精品解析：云南省文山壮族苗族自治州砚山县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年上学期期中考试 八年级数学试题卷 （全卷共三个大题，27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷，答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 以下是清华大学、北京大学、浙江大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段（单位：），能组成三角形的是（ ） A. 3，6，9 B. 9，8，15 C. 6，6，12 D. 5，6，13 3. 如图，木工师傅在晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止椅子摇晃，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 4. 如图，若，，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在和中，点A，E，B，D在同一条直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则点D到的距离是（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（ ） A. 3条高的交点处 B. 3条中线的交点处 C. 3条边的垂直平分线的交点处 D. 3个角的平分线的交点处 10. 如图，已知中，点，分别是边的中点．若的面积等于，则的面积等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11. 已知一等腰三角形的周长为30，若其中一边长为8，则这个等腰三角形的腰长为（ ） A. 8或11 B. 8或10 C. 8 D. 14 12. 如图，在中，于点D，，则长为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 13. 如图，在中，平分平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在中，，，是的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 15. 如图，中，厘米，厘米，点D为的中点，如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当与全等时，点Q的运动速度为（ ） A. 2厘米/秒 B. 2.5厘米/秒 C. 2厘米/秒或2.5厘米/秒 D. 2.5厘米/秒或3厘米/秒 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 如图，将一个三角形剪去一个角后，，则的度数为______． 17. 如图，等腰的周长为20，底边，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为______． 18. 如图，中，，的垂直平分线分别交于点E、F，连接，则的度数为______． 19. 如图，将一个45度角的直角三角板的直角顶点放在直角坐标系的点C处，三角板两直角边落在x轴，y轴的点A，B处，已知点，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 若，，分别为三边，化简：． 21. 如图，已知．求证：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：． （1）作出关于y轴对称的图形，并请写出点的坐标； （2）在y轴上画出点P，使的周长最小．（请保留作图痕迹） 23. 如图，是平分线上的一点，若，试探究与的数量关系，并证明． 24. 如图，在中，是边上的高，分别是的平分线，． （1）求的度数； （2）求的度数． 25. 如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． （1）求证：是线段的垂直平分线； （2）若，，求的长． 26. 倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线作法． （1）如图1，在中，，中线，求的取值范围． 方法一：延长到E使，连接； 方法二：过点C作的平行线交的延长线于E． 请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； （2）如图2，在中，点在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 27. 如图，的两条高与交于点，，． （1）若，则______； （2）求的长； （3）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为（秒），当与全等时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上学期期中考试 八年级数学试题卷 （全卷共三个大题，27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷，答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 以下是清华大学、北京大学、浙江大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列长度的三条线段（单位：），能组成三角形的是（ ） A. 3，6，9 B. 9，8，15 C. 6，6，12 D. 5，6，13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理“三角形两边之和大于第三边”是解题的关键．根据三角形三边关系定理判断即可． 【详解】解：A、，所以不能组成三角形，故A不符合题意； B、，所以能组成三角形，故B符合题意； C、，所以不能组成三角形，故C不符合题意； D、，所以不能组成三角形，故D不符合题意； 故选：B． 3. 如图，木工师傅在晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止椅子摇晃，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．木工师傅在晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，则形成三角形，由于三角形具有稳定性，故能防止椅子摇晃． 【详解】解：木工师傅在晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止椅子摇晃，其所运用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：A． 4. 如图，若，，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质可得，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点的坐标为，点与点关于轴对称，则点的坐标为 故选：D． 6. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和和外角和定理，设这个多边形的边数为n，根据n边形的内角和为得到方程，解方程求出，再根据多边形外角和为360度即可求出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的一个外角等于， 故选：B． 7. 如图，在和中，点A，E，B，D在同一条直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据、、、、判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键． 先证明，，再根据三角形全等的判定方法做出选择即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， A、，不能判断，选项不符合题意； B、，不能判断，选项不符合题意； C、，不能判断，选项不符合题意； D、，利用可以判断，选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则点D到的距离是（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．利用基本作图得到由作法得平分，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：由作法得平分， ∴点D到和的距离相等， ∵， ∴， ∴点D到的距离为的长，即点D到的距离为10， ∴点D到的距离为10． 故选：C． 9. 幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（ ） A. 3条高的交点处 B. 3条中线的交点处 C. 3条边的垂直平分线的交点处 D. 3个角的平分线的交点处 【答案】C 【解析】 【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在三条边的垂直平分线的交点处． 10. 如图，已知中，点，分别是边的中点．若的面积等于，则的面积等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点，的面积等于， ， 是的中点， ， 故选：C． 11. 已知一等腰三角形的周长为30，若其中一边长为8，则这个等腰三角形的腰长为（ ） A. 8或11 B. 8或10 C. 8 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分类讨论是解题的关键．根据题意分长为8的边为腰或底两种情况分析，根据构成三角形的条件取舍，即可求得答案． 【详解】解：①8是腰长时，底边为：， 三角形的三边长分别为8、8、14，能组成三角形； ②8是底边长时，腰长为：， 三角形的三边长分别8、11、11，能组成三角形； 综上所述，该等腰三角形的腰长是8或11， 故选：A． 12. 如图，在中，于点D，，则长为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，准确计算是解题的关键． 先在中，由角直角三角形性质得到，再在中，由角直角三角形性质得到，最后进行线段和差计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴； 故选：B． 13. 如图，在中，平分平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的定义，解题的关键是根据平分可得，，同理，然后根据，利用三角形内角和可得，从而得到，再根据三角形内角和得到． 【详解】解：在中，． ． 平分，平分． ，． ． 在中，． 故选：B． 14. 如图，在中，，，是的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角性质，中垂线的性质，连接，三线合一推出垂直平分，进而得到，得到，得到当三点共线时，的值最小为的长，再根据垂线段最短，得到当时，最小，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵，是的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵为上的动点， ∴当时，最小， 此时：， ∵ ∴， ∴的最小值为8； 故选：C． 15. 如图，中，厘米，厘米，点D为的中点，如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当与全等时，点Q的运动速度为（ ） A. 2厘米/秒 B. 2.5厘米/秒 C. 2厘米/秒或2.5厘米/秒 D. 2.5厘米/秒或3厘米/秒 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键． 设点Q的运动速度为，运动时间为，则，， 由等腰三角形得到，那么当与全等时，有①，②，分别列式计算即可． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， 设点Q的运动速度为，运动时间为， 则，， ∵， ∴， ∴当与全等时， 有①， ∴， 解得：； ②， ∴， 解得：， 综上所述，当与全等时，点Q的运动速度为2厘米/秒或2.5厘米/秒， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 如图，将一个三角形剪去一个角后，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，三角形的内角和，根据四边形的内角和为度，求出的度数，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 17. 如图，等腰的周长为20，底边，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，利用性质将线段进行等量代换是解题的关键．由垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据题目条件求出，再根据的周长，求出结果即可． 【详解】解：∵等腰的周长为20，底边， ∴， ∴， 是的垂直平分线， ， 的周长． 故答案为：13． 18. 如图，中，，的垂直平分线分别交于点E、F，连接，则的度数为______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，等边对等角，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据三角形的内角和定理求出，根据垂直平分线的性质得到，，进而根据等边对等角得到，，从而根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的垂直平分线分别交于点E、F， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为： 19. 如图，将一个45度角的直角三角板的直角顶点放在直角坐标系的点C处，三角板两直角边落在x轴，y轴的点A，B处，已知点，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质以及等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 过C作轴于点D，轴于点E，证，得即可解决问题． 【详解】解：如图，过C作轴于点D，轴于点E，则， ∵点， ∴， 由题意得是等腰直角三角形，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 若，，分别为三边，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值以及整式的加减；根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可. 【详解】解：因为三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 所以， ， ， ∴ . 21. 如图，已知．求证：． 【答案】 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得证． 【详解】略 22. 如图，在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：． （1）作出关于y轴对称的图形，并请写出点的坐标； （2）在y轴上画出点P，使的周长最小．（请保留作图痕迹） 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，由题意可得，； （2） 解：如图所示，连接，与轴的交点即为所求点． 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形作图、图形与坐标、轴对称的最值问题等知识． （1）找到点关于轴对称的对应点，顺次连接得到，根据坐标系可直接写出点的坐标； （2）连接，与轴的交点，根据轴对称有，此时的周长为最小值，点P即为所求点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，是平分线上的一点，若，试探究与的数量关系，并证明． 【答案】 解：过点作于点，于点， 是平分线上的一点， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，过点作于点，于点，利用，由可证，由全等的性质可得结论． 【详解】略 24. 如图，在中，是边上的高，分别是的平分线，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的高与角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互补可得，根据计算即可； （2）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义求出的度数，然后根据三角形内角和可得结果． 【小问1详解】 解：∵，是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 25. 如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． （1）求证：是线段的垂直平分线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵平分， ∴，， ∴是线段的垂直平分线； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先证明得到，再根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的判定可得结论； （2）根据直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质求，，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ， 在中，，， ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为． 26. 倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线作法． （1）如图1，在中，，中线，求的取值范围． 方法一：延长到E使，连接； 方法二：过点C作的平行线交的延长线于E． 请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； （2）如图2，在中，点在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 【答案】（1） 选方法一来证明， 是的中线， 在和中 ， ， 在中， ， ， 即：， ； 选方法二来证明， 过点C作的平行线交的延长线于E． ∴ 是的中线， ， ， 在中， ， ， 即：， ； （2） 延长到F使，连接，如图所示； 点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及能正确作出辅助线； （1）方法一中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可；方法二中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可； （2）先用证明，得出，再用证明，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 如图，的两条高与交于点，，． （1）若，则______； （2）求的长； （3）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为（秒），当与全等时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等及解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键． （1）根据的两条高与交于点，利用同角的余角相等得出即可得答案； （2）利用可证明，利用全等三角形的性质即可得答案； （3）分点在延长线上和点在线段上两种情况，利用全等三角形的性质，分别用表示出、，解方程求出值，即可得答案． 【小问1详解】 解：∵的两条高与交于点， ∴， ∴． 故答案为： 【小问2详解】 在和中，， ∴， ∴． 【小问3详解】 与全等时 ①如图，当点在延长线上时，， ∴，， ∵点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度， ∴，，， ∴， 解得：． ②如图，当点在线段上时，， ∴，， ∵点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度， ∴，，， ∴， 解得：． 综上所述：或时，与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $