精品解析：江西省赣州市龙南市2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024—2025学年度八年级上学期阶段评估（二） 数学 上册第十一~十四章 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了积的乘方运算．利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进而得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的两个图形全等 B. 完全重合的两个图形全等 C. 面积相等两个图形全等 D. 所有的等边三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等图形、全等三角形的定义等知识点，掌握全等形的概念是解题的关键． 根据全等形的概念以及全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意； D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意． 故选：B． 3. 若点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，则m+n的值是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 12 D. ﹣12 【答案】C 【解析】 【分析】利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】∵点A（m，n）和点B（5，-7）关于x轴对称， ∴m=5，n=7， 则m+n的值是：12． 故选C． 【点睛】本题考查了关于x轴对称点的性质，熟记横纵坐标的符号是解题的关键． 4. 如图，这是某自动扶梯的示意图，已知大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为，若自动扶梯的运行速度为，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，熟练掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 根据含度角的直角三角形的性质可以计算出自动扶梯的长度，然后根据“”即可得出答案． 【详解】解：大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为， 自动扶梯的长度， 顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为：， 故选：． 5. 已知多项式是完全平方式，则m的值为（ ） A. 5 B. C. 9或 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．由于是完全平方式，而，然后根据完全平方公式即可得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据完全平方公式可得：， 解得：或， 故选：D． 6. 如图，是等边三角形，点在射线上，且，分别以为腰在射线上方作等腰，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形性质，等腰三角形的性质，图形类变化规律问题，根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质得出底角的变化特点，根据变化规律得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∵，，，…均为等腰三角形，且，，，…为腰， ∴，，，……以此类推， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因数，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 8. 若一个多边形的每个内角与它的外角的度数之比都是，则这个多边形的边数是___. 【答案】12. 【解析】 【分析】设每个内角与它相邻的外角的度数分别为5x、x，根据邻补角的定义得到x+5x=180°，解出x=30°，然后根据多边形的外角和为360°即可计算出多边形的边数． 【详解】设每个内角与它相邻的外角的度数分别为5x、x， ∴x+5x=180°， ∴x=30°， 这个多边形的边数==12． 故答案为12． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟练运用多边形的外角和为360°是解决问题的关键． 9. 若实数满足方程组，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，平方差公式，将原式进行适当的变形是解答关键． 将方程组中的第二个方程整理后求出的值，再利用平方差公式进行变形，将各自的值代入求解． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 10. 如图，为等边三角形，为延长线上一点，作交的延长线于点．若，，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形判定和性质，平行线的性质，先根据等边三角形性质得，则，再根据得，，由此可判定为等边三角形，进而可得的长． 【详解】解：为等边三角形，且， ，， ， ， ， ，， ， 为等边三角形， ． 故答案为：． 11. 若计算的结果中不含x的一次项，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，计算多项式乘多项式，合并同类项，解一元一次方程等知识点，熟练掌握已知多项式乘积不含某项求字母的值的方法是解题的关键：不含的某一项的题型，需要将含参数的式子，化简成关于的降幂或者升幂的形式，并使得不含的某项的系数为，建立方程（组）求解即可．先计算多项式乘多项式，然后合并同类项，并将结果写成关于的降幂的形式，根据“的结果中不含x的一次项”可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解： ， 的结果中不含x的一次项， ， 解得：， 故答案为：． 12. 在中，，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，设直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，根据题意分类讨论，分别画出图形，即可求解． 【详解】解：∵在中，，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形， ∴ 设直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形， ①当时，如图所示，为直角三角形，为等腰三角形， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图所示，为直角三角形，为等腰三角形， ∵， ∴； ②当时，如图所示，为直角三角形，为等腰三角形， ∴， ∵， ∴； 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）． （2）分解因式：． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用和因式分解； （1）利用平方差公式简便计算即可； （2）利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，代数式求值，零整数指数幂，根据平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，然后合并同类项可得化简结果，最后通过零整数指数幂求出的值，然后求出的值，最后代值求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴原式． 15. 如图，，，，是上的两点，且，连接． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质． （1）由题意易证，根据平行线的性质可得出，从而可由证明； （2）根据三角形外角的性质得出，再根据全等三角形的性质即得出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴． 在和中， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 16. 下面是小明同学将多项式分解因式的具体步骤： 分解因式：． 利用加法交换律变形，得，……第一步 提取公因式m，得，……第二步 逆用积的乘方公式，得，……第三步 运用平方差公式因式分解，得．……第四步 （1）事实上，小明的解法是错误的，造成错误的原因是______． （2）请给出这个问题的正确解法． 【答案】（1）分解因式不彻底 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解； （1）观察小明同学的解法，根据因式分解的步骤，找出错误原因即可； （2）根据因式分解的方法，写出正确解法即可． 【小问1详解】 解：造成错误的原因是：分解因式不彻底，没有把公因式提尽； 【小问2详解】 解： 17. 如图，在等腰三角形中，，点，在上，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作等腰三角形的对称轴． （2）如图2，为线段上一点，请在等腰三角形的对称轴上找一点，使得点到，两点的距离之和最小． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、轴对称最值问题， （1）如图，连接，交于点，连接，则直线即为等腰的对称轴； （2）如图，连接，则与直线的交点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，连接，交于点，连接，则直线即为等腰的对称轴． 理由如下： ， ， ， ，， ， ， 由等腰三角形的对称性可知：点与点、点与点都关于的对称轴对称， 连接，交于点，则点在等腰的对称轴上， 直线即为等腰的对称轴； 【小问2详解】 解：如图，连接，则与直线的交点即为所求的点． 理由如下： 点在等腰的对称轴上， ， 由“两点之间，线段最短”可知：当点在与对称轴的交点处时，点到、两点的距离之和最短． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 计算 （1）若，求的值． （2）若，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，积的乘方运算． （1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可； （2）把变形为，得到关于x的方程，解方程即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 【小问2详解】 解：∵． ∴， 解得 19. 如图，在中，，E，F，D分别是上的点，且，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质、等腰三角形的性质．先证明，再根据三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵, ∴ ∴ 20. 有甲、乙两块草地，其长和宽的数据如图所示． （1）求甲草地的面积（用含m的代数式表示）． （2）若再开辟一块正方形草地，周长与乙草地的周长相等． ①求该正方形草地的边长（用含m的代数式表示）； ②请比较该正方形草地的面积与乙草地的面积的大小． 【答案】（1） （2）①；②正方形草地的面积＞乙草地的面积. 【解析】 【分析】（1）根据长方形的面积公式即可得到答案； （2）①乙草地的周长÷4即可求解；②利用作差法即可求解. 【小问1详解】 解：甲草地的面积=； 【小问2详解】 ①∵乙草地的周长=， ∴正方形草地边长=； ②正方形草地的面积=，乙草地的面积=， ∵， ∴正方形草地的面积＞乙草地的面积. 【点睛】本题主要考查整式混合运算的应用，掌握整式混合运算法则和乘法公式是关键. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 观察下列关于正整数的等式： ；① ；② ；③ …… 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第个等式：____________． （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】（1）； （2）猜想，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算、数字的规律探究； （1）由所给三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可． （2）根据（1）发现的规律用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明． 【小问1详解】 解：由题意得：第五个等式为， 故答案为：5，21； 【小问2详解】 解：猜想：第个等式为， 证明：等式左边：． ∴等式左右两边相等， ∴第个等式． 22. 在等边三角形中，D为所在直线上的一个动点，E为延长线上一点，． （1）如图1，若点D在边上，求证：． （2）如图2，若点D在边的延长线上，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，根据等边三角形的判定也是等边三角形，然后利用即可证出，根据全等三角形的性质可得，从而证出结论； （2）过点作，交的延长线于点，根据等边三角形的判定也是等边三角形，然后利用即可证出，根据全等三角形的性质可得，从而证出结论． 【小问1详解】 证明：如图，过点作，交于点． ∵是等边三角形，， ∴， ∴也是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：成立，理由如下， 如图，过点作，交的延长线于点． ∵是等边三角形，， ∴， ∴也是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行线的性质，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行线的性质是解决此题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形综合题和倍长中线问题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识． （1）延长到，使得，连接，得出，根据三角形三边关系即可求解； （2）延长交延长线于，得到，得到，，进而求得，可证明结论； （3）延长到点，使得 ，连接，得出，从而得到，，进而得到从而证明． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使得，连接． 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，延长交的延长线于点， ， ， ，， 为的中点， ， ， ，， ， ， 即， 平分； （3）证明：如图3，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度八年级上学期阶段评估（二） 数学 上册第十一~十四章 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的两个图形全等 B. 完全重合的两个图形全等 C. 面积相等的两个图形全等 D. 所有的等边三角形全等 3. 若点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，则m+n的值是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 12 D. ﹣12 4. 如图，这是某自动扶梯的示意图，已知大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为，若自动扶梯的运行速度为，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为（ ） A B. C. D. 5. 已知多项式是完全平方式，则m值为（ ） A. 5 B. C. 9或 D. 5或 6. 如图，是等边三角形，点在射线上，且，分别以为腰在射线上方作等腰，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：______． 8. 若一个多边形的每个内角与它的外角的度数之比都是，则这个多边形的边数是___. 9. 若实数满足方程组，则的值为______． 10. 如图，为等边三角形，为延长线上一点，作交的延长线于点．若，，则的长为______． 11. 若计算的结果中不含x的一次项，则m的值为______． 12. 在中，，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则的度数为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）． （2）分解因式：． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图，，，，是上的两点，且，连接． （1）求证：． （2）若，求的度数． 16. 下面是小明同学将多项式分解因式的具体步骤： 分解因式：． 利用加法交换律变形，得，……第一步 提取公因式m，得，……第二步 逆用积的乘方公式，得，……第三步 运用平方差公式因式分解，得．……第四步 （1）事实上，小明的解法是错误的，造成错误的原因是______． （2）请给出这个问题的正确解法． 17. 如图，在等腰三角形中，，点，在上，，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作等腰三角形的对称轴． （2）如图2，为线段上一点，请在等腰三角形的对称轴上找一点，使得点到，两点的距离之和最小． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 计算 （1）若，求的值． （2）若，求x的值． 19. 如图，在中，，E，F，D分别是上的点，且，若，求的度数． 20. 有甲、乙两块草地，其长和宽的数据如图所示． （1）求甲草地的面积（用含m的代数式表示）． （2）若再开辟一块正方形草地，周长与乙草地的周长相等． ①求该正方形草地的边长（用含m的代数式表示）； ②请比较该正方形草地的面积与乙草地的面积的大小． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 观察下列关于正整数的等式： ；① ；② ；③ …… 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第个等式：____________． （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 22. 在等边三角形中，D为所在直线上的一个动点，E为延长线上一点，． （1）如图1，若点D在边上，求证：． （2）如图2，若点D在边延长线上，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $