精品解析：浙江省杭州高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

杭高2024学年第一学期期末考试高二 数学试题卷 命题：王希年 审题：石秀福 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前务必将自己的班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的地方. 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 圆：关于直线：对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 假设，且A与B相互独立，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.58 6. 已知空间向量，，则B点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 设无穷等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 为递减数列 B. 为递增数列 C. 数列有最大项 D. 数列有最小项 8. 已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点和：，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点.则以下命题正确的是（ ） A B. C. P、A、Q、B均在圆上 D. A，B所在直线方程为 10. 设是抛物线的焦点，直线过点且与抛物线交于，两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若倾斜角为，且，则 C. D. 若点，则最小值是5 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分（单位：分）分别为10，8，，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75%分位数为________. 13. 数列的前项和为________． 14. 在平面直角坐标系中，P为椭圆C：上的动点，Q为直线l：上的动点，且.则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在四棱锥中，底面为正方形， ，平面，分别为的中点，直线与相交于点． （1）求到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，满足. （1）证明：； （2）若，，求面积. 17. 如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为． （1）求证：直线的斜率为定值； （2）设焦点到直线的距离为，求的取值范围． 18. 已知为等差数列的前项和，，，． （1）求通项公式； （2）记为数列的前项和，设 （i）求的表达式； （ii）若整数满足，求最大值，并说明理由． 19. 如图，已知椭圆的离心率为．直线经过点和椭圆的上顶点，其斜率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于、两点（点在点下方），直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为． （i）当与重合时，求的值； （ii）求证：当变化时，直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭高2024学年第一学期期末考试高二 数学试题卷 命题：王希年 审题：石秀福 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前务必将自己的班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的地方. 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程可得，且焦点在y轴上，即可得焦点坐标. 【详解】由双曲线方程可知：，且焦点在y轴上， 则，所以双曲线的焦点坐标为. 故选：B. 2. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接裂项求和即可得解. 【详解】由题意，所以. 故选：C. 3. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】直线化为：， 所以平行直线与间的距离为. 故选：D 4. 圆：关于直线：对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆关于直线对称，设对称圆的圆心为，则在上且，可求m、n，进而写出圆的方程. 【详解】由题设，圆的圆心为，半径为2，则对称圆的半径为2， 若对称圆的圆心为，则在上，即， 由对称性，知：圆心连线与直线垂直，则，即， 综上，得：， ∴对称的圆的方程为. 故选：A 5. 假设，且A与B相互独立，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.58 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及概率的基本性质计算即得. 【详解】由，，且A与B相互独立，得， 所以. 故选：D 6. 已知空间向量，，则B点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案. 【详解】，，故在上的投影向量的模为， 故B点到直线的距离为. 故选：A 7. 设无穷等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 为递减数列 B. 为递增数列 C. 数列有最大项 D. 数列有最小项 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，分析可知，取，可判断AB选项；分、两种情况讨论，利用数列的单调性可判断CD选项. 【详解】设等比数列的公比为，由已知，则， 由可得且， 对于AB选项，若，， 当为奇数时，，此时，则， 当为偶数时，，此时，则， 此时数列不单调，AB都错； 对于CD选项，， 当时，此时数列单调递增，则有最小项，无最大项； 当时，若为正奇数时，，则， 此时单调递减，则； 当为正偶数时，，则，此时单调递增，则. 故当时，的最大值为，最小值为. 综上所述，有最小项. 故选：D. 8. 已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可得，设，可得，由已知向量关系可得，从而得到，即，由离心率公式可得答案． 【详解】已知双曲线的渐近线方程为， 双曲线右焦点到渐近线的距离为， 在中，，，则， 设，则，， 因为，则，， 在中，则， 可得，即，即， 所以双曲线离心率． 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点和：，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点.则以下命题正确的是（ ） A. B. C. P、A、Q、B均在圆上 D. A，B所在直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合图象可知，逐项判断即可. 【详解】根据题意，圆心，半径为2， 过P点的两条直线分别与相切于A，B两点，如图， 则，所以，， 所以A正确，B错误； 四边形为正方形，中心为 所以P、A、Q、B均在圆上，C正确； 所在直线方程为，D正确. 故选：ACD. 10. 设是抛物线的焦点，直线过点且与抛物线交于，两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若倾斜角为，且，则 C. D. 若点，则的最小值是5 【答案】ABD 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程，根据韦达定理以及焦半径公式即可判断A，求得两点的纵坐标来判断B，根据特殊点进行判断C,利用点到抛物线的准线的距离来判断D. 【详解】抛物线的准线为，焦点为. 设， 设直线的方程为， 由,化简得， 所以， ， 所以（时等号成立）.所以A正确. 当倾斜角为时，，不妨设在第一象限，在第四象限. 故，解得， 所以，即，所以B正确. 当直线的方程为时，不妨设，此时，所以C错误. 根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离，也即的最小值为，所以D正确. 故选：ABD 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：三角形的面积不变，点到平面的距离为，即可判断；对B：将所求角度转化为所成角，连接，取交点为，求得角度的最大值；考虑三角形中角度最小时的状态为点与重合，再求对应最小值即可；对C：分析点在不同平面下的轨迹，即可求得轨迹长度；对D：求得点的运动轨迹，再根据几何关系求的长度即可. 【详解】对A：当平面上运动时， 三棱锥的底面为三角形，其面积为定值， 又点到面的距离即平面到平面的距离，也为定值， 故三棱锥的体积不变，A正确； 对B：连接，设其交点为，连接，作图如下所示： 因为面，故面， 又面，故； 当点在上运动，因为//，则与所成的角即为与所成的角； 当点与点重合时，因为，故可得所成角为； 当点异于点时，设所成的角为，则， 故当与重合时，取得最大值，此时取得最小值，最小， 此时，三角形为等边三角形，故可得； 综上所述，当点在上运动时，直线所成角范围为，故B错误； 对C：当点与重合时，，也即与底面的夹角为； 当点在平面上时（异于点），过作，连接，显然即为所求线面角； 又，又，故，， 故当点在平面上时（异于点），与平面的夹角小于，不满足题意； 同理可得，当点在平面上（异于点）时，与平面夹角也小于，不满足题意； 当点在平面上时，因为，易知点的轨迹为， ； 当点在平面上时，因为，易知点的轨迹为， ； 当点在平面上时，因面//面， 故与面所成角与与面所成角相等， 因为面，连接，故； 在三角形中，易知， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧， 故其轨迹长度为：； 当点在面上，不满足题意； 综上所述：点轨迹的长度为：，故C正确； 对D：取的中点分别为， 连接，如下所示： 因为//面面，故//面； //面面，故//面； 又面，故平面//面； 又//////，故平面与平面是同一个平面. 则点的轨迹为线段； 在三角形中， ；；； 则，故三角形是以为直角的直角三角形； 故， 故长度的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题综合考察立体几何中线面位置关系，以及角度，轨迹长度的求解；特别的对选项C，分别考虑点在不同平面下轨迹的情况，是解决问题的核心，属综合困难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分（单位：分）分别为10，8，，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75%分位数为________. 【答案】 【解析】 【分析】由平均数求出的值，将这组数据从小到大的顺序排列，由百分位数的定义即可求解. 【详解】由题意可得，解得，将这组数据按从小到大的顺序排列为6，7，8，8，8，8，9，10，因为为整数，所以这组数据的75%分位数为. 故答案为： 13. 数列的前项和为________． 【答案】 【解析】 【分析】设数列的前项和为，利用错位相减法结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】设数列的前项和为， 则， 可得， 两式相减得：， 所以. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，P为椭圆C：上的动点，Q为直线l：上的动点，且.则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出三点坐标，由得到坐标的关系，假设存在一点，点在直线上，令为点到直线的距离，显然有，设点坐标为，求解的最小值即可. 【详解】 设三点坐标分别为. 由可得. 所以，， 所以. ， 假设存在一点，则有. 因为，所以，因此点在直线上， 令为点到直线的距离， 设点坐标为.显然有， 又. 因此， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在四棱锥中，底面为正方形， ，平面，分别为的中点，直线与相交于点． （1）求到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系后由点到面距离公式计算即可得； （2）借助空间向量计算即可得. 【小问1详解】 由平面，且、平面， 故、，又底面为正方形， 故，故、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、, 则，，， 设平面的法向量为， 则有，即，令，则有、， 故可为， 则到平面的距离； 【小问2详解】 、，则， 则有， 故直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，满足. （1）证明：； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化代入计算，结合正弦的和差角公式，即可证明； （2）根据题意，由二倍角公式可得，由正弦定理可得，代入可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 证明：由可得， 即，化简得， 因为为的内角，所以有，得. 【小问2详解】 由（1）可知为锐角，由得 所以，， 由正弦定理可得， 依题，带入相应得值可得， 所以. 17. 如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为． （1）求证：直线的斜率为定值； （2）设焦点到直线的距离为，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线方程，联立后得到点纵坐标，同理得到点纵坐标，从而求出直线AB的斜率，即可证明结果； （2）根据（1）中结果，得出直线的方程，从而得到，再根据的范围，即可求出结果. 【小问1详解】 将点代入抛物线方程得，所以抛物线, 设，， 由，消得， 由韦达定理得，又，得到， 又因为直线，的倾斜角互补，用代可得：， 因此，又， 所以为定值． 【小问2详解】 由（1）可知，，，， 因此，整理得， 所以到直线的距离， 因为，得，所以， 故． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 18. 已知为等差数列的前项和，，，． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前项和，设 （i）求表达式； （ii）若整数满足，求的最大值，并说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）4 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解， （2）（i）根据等差求和公式以及等比求和公式，结合分组求解可求解，即可得，（ⅱ）根据的表达式分析数列的单调性和符号，进而可得结果. 【小问1详解】 设数列的公差为d， 依题意，， 即，解得， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 （i）由（1）知，所以， 则， ， 所以， （ⅱ）令， 且，则，可得 又因为，，， 若，所以的最大值为4. 19. 如图，已知椭圆的离心率为．直线经过点和椭圆的上顶点，其斜率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于、两点（点在点下方），直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为． （i）当与重合时，求的值； （ii）求证：当变化时，直线过定点． 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由离心率公式、平方关系以及斜率公式列出方程组即可求解； （2）（i）可知直线与椭圆相切，设直线，联立方程求得，代入直线即可得结果；（ⅱ）设，，联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理以及同理思想表示出坐标，进一步设直线方程为：，由列出方程，得关系式即可得证. 【小问1详解】 由题意得：，解得，， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 （i）当与重合时，可知直线与椭圆相切，且直线斜率存在且不为0， 设直线， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 代入可得，解得，即， 代入直线直线可得，即； （ⅱ）设，，直线 与椭圆联立化简整理：， 因为， 可得：，， 同理可得：，. 设所在的直线方程为：， 则： ， 故：，过定点． 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 1.动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； 2.动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$