精品解析：河南省洛阳市宜阳县2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年上学期九年级第二次学业水平测试数学试卷 考试范围：九年级上册 考试时间：100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中能与2合并的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 4. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 5. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在横格作业纸（横线等距）上画一条直线，与横格线交于A，B，C三点，则BC：AC等于（　　） A. 2：3 B. 2：5 C. 3：4 D. 3：5 8. 在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝－4，x2＝7，则原方程可化为（ ） A. （x－4）（x－7）＝0 B. （x＋4）（x＋7）＝0 C. （x－4）（x＋7）＝0 D. （x＋4）（x－7）＝0 10. 如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不变 D. 线段的长与点P的位置有关 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是_______． 12. 中国古代的“四书”是指《论语》 《孟子》 《大学》 《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，甲乙二人各自随机从这四部著作中选择一部阅读，他们选中同一部著作的概率是________． 13. 定义：如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则______． 14. 如图，在矩形ABCD中，，，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为___________________． 15. 如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． （1）画出． （2）点E的坐标为______． （3）线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______． 19. 如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点，使得，并写出的证明过程． 20. 开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点与佛像的底部在同一水平线上．已知佛像头部为，在处测得佛像头顶部的仰角为，头底部的仰角为，求佛像的高度（结果精确到．参考数据：，，） 21. 关于的一元二次方程（）有两个实数根，且一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为邻根方程，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是邻根方程． （1）通过计算，判断下列方程是否是邻根方程： ①； ②． （2）已知关于的一元二次方程（是常数）是邻根方程，求的值． 22. 我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？ （2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？ 23. 如图，回答下列题： 【操作发现】 如图（1），在和中，，，，连接，交于点M． ①与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】 如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期九年级第二次学业水平测试数学试卷 考试范围：九年级上册 考试时间：100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 2. 下列二次根式中能与2合并的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可． 【详解】A、＝2，不能与2合并，故该选项错误； B、能与2合并，故该选项正确； C、＝3不能与2合并，故该选项错误； D、＝3不能与2合并，错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 3. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义； 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故本选项错误； B、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、x的最高次数为1，不是关于x的一元二次方程，故本选项错误； D、当时，是一元一次方程，故本选项错误． 故选：B． 4. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据提公因式进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ，． 故选D． 5. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选B． 6. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案． 【详解】解：设袋子中红球有x个， 根据题意，得： 解得 答：袋子中红球有5个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 7. 如图，在横格作业纸（横线等距）上画一条直线，与横格线交于A，B，C三点，则BC：AC等于（　　） A. 2：3 B. 2：5 C. 3：4 D. 3：5 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知图形构造相似三角形△ABD∽△ACE，进而得出比例关系. 【详解】解：如图所示：过点A作平行线的垂线，交点分别为D，E， 可得：△ABD∽△ACE， ∴＝＝， ∴BC：AC＝3：4， 故选C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意构造△ABD∽△ACE是解题关键． 8. 在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴，设ED=k，则AE=2k，BC=3k，∴==，故选A． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质． 9. 已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝－4，x2＝7，则原方程可化为（ ） A. （x－4）（x－7）＝0 B. （x＋4）（x＋7）＝0 C. （x－4）（x＋7）＝0 D. （x＋4）（x－7）＝0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，直接代入计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ，， ，， 原方程可化为． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算． 10. 如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不变 D. 线段的长与点P的位置有关 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，连接，根据题意得到是的中位线，即可得出结论，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形中，是中点，分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 由题意可知，线段的长度是定值， ∴线段的长度是定值， ∴线段的长不变， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解得． 12. 中国古代的“四书”是指《论语》 《孟子》 《大学》 《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，甲乙二人各自随机从这四部著作中选择一部阅读，他们选中同一部著作的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．通过画树状图可得出所有等可能的结果数以及选中同一部著作的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》分别用字母、、、表示， 树状图如图所示： 一共有16种等可能性，其中他们恰好选中同一部著作的可能性有4种， 故他们恰好选中同一部著作的概率是， 故答案为： 13. 定义：如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则______． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据题意可得，再由一元二次方程根的判别式，可得，再把代入，解出即可． 【详解】解：∵是“凤凰”方程， ∴，即， ∵有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：-2 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 14. 如图，在矩形ABCD中，，，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解即可得到答案． 【详解】解：如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短， 四边形为矩形，，， 即的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问题，解题的关键是掌握以上知识． 15. 如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】过E作，过G作，过H作，与相交于I，分别求出HI和GI的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】过E作，过G作，过H作，垂足分别为P，Q，R，与相交于I，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ， ∴四边形AEPD是矩形， ∴， ∵点E，F分别是AB，BC边的中点， ∴， ，， ∵点G是EC的中点， 是的中位线， ， 同理可求：， 由作图可知四边形HIQP是矩形， 又HP=FC，HI=HR=PC， 而FC=PC， ∴ ， ∴四边形HIQP是正方形， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线与勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）移项后，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ∴，． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）直接利用平方差公式和二次根式的性质即可求解； （）先根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可； 本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． （1）画出． （2）点E的坐标为______． （3）线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质， （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，再由在第一象限确定D、E、F的坐标，描出D、E、F，再顺次连接D、E、F即可； （2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案； （3）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴点E的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴线段上一点经过变换后对应的点的坐标为 ， 故答案为：． 19. 如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点，使得，并写出的证明过程． 【答案】 解：如图所示，点即为所求． 证明：由线段垂直平分线的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】略 20. 开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点与佛像的底部在同一水平线上．已知佛像头部为，在处测得佛像头顶部的仰角为，头底部的仰角为，求佛像的高度（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】17.4m 【解析】 【分析】先设出佛像的高度为x，再求出AD=BD，最后利用三角函数关系式得到关于x的分式方程，解分式方程并检验即可． 【详解】解：设佛像的高度为xm， ∵∠BAD=45°， ∴∠BAD=∠ABD=45°， ∴AD=BD=x， ∵佛像头部为， ∴CD=x-4， ∵∠DAC=37.5°， ∴tan∠DAC= = ≈0.77， 解得：x≈17.4， 经检验，该方程有意义，且符合题意， 因此x≈17.4是该方程的解， ∴佛像的高度约为17.4m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到了锐角三角函数、等角对等边、解分式方程等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能根据题意得到相等关系等，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 21. 关于的一元二次方程（）有两个实数根，且一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为邻根方程，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是邻根方程． （1）通过计算，判断下列方程是否是邻根方程： ①； ②． （2）已知关于的一元二次方程（是常数）是邻根方程，求的值． 【答案】（1）①不是；②是 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义“邻根方程”，理解该新定义是解题关键． （1）分别解两个方程，根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）利用因式分解法解该方程，可得，，然后根据“邻根方程”的定义求解即可． 【小问1详解】 解：①， 解得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ②， 解得， ∵， ∴方程是“邻根方程”； 【小问2详解】 ， ， 或， 解得，， ∵关于x的一元二次方程是“邻根方程”， ∴或， 解得或， 即的值为或． 22. 我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？ （2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？ 【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售． 【解析】 【分析】（1）设每千克茶叶应降价x元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】（1）设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得： （400﹣x﹣240）（200+×40）=41600． 化简，得：x2﹣110x+2400=0． 解得：x1=30，x2=80． 答：每千克茶叶应降价30元或80元． （2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元． 此时，售价为：400﹣80=320（元），． 答：该店应按原售价的8折出售． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． 23. 如图，回答下列题： 【操作发现】 如图（1），在和中，，，，连接，交于点M． ①与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】 如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 【答案】（1）①；②40°；（2），；（3）或 【解析】 【分析】（1）①由推出，利用边角边即可证与全等，即可求出结果；②先证出与相等，分别加，，结果仍相等，即可得到； （2）证明与相似即可求出的值，再通过相似三角形对应角相等及三角形内角和定理即可证出的度数为； （3）分点点E在线段和线段延长线两种情况讨论，作于H，连接，由角直角三角形得，由勾股定理得，在中，，则，另一种情况同理可求解． 【详解】解：（1）①， ， ， 又，， ， ， ②设与交于点， 由①知，， ， ，， ， 故答案为：①；②； （2）中，，． ∴ 同理得： ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，， 在中，． （3）如图3-1中，作于H，连接， 在中，∵，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 在中，， ∴， 同（2）可证明：， ∴， ∴， 如图3-2中，连接，作于H， 同法可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，点A、D之间的距离为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $