精品解析：安徽省池州市池州市2024-2025学年九年级下学期 开学数学试题

安徽省池州市2024－2025学年九年级下学期开学考 数学试题（沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的） 1. 下列四个图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线经过点，则值为（ ） A. B. 7 C. D. 6 3. 若，则锐角的度数是（ ） A B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 如图，已知的半径为4，是的弦．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 对于二次函数，当函数值随减小而减小时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知等边三角形被一矩形所截，被截成三等分，且．若，则四边形的周长为（ ） A. 30 B. 27 C. 24 D. 21 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．如图，书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，则该直角三角形内切圆的半径为（ ） A. 1步 B. 2步 C. 3步 D. 2.5步 9. 如图，矩形的对角线相交于点，点分别是边上的点，且．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在中，，，则的长为_____． 12. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数为______． 13. 如图，已知为的直径，为上一点，平分．若，则的度数为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过点和边上的点． （1）的值为_____； （2）若过点作直线交轴于点，则点的坐标是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，是等边三角形，点D在边上，将绕点C旋转得到，求证：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标． 18. 如图，在中，点为边上一点，分别过点，作，，交的延长线于点，交于点，且，． （1）求的长； （2）若的面积为，求的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某兴趣小组为了“测量浮山风景区四门塔（如图1）的高度”，绘制了平面示意图如图2，点，均在同一平面内，且点在同一水平线上，，测量小组同学操作无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，再沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为．（结果精确到1m，参考数据：，，） （1）求无人机从点飞行到点处的距离； （2）求四门塔的高度． 20. 如图，在△ABD中，ABAD，以AB为直径的圆交AD于点M，交BD于点O，延长AO至点C，使OCAO，连结CD，BC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AM3，BO，求cos∠DAB． 六、（本题满分12分） 21. 长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分． （1）求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围； （2）大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？ 七、（本题满分12分） 22. 如图，在菱形中，，，点是边的中点，连接． （1）求的长； （2）点为边上的一点，连接，交于点，连接，且． ①求证：； ②求长． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴的负半轴交于点，且，点是直线下方抛物线上的一动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在点运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽省池州市2024－2025学年九年级下学期开学考 数学试题（沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的） 1. 下列四个图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 若双曲线经过点，则值为（ ） A. B. 7 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查双曲线上的点的特征．熟练掌握双曲线上的点的坐标满足反比例函数函数的解析式是解题的关键．将点代入双曲线中求解，即可解题． 【详解】解：双曲线经过点， ， 解得， 故选：A． 3. 若，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 解得， 故选：． 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式的求值，根据题意确定到是解题关键．根据题意得到，把代入，再约分即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，已知的半径为4，是的弦．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、含角的直角三角形的性质，作于，则，由含角的直角三角形的性质可得，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：作于，则，   ， 的半径为， ， ， ， ． 故选：A． 6. 对于二次函数，当函数值随的减小而减小时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质得到抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，函数值随的减小而减小． 【详解】解： 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，函数值随的减小而减小． 故选：B ． 7. 如图，已知等边三角形被一矩形所截，被截成三等分，且．若，则四边形的周长为（ ） A. 30 B. 27 C. 24 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质，由可得，从而推出和是等边三角形，结合三等分得到，再求出四边形各边长，最后求周长即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵被一矩形所截，被截成三等分， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的周长为：． 故选：D． 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．如图，书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，则该直角三角形内切圆的半径为（ ） A. 1步 B. 2步 C. 3步 D. 2.5步 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 如图，，，，为的内切圆，分别与三边切于点，连接，，设半径为，根据切线的性质，，证明矩形是正方形，得到，所以，求出的值，从而得到的半径． 【详解】解：如图，，，， 为的内切圆，分别与三边切于，连接，， 设半径为， 与相切， ， 四边形为矩形，而， 矩形为正方形， ， ，， ，， ，， ， ， 解得， 的半径为2步， 故选： B． 9. 如图，矩形的对角线相交于点，点分别是边上的点，且．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据矩形的性质得到，根据，得到点四点共圆，则，可证，得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴点四点共圆， 如图所示，连接， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，含角直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键. 连接，作，连接，由可知，点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，根据含角直角三角形及勾股定理求出，，即可得到答案. 【详解】如图，连接，过点作于点，连接． ， ． 在中， ，， ，， ，，． ， ． ， ， ，． ， ， 点在以为直径的上运动， ． 当点在的延长线上时，的长最小，最小值为． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在中，，，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 12. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数为______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，根据三角形内角和定理得到，即可求解． 详解】解：， ， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， 故答案为： ． 13. 如图，已知为的直径，为上一点，平分．若，则的度数为______． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，得到，，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 为的直径，， ， ， 平分， ， 故答案为： ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过点和边上的点． （1）的值为_____； （2）若过点作直线交轴于点，则点的坐标是______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，然后得到，然后根据反比例函数的性质得到，求出，，进而求解即可； （2）首先利用待定系数法求出直线的表达式为，然后根据平行设直线的表达式为，代入求出直线的表达式为，进而求解即可． 【详解】（1）四边形是正方形，， ． ， ． 反比例函数在第一象限的图象经过点，， ， 解得， ， ． 故答案为：4； （2）由（1）知，， ，． 设直线的表达式为． 把代入，得 解得 ∴直线的表达式为． 直线交轴于点， 设直线的表达式为． 把代入，得， ， 直线的表达式为． 令，则， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、平行线、正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值计算即可得到答案． 【详解】解：原式． 16. 如图，是等边三角形，点D在边上，将绕点C旋转得到，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质，等边三角形的性质，根据旋转的性质可得，进而证明是等边三角形，进而可得，即可证明，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵将绕点C旋转得到， ， ，， 是等边三角形， ， ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1）图见详解，点的坐标为 （2）图见详解，点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换、轴对称变换，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 解：点关于原点的对称点分别为，描出这三个点，顺次连接，如图，即为所求，点的坐标为； 【小问2详解】 解：绕点逆时针旋转各对应顶点坐标为，描出这两个点，顺次连接， 如图，即为所求，点的坐标为． 18. 如图，在中，点为边上一点，分别过点，作，，交的延长线于点，交于点，且，． （1）求的长； （2）若的面积为，求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先证明，得，故有，然后证明，则，然后代入即可求解；， （）由（）知，根据根据相似三角形的性质得，所以，从而求出，然后求出，最后根据面积和差即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：由（）知， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的面积为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某兴趣小组为了“测量浮山风景区的四门塔（如图1）的高度”，绘制了平面示意图如图2，点，均在同一平面内，且点在同一水平线上，，测量小组同学操作无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，再沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为．（结果精确到1m，参考数据：，，） （1）求无人机从点飞行到点处的距离； （2）求四门塔的高度． 【答案】（1）无人机从点飞行到点处的距离为 （2）四门塔的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意求出，再根据等腰直角三角形性质得到； （2）延长交的延长线于点，设，则，得到，根据正切的定义列方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意知． 在中， ，， ． 答：无人机从点飞行到点处的距离为． 【小问2详解】 解：如图，延长交的延长线于点，则四边形为矩形， ． 设，则． 在中，，则， ． 在中，，， ，即， 解得． 答：四门塔的高度约为． 20. 如图，在△ABD中，ABAD，以AB为直径的圆交AD于点M，交BD于点O，延长AO至点C，使OCAO，连结CD，BC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AM3，BO，求cos∠DAB． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用直径所对的圆周角可得，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明ABCD是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）设，连接BM，利用勾股定理构建方程即可求出，得到，根据余弦函数的定义（领边比斜边）即可． 【详解】（1）证明：∵AB是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵， ∴四边形ABCD是菱形 （2）如图连接BM，设． ∵AB是直径， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴． 【点睛】题目主要考查直径所对的圆周角是直角、平行四边形、菱形的判定定理、勾股定理解直角三角形、求三角函数的值等，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题是解题关键． 六、（本题满分12分） 21. 长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分． （1）求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围； （2）大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】（1）段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为 （2）草莓一天内最适合生长的时间有15小时 【解析】 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）应用待定系数法求函数解析式； （2）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可． 【小问1详解】 解：设段所对应的反比例函数关系式为． 把代入，得， ． 当时，， 解得，即， 段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为． 【小问2详解】 解：设直线的函数关系式为． 把代入， 得 解得， 直线的函数关系式为． 当时，，解得． 当时，，解得， （小时）． 答：草莓一天内最适合生长的时间有15小时． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在菱形中，，，点是边的中点，连接． （1）求的长； （2）点为边上的一点，连接，交于点，连接，且． ①求证：； ②求的长． 【答案】（1） （2）见解析；1 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题． （1）证明为等边三角形，利用三线合一结合勾股定理求出的长即可； （2）①求出，结合对顶角相等，以及两组对应角相等的两个三角形相似，即可得出结论； ②作于H，证明，得到，勾股定理求出的长，在中，求出的长，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可． 【小问1详解】 四边形是菱形， ． ， 是等边三角形， ． 点是边的中点， ， ． 在中，， ． 【小问2详解】 ①证明：四边形是菱形， ， ， ． 又， ， ， ． ， ． ②解：如图，过点作于点． 由（1）知是等边三角形． 点是边的中点，， ，． ， ． ， ． 中，由勾股定理得， ． 在中，，， ，． 在中，由勾股定理得， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴的负半轴交于点，且，点是直线下方抛物线上的一动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在点运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 【答案】（1）该抛物线的函数表达式为 （2）存在这样的点，此时点的坐标为 （3）当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题， （1）根据题意可知点坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）连接，作轴于点，轴于点，设点的坐标为．则，，，，结合，化解后利用二次函数的性质求得最大值即可． 【小问1详解】 解： 抛物线与轴的负半轴交于点，且， ． 把，，代入中， 得解得 该抛物线函数表达式为． 【小问2详解】 解：假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点．如图， 四边形为菱形，， ，且， ，即点的纵坐标为． 由，得，（不合题意，舍去）， 故存在这样的点，此时点的坐标为． 【小问3详解】 解：连接，作轴于点，轴于点，如图， 设点的坐标为． ，，， ，，，， ， 当时，， 此时点的坐标为， 即当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$