精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

石嘴山市第一中学2024-2025学年高二年级第一学期期末考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 1.已知集合，，则 A. [2，+） B. [1，2] C. （1，2] D. （﹣，1] 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可求出，，进而求出，然后与取交集即可． 【详解】由题意，，故；等价于，故，则，故. 故选C. 【点睛】本题考查了集合的交集与补集，考查了不等式的求法，函数值域的求法，属于基础题． 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断双曲线的焦点位置，然后得到渐近线方程的一般形式，再根据的值直接写出渐近线方程. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为， 又因为，所以渐近线方程为. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度较易.双曲线的实轴长为，虚轴长为，若焦点在轴上，则渐近线方程为，若焦点在轴上，则渐近线方程为；求解双曲线渐近线方程的另一种方法：直接将双曲线方程中的变为，由此得到的关系式即为渐近线方程. 3. 函数的图象在点处的切线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程； 【详解】解：由，得， 所以，， 所以切线方程为. 故选：A 【点睛】本题考查利用导数求切线方程，属于基础题. 4. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系求得圆的半径，即可求得结果. 【详解】因为点到直线的距离是， 所以圆的半径为，所以圆的方程为. 故选：C. 5. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述错误的是（ ） A. 函数的图象可由的图象向右平移个单位得到 B. 函数在区间上是单调递增的 C. 函数在区间上的值域为 D. 是函数图象的一条对称轴 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可求出解析式为，对于A，，故该选项正确；对于B，可求得是它的一个单增区间，，故该选项正确；对于C，，由余弦函数的图象可得，所以该选项正确；对于D，，不是函数的最值，故不是对称轴，所以该选项错误. 【详解】根据图象可得，所以函数的解析式为. 对于A，，故可由的图像向右平移个单位得到的图象，故该选项正确； 对于B，可求得的单增区间为，故是它的一个单增区间，而，故该选项正确； 对于C，，由余弦函数的图象可得，所以该选项正确； 对于D，，不是函数的最值，故不是对称轴，所以该选项错误. 故选：D 【点睛】方法点睛：对于三角函数的性质的命题的真假的判断，一般要利用余弦函数的图象和性质分析求解. 6. 各项为正的等比数列满足，则与的等比中项为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的基本性质可求得的值，结合等比中项的定义可得结果. 【详解】由对数的运算性质可得，， ，则，，故与的等比中项为. 故选：A. 7. 大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接代入检验，排除其中三个即可． 【详解】由题意，排除D，，排除A，C．同时B也满足，，， 故选：B． 【点睛】本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解． 8. 已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用中位线性质得到是的直角三角形，在焦点三角形中利用双曲线定义即可建立的关系，从而求得离心率． 【详解】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接， 因为为正三角形，，所以为的中点，所以， 故，易知，所以， 由双曲线的定义知，即，得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对抛物线,下列描述正确的是（ ） A. 开口向左，焦点为 B. 开口向左，准线方程为 C. 开口向下，准线方程为 D. 开口向下，焦点为 【答案】CD 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出其开口方向以及准线方程、焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为，则，可得， 所以，该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，其开口向下， 故选：CD. 10. 已知等差数列 是递减数列，且满足的前项和为，下列选项中正确的是（ ） A. B. 当时，最大 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意首先得出，从而判断A，进一步根据等差数列前项和判断BCD三个选项. 【详解】由题意等差数列 是递减数列，且满足，所以， 从而，故A正确；而，所以当且仅当或时，最大，故B错误； 由B选项分析可知，故C正确；因为，故D错误. 故选：AC. 11. 已知数列满足，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用递推式可求得 的值，可判断A，B，利用并项求和法结合等比数列的求和公式判断C，D. 【详解】因为， 所以，，，又， 所以，，，故A正确； 因为，，所以不是等比数列，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的虚部是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求解. 【详解】因为， 所以，虚部为. 故答案为： 13. 已知函数的导函数为，且对任意，，若，，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得解. 【详解】构造函数，则，故函数在上单调递减， 由已知可得， 由可得，可得. 故答案为：. 14. 若数列满足对任意都有，则称数列为上的“凹数列”.已知，若数列为上的“凹数列”，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意整理可得，换元，分析可知原题意等价于对任意恒成立，根据函数单调性求最值结合恒成立问题分析求解即可. 【详解】若数列为上的“凹数列”，则，即， 可得， 整理可得，即， 因为，令，可得， 当时，，可得， 原题意等价于对任意恒成立， 因为在上单调递增， 则在上单调递减，且当时，， 可知的最大值为， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点点睛：解决数列与函数综合问题的注意点 （1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点． （2）转化以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题． （3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足：，，数列的前项和是． （1）求及； （2）令，求数列的前项和的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质，建立方程求得公差，利用公式，可得答案； （2）利用裂项相消的求和方法，可得答案. 【小问1详解】 由数列为等差数列，则设其公差为，由，，则，解得， 故，. 【小问2详解】 由（1）可知，， 则 . 显然， 因为，，则. 16. 如图，在凸四边形中，已知． （1）若，，求的值； （2）若，四边形的面积为4，求的值． 【答案】（1）； （2）﹒ 【解析】 【分析】(1)△中求出BD，在△中，由正弦定理求出，根据即可求； (2)在△、△中，分别由余弦定理求出，两式相减可得cosA与cosC的关系式；又由的sinA与sinC的关系式；两个关系式平方后相加即可求出cos(A＋C)﹒ 【小问1详解】 在△中，∵， ∴． 在△中，由正弦定理得，， ∴． ∵，∴， ∴． 【小问2详解】 在△、△中，由余弦定理得， ， ， 从而①， 由得， ②， 得，， ∴． 17. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面，平面， 所以 ， 又由题可知，， ，平面 且， 所以平面， 又因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明； (2)建系，利用空间向量的坐标运算可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴建系如图， 由，，可得， 则有 设平面的一个方向量为 ， 所以 即 令则， 所以 因为平面，所以为平面的一个法向量， 所以，， 即二面角的余弦值等于. 18. 已知直线分别经过椭圆左顶点和上顶点，，是椭圆的左、右两个焦点，椭圆的离心率． （1）求实数和椭圆方程； （2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围． 【答案】（1），椭圆方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）由直线方程求出，，结合离心率求出，，得到椭圆方程，求出，从而求出； （2）设，与椭圆方程联立，求出两根之和，两根之积，从而求出线段的中点坐标，得到线段的垂直平分线方程，令，求出，得到的取值范围. 【小问1详解】 中令，解得：，故， 所以， 因为离心率，所以，解得：， 所以， 故椭圆方程为， 且，代入中得：，解得：； 【小问2详解】 由题意得：，直线的斜率一定存在且不为0， 设，与椭圆方程联立得：， 恒成立， 设，则，， 则， 故线段的中点坐标为， 故线段的垂直平分线方程为， 令得：， 因为，故. 19. 已知单调递增的等比数列满足：.且是，的等差中项.又数列满足：，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列为等比数列，求的值； （3）若，且为数列的最小项，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）或；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据等比数列以及等差数列的性质求出数列的通项公式即可； （2）代入的值，设出数列的公比，得到关于公比和和的方程组，解出即可； （3）求出数列的通项公式，结合函数的单调性以及为数列的最小项，得到关于的不等式组，解出即可． 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为.且是，的等差中项， 所以， 即. 解得，或（舍去）. 所以. （2）时，， 而， 所以， 而数列是等比数列，设公比是， 则， 解得或. 所以或. （3）若， 故， 令，其中， 若为数列的最小项，而是递增数列， 则是递减数列，故， 故只需，即，解得. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查转化思想以及归纳思想，是一道综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2024-2025学年高二年级第一学期期末考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 1.已知集合，，则 A. [2，+） B. [1，2] C. （1，2] D. （﹣，1] 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象在点处的切线方程为（ ）． A. B. C. D. 4. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述错误的是（ ） A. 函数的图象可由的图象向右平移个单位得到 B. 函数在区间上是单调递增的 C. 函数在区间上的值域为 D. 是函数图象的一条对称轴 6. 各项为正的等比数列满足，则与的等比中项为（ ） A. B. 3 C. D. 7. 大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对抛物线,下列描述正确的是（ ） A. 开口向左，焦点为 B. 开口向左，准线方程为 C. 开口向下，准线方程为 D. 开口向下，焦点为 10. 已知等差数列 是递减数列，且满足的前项和为，下列选项中正确的是（ ） A. B. 当时，最大 C. D. 11. 已知数列满足，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的虚部是_________. 13. 已知函数的导函数为，且对任意，，若，，则的取值范围是___________. 14. 若数列满足对任意都有，则称数列为上的“凹数列”.已知，若数列为上的“凹数列”，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足：，，数列的前项和是． （1）求及； （2）令，求数列的前项和的取值范围． 16. 如图，在凸四边形中，已知． （1）若，，求的值； （2）若，四边形的面积为4，求的值． 17. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 18. 已知直线分别经过椭圆左顶点和上顶点，，是椭圆的左、右两个焦点，椭圆的离心率． （1）求实数和椭圆方程； （2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围． 19. 已知单调递增的等比数列满足：.且是，的等差中项.又数列满足：，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列为等比数列，求的值； （3）若，且为数列的最小项，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $