电粒子从A点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有 再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x方向有 沿y方向上有 其中根据牛顿第二定律有 联立以上各式解得，， （ii）粒子从P到Q根据动能定理有 可得从Q射出时的速度为 此时粒子在磁场中的半径 根据其几何关系可知对应的圆心坐标为， 而圆心与P的距离为 故不会再从P点进入电场。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届物理总复习·二轮·模型突破 模型突破02 不可存在模型及物理悖论 ( E A B D R O C P θ )1．不可存在的“永动机”模型 【例1】（高考中常见的“永动机”模型）如图所示，竖直平面内一光滑绝缘 圆管半径为R，圆管的下半部分处在水平向右的匀强电场中，电场方向与圆管的 水平直径AC平行，BD为竖直直径。一质量为m的带正电小球，直径比圆管内径 略小，可在圆管内自由运动，且不会将电荷传给圆管。将小球从A点由静止释放， 小球第一次恰能绕过D点，从而在管内连续转圈。下列说法正确的有（ ） A．小球在电场中运动时所受电场力大小等于mg B．小球第n次经过B点时对圆管的压力大小为（n＋1.5）mg C．从A点算起，在转同一圈的过程中，小球经B点时对圆管的压力最大 D．若将小球从C点由静止释放，到达P点时速度为0，则tanθ＝0.5 ( C 1 C 2 + - + - )【例2】（民间曾经出现过的“永动机”模型）如图所示，有一传送带装置只依靠电场力转动。绝缘皮带质量为m、总长度为L、均匀带有正电荷Q。皮带上下两水平部分通过两个相同的电容器极板中心的小孔各有一部分处在一个电容器内的电场中（假设为匀强电场），每个电容器两极板间的距离为L/4。两电容器极板间的电压均为U。不计皮带轮的质量及转轴的摩擦，且认为皮带不会将电荷传给皮带轮，根据题中描述的情景，下列说法正确的有（ ） A．皮带转动时的加速度大小 B．由静止释放皮带，刚转过一圈时皮带获得的速度大小 C．每转一圈，电场力做功相等，所以功率不变 D．题中描述的情景符合物理规律，皮带能够一直加速度下去，不断获得动能，这个事例说明永动机是可以制成的 ( ω F 浮 水 )【例3】（民间曾经出现过的“永动机”模型）曾有人设计了如图所示的“永动机”：取一个容器，右侧面开一条矩形槽，在槽内安装一个大圆轮，圆轮左半部分处在容器内，右半部分处在容器外，容器内装水，圆轮表面与容器的矩形槽严丝合缝，保证容器内的水不流出，同时保证圆轮可以自由转动（现在的制造工艺 很容易做到这一点）。按照阿基米德原理，圆轮浸在水中的一半受到竖直向上的 浮力等于排开水的重力，在这个浮力F浮作用下圆轮获得动力不停地转动，带动 其他机器设备运行。对于这种“永动机”，下列理解正确的有（ ） A．原理上没问题，这种永动机可以制造出来，并为人类彻底解决能源问题 B．左半轮受到向上的浮力，但浮力不做功，所以这种永动机造不出来 C．左半轮受到向上的浮力，且浮力做功使圆轮转动，将水的内能转化为圆 轮的机械能，但由于水的内能有限，制造这种机器意义不大 D．左半轮根本就不受浮力，圆轮不会转动，这种永动机无法制成 ( B A 棉 纱 吸 水 水 水轮机 转动 水 水循环 )【例4】（民间曾经出现过的“永动机”模型）毛巾吸水、灯芯吸油，这都是 大家熟知的生活现象，有人据此设计了一种“永动机”模型。如图所示，低处的 A容器中装水，通过一捆棉纱将A中的水吸到高处的B容器中，B容器通过管道 往低处A容器中放水形成水循环，水在管中流动时推动水轮机旋转，形成永动。 对于这个装置及工作情况的理解，下列说法正确的有（ ） A．棉纱能够往高处吸水，是因为水对棉纱是浸润的，这是一种毛细现象 B．棉纱能够往高处吸水，这是一种虹吸现象 C．水在棉纱纤维的毛细管内确实能够上升，所以这种永动机可行 D．水能够沿毛细管上升，但不能从低处的A容器中吸到高处的B容器中 E．利用棉纱对水的毛细现象，能够将高处容器中的水吸到低处容器中 2．不可存在的不均匀模型 【例5】下列用电场线分布情况表示的静电场不存在的有（ ） ( D ) ( C ) ( B ) ( A ) ( B v d c b a x O y )【例6】如图，垂直于xOy平面向里的磁场沿y轴方向强弱相同；沿x轴正方向均匀增强，变化梯度△B/△x＝1T/m。有一长ad＝0.2m、宽ab＝0.1m的矩形线圈（ad∥y轴、ab∥x轴）以v＝2m/s的速度沿x轴正方向匀速运动，则线圈中的感应电动势为多少？若线圈电阻R＝0.02Ω，为使线圈匀速运动需多大的外力？ 3．不可存在的突变模型 （1）空间上不突变——关于理想边界 ( M N v 0 v M v N B E m ， +q P )【例7】高中物理习题中有很多如图所示的场景：匀强电场E水平向前，匀强磁场B竖直向下。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从电场中某点O开始以垂直于电场的初速度v0开始运动，经电场偏转后通过分界面上的M点垂直进入磁场，在磁场中经一段圆弧MPN运动后从分界面上的N点再次进入电场。运动 过程中只考虑电场力和洛伦兹力作用，下列说法正确的有（ ） A．M、N两点间的距离，与O点在电场中的位置无关 B．粒子在磁场中运动的轨迹圆半径与v0的大小成正比 C．因洛伦兹力不做功，粒子经M、N两点时动能Ek相等 D．因电场中电势φM＜φN，则粒子在电场中M、N两点时的电势能＜ 【延伸分析】从功能关系、能量守恒方面来说，你对本题如何理解？ （2）时间上不突变——关于变化率 【总结】 （1）方向平行的电场（或磁场），一定是匀强电场（匀强磁场） （2）不存在有理想边界（或分界面）的电场（或磁场） 理想边界，是指从有电场（E≠0）或磁场（B≠0），突然变成E＝0或B＝0。若发生突变，则随空间的变化梯度为无穷大，这是违背客观规律的。 在电场或磁场的边缘处，E或B只能逐渐变为0（或逐渐减为0再反向） （3）不存在随时间突变的电场或磁场。因为突变条件下，其变化率为无穷大，违背客观事实。 【应对策略】 平时学习或考试中，我们经常会遇到上述不可存在的模型。当你发现不可存在或其他不合客观规律的问题时，不要太过“钻牛角尖”，应顺着题目意思及命题都意图来分析解题，因为中学阶段限于学识层次，对有些问题本来就不要求那么严谨。 【作业】 班次 座次 姓名 ( A C B D O E R )1．（“永动机”模型）如图所示，竖直平面内一光滑绝缘圆形轨道半径为R， AC、BD分别为其水平直径和竖直直径，轨道左半部分处在竖直向下的的匀强电 场中，右半部分无电场，一质量为m的带正电小球从A点由静止释放，小球第一 次刚能绕过最高点D，从而不停地在轨道内转圈。下列说法正确的有（ ） A．小球在电场中运动时所受电场力大小为3mg B．小球第n次经过C点时对轨道的压力大小为6（2n－1）mg C．小球从A点出发后第一次回到A点时对轨道的压力大小，与第一次经过C 点时对轨道的压力大小相等 D．小球在正常转圈过程中，每经过B点时对轨道的压力突然变小，而经过D 点时对轨道的压力突然增大 2．（2015年重庆卷）（“永动机”模型）如图为某种离子加速器的设计方案。两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场。其中MN和M N 是间距为h的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔O和Oʹ，OʹNʹ＝ON＝d，P为靶点，OʹP＝kd（k为大于1的整数）。极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为U，质量为m、带电量为q的正离子从O点由静止开始加速，经O 进入磁场区域。当离子打到极板上ON区域，（含N点）或外壳上时将会被吸收。两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过，忽略相对论效应和离子所受的重力。求： （1）离子经过电场仅加速一次后能打到P点所需的磁感应强度大小； （2）能使离子打到P点的磁感应强度的所有可能值； ( kd M P d h N O M ʹ O ʹ N ʹ )（3）打到P点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间。 3．（2023年山东卷）（“永动机”模型）如图所示，在0≤x≤2d，0≤y≤2d的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。 （1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小； （2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。 （i）求改变后电场强度E′的大小和粒子的初速度v0； （ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$