精品解析：广东省茂名市高州市部分学校联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期第十六周素养展评 九年级数学试卷 （考试时间共120分钟，满分为120分．） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把选出的答案写在答题卷上． 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、变形为不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：△=（-5）2-4×1×（-1）=29＞0，‘ 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 3. 在下列四个三角形中，以为位似中心且与位似的图形序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：∵②与△ABC相似，对应点的连线相交于点O，对应边互相平行， ∴②与△ABC是位似图形且O为位似中心， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 4. ABC与DEF的相似比为1：4，则ABC与DEF的面积比为（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：16 【答案】D 【解析】 【分析】根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可解决问题． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为，即为， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 5. 如图，在菱形中，对角线、交于点，若菱形的面积是12，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 24 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形性质求三角形面积，由菱形性质得到，再由得到，熟记菱形性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 故选：A． 6. 下面关于两个图形相似的判断：①两个等腰三角形相似；②两个等边三角形相似；③两个等腰直角三角形相似；④两个正方形相似；⑤两个等腰梯形相似．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解． 【详解】解：①两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似； ②两个等边三角形，角都是60°，故相似； ③两个等腰直角三角形，都有一个直角和45°的锐角，故相似． ④两个正方形，对应角相等，对应边成比例，故相似； ⑤两个等腰梯形不一定对应角相等，对应边成比例，故不相似． ⑥所以共有3个一定相似， 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相等．正确理解相似形的概念是解题的关键． 7. 如图，矩形各点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形缩小为原来的，则点对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】把C点的横纵坐标都乘以或得到它的对应点的坐标． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，将矩形AOBC缩小为原来的，且C（4，3）， ∴点C对应点的坐标为或； 即或 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 8. 已知是关于x的方程的一个根，则m的值为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 把代入关于x的方程，得到关于m的新方程，通过解新方程来求m的值． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， 解得． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，，点D在y轴上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的几何问题，考查了菱形的性质和勾股定理，根据菱形的性质可以得出和的长度，根据勾股定理即可得出的长度，即可得出点C的坐标．熟练掌握相关图形的性质是本题的关键． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为，， ∴， ∵四边形是菱形 ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：D． 10. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（　　） A. 24 B. 32 C. 40 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠可知，，可得与全等，设，则，在中，可求出的值，再根据三角形的面积公式，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， ∵矩形，沿折叠，，， ∴， ， ， ， ∴ ， ∴，， 设，则， 在中，，即， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，根据折叠的性质，直角三角形的勾股定理，找出三角形的底和高即可求出面积，理解和掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写往答题卷相应的位置上． 11. 已知，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由比例的基本性质即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，掌握此性质把等积式转化为比例式是关键． 12. 已知是关于x 的一元二次方程，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由题意，得，且， 解得， 故答案为：． 13. 已知直角三角形的一条直角边长与斜边长分别为和，则这个直角三角形斜边上的中线长为___________，斜边上的高线长为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出直角三角形斜边上的中线长，根据等面积法即可求得斜边上的高线长． 【详解】解：∵直角三角形的一条直角边长与斜边长分别为和， 则这个直角三角形斜边上的中线长为 ∴另一条直角边长为， 设斜边上的高线长为， ∵这个三角形的面积为 ∴斜边上的高线长为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形的高的定义，掌握以上知识是解题的关键． 14. 以下几种光线：①太阳光线；②台灯的光线；③手电筒的光线．其中可以形成平行投影的是________．（填序号） 【答案】① 【解析】 【分析】本题主要考查了平行投影和中心投影的定义，由平行光线所形成的投影称为平行投影；由中心放射状光线所形成的投影称为中心投影，据此可得答案． 【详解】解：太阳相对地球较远且大，其发出的光线可认为是平行光线，故阳光线形成的投影为平行投影； 台灯、手电筒发出的光线是由点光源发出的光线，所形成的投影是中心投影； ∴可以形成平行投影的是太阳光线， 故答案为；①． 15. 在一个不透明的口袋中装有5个红球、3个白球，这些球除颜色外其他都相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出两个球，摸到的两个球都是红球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意列表或画出树状图，然后求得所有等可能的结果与摸出的两个球都为红球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表如图所示， 红1 红2 红3 红4 红5 白1 白2 白3 红1 （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） 红2 （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） 红3 （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） 红4 （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） 红5 （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） 白1 （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 白2 （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 白3 （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 根据列表可得，共有56种情况，其中摸到两个球都是红球的共有20种情况， ∴摸到的两个球都是红球的概率是：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． （1）先移项，然后运用因式分解法求解即可； （2）直接运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或 ∴． 【小问2详解】 解：， ， ∴或， ∴． 17. 如图，在四边形中，，，分别过点A、点C作、，垂足分别为E、F． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，点E是的中点，求四边形的面积． 【答案】（1）矩形，理由： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵、， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知判断出四边形是平行四边形，得到，再利用、，可得直角，利用三个角是直角的四边形是矩形证明即可； （2）根据含30度的直角三角形的性质以及勾股定理求出，，再根据中点的定义求出，利用面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，含30度的直角三角形，解题的关键是灵活运用矩形的判定方法证明． 18. 如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒1人感染后，经过两轮传播，共有121人感染． （1）平均每人每轮感染多少人？ （2）第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度下降到原来的，这样第三轮传播后感染的总人数是多少？ 【答案】（1）10人 （2）363人 【解析】 【分析】（1）设平均每人每轮感染x人，开始是1个人，则第一轮感染x人，第二轮感染人，根据经过两轮传播，共有121人感染，得出关于x的方程，解方程即可得出结果； （2）由第二轮传播后，病毒的传播力度减少到原来的可知，第三轮的传染人数为． 【小问1详解】 解：设平均每人每轮感染x人， 由题意得：， 解得，（舍）， 即平均每人每轮感染10人． 【小问2详解】 解：（人）， 即第三轮传播后感染的总人数是363人． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意找出等量关系列方程求解是解答本题的关键． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系内，已知点，点．动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为． （1）求出的长度； （2）用含有的式子表示和； （3）当为何值时，与相似？ 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）根据题意列出代数式即可； （）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解； 本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点，点， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，，； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵是公共角， ∴①当时，， ∴， 即， 解得； ②当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两实数根为，，且满足，试求出方程的两个实数根及p的值： （3）若无论p取何值时，关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟知一元二次方程：若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；若，则一元二次方程有两个相等的实数根；若，则一元二次方程没有实数根；若是一元二次方程的两个根，则，；是解本题的关键． （1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可； （3）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式建立不等式，解不等式即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴，， ∵ ∴， ∴，，， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 寒假将至，一些同学将要到A，B，C，D四个地方参加冬令营活动，现从这些同学中随机调查了一部分同学．根据调查结果，绘制成了如下两幅统计图： （1）扇形A的圆心角的度数为 ； （2）若此次夏令营共有320名学生参加，则前往C地的学生约有 人；补全条形统计图． （3）若某姐弟两人中只能有一人参加冬令营，姐弟俩决定用一个游戏来确定参加者：在4张形状、大小完全相同的卡片上分别写上，1，2，3四个整数，先让姐姐随机地抽取一张，再由弟弟从余下的三张卡片中随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和小于3则姐姐参加，否则弟弟参加．用列表法或树状图求概率来分析这种方法对姐弟俩是否公平？ 【答案】（1）108° （2）64； 补全条形统计图，如图所示； （3）这种方法对姐弟俩是公平 【解析】 【小问1详解】 解：由题意得：（30+20+10）÷（1-40%）=100（人）， ∴扇形A的圆心角的度数为； 故答案为：108°． 【小问2详解】 解：此次冬令营一共有320名学生参加，则前往C地的学生约有：×320=64（人）； B营地的人数是：100×40%=40（人）， 【小问3详解】 解：根据题意列表如下： -1 1 2 3 -1 --- （1，-1） （2，-1） （3，-1） 1 （-1，1） --- （2，1） （3，1） 2 （-1，2） （1，2） --- （3，2） 3 （-1，3） （1，3） （2，3） --- 所有等可能的情况有12种，其中抽取的两张卡片上的数字之和小于3的情况有6种，数字之和大于或等于3的情况有6种, ∴P（数字之和小于3）=P（数字之和大于或等于3）=， 则此游戏公平． 【点睛】此题考查了游戏得公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 若是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）判断下列方程是否是“差根方程”： ①______； ②______；（填是或否） （2）已知关于的方程是“差根方程”，求a的值； （3）若关于的方程（是常数，）是“差根方程”，请写出与之间的数量关系式． 【答案】（1）否，是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可． （2）根据是“差根方程”，解方程求得得到，从而得到； （3）设是一元二次方程（是常数，）的两个实数根，根据根与系数的关系得到，整理即可得到． 【小问1详解】 解：①设是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴方程不是差根方程； ②设是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴方程是差根方程； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， 解得：， ∵关于x的方程是“差根方程”， ∴，即； 【小问3详解】 解：设是一元二次方程（是常数，）的两个实数根， ∴，， ∵关于x的方程（是常数，）是“差根方程”， ∴， ∴=1，即， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键． 23. 综合与实践 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． （1）【初步尝试】如图1，已知中，，，，为上一点，当______时，与为积等三角形； （2）【理解运用】如图2，与为积等三角形；若，，且线段的长度为正整数，求的长； （3）【综合应用】如图3，已知中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为积等三角形． 【答案】（1）1.5 （2）2或3 （3） 证明：如图，过点作，交延长线于点H， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与为积等三角形． 【解析】 【分析】（1）利用三角形中线的性质即可解决问题 （2）证明，推出，，利用三角形的三边关系即可解决问题． （3）过点作，交延长线于点H，先证明，则，，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可． 【小问1详解】 如图，在中，， ∵，， ∴， ∴，， ∵与不全等与为积等三角形， ∴．， ∴． 当时，与为积等三角形． 【小问2详解】 如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴． ∴的长为2或3． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线、全等三角形的判定与性质．理解并掌握积等三角形的定义，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期第十六周素养展评 九年级数学试卷 （考试时间共120分钟，满分为120分．） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，把选出的答案写在答题卷上． 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 在下列四个三角形中，以为位似中心且与位似的图形序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. ABC与DEF的相似比为1：4，则ABC与DEF的面积比为（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：16 5. 如图，在菱形中，对角线、交于点，若菱形的面积是12，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 24 D. 48 6. 下面关于两个图形相似的判断：①两个等腰三角形相似；②两个等边三角形相似；③两个等腰直角三角形相似；④两个正方形相似；⑤两个等腰梯形相似．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，矩形各点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形缩小为原来的，则点对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知是关于x的方程的一个根，则m的值为（　　） A. B. C. 2 D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，，点D在y轴上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（　　） A. 24 B. 32 C. 40 D. 48 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写往答题卷相应的位置上． 11. 已知，则的值是______． 12. 已知是关于x 的一元二次方程，则_________． 13. 已知直角三角形的一条直角边长与斜边长分别为和，则这个直角三角形斜边上的中线长为___________，斜边上的高线长为___________． 14. 以下几种光线：①太阳光线；②台灯的光线；③手电筒的光线．其中可以形成平行投影的是________．（填序号） 15. 在一个不透明的口袋中装有5个红球、3个白球，这些球除颜色外其他都相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出两个球，摸到的两个球都是红球的概率是_____． 三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 如图，在四边形中，，，分别过点A、点C作、，垂足分别为E、F． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，点E是的中点，求四边形的面积． 18. 如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒1人感染后，经过两轮传播，共有121人感染． （1）平均每人每轮感染多少人？ （2）第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度下降到原来的，这样第三轮传播后感染的总人数是多少？ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系内，已知点，点．动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为． （1）求出的长度； （2）用含有的式子表示和； （3）当为何值时，与相似？ 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两实数根为，，且满足，试求出方程的两个实数根及p的值： （3）若无论p取何值时，关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 21. 寒假将至，一些同学将要到A，B，C，D四个地方参加冬令营活动，现从这些同学中随机调查了一部分同学．根据调查结果，绘制成了如下两幅统计图： （1）扇形A的圆心角的度数为 ； （2）若此次夏令营共有320名学生参加，则前往C地的学生约有 人；补全条形统计图． （3）若某姐弟两人中只能有一人参加冬令营，姐弟俩决定用一个游戏来确定参加者：在4张形状、大小完全相同的卡片上分别写上，1，2，3四个整数，先让姐姐随机地抽取一张，再由弟弟从余下的三张卡片中随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和小于3则姐姐参加，否则弟弟参加．用列表法或树状图求概率来分析这种方法对姐弟俩是否公平？ 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 若是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）判断下列方程是否是“差根方程”： ①______； ②______；（填是或否） （2）已知关于的方程是“差根方程”，求a的值； （3）若关于的方程（是常数，）是“差根方程”，请写出与之间的数量关系式． 23. 综合与实践 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． （1）【初步尝试】如图1，已知中，，，，为上一点，当______时，与为积等三角形； （2）【理解运用】如图2，与为积等三角形；若，，且线段的长度为正整数，求的长； （3）【综合应用】如图3，已知中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为积等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $