精品解析：浙江省绍兴市诸暨市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

诸暨市2024—2025学年第一学期期末考试试题 高三数学 注意：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解方程求集合，再由集合的交运算求集合. 【详解】由题设，，则. 故选：B 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数解析式及指对数运算求函数值. 【详解】由，则. 故选：C 3. 已知为等差数列，根据下列条件不能求出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及前n项和公式判断各项等式是否能求出，即可得答案. 【详解】若等差数列的公差为， A：，能求出，不符； B：，不能求出，符合. C：，能求出，不符； D：，能求出，不符； 故选：B 4. 对于函数和有相同的（ ） A. 单调区间 B. 最小正周期 C. 对称中心 D. 最小正零点 【答案】D 【解析】 【分析】根据正余弦函数的性质求出两个函数的单调区间、最小正周期、对称中心、最小正零点，即可得答案. 【详解】对于， 令，得，函数单调递增区间为， 令，得，函数单调递减区间为， 令，则，即对称中心为，最小正周期，最小正零点为； 对于的单调递减区间为，单调递增区间为， 对称中心为，最小正周期，最小正零点为； 故选：D 5. 已知圆，直线与圆交于两点，若为直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设，半径，结合已知有化简整理即可答案. 【详解】由，则，半径， 由为直角三角形，则， 所以. 故选：A 6. 某商场有甲乙丙三款价格相同，单张厚度与宽度也都相同的圆柱体形卷纸.其中甲款卷纸直接绕成圆柱体，圆柱底面直径为60mm；乙款卷纸绕在圆柱体空心纸筒上，纸筒直径为30mm，整个圆柱底面直径为75mm；丙款卷纸也绕在圆柱体空心纸筒上，纸筒直径为40mm，整个圆柱底面直径为80mm.三款卷纸中，性价比最高的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 都一样 【答案】C 【解析】 【分析】由圆柱的体积公式求解比较即可； 【详解】对于甲：其体积为：， 对于乙：其体积为：， 对于丙：其体积为：， 所以性价比最高的是丙， 故选：C 7. 将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由与相切即可求解； 【详解】由题意可知：是过原点的切线， 设切点坐标为：，， 则，解得：， 所以， 故选：C 8. 已知曲线系，离心率为，曲线系，离心率为，若，，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】求出、，可得出、关于的表达式，结合数列的单调性逐项判断即可. 【详解】因为，曲线的方程为，曲线的方程为， 易知曲线是焦点在轴上的椭圆，曲线是焦点在轴上的双曲线， 所以，， 所以随着的增大而增大， 因为，故当时，取最小值，无最大值，AB都错； ， 因为函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为，当时，；当时，，且， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 综上所述，的最大值为，无最小值，C错D对. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为研究某机器的连续使用时长（小时）和生产产品的合格率之间的关系，某课题研究小组采集了组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（ ） A. 经验回归直线的斜率可能不变 B. 样本的线性相关程度更高 C. 样本相关系数变小 D. 残差平方和变小 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设给定散点图为两个特异点，且距离经验回归直线较远，结合相关性、相关系数、残差平方和的概念判断各项的正误. 【详解】由图知，若与所得经验回归直线的距离相同时，去掉后所得直线斜率不变，A对； 由于为两个特异点，且相对于其它点距离经验回归直线较远， 所以去掉后，样本的线性相关程度更高，样本相关系数变大，残差平方和变小，即B、D对，C错. 故选：ABD 10. 已知二项展开式，下列说法正确的有（为虚数单位）（ ） A. 的展开式中的常数项是 B. 的展开式中的各项系数之和为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用二项式展开式求常数项判断A；应用赋值法求各项系数之和判断B；代入自变量分别求出判断C、D； 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 所以的展开式中的常数项是，A对； 的展开式中的各项系数之和为，B错； 由，，即，C对； 由，D对. 故选：ACD 11. 三棱锥中，，，，且平面平面，记三棱锥的体积为，内切球的半径为，则（ ） A. 二面角大于 B. 二面角小于 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，连接，设，过作，连接，得到为二面角的平面角，结合余弦定理判断的范围判断A；构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求二面角的余弦值判断角的范围判断B；由且，应用放缩法判断的范围判断C；并应用导数研究右侧的范围判断D. 【详解】取的中点，连接，因为，，， 所以，，又面面，面面， 由面，则面，同理可证面，且， 设，，且， 过作，连接，易知，则为二面角的平面角， 在等腰中，，进而有， 所以，即为钝角，A对； 构建如下图示的空间直角坐标系，则， 所以， 若为面的一个法向量，则，取，则， 若为面的一个法向量，则， 取，有，则， 如图，锐二面角的余弦值为， 所以二面角大于，B错； ，， 所以，C对； ， 令且，则， 若，即在上单调递增， 若，即在上单调递减， 所以，即，D对. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：设，得到、是判断C、D的关键. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与垂直，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量线性运算、垂直的坐标表示列方程求得，再应用坐标公式求. 【详解】由题设，又与垂直， 所以，可得. 所以. 故答案为： 13. 若一只电子蛐蛐从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在次运动后这只电子蛐蛐仍停留在下底面的概率是____________. 【答案】 【解析】 【分析】每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，可记事件“第次运动后停留在下底面”，则“第次运动后停留在上底面”，；同时每次运动不是由上底面运动来，就是由下底面运动来的，则可由全概率公式得到递推关系，然后构造数列求通项即可. 【详解】每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件， 记事件“第次运动后停留在下底面”，则“第次运动后停留在上底面”，， 设，则，则， 所以，即，整理可得， 由，，即是首项为，公比为的等比数列， 所以， 故时. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设出相关事件，应用全概率公式、等比数列的定义得到概率公式为关键. 14. 设抛物线，点是抛物线的焦点，点在轴正半轴上（异于点），动点在抛物线上，若是锐角，则的范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 设，由是锐角得到对任意恒成立.令，则对任意恒成立,再通过分类讨论求出m的取值范围. 【详解】设，可知，且， 所以，， 因为是锐角，所以， 即， 整理得， 等价于对任意恒成立； 令，则对任意恒成立； 因为的对称轴为，故分类讨论如下： （1），即时， ， 所以； （2），即时， 应有， 得； 综上所述：. 【点睛】本题主要考查抛物线中的范围问题，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）若为的中点，且，，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦边角关系得，再应用余弦定理求角大小； （2）由及向量数量积的运算律得，结合求得，再应用三角形面积公式求面积. 小问1详解】 由题设，则， 所以，且，则. 【小问2详解】 由（1）， 由，则， 所以，可得， 所以. 16. 如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，． （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值是，且直线与平面所成角的正弦值是，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形性质和平行关系可证得，，由线面垂直的判定可得结论； （2）方法一：由面面垂直性质可证得平面，过点作，由线面角和面面角的定义可知，，由此可求得，由异面直线所成角的定义可知所求角为，由可求得所求余弦值； 方法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，利用线面角和面面角的向量求法可求得的值，利用异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 四边形为矩形，； ，即，又，， ，平面，平面 【小问2详解】 方法一：平面平面，平面平面，，平面，平面， 则即为直线与平面所成的角，， 过点作，则平面平面， 由（1）可得：面，，， 平面与平面的夹角为，， 又，，则，， ，， 又异面直线与所成的角为，， 即异面直线与所成角的余弦值为． 方法二：由（1）可得：，，， 以点为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， ，，， 面，平面一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，解得：； 平面，平面的一个法向量； ，解得：， ，， ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 17. 已知椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，当时，. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的下顶点为，的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知有、，结合椭圆参数关系求得、，即可得椭圆方程； （2）讨论直线斜率是否为0，设且，，联立椭圆并应用韦达定理、三角形面积公式得且，进而求其范围，即可得最大值. 【小问1详解】 由右焦点，则，故，即， 若，当时，为的中点，即椭圆的通径， 所以，即，可得（负值舍），故， 所以. 【小问2详解】 当直线斜率为0时，要使最大，则，， 所以，此时最大； 当直线斜率不为0或斜率不存在时，令且，， 联立，得，显然， 所以，， 所以， 直线，且， 则到直线的距离分别为，， 所以，，则， 要使最大，则，此时且， 由 当时，，结合对勾函数的性质， 当时，当且仅当时取等号， 当时，当且仅当时取等号， 所以或且， 当时，， 综上，的最大值为. 18. 已知函数. （1）是否存在实数，使得为函数的极小值点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （2）求证：当时，图象上总存在关于原点对称的两点. 【答案】（1）不存在，理由见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，若存在实数，使得为函数的极小值点，得，再验证的单调性，即可得结论； （2）问题化为，满足，构造，利用导数研究其值域，并证明是值域的子集，即可证结论. 【小问1详解】 由，若存在实数，使得为函数的极小值点， 此时，可得， 当时，，则， 令，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，故在定义域内单调递减，与假设矛盾， 所以不存在实数，使得为函数的极小值点. 【小问2详解】 存在关于原点对称两点，即，满足， 所以，设且定义域为R， 且，所以为偶函数， 不妨只考虑区间，则 ，（注意且）， 设，显然时， 当，则， 由且，则， 所以在上单调递减，，即， 所以，即在上单调递减，则， 综上，在上，在上； 设，则， 所以在、都单调递增，，则在上， 由，且，则，， 所以，在上，在上， 综上，在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 当，且恒成立，又， 所以， 所以是值域的子集， 故，图象上总存在关于原点对称的两点. 【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为，满足得，进而构造函数研究其值域包含为关键. 19. 给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，依次类推得到如下的三角形数表： 1 1 1 2 1 1 3 2 3 1 1 4 3 5 2 5 3 4 1 ...... 记表示上表中第行，第列的数，表示上表中第行所有数字之和（，）. （1）（i）求和； （ii）求数列的通项公式； （2）记集合，把集合中的元素从小到大排列，得到新数列为，若，求的最大值. 【答案】（1）（i），；（ii）； （2）21. 【解析】 【分析】（1）（i）根据规律写第5、6行的数字即可得答案；（ii）根据已知得到递推关系式，再由构造法及等差数列的定义写出通项公式； （2）由已知定义及等比数列前n项和公式可得，进而有，根据及分类讨论得，即可得的最大值. 【小问1详解】 （i）由题设，第5行从左到右依次为，则， 第6行从左到右依次为，则， 所以，； （ii）由题设规律知，每一行的数字，或来自前一行，或来自前一行相邻两个数字的和， 其中，在前一行相邻数字求和过程中，第一个数字和最后一个数字只计算一次，其余数字都计算了两次， 因此发现递推关系为，则，且， 所以，即； 【小问2详解】 由 ， 由，则，则， 当时，，不合题意； 当时，， 即且符合题意； 所以，符合题意的数对有， 共有21个，即的最大值21. 【点睛】关键点点睛：首先根据规律及等差数列定义求得，再得到为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 诸暨市2024—2025学年第一学期期末考试试题 高三数学 注意：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为等差数列，根据下列条件不能求出的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于函数和有相同（ ） A. 单调区间 B. 最小正周期 C. 对称中心 D. 最小正零点 5. 已知圆，直线与圆交于两点，若为直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 6. 某商场有甲乙丙三款价格相同，单张厚度与宽度也都相同圆柱体形卷纸.其中甲款卷纸直接绕成圆柱体，圆柱底面直径为60mm；乙款卷纸绕在圆柱体空心纸筒上，纸筒直径为30mm，整个圆柱底面直径为75mm；丙款卷纸也绕在圆柱体空心纸筒上，纸筒直径为40mm，整个圆柱底面直径为80mm.三款卷纸中，性价比最高的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 都一样 7. 将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线系，离心率为，曲线系，离心率为，若，，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为研究某机器的连续使用时长（小时）和生产产品的合格率之间的关系，某课题研究小组采集了组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（ ） A. 经验回归直线斜率可能不变 B. 样本的线性相关程度更高 C. 样本相关系数变小 D. 残差平方和变小 10. 已知二项展开式，下列说法正确的有（为虚数单位）（ ） A. 的展开式中的常数项是 B. 的展开式中的各项系数之和为 C. D. 11. 三棱锥中，，，，且平面平面，记三棱锥的体积为，内切球的半径为，则（ ） A. 二面角大于 B. 二面角小于 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与垂直，则____________. 13. 若一只电子蛐蛐从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在次运动后这只电子蛐蛐仍停留在下底面的概率是____________. 14. 设抛物线，点是抛物线的焦点，点在轴正半轴上（异于点），动点在抛物线上，若是锐角，则的范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）若为的中点，且，，求的面积. 16. 如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，． （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值是，且直线与平面所成角的正弦值是，求异面直线与所成角的余弦值． 17. 已知椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，当时，. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的下顶点为，的面积为，的面积为，求的最大值. 18. 已知函数. （1）是否存在实数，使得为函数的极小值点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （2）求证：当时，图象上总存在关于原点对称的两点. 19. 给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，依次类推得到如下的三角形数表： 1 1 1 2 1 1 3 2 3 1 1 4 3 5 2 5 3 4 1 ..... 记表示上表中第行，第列数，表示上表中第行所有数字之和（，）. （1）（i）求和； （ii）求数列的通项公式； （2）记集合，把集合中的元素从小到大排列，得到新数列为，若，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $