精品解析：河南省信阳市平桥区十二校联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

河南省九年级结业教学质量检测试题 数学（A） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 禹州钧瓷是中国国家地理标志产品，如图为钧瓷作品，不考虑瓶身图案，有关其三视图说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同 C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图完全相同 2. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 调查全国中学生身高状况 B. 调查某款新能源汽车的抗撞击能力 C. 调查某款灯的使用寿命 D. 调查你所在班级的每一名学生的校服尺码情况 3. 在2024年河南旅游必打卡景点榜中，洛阳龙门石窟好评万条，稳居榜单第1名．“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出数是3的倍数的概率是（　　） A B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的值可以为（ ） A. B. 0 C. D. 2 6. 如图，中，A，B两个顶点在x轴上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长缩小到原来的．设点B的横坐标是a，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，则直线经过的象限是第（ ） A. 一、二、三象限 B. 二、三、四象限 C. 一、二、四象限 D. 一、三、四象限 8. 如图，在半径为2扇形中，，平分交于点P，点C是半径上一动点，则阴影部分周长的最小值为（ ） A B. C. D. 9. 如图，中，，，于点D，E是线段BD上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，顶点，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第70秒旋转结束时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则写出一个符合条件的x的整数值：______． 12. 若是关于的方程的解，则的值为______． 13. 如图，矩形中，，E是上一点，与交于点F．则的长为_________． 14. 如图，点A，B，O是正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）上的三个格点，的半径为OA，点P是劣弧的中点，则的面积为______． 15. 如图，在边长为2的等边中，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，．当时，的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算或化简： （1）； （2）． 17. 阅读是人类获取知识、理解世界的重要途径．某学校为了解学生每周的阅读情况，随机调查了七年级部分学生每周阅读时间（单位：小时），并进行整理和分析（时间x分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：），C档从小到大排列后部分数据是：2，，，，，，…，绘制不完整统计图如图所示： 根据以上信息，回答下列问题： 七年级部分学生每周阅读时间条形统计图七年级部分学生每周阅读时间扇形统计图 （1）本次调查的样本容量为______，m的值为______，补全条形统计图； （2）调查的七年级学生每周阅读时间的中位数为______； （3）若E档4名学生恰为两男两女，现从中随机抽取两人进行阅读经验汇报，请用画树状图的方法求抽取的两人都为男生的概率． 18. 如图，矩形中为其对角线，且，． （1）尺规作图：作的平分线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求线段的长． 19. 如图，某教学楼楼梯拐角安装了一款监控摄像头，该设备能监控到楼道内的通行状况．已知为水平地面，摄像头安装在墙壁上的点A处，为监控范围，扶手（均垂直于地面，点B，F，D在同一条直线上）．在点C处观察点A的仰角为，在点E处观察点A的仰角为，若楼梯通道的宽度为，请计算监控的安装高度的值？（结果精确到．参考数据：，，，） 20. 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． （1）求扇形的圆心角度数； （2）依据相关数据，求花窗的面积． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）直接写出当时，关于x的不等式的取值范围：______； （3）点P在线段上，且不与点A，B重合，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，请问的面积能否为2？若能，请求出点P坐标，若不能请说明理由． 22. 已知二次函数，请解答如下问题： （1）若它的图象过点，求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当时，y的最大值为3，试确定m的值． 23. 如图1，四边形纸片中，，，，．在，边上分别取点M，N，将四边形沿着折叠，使得点A，D的对应点分别为E，F． （1）如图1，直接写出线段的长度：______； （2）如图2，当点B与点F重合时，求的长，并判断与的大小关系； （3）如图3，设与相交于点P，点E在左侧，点F落在边上（不与点B重合），与有可能相等吗？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省九年级结业教学质量检测试题 数学（A） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 禹州钧瓷是中国国家地理标志产品，如图为钧瓷作品，不考虑瓶身图案，有关其三视图说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同 C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图完全相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看到的图形，即可得出答案． 【详解】解：依题意，原图显示为钧瓷作品，不考虑瓶身图案，则它的主视图和左视图完全相同， 故选：A． 2. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 调查全国中学生身高状况 B. 调查某款新能源汽车的抗撞击能力 C. 调查某款灯使用寿命 D. 调查你所在班级每一名学生的校服尺码情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键． 根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、调查全国中学生身高状况，适宜采用抽样调查的方式，故此选项不符合题意； B、调查某款新能源汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查的方式，故此选项不符合题意； C、调查某款灯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，故此选项不符合题意； D、调查你所在班级每一名学生的校服尺码情况，适宜采用全面调查的方式，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 在2024年河南旅游必打卡景点榜中，洛阳龙门石窟好评万条，稳居榜单第1名．“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，“万”用科学记数法表示为． 故选：C． 4. 从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，共有6种情况，取出的数是3的倍数的可能有3和6两种， 故概率为= ． 故选：B． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）="m" /n ． 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的值可以为（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：且， ∴实数k的值可以为， 故选：A． 6. 如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长缩小到原来的．设点B的横坐标是a，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．以点为坐标原点建立新的坐标系，表示出点的横坐标，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：以点为坐标原点建立新的坐标系， 原坐标系中点坐标是，点B的横坐标是a， 点B以为坐标原点的坐标系中的横坐标为的横坐标为：， ∵以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，把的边长缩小到原来的． 则点在以为坐标原点的坐标系中的横坐标为：， 点在原坐标系中的横坐标为：， 故选：C． 7. 二次函数的图象如图所示，则直线经过的象限是第（ ） A. 一、二、三象限 B. 二、三、四象限 C. 一、二、四象限 D. 一、三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系与一次函数的图象与系数的关系，属较简单题目． 由二次函数图象开口向上，得到，由对称轴在线y轴左侧得，从而得到，由二次函数图象交于y轴的负半轴，得出，从而得出，即可判定一次函数图象经过的象限． 【详解】解：∵由二次函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴在线y轴左侧， ∴， ∴， ∵二次函数图象交于y轴的负半轴， ∴， ∴， ∴直线经过的象限是第一、三、四象限 故选：D． 8. 如图，在半径为2的扇形中，，平分交于点P，点C是半径上一动点，则阴影部分周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作P点关于直线的对称点E，连接，与的交点为C点，此时阴影部分周长最小，最小值为的长与弧长的和，求出的长与弧长即可求解． 【详解】解：作P点关于直线的对称点E，连接，与的交点为C点， 此时阴影部分周长最小，最小值为的长与弧的和， ∵平分， ∴， ∵作P点关于直线的对称点E， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 过点O作于D， ∴，， 由勾股定理，得 ∴， ∵长度， ∴阴影部分周长的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长的计算，勾股定理，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证得为等腰三角形是解题的关键． 9. 如图，中，，，于点D，E是线段BD上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，垂线段最短，掌握转化思想是解题的关键． 作于，于，由得，继而通过解直角三角形将转化为，而，即可解决问题． 【详解】解：如图，作于，于． ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，当点共线，且点与点重合时，取得最小值， ∴ 故选：A． 10. 如图，矩形中，顶点，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第70秒旋转结束时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，图形的旋转，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第70秒旋转后矩形的位置是解题的关键． 过点A作轴于E，过点D作轴于F，根据已知条件求出点D的坐标，再根据旋转的性质求出前6次旋转后点D的坐标，发现规律：旋转4次一个循环，进而求出第70秒旋转结束时，点D的坐标． 【详解】解：过点A作轴于E，过点D作轴于F，如图， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转， ∴第1次旋转结束时，点D的坐标为， 第2次旋转结束时，点D的坐标为， 第3次旋转结束时，点D的坐标为， 第4次旋转结束时，点D的坐标为， 第5次旋转结束时，点D的坐标为， 第6次旋转结束时，点D的坐标为， … ∴旋转4次一个循环， ∵， ∴第70秒旋转结束时，点D的坐标与旋转第2次旋转结束时，点D的坐标相同，即为， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则写出一个符合条件的x的整数值：______． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件．熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式及分式有意义的条件．得出不等式组，求出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由题意，得， 解得： ∴符合条件的x的整数值为2， 故答案为：2（答案不唯一）． 12. 若是关于的方程的解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，把代入方程可得，再整体代入代数式即可求解，掌握一元二次方程的解的定义及整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴原式， 故答案为：． 13. 如图，矩形中，，E是上一点，与交于点F．则的长为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，再证明，得到，则． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键． 14. 如图，点A，B，O是正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）上的三个格点，的半径为OA，点P是劣弧的中点，则的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，通过垂径定理求出是解题的关键． 连接交于点，根据垂径定理可知点，，进而可得，再利用勾股定理求出，进而根据求出面积． 【详解】解：如图，连接交于点， 由图可知：，，， ∴， ∵点P是劣弧的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 15. 如图，在边长为2的等边中，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，．当时，的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握等边三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 分两种情况：①当在内时，延长交于D，②当在外时，延长交于D，利用等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，求解即可． 【详解】解：∵等边的边长为2， ∴， 分两种情况：①当在内时，延长交于D，如图， ∵， ∴，， 由勾股定理，得， 由旋转得：， ∴， 由勾股定理，得； ②当在外时，延长交于D，如图， ∵等边，， ∴，， 同理，， ∴， 由勾股定理，得． 综上，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算或化简： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，三角函数混合运算，分式混合运算，熟练掌握实数与分式运算法则，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． （1）先计算开方与绝对值，并把特殊角三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先按分式减法法则计算括号内，再按分式除法法则计算即可． 【小问1详解】 解： =1； 【小问2详解】 解： ． ． 17. 阅读是人类获取知识、理解世界的重要途径．某学校为了解学生每周的阅读情况，随机调查了七年级部分学生每周阅读时间（单位：小时），并进行整理和分析（时间x分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：），C档从小到大排列后部分数据是：2，，，，，，…，绘制不完整统计图如图所示： 根据以上信息，回答下列问题： 七年级部分学生每周阅读时间条形统计图七年级部分学生每周阅读时间扇形统计图 （1）本次调查的样本容量为______，m的值为______，补全条形统计图； （2）调查的七年级学生每周阅读时间的中位数为______； （3）若E档4名学生恰为两男两女，现从中随机抽取两人进行阅读经验汇报，请用画树状图的方法求抽取的两人都为男生的概率． 【答案】（1），，图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图和概率的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据的人数和在扇形统计图中所占的比例，可求解样本容量，进而求得m的值； （2）根据和档人数共人，然后在档中找到按照从小到大排列后的第5人和第6人，然后即可求解； （3）本题需先将树状图画出，然后通过树状图即可求解抽取的两人都为男生的概率； 【小问1详解】 解：由题得：的人数为4人，在扇形统计图中所占的比例为， ∴， ∴本次调查的样本容量为， 由题得：的人数为人，的人数为6人，的人数为人， ∴的人数为， 即； 条形统计图： 【小问2详解】 解：∵总人数人，和档人数共人， ∴将学生每周的阅读情况从小到大排列后，排在第和第的都在C档， ∵C档从小到大排列后部分数据是：2，，，，，，…， ∴可得排在第和第的数据分别是：，，； ∴中位数为； 【小问3详解】 解：设两位男生为男1和男2，两位女生为女1和女2，依据题意得树状图： 由图可得：共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是男生的结果有2种， 所选两名学生恰好都是男生的概率为； 18. 如图，矩形中为其对角线，且，． （1）尺规作图：作的平分线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求线段的长． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规基本作图—作已知角的平分线，作出图形即可； （2）先由矩形的性质得，，，，再证明，由勾股定理求出，再证明，得，即，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，射线即为所求． 【小问2详解】 解：∵是的平分线， ∴， ∵矩形 ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查尺规基本作图—作已知角的平分线，矩形的性质，勾肌定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 19. 如图，某教学楼楼梯拐角安装了一款监控摄像头，该设备能监控到楼道内的通行状况．已知为水平地面，摄像头安装在墙壁上的点A处，为监控范围，扶手（均垂直于地面，点B，F，D在同一条直线上）．在点C处观察点A的仰角为，在点E处观察点A的仰角为，若楼梯通道的宽度为，请计算监控的安装高度的值？（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】监控的安装高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当构建直角三角形进行求解；延长交于点H，由题意，可知四边形、四边形均为矩形，设的高度为，利用三角函数建立方程，求出的长度即可． 【详解】解：延长交于点H，如图所示． 设的高度为， 由题意，可知四边形、四边形均为矩形， ∴．． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵，， ∴． 解得， ∴． 答：监控的安装高度为． 20. 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． （1）求扇形的圆心角度数； （2）依据相关数据，求花窗的面积． 【答案】（1）扇形圆心角的度数为 （2）花窗的面积为 【解析】 【分析】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键． （1）设的度数为，根据弧长公式列方程求解即可； （2）先根据扇形的面积公式求出、，再由求解即可． 【小问1详解】 解：由题知，，点C，D分别为的中点， ∴， 设的度数为， ∵长度为． ∴，解得， ∴扇形圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， ∴花窗的面积为． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）直接写出当时，关于x的不等式的取值范围：______； （3）点P在线段上，且不与点A，B重合，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，请问的面积能否为2？若能，请求出点P坐标，若不能请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）能，点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象求不等式的解集，熟练运用数形结合思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）观察图形，一次函数在反比例函数图象上方部分对应的x值，即为不等式的取值范围； （3）设，其中，令，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入，得：， 解得， ， 将代入，得：， 解得， ， 将，代入，得：， 解得：， ， 综上可知，，； 【小问2详解】 解：当时，的图象在的图象上方， 当时，关于x的不等式的取值范围：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：点P在线段上， 设，其中， ，， ， 令， 整理得， 解得， 的面积能为2，点P坐标为． 22. 已知二次函数，请解答如下问题： （1）若它的图象过点，求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当时，y的最大值为3，试确定m的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的最值问题，求出二次函数解析式和二次函数的最值是解题的关键． （1）把代入求得函数解析式，再化成顶点式即可得顶点坐标； （2）分两种情况： 当时，y的最大值即函数顶点的纵坐标，，当时，y的最大值为当时，对应的函数值，求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数图象经过点， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为， 故其顶点坐标为； 【小问2详解】 解：， ∴时，， 如图1所示：时，y的最大值即函数顶点的纵坐标，， 解得，（舍去）； 如图2所示：当时，y的最大值为当时，对应的函数值， ∴， 解得（舍去）； 综上可得，当时，y的最大值为3，m的值为． 23. 如图1，四边形纸片中，，，，．在，边上分别取点M，N，将四边形沿着折叠，使得点A，D的对应点分别为E，F． （1）如图1，直接写出线段的长度：______； （2）如图2，当点B与点F重合时，求的长，并判断与的大小关系； （3）如图3，设与相交于点P，点E在左侧，点F落在边上（不与点B重合），与有可能相等吗？请说明理由． 【答案】（1）12 （2）， （3）与不可能相等，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点作，证明四边形为矩形，得出，在中，用勾股定理求出即可解答． （2）根据（1）可得，设长为，由折叠性质可知，，在中，根据勾股定理求出，得出，得出，即可得． （3）由（1）可知，，设，得出，，设，则，根据折叠性质得：，求出，得出，即可得与不可能相等． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 如图1，过点作， 则， ∴四边形为矩形， ， ， ， 在中，， ∴． 【小问2详解】 解：根据（1）可得， 如图2，设长为，由折叠性质可知， ， 在中，， ， 解得：，故； ， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：与不可能相等， 理由如下： 由（1）可知，， 设， ∴， 设， 则， 根据折叠性质得：， ， ， ， ∴，可得， ∴假设不成立， ∴与不可能相等． 【点睛】该题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$