精品解析：江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高三下学期期初学情调研测试数学试题

江苏省扬州市高邮市2025届高三下学期期初学情调研测试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法和复数的模的运算，直接求解即可. 【详解】， 故. 故选：B 2. 在斜三角形ABC中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过特例说明即可判断； 【详解】解：三角形中，若A为锐角，B为钝角，则，此时，， 故“”不能推出“”； 当A为钝角，B为锐角时有，此时，故不能推出“”. 综上，三角形ABC中，“”是的既不充分也不必要条件. 故选：D 3. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AD错误，利用作差法计算可得B正确，再由不等式性质可得C错误. 【详解】对于A，当时，可知不成立，故A错误； 对于B，因为，可得； 所以，故B正确； 对于C，由，可得，则，即，故C错误； 对于D，，当时，，故D错误． 故选：B 4. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据模长公式以及向量垂直的关系，即可联合求解. 【详解】解：由已知，即， 又， 解得，故， 故选：D 5. 有5名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从5人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】假设其中一个人连续参加两天服务求得总共的排列数，从而知道恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数.再由分步计数求出总排列数.再由古典概型求得概率》 【详解】不妨记五名志愿者为 ，假设a 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有 种方法， 同理：连续参加了两天社区服务，也各有12 种方法， 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有 种. 总的情况数为 种. 故恰有1人连续参加两天服务的概率为 . 故选：A . 6. 已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】是1个零点，进而得时，函数有4个零点，将问题转化成与有4个交点分析计算求解即可. 【详解】由题意，可知： 当时，，故为的1个零点； 故当时，函数有4个零点，即有4个非0实数根， 即有4个非0实数根， 即与图象有4个交点， 当时，， 当时，则，令得， 所以当时，当时， 则函数在单调递增，在上单调递减， 又，时，时， 且时，时，， 所以图象如图所示： 由图可得，解得. 故选：D. 7. 设双曲线C：的左、右焦点为，，左、右顶点为，，P为双曲线一条渐近线上一点，若，则双曲线C的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线垂直，斜率关系得到，从而得出P在正上方，再由得到，最后由离心率的齐次式求解. 【详解】由已知，设，， 因为，， 所以 ，即有， 所以，则，即，即P在正上方， 根据，且，则， 得，即， . 故选：B 8. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（ ） A. 63 B. 64 C. 65 D. 66 【答案】A 【解析】 【分析】通过新定义得到， 进而得到，相加，进而可求解； 【详解】解：因为数列为“速增数列”， ，，且， 所以对，，， 所以，且， 所以 相加得， 即，， 当时，， 当时，， 故正整数k的最大值为 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量．相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量．现将这些观测数据进行适当分组后每组为左闭右开的区间，绘制出如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 样本观测数据的极差不大于50 B. 样本观测数据落在区间上的频率为 C. 样本观测数据的75百分位数为70 D. 若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计的工人能完成任务 【答案】AD 【解析】 【分析】由频率分布直方图，结合极差、频率、百分位数的计算公式逐项判断即可； 【详解】解：对于A，据频率分布直方图可得最小数值不小于45，而最大数值小于95， 所以极差不大于50，故A正确； 对于B，样本观测数据落在区间上的频率为，故B错误； 对于C，样本观测数据落在区间上的频率为， 样本观测数据落在区间上的频率为， 则样本观测数据的75百分位数在之间，设为x， 则，解得，故C错误; 对于D，据频率分布直方图加工产品的数量的频率为， 则估计的工人能完成任务，故D正确. 故选：AD 10. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简函数的解析式，然后由余弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】， 对于A选项，当时，， 故的图象关于直线对称，故A正确； 对于B选项，当时，， 故的图象关于点对称，故B正确； 对于C选项，时，，因为在上不单调， 故在区间上不单调，故C错误； 对于D选项，时，，故，故D正确. 故选：ABD 11. 已知F是抛物线的焦点，直线l为抛物线C的准线，过点F作两条互相垂直的直线、，与C相交于，两点，与C相交于，两点，则（ ） A. 的最小值为2 B. 以线段AB为直径的圆与直线l相切 C. 的最小值为16 D. 和面积之和的最小值为8 【答案】BCD 【解析】 【分析】设出直线、，与抛物线联立后消去，得到与纵坐标有关的韦达定理备用，对于A，表示出，计算即可得；对于B，求出该圆圆心及半径，借助切线的性质判定即可得；对于C，表示出、的长度后结合基本不等式即可得；对于D，表示出两三角形面积之和后，借助坐标之间的关系，结合基本不等式求解即可得. 【详解】由，故焦点坐标为，准线方程为， 设，、、，则， 联立，消去x得：，， 有，， 对于A，，故A错误； 此时M点坐标为， ， 故， ， 则为直径的圆以为圆心，为半径， 圆心到的距离为，与半径相等， 故以为直径的圆与l相切，即B正确； 由， 同理可得， 即， 当且仅当时，等号成立，故C正确； ， 由，则， 同理可得，， 即 ， 当且仅当，时等号成立， 当时，由抛物线的对称性及直线的对称性可得，， 即，可同时取等，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列的各项均为正数，若，，则__________. 【答案】64 【解析】 【分析】由等比数列通项公式代入求解即可； 【详解】解：因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为q，所以，， 由得，即，解得或舍弃， 所以， 故答案为： 13. 若直线与曲线相切，则的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】求导，设出切点，根据几何意义得到方程，求出，又，，联立求出，则，求出最小值. 【详解】由，得， 设切点为，则，故， 又，， 故，， 可得，即， 则， 当时，的最小值为. 故答案为： 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先应用正切公式化简再结合诱导公式及两角和余弦公式计算得出，最后用余弦定理及正弦定理计算求出周长. 【详解】由得， 即， 即， 由以及诱导公式得， 又， 得， 又，由同角三角函数的基本关系得， 因为，根据正弦定理： ， 所以，， 由余弦定理得， 将代入上式得， 解得，所以的周长为 故答案为: 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 24 30 喜欢阅读纸质书 12 总计 60 （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关； （2）若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望． 附：，其中 【答案】（1）答案见解析，有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）完善的列联表并计算的值，即可得出结论； （2）易知X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求得对应概率可得出其分布列及其期望值. 【小问1详解】 根据题意，可得如下的的列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 6 24 30 喜欢阅读纸质书 12 18 30 总计 18 42 60 则， 所以有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关. 【小问2详解】 由题意可得抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名， 所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3； 由超几何分布的分布列可得，, ，； 所以X的分布列为： 0 1 2 3 则期望为. 16. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，若，， （1）求四棱锥的体积； （2）求二面角的平面角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理证明以平面，再应用棱锥体积公式计算即可； （2）建立空间直角坐标系先求法向量，再应用公式计算二面角余弦，最后应用同角三角函数关系计算即可. 【小问1详解】 取AD的中点O，连接QO，QC， 因为，所以， 又，， 所以， 在正方形ABCD中，， 所以， 所以， 又， 所以，即， 又，平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的体积为 ； 【小问2详解】 过O作交BC于M，则， 结合（1）中平面， 故可建以O为原点，OM，OD，OQ所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图所示， 所以，，，， 故，， 设平面BQD的法向量为，则， 故，取，则，， 故平面的一个法向量为， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 所以， 由图可知为锐角，所以， 所以， 所以二面角的平面角的正弦值为 17. 已知数列中，，为数列的前n项和，满足 （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由的关系作差得到，通过构造即可求证； （2）由（1）得到，裂项相消求和即可； 【小问1详解】 由题意，当时，，得， ， 当时，，① ，② ①-②得， 因为，所以则， ，， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则 【小问2详解】 由， 则， 所以的前n项和 18. 已知函数. （1）求的单调区间; （2）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性； （2）根据题意可得，分别求最大值即可得不等式，解不等式即可求解. 【小问1详解】 由，， 得. 令，解得. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 因为对任意，均存在，使得， 所以， 当时，取得最大值，最大值为0. 由（1）得，当时，在]上单调递增， 即当时，取得最大值， 所以，解得，即. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值. 设， 则，单调递增， 所以成立，所以无解. 综上所述，的取值范围为. 19. 已知椭圆的一个焦点坐标是，短轴长是长轴长的 （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值； （3）设椭圆的左、右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的最大值. 【答案】（1） （2） 显然直线的的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，， 则点的坐标为，， 联立方程，消去整理， 则，且，， 又因为直线的方程为， 令，得Q的横坐标为 代入，，得 所以为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，，进而可得； （2）设直线的方程为，则，联立椭圆可得，进而得，，由直线的方程为，得，进而可得； （3）设直线为，联立椭圆方程为，进而得，，进而得，再根据得，进而可得，故直线恒过，进而可得，换元后即得. 【小问1详解】 由，，,得，， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，，，设，，直线斜率为， 若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意. 所以直线的斜率必不为0，设其方程为， 联立方程，消去得， 则，，， 因为是椭圆上一点，满足， 所以， 则，， 因为， 得， 得 得，得，此时 故直线恒过轴上一定点，，， 所以故， 得，令， 则， 故当，即时，取得最大值. 【点睛】关键点点睛：本题第三问，注意到若斜率为0不合题意，可设为，联立椭圆方程为，进而得，，进而得，再根据得，进而可得，进而可确定恒过，故，进而换元后求最大值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州市高邮市2025届高三下学期期初学情调研测试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 在斜三角形ABC中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 有5名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从5人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（     ） A. B. C. D. 7. 设双曲线C：的左、右焦点为，，左、右顶点为，，P为双曲线一条渐近线上一点，若，则双曲线C的离心率（ ） A. B. C. D. 8. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（ ） A. 63 B. 64 C. 65 D. 66 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量．相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量．现将这些观测数据进行适当分组后每组为左闭右开的区间，绘制出如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 样本观测数据的极差不大于50 B. 样本观测数据落在区间上的频率为 C. 样本观测数据的75百分位数为70 D. 若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计的工人能完成任务 10. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 当时， 11. 已知F是抛物线的焦点，直线l为抛物线C的准线，过点F作两条互相垂直的直线、，与C相交于，两点，与C相交于，两点，则（ ） A. 的最小值为2 B. 以线段AB为直径的圆与直线l相切 C. 的最小值为16 D. 和面积之和的最小值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列的各项均为正数，若，，则__________. 13. 若直线与曲线相切，则的最小值为___________. 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长为_________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表： 年长者 年轻人 总计 喜欢阅读电子书 24 30 喜欢阅读纸质书 12 总计 60 （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关； （2）若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望． 附：，其中 16. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，若，， （1）求四棱锥的体积； （2）求二面角的平面角的正弦值. 17. 已知数列中，，为数列的前n项和，满足 （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和 18. 已知函数. （1）求的单调区间; （2）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的一个焦点坐标是，短轴长是长轴长的 （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值； （3）设椭圆的左、右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $