精品解析：湖南省娄底市2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题

娄底市2024年秋季高三教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，点D在边上，且，设，，则（ ） A. B. C D. 6. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，已知，，M是的中点，二面角的大小为.则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 8. 已知点F是抛物线的焦点，点A是抛物线E上一点.过点A作圆的两条切线，切点分别为B，C，且分别交抛物线的准线于M，N两点，M，N位于y轴异侧（如图所示）.若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. 函数图象关于点对称 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递减 10. 设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. A，B相互独立 B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在D上的不动点，集合为在D上的不动点集.若函数在R上的不动点集为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数在点处的切线方程为________. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为________. 14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，其中，直线与椭圆C交于P，Q两点，记的面积为S，若时，，则椭圆C的离心率的取值范围为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，若，求证：. 16. 为激发学生注重学科核心素养的培养，某校数学教研组开展数学基本技能比赛，比赛采用自主报名参赛方式，全校共有200名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为，，，得到如下的频数统计表： 分数区间 性别 男生/名 15 45 60 女生/名 25 25 30 （1）若学生得分不低于90分，则认为基本技能优秀，得分低于90分，则认为基本技能良好，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？ （2）为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的200名学生中，按性别比例分层抽样的方式随机抽取5名学生进行问卷调研，然后再从这5名学生中随机抽取3名学生进行座谈调研，记取出的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望. 附： α 0.10 005 0010 2.706 3841 6.635 ，. 17. 如图，在三棱柱中，D为边上（异于A，C两点）的动点，平面与边交于点E. （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）已知侧面底面，，，，求直线与平面所成角的大小. 18. 已知函数，. （1）证明：函数与的图象关于直线对称； （2）设. （ⅰ）判断函数的单调性； （ⅱ）证明：，. 19. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，D是双曲线C的右支上一点，若，双曲线E的离心率为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设，分别是双曲线C的左，右顶点，平行y轴的直线l交双曲线C于P，Q（异于，）两点.直线与直线交于点R，求交点R的轨迹E的方程； （3）过点且斜率为的直线交第（2）问的轨迹E于A，B（A，B不在坐标轴上）两点，点G是轨迹E上一点，满足轴，直线，分别交直线于点M，N，其中O为坐标原点，记，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 娄底市2024年秋季高三教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题，即可判断选项. 【详解】命题“，”的否定是“，”, 故选:B. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法法则求得z，再由模的定义计算. 【详解】因复数z满足，所以复数z满足， 所以. 故选：A. 3. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合B，结合和集合具有互异性，得出实数a的取值范围. 【详解】由，解得，所以，因为， 又因为，所以. 故选：D. 4. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式展开计算可得结论. 【详解】由已知得：， 即，所以. 故选：A. 5. 在中，点D在边上，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. 【详解】因为点D在边上，且， 所以. 故选：C. 6. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，已知，，M是的中点，二面角的大小为.则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先说明为二面角的平面角，即可求出，再根据锥体的体积公式计算可得. 【详解】因为是底面圆的直径，所以， 又M是的中点，所以， 又平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，即. 由已知，，可得， 所以， 又平面，平面，所以， 由，解得， 所以圆锥的体积. 故选：B. 7. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数式与指数式的转换，由对数函数的单调性，可得答案. 【详解】法一：由，则，由，则，即. 因为，所以， 因为，所以，故； 法二：由，，， ∵，∴，故 . 故选：D. 8. 已知点F是抛物线的焦点，点A是抛物线E上一点.过点A作圆的两条切线，切点分别为B，C，且分别交抛物线的准线于M，N两点，M，N位于y轴异侧（如图所示）.若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与圆O相切于点D，由切线长定理可得的周长为，可得，设，由题意得，可得，计算可得，结合已知可得，可求. 【详解】设与圆O相切于点D，由题图及切线长相等可得：，，， ∴的周长为， ∴， 设，由题意得， ∵，∴， ∴， 由，则，解得， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用切线长定理与三角形的面积得到，进而计算求解. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数图象关于点对称 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知条件可得，根据周期公式即可判断A项；代入检验结合余弦函数的对称性可判断B、C项；根据正弦函数的单调性即可判断D项. 【详解】因为将的图象向左平移个单位长度得到 ， 对于A，函数的最小正周期，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，令，整理得， 所以单调递减区间为， 显然时，单调递减区间为， 因为，故D正确. 故选：ABD 10. 设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. A，B相互独立 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相互独立事件、和事件、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为，，所以，， 因为， 所以，即，所以A，B相互独立，故A正确； 所以，故B错误； 因为A，B相互独立，所以，相互独立，，B相互独立，A，相互独立， 所以 ，故C正确； 因为， ， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在D上的不动点，集合为在D上的不动点集.若函数在R上的不动点集为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不动点集的定义，根据方程的三个根化简列出等式，求解即可判断A和B；再设，对其求导，求出单调性得出m取值范围，再根据题意即可求出的范围，判断C和D即可. 【详解】因为在R上的不动点集为， 所以， 即方程在R上存在3个实数根，，， 所以 ， 从而，所以A正确，B错误； 令，则， 当和时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则，解得. 因为， 所以C错误，D正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点（或方程的根）的问题的方法 （1）直接法，对函数求导，求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质结合零点存在定理求解： （2）构造函数法，将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法，将问题等价转化为直线与函数图象的交点问题． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数在点处的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数，得，即切线斜率，然后可得切线方程. 【详解】因为，所以，又， 所以切线方程为：，即. 故答案为：. 13. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理结合均值不等式求得最大值，再用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为已知， 由余弦定理可得， 因为，又因为，得， 当且仅当时等号成立， 则面积为， 当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，其中，直线与椭圆C交于P，Q两点，记的面积为S，若时，，则椭圆C的离心率的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，，由题意可得四边形为矩形，利用已知可得，利用椭圆的几何性质与勾股定理可得，可得，结合题意可得有，可求椭圆C的离心率的取值范围. 【详解】连接，，由题意得，， 所以四边形为矩形，所以，故， 又，由勾股定理得， 即， 则，故， 即，即，解得， 又点P在直线上，且，所以，即， 所以，，解得， 综上，椭圆C的离心率的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用已知得到，进而利用椭圆的几何性质与勾股定理可得，进而计算即可，需注意. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，若，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）用累加法即可求出结果； （2）将第（1）问的结果代入原式，裂项相消求出前n项和为，即可证明结果. 【小问1详解】 因为， 所以当时，，…，，， 上述各式相加得， 又，所以， 又满足上式，故. 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 所以数列的前n项和 ， 即. 16. 为激发学生注重学科核心素养的培养，某校数学教研组开展数学基本技能比赛，比赛采用自主报名参赛方式，全校共有200名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为，，，得到如下的频数统计表： 分数区间 性别 男生/名 15 45 60 女生/名 25 25 30 （1）若学生得分不低于90分，则认为基本技能优秀，得分低于90分，则认为基本技能良好，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？ （2）为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的200名学生中，按性别比例分层抽样的方式随机抽取5名学生进行问卷调研，然后再从这5名学生中随机抽取3名学生进行座谈调研，记取出的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望. 附： α 0.10 0.05 0010 2.706 3.841 6.635 ，. 【答案】（1）认为该校学生基本技能与性别有关联 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】(1)由题设完善列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论； (2)由题意的可能取值有0，1，2，进而求其分布列并求期望值. 【小问1详解】 根据题意得如下2×2列联表： 男生 女生 合计 基本技能优秀 60 30 90 基本技能良好 60 50 110 合计 120 80 200 零假设：该校学生的基本技能与性别无关联. ， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该校学生的基本技能与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1. 【小问2详解】 由题意知，随机抽取进行问卷调查的5名学生中，女生2名，男生3名， 所以随机变量的可能取值有0，1，2， 故， ， ， 故X的分布列如下， X 0 1 2 P . 17. 如图，在三棱柱中，D为边上（异于A，C两点）的动点，平面与边交于点E. （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）已知侧面底面，，，，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）平行四边形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线线平行证明线面平行，再证明线线平行，还要利用面面平行证明线线平行，从而可得平行四边形； （2）利用空间向量法来求线面角的大小. 【小问1详解】 在三棱柱中，，又平面，平面， 所以平面，又平面平面，平面， 所以, 又平面平面， 平面平面，平面平面， 所以. 所以四边形为平行四边形. 【小问2详解】 取的中点O，连接，. 在中，因为，所以， 因为侧面底面，底面侧面，底面， 所以平面，又侧面，所以. 在中，由，，可知， 在Rt中，因为，，所以， 所以，所以， 从而，，两两垂直. 以O为原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，. 所以，. 设平面的法向量为，则 令，得.又， 设直线与平面所成角为，且， 则， 所以直线与平面所成角的大小为. 18. 已知函数，. （1）证明：函数与的图象关于直线对称； （2）设. （ⅰ）判断函数的单调性； （ⅱ）证明：，. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）在单调递增；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别取两个函数图象上的任意一点，得到关于直线的对称点，分别代入函数解析式检验，可得答案； （2）（i）整理函数解析式，根据导数与函数的单调性的关系，对于导数由指数函数恒大于零，构造函数并利用其导数求其最值，可得答案； （ii）整理不等式，构造函数，求导并利用放缩法，研究导数的最值，可得答案. 【小问1详解】 设点为函数上任一点，又点关于直线对称的点为， 因为，所以，所以点在函数的图象上. 设点为函数上任意一点，又点关于直线对称的点为， 因为，所以，所以点在函数的图象上. 综上可得，函数的图象与的图象关于直线对称； 【小问2详解】 （ⅰ）由已知， 得， 令，则， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以，所以， 则在单调递增. （ⅱ）根据题意知， 当时，令， 则， 令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，则在上单调递增， 则， 所以， 即，. 【点睛】关键点点睛：本题的单调在于第二小题第二问对于构造函数的单调性研究，关键在于对于构造函数的导数采用放缩法化简，利用放缩法解决问题是要注意放缩方向以及放缩的程度. 19. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，D是双曲线C的右支上一点，若，双曲线E的离心率为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设，分别是双曲线C的左，右顶点，平行y轴的直线l交双曲线C于P，Q（异于，）两点.直线与直线交于点R，求交点R的轨迹E的方程； （3）过点且斜率为的直线交第（2）问的轨迹E于A，B（A，B不在坐标轴上）两点，点G是轨迹E上一点，满足轴，直线，分别交直线于点M，N，其中O为坐标原点，记，，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义与离心率即可求得结果. （2）首先设出每个点的坐标，由，R，P三点共线得：；由，R，Q三点共线得：，两式联立再代入双曲线方程即可； （3）设出直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理表达出面积,再化简利用不等式即可求得结果. 【小问1详解】 因为D是双曲线C的右支上一点，且， 所以， 又双曲线C的离心率为，即，得， 所以，所以双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）得双曲线C的方程为， 设,，则，又，， 则，， 由，R，P三点共线得：； 又，， 由，R，Q三点共线得：， 两式相除得，， 因为，所以，即，得， 所以直线与直线的交点R的轨迹E的方程为. 【小问3详解】 由已知可设直线的方程为，，设，， 联立化简可得， 所以， 所以，， ， ， 又直线的方程为，与直线联立可得， 所以， 直线的方程为，与直线联立可得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 又， ， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第二问由，R，P三点共线得：； 由，R，Q三点共线得：，两式联立再代入双曲线方程即可； 第三问设出直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理表达出面积,再化简利用不等式即可求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$