培优课程04：第5章比和比例章节复习提升 讲义-2024-2025学年上海市沪教版(上海)六年级数学下册

上海初中六年级数学新教材第5章比和比例（培优课程） 专题04 比和比例章节复习提升 考点1：求比值和化简比 【例1】( )∶20＝＝＝20÷( )＝( )（填小数）。 【答案】8；6；50；0.4 【分析】根据分数的基本性质，将的分子和分母同时乘4，可得＝；将的分子和分母同时乘3，可得＝；将的分子和分母同时乘10，可得＝；分数化成小数：用分子除以分母，按照除数是整数的小数除法进行计算，据此可得＝0.4；根据分数和比的关系，可得＝8∶20；根据分数与除法的关系，可得＝20÷50。 【详解】8∶20＝＝＝20÷50＝0.4 【例2】求下面各比的比值。 ∶        1.5∶       20分∶时         0.5吨∶100千克 【答案】；2.5；；5 【分析】根据比的意义可知，求比值就是用比的前项除以比的后项。 【详解】∶ ＝÷ ＝×2 ＝ 1.5∶ ＝1.5÷ ＝1.5× ＝2.5 20分∶时 ＝20分∶15分 ＝20÷15 ＝ 0.5吨∶100千克 ＝500千克∶100千克 ＝500÷100 ＝5 【例3】求下列各个比的比值：（1）；（2）；（3）5000千克：吨. 分析：（1）带分数要化成假分数，比号改成除号. ； （2）；（3）把千克化成吨，或把吨化成千克， 5000千克：吨＝5吨：吨＝5÷＝5×＝. 反思：比值是一个数，它可以是小数、分数或整数. 求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位，再计算；两个同类量的比值是没有单位的. 【例4】将下面各比化成最简整数比。 ∶            24分∶0.8小时           ∶0.75           375米∶4千米 【答案】2∶1；1∶2；5∶6；3∶32 【分析】先统一单位，再化简比，化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变。 【详解】∶ ＝（×10）∶（×10） ＝14∶7 ＝（14÷7）∶（7÷7） ＝2∶1 24分∶0.8小时 ＝24分∶48分 ＝（24÷24）∶（48÷24） ＝1∶2 ∶0.75 ＝（×8）∶（0.75×8） ＝5∶6 375米∶4千米 ＝375米∶4000米 ＝（375÷125）∶（4000÷125） ＝3∶32 考点2：比、比例的基本性质 【例5】下面不能组成比例的两个比是( )。 A．8∶3和32∶12B．5∶3和∶ C．∶3和∶ D．0.1∶1和2∶20 【答案】C 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出各选项中两个比的比值，比值不相等，就不能组成比例。 【详解】A．8∶3＝8÷3＝ 32∶12＝32÷12＝ 比值相等，8∶3和32∶12能组成比例； B．5∶3＝5÷3＝ ∶＝÷＝×5＝ 比值相等，5∶3和∶能组成比例； C．∶3＝÷3＝×＝ ∶＝÷＝×＝ 比值不相等，∶3和∶不能组成比例； D．0.1∶1＝0.1÷1＝0.1 2∶20＝2÷20＝0.1 比值相等，0.1∶1和2∶20能组成比例。 故答案为：C 【例6】如果都不为零，且，那么下列比例中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例的性质，比例的内项之积等于外项之积； 根据比例的性质进行判断即可． 【详解】解：∵都不为零，且， ∴，， 故选：D． 【例7】如果x∶y＝4，那么＝( )。 【答案】/ 【分析】比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，据此将∶进行化简，因为x和y的比值是4，代入化简后的式子即可求出∶的比值。 【详解】∶＝（×24÷y）∶（×24÷y）＝（4x÷y）∶3＝（4×4）∶3＝16÷3＝ 如果x∶y＝4，那么＝。 【例8】如果是和的比例中项，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例中项的概念，当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项，根据比例的基本性质进行计算是解题的关键． 【详解】∵是和的比例中项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【例9】一个比例的两个内项的积互为倒数，一个外项是，另一个外项是( )。 【答案】 【分析】已知一个比例的两个内项的积互为倒数，根据倒数的意义可知，这两个内项的积等于1； 再根据比例的基本性质可知，这个比例的两个外项的积也等于1；那么用积除以已知的外项，即可求出另一个外项。 乘积是1的两个数互为倒数。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 【详解】1÷ ＝1× ＝ 另一个外项是。 【例10】若甲数的与乙数的相等，则甲、乙两数的最简整数比是( )，比值是( )。 【答案】 3∶4 【分析】由题意知：甲数×＝乙数×，再逆用比例的基本性质，即求出甲数和乙数的比，再根据比的基本性质化成最简整数比，比的前项除以比的后项所得的商就是比值，据此填空即可。 【详解】因为甲数×＝乙数×，所以甲数∶乙数＝∶ ∶＝∶＝3∶4 3÷4＝ 所以甲、乙两数的最简整数比是3∶4，比值是。 【例11】甲数的等于乙数的，甲乙两数的比是( )。 【答案】15∶8 【分析】根据题意可知，甲数×＝乙数×，积相等，可以设它们的积都是1；然后根据“因数＝积÷另一个因数”，分别求出甲数、乙数的值； 再根据比的意义写出甲乙两数的比，最后化简比即可。 【详解】设甲数×＝乙数×＝1。 甲数＝1÷＝1×＝ 乙数＝1÷＝1×＝ 甲数∶乙数＝∶＝（×6）∶（×6）＝15∶8 甲乙两数的比是15∶8。 【点睛】运用赋值法，根据乘法中各部分的关系求出甲、乙数的值，再根据比的意义以及化简比求解。 考点3：三连比 【例12】已知，，那么 【答案】10:15:14 【例13】已知：，，求 分析：，，所以. 反思：求三个数的连比，首先要看同一个字母在两个比中所对应的数是否相同，如果相同，则直接按顺序写出答案，如果不相同，则利用最小公倍数化为相同的数，再写出连比.如：（普陀2017期末27）已知，求. ，，相同字母对应的数分别是4和6，那么要化成它们的最小公倍数12，于是，，得. 【例14】已知，求的最简整数比. 【答案】因为： ，所以：. 【例15】已知，求.（结果写成最简整数比） 【答案】3:5:12 【例16】甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲乙丙的比是( )。 【答案】1∶3∶15 【分析】分数与比的关系：分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比号。 根据分数与比的关系可知，甲数是乙数的，即甲数∶乙数＝1∶3；乙数是丙数的，即乙数∶丙数＝1∶5； 两个比中都有乙数，但占的份数不相同，无法组成三个数的连比；第一个比中乙数占3份，第二个比中乙占1份，利用比的基本性质，让乙数∶丙数中的前项和后项都乘3，这样两个比中乙数都占3份，份数相同，可以组成三个数的连比。 【详解】甲数∶乙数＝1∶3 乙数∶丙数＝1∶5＝（1×3）∶（5×3）＝3∶15 甲数∶乙数∶丙数＝1∶3∶15 所以，甲乙丙的比是1∶3∶15。 【点睛】先根据分数与比的意义，将分数转化成比；再利用比的基本性质，使两个比中乙数占的份数相同是组成三个数连比的关键。 【例17】甲数比乙数多，是丙数的，则甲∶乙∶丙＝( )。 【答案】6∶5∶8 【分析】根据甲数是丙数的，将甲数看作3，丙数看作4，甲数÷（1＋）＝乙数，再根据比的意义写出三数比，化简即可。 【详解】3÷（1＋） ＝3÷ ＝ 3∶∶4＝6∶5∶8 【点睛】关键是理解比的意义，两数相除又叫两个数的比。 【例18】如图，一个正方形和一个长方形有一部分重叠在一起，重叠部分是正方形面积的，是长方形面积的，则正方形和长方形的面积比是( )，如果正方形的面积是16cm2，那么长方形的面积是( )cm2。 【答案】 2∶3 24 【分析】分析题意，要知道长方形和正方形的面积比，首先用阴影部分的面积将长方形和正方形的面积表示出来；根据题意，设阴影部分的面积是1份，则正方形的面积为4份，长方形的面积为6份，即可求出正方形和长方形的面积比；正方形的面积是16cm2，结合正方形和长方形的面积比，即可求出长方形的面积。 【详解】由分析可得：设阴影部分的面积是1份，则正方形的面积为4份，长方形的面积为6份； 4∶6 ＝（4÷2）∶（6÷2） ＝2∶3 正方形和长方形的面积比是2∶3。 16×＝4（cm2） 4×6＝24（cm2） 那么长方形的面积是24cm2。 考点4：解比例方程 【例19】已知：，求x的值. 分析：由比例的基本性质得， ， . 反思：比例的基本性质是两内项之积等于两外项之积，把比例转化成一元方程，从而求解. 反之如果有等积式，则可以写成相应的比例式. 【例20】已知2x : 3=(x+1) : 4，求x的值. 【答案】 【例21】已知，求的值. 【答案】 【例22】已知，求x的值. 【答案】6 【例23】解比例:：=：（4﹣x） 解析：3  【例24】解比例: 解析：1.5 考点5：比的应用 【例25】一幅设计图纸的比例尺是150∶1，一种机器零件的横截面是长方形，长是2.4毫米，宽是0.8毫米。这个零件的横截面在设计图纸上的面积是多少平方厘米？ 【答案】432平方厘米 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离。从“比例尺是150∶1”可知，图上距离是实际距离的150倍，先将零件的实际长和宽分别乘150，得到零件的图上长和宽，再用长乘宽，即可求出横截面在设计图纸上的面积。据此解答。 【详解】（毫米） （毫米） （平方毫米） 43200平方毫米＝432平方厘米 答：这个零件的横截面在设计图纸上的面积是432平方厘米。 【例26】在一张的地图上，测得甲、乙两个城市之间的距离是6厘米，一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两城相对出发，4小时相遇。相遇时客车与货车所行路程比是，客车和货车每小时分别行多少千米？ 【答案】客车每小时60千米；货车每小时90千米 【分析】根据“实际距离图上距离比例尺”，即可求得甲、乙两地的实际距离，再除以相遇时间求得两辆车的速度和，进而利用按比例分配的方法求出客车和货车每小时行的千米数。 【详解】 （厘米） 60000000厘米千米 （千米） （千米） 答：客车每小时行驶60千米，货车每小时行驶90千米。 【例26】克的盐完全溶解在45克水中，水与盐质量的最简比是( )，盐和盐水质量的最简比是( )。 【答案】 9∶1 1∶10 【分析】根据题意可知，水有45克，盐有5克，则盐水有50克。据此直接写出水与盐、盐与盐水质量的比即可，再根据比的基本性质进行化简。 【详解】45＋5＝50（克）； 水与盐质量的比是45∶5＝（45÷5）∶（5÷5）＝9∶1； 盐和盐水质量的最简比是5∶50＝（5÷5）∶（50÷5）＝1∶10。 【点睛】本题考查比的意义和化简比。先明确盐、水以及盐水的质量是关键。 【例27】一件工程，甲独做8天完成，乙独做10天完成，甲和乙工作效率的比是( )。 【答案】 【分析】将工作总量看作单位“1”，工作总量÷工作时间＝工作效率，根据比的意义，写出甲乙工作效率比，化简即可。 【详解】 甲、乙的工作效率之比是。 【点睛】关键是理解比的意义，理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。 【例28】师徒加工一批零件，师傅单独完成要6小时，徒弟单独完成要8小时，师徒二人的工作时间比是( )，他们的工作效率比是( )。 【答案】 3∶4 4∶3 【分析】把这批零件看作单位“1”，师傅的工作效率是，徒弟的工作效率是。根据比的意义，用师傅的工作时间比徒弟的工作时间可求出师徒二人的工作时间比；用师傅的工作效率比徒弟的工作效率可求出师徒的工作效率比。 【详解】6∶8＝（6÷2）∶（8÷2）＝3∶4 1÷6＝ 1÷8＝ ∶＝（×24）∶（×24）＝4∶3 所以师徒二人的工作时间比是3∶4，他们的工作效率比是4∶3。 【点睛】此题主要考查了比的意义、比的化简、工程问题。如果把工作总量看作单位“1”，那么完成此项工作的时间是几，其工作效率就是几分之一。 【例29】一辆汽车行驶160km大约用了2小时，则它行驶的路程与所用时间的比是( )，比值是( )，这个比值表示的是( )。 【答案】 80∶1 80 这辆汽车行驶的速度 【分析】根据题意写出路程时间的比，再根据比的基本性质，前项和后项同时除以2化简比即可；计算比值用比的前项除以后项；160km是路程，2小时是时间，根据路程÷时间＝速度解答。 【详解】160∶2＝（160÷2）∶（2÷2）＝80∶1 80∶1＝80÷1＝80（km） 一辆汽车行驶160km大约用了2小时，则它行驶的路程与所用时间的比是80∶1，比值是80，这个比值表示的是这辆汽车行驶的速度。 【例30】甲正方形的边长是8厘米，乙正方形的边长是0.6分米，甲、乙两个正方形边长的比是( )，周长的比是( )，面积的比是( )。 【答案】 4∶3 4∶3 16∶9 【分析】根据进率“1分米＝10厘米”将0.6分米换算成6厘米；根据正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长，分别求出甲、乙两个正方形的周长和面积； 根据比的意义，分别写出甲、乙两个正方形边长的比、周长的比、面积的比，并化简比。 【详解】0.6分米＝6厘米 边长的比是：8∶6＝（8÷2）∶（6÷2）＝4∶3 甲正方形的周长：8×4＝32（厘米） 乙正方形的周长：6×4＝24（厘米） 32∶24＝（32÷8）∶（24÷8）＝4∶3 甲正方形的面积：8×8＝64（平方厘米） 乙正方形的面积：6×6＝36（平方厘米） 64∶36＝（64÷4）∶（36÷4）＝16∶9 填空如下： 甲、乙两个正方形边长的比是（4∶3），周长的比是（4∶3），面积的比是（16∶9）。 考点6：比例的应用 【例31】一块周长为72米的长方形菜地，长与宽的比是，这块菜地的面积是 平方米． 【答案】224 【分析】此题考查了长方形周长的计算、长方形面积的计算、比的应用，熟练掌握长方形周长和面积计算公式是解题的关键， 根据长方形的周长计算公式及比的应用求出这个长方形的长、宽，然后根据长方形面积计算公式即可解答． 【详解】解：（米） （米） （米） （平方米） 答：这块菜地的面积是224平方米． 故答案为：224． 【例32】一辆汽车匀速行驶3小时行驶了240千米，以同样的速度，行驶小时可以行驶多少千米？（用比例方法解） 【答案】行驶小时可以行驶440千米 【分析】本题主要考查了比例的应用，设行驶小时可以行驶x千米，根据速度路程时间可得比例，解比例即可得到答案． 【详解】解：设行驶小时可以行驶x千米， 由题意得，， 所以， 所以， 所以， 答：行驶小时可以行驶440千米． 【例33】王师傅1.5小时加工1350个零件，照这样的速度，王师傅小时可以加工多少零件？（用比例方法求解）． 【答案】750个零件 【分析】本题考查了列比例式解决实际问题，根据题意列出比例式进而求解即可，准确理解题意是解题的关键． 【详解】设王师傅小时可以加工x个零件，由题意得 所以，王师傅小时可以加工750个零件． 【例34】有一个自助餐厅，规定每次用餐费用为男士30元，女士20元，儿童10元．某天前来用餐的男士、女士人数之比为2 : 9，女士与儿童之比为3 : 7． (1)若一天共收到900元，求儿童的人数？ (2)若收到女士的费用比儿童少210元，求各类人数． 【答案】(1)42 (2)14、63和147 【分析】根据条件得到男士、女士和儿童的比为，设男士、女士和儿童人数分别为、和，根据条件列出方程即可． 【详解】（1）解：男士、女士和儿童的比为，设男士、女士和儿童人数分别为、和， 有， 可得， 则儿童人数为42． （2）解：男士、女士和儿童的比为，设男士、女士和儿童人数分别为、和， 由题意，可得：，解得：， 则男生、女士和儿童人数分别为14、63和147． 【点睛】本题主要考查比的应用，本题关键是把男生、女士和儿童人数写成连比． 考点7：小数、分数与百分数之间的互化 【例35】将下列分数化成百分比： ； （2）. 分析：（1）；； . 反思：把分数化成百分数，关键是将它化为分母为100的分数，当化为分母为100的分数比较困难时，可以先化成小数，然后按照小数化成百分比的方法进行转化． 【例36】将下列小数化成百分比：（1）0.36； (2)1.32． 分析：（1）0.36=0.36100%=36%； (2)1.32=1.32100%=132%． 反思：将小数化成百分比，将小数点向右移两位，同时在右面添上百分号． 考点8：百分比的应用 1、占比问题 【例37】我校六年级三班有50名学生，在一次数学测验中及格的有40人，这次测验的及格率是多少？ 分析：． 反思：及格学生人数占全班学生人数的百分率叫做及格率．． 【例38】某班体育测试，达标的有100人，未达标的有25人，达标率是（    ）． A． B． C． 【答案】C 【分析】达标人数除以总人数再乘以即可． 【详解】解：∵， ∴达标率是； 故选：C． 【点睛】本题考查百分数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握达标率是指达标人数除以总人数再乘以． 【例39】在一杯含盐率的盐水中，继续加入3克盐和9克水，这时杯中盐水的含盐率（    ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法判断 【答案】C 【分析】求出加入部分的盐水的含盐率，再比较即可． 【详解】解：， ∴加入的盐水含盐率为，大于， 故选C． 【点睛】本题考查了百分数的应用，解题的关键是求出加入部分的含盐率． 2、变化率问题 【例40】李丹家去年收玉米300千克，前年收玉米240千克，去年比前年的玉米增产了______（填百分数）． 【答案】25％． 【解 【总结】考察折数和增产数的概念． 【例41】甲数是150，乙数是120，甲数比乙数多百分之几？正确的列式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 用甲比乙多出的数除以乙数即可得到答案． 【详解】 解：因为， 故选C． 【点睛】 本题考查百分数的应用，掌握用 即可计算出较大数比较小数多的百分之几是解题关键 ．　 【例42】在数学兴趣班中，男生有20名，女生有16人，则下列说法正确的是（ ） A．男生比女生多20% B．女生比男生少20% C．男生占数学兴趣班总人数的80% D．女生占数学兴趣班总人数的80% 【答案】B 【分析】 根据百分率=比较量（部分量）÷单位“1”，即可得出结论． 【详解】 解：A．男生比女生多（20－16）÷16=25%，故本选项错误； B．女生比男生少（20－16）÷20=20%，故本选项正确； C．男生占数学兴趣班总人数的20÷（20＋16）≈55.56%，故本选项错误； D．女生占数学兴趣班总人数的16÷（20＋16）≈44.44%，故本选项错误． 故选B 【点睛】 此题考查的是百分数应用题，掌握百分率=比较量（部分量）÷单位“1”是解题关键． 3、折扣与盈利问题 【例43】一个篮球，原价150元，商店为了促销，现在打八折出售，打折后比原来便宜了多少钱？ 【答案】30元 【分析】篮球原价150元，打八折销售，就是按原价的80%销售，把原价看作单位“1”，则现价为150×80%＝120元，用原价减去现价即可算出打折后比原来便宜了多少钱。 【详解】150－150×80% ＝150－150×0.8 ＝150－120 ＝30（元） 答：打折后比原来便宜了30元。 【例44】商场里一辆标价为800元的自行车，因碰掉了一块漆皮，降价120元销售。这辆自行车实际相当于打几折出售？ 【答案】八五折 【分析】先计算出这辆自行车现在出售的价格，要求这辆自行车相当于打几折出售，也就是求现在出售的价格占原价的百分之几，据此解答。 【详解】（800－120）÷800×100% ＝680÷800×100% ＝0.85×100% ＝85% 85%也就是八五折。 答：这辆自行车实际相当于打八五折出售。 【点睛】解答本题的关键是计算自行车现在出售的价格，再根据求一个数是另一个数的百分之几来求解。 【例45】一件商品，先提价20%，以后又降价10%，现在的价格与原来相比（ ） A．提高了 B．降低了 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】 将原价当作单位“1”，则先提价20%后的价格是原价的1+20%；再把提价后的价格看成单位“1”，又降价10%，则此时价格是提价后的1-10%，即是原价的（1+20%）×（1-10%），再与1比较即可判断． 【详解】 解：1×（1+20%）×（1-10%）=120%×90%=108% 则现价是原价的108%，现价比原价高了． 答：现在的价格与原来相比提高了． 故选：A． 【点睛】 解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别，找清各自以谁为标准，再根据分数乘法的意义解决问题． 【例46】六五折就是原价的_______%，比原价便宜了_______%． 【答案】65% 35% 【分析】 把这件商品的原价看做“1”，打六五折，就是现价是原价的65%，所以比原价便宜了1-65%，即可得到结果； 【详解】 六五折就是65%，比原价便宜了； 故答案为65%，35%． 【点睛】 本题主要考查了百分数的应用，准确计算是解题的关键． 【例47】将一件商品按进价提高20%标价，然后又以九折出售，则该商品的利润率为________． 【答案】8% 【分析】 设商品进价是m元，则提高20%后的价格是1.2m元，再打九折出售即现价是提高后价格的90%，即为0.9×1.2m元，然后根据利润=售价-进价即可求出． 【详解】 设商品进价是m元，则提高20%后的价格是1.2m元， 则商品打九折售价为0.9×1.2m=1.08m（元）， 所以商品的利润是1.08m-m=0.08m（元）， 该商品的利润率为×100%＝8%． 故答案为：8%． 【点睛】 考查了利润问题，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．关系为：利润=售价-进价． 【例48】（1）某商品的原价是100元，按原价八折销售，那么，实际售价是多少元呢？ （2）一件外套衣服原价每件480元，在降价120元后出售．这件外套的售价打几折？ （3）一台电视机以原价八折出售，售价是1600元，那么原价是多少元呢？ 分析：（1）100×80%=80（元）；（2）（480-120）÷480=75%；（3）1600÷80%=2000（元）． 反思：这组题是公式：现价=原价×折扣的一个灵活运用． 【例49】放假前学校准备购买60支定价15元的“英雄牌钢笔”奖励给三好学生，恰好有三个文具店开展促销活动。甲店：按八五折出售；乙店：满200元减30元；丙店：“买五送一”。请你帮忙算一算，到哪家文具店购买比较划算？ 【答案】丙文具店 【分析】甲店：打八五折出售，即现价是原价的85%；先根据“单价×数量＝总价”求出原价购买60支钢笔的总价钱，再乘85%，即是在甲店购买钢笔所需的钱数； 乙店：每满200元减30元，先根据“单价×数量＝总价”求出原价购买60支钢笔的总价钱，再看总价钱里面有几个200元，就减去几个30元，即是在乙店购买钢笔所需的钱数； 丙店：把“买五送一”看作一组，先用除法求出60里面有几组，再用每组买的数量乘组数，求出实际需买钢笔的数量；然后根据“单价×数量＝总价”，求出在丙店购买钢笔所需的钱数； 最后比较三家文具店购买60支钢笔所需的钱数，得出在哪家文具店买比较划算。 【详解】甲店： 15×60×85% ＝900×0.85 ＝765（元） 乙店： 15×60＝900（元） 900÷200＝4（个）……100（元） 900－30×4 ＝900－120 ＝780（元） 丙店： 一组：5＋1＝6（支） 60÷6＝10（组） 实际购买数量：5×10＝50（支） 15×50＝750（元） 750＜765＜780 答：到丙文具店购买比较划算。 【例50】百联又一城“周年庆”活动期间对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠； （2）若一次购物满200元，但不超过500元，按该次购物全额的九折优惠； （3）若一次购物超过500元，其中500元按九折优惠，超过500元的部分按八折优惠。 小明两次去百联又一城购物，分别付款198元和544元，旋转销量决定一次购买小明两次购买的同样物品，他需付款多少元？ 【答案】（1）当198元为购物不打折付的钱时，所购物品原价为198元，又554＝450+104，其中450元是购物500元打九折付的钱，104元是购物打八折付的钱，104÷0.8＝130，所以原价为500+130＝630元，故小明两次购买物品的原价一共是198+630＝828元；小亮一次性购买应付500×0.9+（828－500）×0.8＝712.4元. （2）当198元为购物打九折付的钱时，所购物品原价为198÷0.9＝220元，小明两次购买物品的原价一共是220+630＝850元，小亮一次性购买应付＝500×0.9+（850－500）×0.8＝730元 4、利率、税率问题 【例51】小张将1000元存入银行，定期两年，年利率为3.25%，到期能拿到利息多少元？一共能拿到多少元？ (不计利息税) ． 分析：元，＝1065元. 反思：在此类应用题中，首先， 通过审题找出已知量和未知量，分析已知量和未知量的联系；再观察它属于什么类型的题，应该运用什么公式.分析公式中相关量之间的关系，然后在题目中寻找相关量的对应量．（影响利息的关键量是本金、利率、时间）通过本题不仅巩固了存款的一些计算公式，而且更强调了解决应用题要讲究策略，寻找关键量的方法.利息=本金利率期数. 【例52】王明家买了一套120平方米的房子，房价每平方米5600元。如果一次付清房款，可以享受九折优惠，买房时要缴纳实际房价1.5%的契税。王明家一次付清房款，需要缴纳契税多少元？ 【答案】9072元 【分析】根据单价×数量＝总价，据此求出房子的总价，再根据原价×折扣＝现价，据此求出一次付清房款需要的钱数，用一次付清房款需要的钱数乘1.5%即可求出需要缴纳契税多少元。 【详解】120×5600×90% ＝672000×90% ＝604800（元） 604800×1.5%＝9072（元） 答：需要缴纳契税9072元。 【点睛】本题考查税率问题以及折扣问题，求出一次付清房款需要的钱数是解题的关键。 【例53】一家公司8月份按营业额的3%缴纳营业税9000元，这家公司8月份的营业额是多少元？ 【答案】300000元 【分析】根据应纳税部分×税率＝应纳税额，用9000÷3%即可求出营业额。 【详解】9000÷3%＝300000（元） 答：这家公司8月份的营业额是300000元。 【点睛】此题考查了税率问题，掌握相应的公式是解题的关键。 【例54】《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、奖金所得不超过5000元的不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税额，此项纳税分段累计计算： 范围在1－5000元之间（包括5000元） 不必纳税 范围在5000－8000元之间（包括8000元） 税率3% 范围在8000－17000元之间（包括17000元） 税率10% （1）王经理收入6000元，应缴纳多少税？ （2）李先生每个月纳税245元，则他的税前月收入是多少？ 【答案】（1）30元 （2）9550元 【分析】（1）由题意可知，6000元在5000－8000元之间，税率为3%，根据应纳税的部分×税率＝应纳税的金额，据此计算即可； （2）若收入8000元，则应纳税（8000－5000）×3%＝90元，90＜245，所以收入超过8000元，设他的税前月收入是x元，根据等量关系：8000元应纳税的金额＋超过8000元应纳税的金额＝245，据此列方程解答即可。 【详解】（1）（6000－5000）×3% ＝1000×3% ＝30（元） 答：王经理收入6000元，应缴纳30元的税。 （2）解：设他的税前月收入是x元。 （8000－5000）×3%＋（x－8000）×10%＝245 90＋10%x－800＝245 10%x－710＝245 10%x－710＋710＝245＋710 10%x＝955 10%x÷10%＝955÷10% x＝9550 答：他的税前月收入是9550元。 【点睛】本题考查税率问题，明确分段收费标准是解题的关键。 【例55】利用收集到的存款利率算一算：甲用2000元先存一年定期，到期后连本带息再存一年定期；乙用2000元直接存了二年定期，哪种存款方式到期后获得的利息多？（银行的利率分别为：定期一年3.25%，定期两年3.75%） 【答案】直接存两年定期 【分析】根据本金及存期分别按两种储蓄办法计算分析即能确定哪种办法得到的利息多一些： 甲的方法：先存入一年期的，年利率是3.25%，等一年到期时再把本金和利息取出来合在一起，再存入银行一年。则先存一年后可得利息2000×3.25%×1＝65元，第二年本金和利息共有2000＋65元，加在一起再存一年可得利息（2000＋65）×3.25%×1≈67.11元，两年共得利息65＋67.11＝132.11元。 乙的方法：年利率是3.75%，则存两年后可得利息：2000×3.75%×2＝150元； 150元＞132.11元，所以直接存两年定期的方式到期后获得的利息多。 【详解】甲的方法可得利息： 2000×3.25%×1＝65（元） （2000＋65）×3.25%×1≈67.11（元） 两年共得利息：65＋67.11＝132.11（元） 乙的方法可得利息： 2000×3.75%×2＝150（元） 150元＞132.11元 所以乙的存款方式得到的利息多一些。 答：直接存两年定期的方式到期后获得的利息多。 【点睛】根据利息＝本金×年利率×时间，按两种方法分别进行分析计算得出结果是完成本题的关键。 考点9：综合压轴 【例56】—个玻璃瓶内装有盐水，盐的质量是水的质量的，加人15克盐后，盐占盐水质量的，玻璃瓶内原有盐水多少克？ 思路分析 设这个玻璃瓶内原有盐xg,根据题意可列出下表。 盐的质量/g 水的质量/g 盐水的质量/g 原有 x 11x 12x 加入 15 g盐后 x+15 11x 12x＋15 加入 15 g 盐后，盐的质量占盐水的，盐与盐水的质量比是，即。根据比例的基本性质可求出的值，即这个玻璃瓶内原有盐的质量，用原有盐的质量乘 12 ，可得到这个玻璃瓶内原有盐水的质量。 解答：设玻璃瓶内原有盐克，则 答：这个玻璃瓶内原有盐水480克. 【例57】校门口两家文具店同一款式的钢笔都以3元/支出售，现在暑假来临，两家店同时搞促销。 甲店：打六折，折后满35元还可以再优惠5元。 乙店：买4支送1支，如果实际付满40元还可以再打七折。 李老师想买20支这样的钢笔送给社团的同学们，应该去哪家店买更划算呢？（请写出你的思考过程） 【答案】甲店 【分析】甲店：先根据“单价×数量＝总价”求出原价购买20支钢笔的总价钱；打六折，则用总钱数乘60%，与35元比较，如果大于或等于35元，再减去5元，即是在甲店购买钢笔所需的钱数。 乙店：把“买4支送1支”看作一组，先用除法求出20支里有几组，再用每组买的支数乘组数，求出实际需买钢笔的支数；然后根据“单价×数量＝总价”，求出原价购买钢笔所需的钱数，与40元比较，如果大于或等于40元，再打七折，即用总钱数乘70%，即是在乙店购买钢笔所需的钱数。 最后比较两家店购买20支钢笔所需的钱数，得出在哪家店买最划算。 【详解】甲店： 3×20×60% ＝60×0.6 ＝36（元） 36＞35 36－5＝31（元） 乙店： 20÷（4＋1） ＝20÷5 ＝4（组） 实际购买数量：4×4＝16（支） 3×16＝48（元） 48＞40 48×70% ＝48×0.7 ＝33.6（元） 31＜33.6 答：去甲店买更划算。 【点睛】根据两家文具店不同的优惠方案分别求出每家文具店购买钢笔需要的钱数，再比较即可。 掌握打几折即现价是原价的百分之几十，以及单价、数量、总价之间的关系是解题的关键。 【例58】亮亮在AB两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同。随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元。某天亮亮逛街，恰好赶上超市促销，超市A所有的商品打八折销售，超市B全场购物每满100元返25元现金，（不足100元不返），但他只带了400元，若两家都可以选择，买一个随身听在哪一家购买较省钱？为什么？ 【答案】超市B；见详解 【分析】假设书包的单价是x元，根据数量关系：随身听的单价＝书包的单价×4－8，用字母表示随身听的单价，再根据随身听的单价＋书包的单价＝452，据此列出方程，解方程分别求出书包和随身听的单价。超市A：八折相当于80%，用随身听的单价乘80%求出超市A优惠后的价格；超市B：计算随身听的单价里面有多少个100元，就返多少个25元，用原价减去返还的现金，即可求出超市B优惠后的价格。比较两家超市优惠后价格即可得解。 【详解】解：设书包的单价是x元，则随身听的单价是（4x－8）元， 4x－8＋x＝452 5x－8＋8＝452＋8 5x＝460 5x÷5＝460÷5 x＝92 452－92＝360（元） 即随身听的单价是360元。 超市A：360×80%＝288（元） 超市B：360÷100≈3（个） 360－3×25 ＝360－75 ＝285（元） 285元＜288元 288－285＝3（元） 答：买一个随身听在超市B购买较省钱，因为在超市B购买比在超市A购买便宜3元。 【点睛】此题主要考查通过数量关系列出方程，求出随身听的价格，同时考查了折扣问题，最优化问题常用比较法进行解答，分别计算出两种方案优惠后的价格，再进行比较。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海初中六年级数学新教材第5章比和比例（培优课程） 专题04 比和比例章节复习提升 考点1：求比值和化简比 【例1】( )∶20＝＝＝20÷( )＝( )（填小数）。 【例2】求下面各比的比值。 ∶        1.5∶       20分∶时         0.5吨∶100千克 【例3】求下列各个比的比值：（1）；（2）；（3）5000千克：吨. 【例4】将下面各比化成最简整数比。 ∶            24分∶0.8小时           ∶0.75           375米∶4千米 考点2：比、比例的基本性质 【例5】下面不能组成比例的两个比是( )。 A．8∶3和32∶12B．5∶3和∶ C．∶3和∶ D．0.1∶1和2∶20 【例6】如果都不为零，且，那么下列比例中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例7】如果x∶y＝4，那么＝( )。 【例8】如果是和的比例中项，那么 ． 【例9】一个比例的两个内项的积互为倒数，一个外项是，另一个外项是( )。 【例10】若甲数的与乙数的相等，则甲、乙两数的最简整数比是( )，比值是( )。 【例11】甲数的等于乙数的，甲乙两数的比是( )。 考点3：三连比 【例12】已知，，那么 【例13】已知：，，求 【例14】已知，求的最简整数比. 【例15】已知，求.（结果写成最简整数比） 【例16】甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲乙丙的比是( )。 【例17】甲数比乙数多，是丙数的，则甲∶乙∶丙＝( )。 【例18】如图，一个正方形和一个长方形有一部分重叠在一起，重叠部分是正方形面积的，是长方形面积的，则正方形和长方形的面积比是( )，如果正方形的面积是16cm2，那么长方形的面积是( )cm2。 考点4：解比例方程 【例19】已知：，求x的值. 【例20】已知2x : 3=(x+1) : 4，求x的值. 【例21】已知，求的值. 【例22】已知，求x的值. 【例23】解比例:：=：（4﹣x） 【例24】解比例: 考点5：比的应用 【例25】一幅设计图纸的比例尺是150∶1，一种机器零件的横截面是长方形，长是2.4毫米，宽是0.8毫米。这个零件的横截面在设计图纸上的面积是多少平方厘米？ 【例26】在一张的地图上，测得甲、乙两个城市之间的距离是6厘米，一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两城相对出发，4小时相遇。相遇时客车与货车所行路程比是，客车和货车每小时分别行多少千米？ 【例26】克的盐完全溶解在45克水中，水与盐质量的最简比是( )，盐和盐水质量的最简比是( )。 【例27】一件工程，甲独做8天完成，乙独做10天完成，甲和乙工作效率的比是( )。 【例28】师徒加工一批零件，师傅单独完成要6小时，徒弟单独完成要8小时，师徒二人的工作时间比是( )，他们的工作效率比是( )。 【例29】一辆汽车行驶160km大约用了2小时，则它行驶的路程与所用时间的比是( )，比值是( )，这个比值表示的是( )。 【例30】甲正方形的边长是8厘米，乙正方形的边长是0.6分米，甲、乙两个正方形边长的比是( )，周长的比是( )，面积的比是( )。 考点6：比例的应用 【例31】一块周长为72米的长方形菜地，长与宽的比是，这块菜地的面积是 平方米． 【例32】一辆汽车匀速行驶3小时行驶了240千米，以同样的速度，行驶小时可以行驶多少千米？（用比例方法解） 【例33】王师傅1.5小时加工1350个零件，照这样的速度，王师傅小时可以加工多少零件？（用比例方法求解）． 【例34】有一个自助餐厅，规定每次用餐费用为男士30元，女士20元，儿童10元．某天前来用餐的男士、女士人数之比为2 : 9，女士与儿童之比为3 : 7． (1)若一天共收到900元，求儿童的人数？ (2)若收到女士的费用比儿童少210元，求各类人数． 考点7：小数、分数与百分数之间的互化 【例35】将下列分数化成百分比： ； （2）. 【例36】将下列小数化成百分比：（1）0.36； (2)1.32． 考点8：百分比的应用 1、占比问题 【例37】我校六年级三班有50名学生，在一次数学测验中及格的有40人，这次测验的及格率是多少？ ． 【例38】某班体育测试，达标的有100人，未达标的有25人，达标率是（    ）． A． B． C． 【例39】在一杯含盐率的盐水中，继续加入3克盐和9克水，这时杯中盐水的含盐率（    ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法判断 2、变化率问题 【例40】李丹家去年收玉米300千克，前年收玉米240千克，去年比前年的玉米增产了______（填百分数）． 【例41】甲数是150，乙数是120，甲数比乙数多百分之几？正确的列式是（ ） A． B． C． D． 　 【例42】在数学兴趣班中，男生有20名，女生有16人，则下列说法正确的是（ ） A．男生比女生多20% B．女生比男生少20% C．男生占数学兴趣班总人数的80% D．女生占数学兴趣班总人数的80% 3、折扣与盈利问题 【例43】一个篮球，原价150元，商店为了促销，现在打八折出售，打折后比原来便宜了多少钱？ 【例44】商场里一辆标价为800元的自行车，因碰掉了一块漆皮，降价120元销售。这辆自行车实际相当于打几折出售？ 【例45】一件商品，先提价20%，以后又降价10%，现在的价格与原来相比（ ） A．提高了 B．降低了 C．不变 D．无法确定 【例46】六五折就是原价的_______%，比原价便宜了_______%． 【例47】将一件商品按进价提高20%标价，然后又以九折出售，则该商品的利润率为________． 【例48】（1）某商品的原价是100元，按原价八折销售，那么，实际售价是多少元呢？ （2）一件外套衣服原价每件480元，在降价120元后出售．这件外套的售价打几折？ （3）一台电视机以原价八折出售，售价是1600元，那么原价是多少元呢？ 【例49】放假前学校准备购买60支定价15元的“英雄牌钢笔”奖励给三好学生，恰好有三个文具店开展促销活动。甲店：按八五折出售；乙店：满200元减30元；丙店：“买五送一”。请你帮忙算一算，到哪家文具店购买比较划算？ 【例50】百联又一城“周年庆”活动期间对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠； （2）若一次购物满200元，但不超过500元，按该次购物全额的九折优惠； （3）若一次购物超过500元，其中500元按九折优惠，超过500元的部分按八折优惠。 小明两次去百联又一城购物，分别付款198元和544元，旋转销量决定一次购买小明两次购买的同样物品，他需付款多少元？ 4、利率、税率问题 【例51】小张将1000元存入银行，定期两年，年利率为3.25%，到期能拿到利息多少元？一共能拿到多少元？ (不计利息税) ． 【例52】王明家买了一套120平方米的房子，房价每平方米5600元。如果一次付清房款，可以享受九折优惠，买房时要缴纳实际房价1.5%的契税。王明家一次付清房款，需要缴纳契税多少元？ 【例53】一家公司8月份按营业额的3%缴纳营业税9000元，这家公司8月份的营业额是多少元？ 【例54】《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、奖金所得不超过5000元的不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税额，此项纳税分段累计计算： 范围在1－5000元之间（包括5000元） 不必纳税 范围在5000－8000元之间（包括8000元） 税率3% 范围在8000－17000元之间（包括17000元） 税率10% （1）王经理收入6000元，应缴纳多少税？ （2）李先生每个月纳税245元，则他的税前月收入是多少？ 【例55】利用收集到的存款利率算一算：甲用2000元先存一年定期，到期后连本带息再存一年定期；乙用2000元直接存了二年定期，哪种存款方式到期后获得的利息多？（银行的利率分别为：定期一年3.25%，定期两年3.75%） 考点9：综合压轴 【例56】—个玻璃瓶内装有盐水，盐的质量是水的质量的，加人15克盐后，盐占盐水质量的，玻璃瓶内原有盐水多少克？ 【例57】校门口两家文具店同一款式的钢笔都以3元/支出售，现在暑假来临，两家店同时搞促销。 甲店：打六折，折后满35元还可以再优惠5元。 乙店：买4支送1支，如果实际付满40元还可以再打七折。 李老师想买20支这样的钢笔送给社团的同学们，应该去哪家店买更划算呢？（请写出你的思考过程） 【例58】亮亮在AB两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同。随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元。某天亮亮逛街，恰好赶上超市促销，超市A所有的商品打八折销售，超市B全场购物每满100元返25元现金，（不足100元不返），但他只带了400元，若两家都可以选择，买一个随身听在哪一家购买较省钱？为什么？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$