精品解析：广东省河源市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024年秋季期末教学质量检测 九年级数学学科试卷 说明：1．全卷含答题卡共8页，满分120分，考试用时为120分钟． 2．本次考试范围：九年级上册及九年级下册第一章内容． 3．答卷前，考生根据学校要求，人工批改学校考生在答题卡左侧横线处用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、姓名、学号信息；网上阅卷学校无须填写，只需正确贴条形码信息即可． 4．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的信息点涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 5．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原答案，然后再写上新的答案．答题卡不得使用透明胶或涂改液．不按以下要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示，该几何体的左视图为（　　） A. B. C. D. 2. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（　　） A B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若反比例函数的图像位于第一、三象限，则k的取值可以是（　　　） A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0 5. 如图，现有两个相同的转盘，其中一个分为红、黄两个相等的区域，另一个分为红、黄、蓝三个相等的区域，随机转动两个转盘，转盘停止后指针指向相同颜色的概率为( ) A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，则值为（ ） A. B. C. D. 7. 如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形对应边上的中线之比是（　　） A. B. C. D. 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 如图，正方形的边长是3，，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，．正确结论的个数为（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程x2+2x＝0解为_____． 12. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某同学的身高是1.5米，影长是1米，且旗杆的影长为8米，则旗杆的高度是 _________________ 米. 13. 已知A(－1，y1)，B(2，y2)两点在双曲线上，且k＞0，则y1______y2（填＞或＜）． 14. 如图，在菱形中，对角线交于点，若，则的值为_____________． 15. 如图，P为菱形的对角线上的一定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交， 于点E，G，，若的最小值为2，则的长为________． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，在坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形，并写点的坐标． 18. 数学活动小组到某景点测量标志性建筑古塔的高度，如图，他们在地面上处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至处，测得仰角为60°，点、、在同一直线上．（身高忽略不计，结果不取近似值） （1）求证： （2）求塔的高 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图： 根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加知识竞赛的学生共有______人，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，______，______，C等级对应的圆心角为______度； （3）小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率． 20. 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． （1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； （2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 21. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 五、解答题（≡）（共2小题，第12题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点和点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）若点是轴上一点，且满足的面积是，请求出点的坐标． 23. 【初步感知】 （1）如图①，在中，点为上一点，连接并延长交的延长线于点，若，求证：点是的中点； 【探究运用】 （2）如图②，在四边形中，，，，，点是的中点，且，、的延长线相交于点，求证四边形是菱形，并求的长； 【实际运用】 （3）如图③，某小区内有一块三角形区域，在边的中点处修建一个公共卫生间，在边上确定一点，使得，修两条笔直的小路和，在其交汇处修一凉亭（凉亭大小忽略不计），已知凉亭到处的距离为200米（即米），求凉亭到处的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期末教学质量检测 九年级数学学科试卷 说明：1．全卷含答题卡共8页，满分120分，考试用时为120分钟． 2．本次考试范围：九年级上册及九年级下册第一章内容． 3．答卷前，考生根据学校要求，人工批改学校考生在答题卡左侧横线处用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、姓名、学号信息；网上阅卷学校无须填写，只需正确贴条形码信息即可． 4．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的信息点涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 5．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原答案，然后再写上新的答案．答题卡不得使用透明胶或涂改液．不按以下要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示，该几何体左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的意义，画图即可，熟练掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】根据题意，左视图为 ， 故选A． 2. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故选项B符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形；故选项C不符合题意； 当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 3. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，利用配方法对变形即可得到答案，熟记配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 【详解】解：用配方法解一元二次方程时， 得到，则，即， 故选：A． 4. 若反比例函数的图像位于第一、三象限，则k的取值可以是（　　　） A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第一、三象限， ∴2k+1＞0，解得k＞-， ∴k的值可以是0． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图像与系数的关系是解答此题的关键． 5. 如图，现有两个相同的转盘，其中一个分为红、黄两个相等的区域，另一个分为红、黄、蓝三个相等的区域，随机转动两个转盘，转盘停止后指针指向相同颜色的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出停止后指针指向相同颜色的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】画树状图如下： 由树状图知，共有6种等可能结果，其中转盘停止后指针指向相同颜色的有2种结果， 所以转盘停止后指针指向相同颜色的概率为＝， 故选A． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 6. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了求余弦，掌握余弦的定义是解题的关键．根据余弦的定义计算即可． 【分析】解：∵在中，，，， ∴， 故选：C． 7. 如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形对应边上的中线之比是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的对应中线的比为， 故选：B． 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴===， 故选B． 【点睛】本题考查了比例线段：熟练掌握比例的性质是解决此题的关键． 9. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，且，可求解． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴且． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程无实数根． 10. 如图，正方形的边长是3，，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，．正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可证明△DAP≌△ABQ，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2=OD•OP，故②正确；根据△CQF≌△BPE，得到S△CQF=S△BPE，根据△DAP≌△ABQ，得到S△DAP=S△ABQ，即可得到S△AOD=S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE的长，进而求得QE的长，证明△QOE∽△POA，根据相似三角形对应边成比例即可判断④正确，即可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°． ∵BP=CQ， ∴AP=BQ． 在△DAP与△ABQ中，∵， ∴△DAP≌△ABQ， ∴∠P=∠Q． ∵∠Q+∠QAB=90°， ∴∠P+∠QAB=90°， ∴∠AOP=90°， ∴AQ⊥DP； 故①正确； ∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°， ∴∠DAO=∠P， ∴△DAO∽△APO， ∴， ∴AO2=OD•OP．故②正确； 在△CQF与△BPE中，∵， ∴△CQF≌△BPE， ∴S△CQF=S△BPE． ∵△DAP≌△ABQ， ∴S△DAP=S△ABQ， ∴S△AOD=S四边形OECF；故③正确； ∵BP=1，AB=3， ∴AP=4． ∵∠P=∠P，∠EBP=∠DAP=90°， ∴△PBE∽△PAD， ∴， ∴BE， ∴QE， ∵∠Q=∠P，∠QOE=∠POA=90°， ∴△QOE∽△POA， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程x2+2x＝0的解为_____． 【答案】0，﹣2． 【解析】 【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 【详解】x2+2x＝0, x（x+2）＝0, ∴x＝0或x+2＝0, ∴x＝0或﹣2,故本题的答案是0，﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法． 12. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某同学的身高是1.5米，影长是1米，且旗杆的影长为8米，则旗杆的高度是 _________________ 米. 【答案】12． 【解析】 【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答． 【详解】解：设旗杆高度为x，则 ， 解得x=12． 故答案为12． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解题关键． 13. 已知A(－1，y1)，B(2，y2)两点在双曲线上，且k＞0，则y1______y2（填＞或＜）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】先判断出反比例函数的图象所在的象限，即可得出结论． 【详解】解：∵双曲线中k＞0， ∴双曲线在一、三象限， ∴A(-1，y1)在第三象限，B(2，y2)在第一象限， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，k≠0)的图象是双曲线，当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 14. 如图，在菱形中，对角线交于点，若，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求正弦，掌握菱形的性质，正弦的定义是解题的关键． 过点作交于点，根据菱形的性质和勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求得，最后根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点作交于点， 四边形为菱形，， ，，， 在中， 故答案为：． 15. 如图，P为菱形的对角线上的一定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交， 于点E，G，，若的最小值为2，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，线段的垂直平分线性质，含角的直角三角形，垂线段最短，依次计算即可． 【详解】∵P为菱形的对角线上的一定点，，的最小值为2， ∴，， 连接，过点P作， 则，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：4． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角度三角函数值的混合运算、负整数指数幂，解题的关键是熟记各个特殊角度的三角函数值．先将各个特殊角度的三角函数值、二次根式、负整数指数幂化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形，并写点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了作图—位似变换和轴对称变换，理解轴对称图形与位似图形的画法是解题的关键． （1）利用点关于y轴对称的性质得出的坐标，顺次连接点即可得出所求图形； （2）利用关于原点位似图形的性质得出，的坐标，顺次连接点即可得出所求图形，进而得到点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所作， 利用点关于y轴对称的性质得出坐标， 顺次连接点即可得； 【小问2详解】 解：如图，即所作， ∵位似比为， 又要求在y轴的左侧， ∴得到点， 顺次连接点即可得． 18. 数学活动小组到某景点测量标志性建筑古塔的高度，如图，他们在地面上处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至处，测得仰角为60°，点、、在同一直线上．（身高忽略不计，结果不取近似值） （1）求证： （2）求塔的高 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，等角对等边，解直角三角形的应用—仰角俯角问题； （1）根据三角形的外角的性质可得，进而根据等角对等边即可得出； （2）解，即可求解． 【小问1详解】 解：证明：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴该塔高为．． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图： 根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加知识竞赛的学生共有______人，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，______，______，C等级对应的圆心角为______度； （3）小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率． 【答案】（1）40，图见解析 （2）10，40，144 （3）表见解析，小明被选中参加区知识竞赛的概率为 【解析】 【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据D等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数，然后乘以B等级所占的百分比即可得出B等级的人数，然后补全统计图即可； （2）用A等级的频数除以总人数即可得出m的值；用度乘以C等级所占的比例即可； （3）用列表法表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可． 【小问1详解】 人，人， 故答案为：40，补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 ，， ． 故答案为10，40，144； 【小问3详解】 设除小明以外的三个人记作、、，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下： 一 二 小明 小明 ，小明 ，小明 ，小明 小明， ， ， 小明， ， ， 小明， ， ， 共有12种等可能出现的情况，其中小明被选中的有6种， 所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为． 20. 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． （1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； （2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； （2）当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据2月份到4月份销售量从256变成400建立方程求解即可； （2）设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，根据总利润为8400元建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，得， 整理得， 解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 21. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中，， ， ． 【小问2详解】 证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 五、解答题（≡）（共2小题，第12题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点和点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）若点是轴上一点，且满足的面积是，请求出点的坐标． 【答案】（1），；（2）或；（3）点坐标为或． 【解析】 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出k，从而求出点B坐标，再通过待定系数法求一次函数解析式． （2）通过观察图象交点求解． （3）设点P坐标为（m，0），通过三角形PAB的面积为10及三角形面积公式求解． 【详解】解：（1）将代入得， 解得，反比例函数解析式为．，解得， 所以点坐标为，把，代入得： ，解得，一次函数解析式为． （2）由图象可得当或时式． 故答案：或． （3）设点坐标为，一次函数与轴交点为， 把代入得，解得，点坐标为． ， ，即， 解得或．点坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与不等式的关系． 23. 【初步感知】 （1）如图①，在中，点为上一点，连接并延长交的延长线于点，若，求证：点是的中点； 【探究运用】 （2）如图②，在四边形中，，，，，点是中点，且，、的延长线相交于点，求证四边形是菱形，并求的长； 【实际运用】 （3）如图③，某小区内有一块三角形区域，在边的中点处修建一个公共卫生间，在边上确定一点，使得，修两条笔直的小路和，在其交汇处修一凉亭（凉亭大小忽略不计），已知凉亭到处的距离为200米（即米），求凉亭到处的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）凉亭到处的距离为600米 【解析】 【分析】本题考查几何综合，涉及平行四边形性质、三角形相似的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质及判定是解决问题的关键． （1）利用平行四边形性质，得到，利用面积比等于相似比的平方即可得证； （2）由（1）中结论，由三角形全等的判定与性质得到，进而根据菱形的判定定理得到答案，从而由勾股定理求出的长； （3）过作交的延长线于点，如图所示，由（2）中结论及三角形相似的判定与性质，由及题中条件得到，从而得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ， ， ，即， ， 点是中点； （2）证明：， ， 又点是的中点，且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 在，，，，则， ； （3）解：过作交的延长线于点，如图所示： 与（2）同理可得， ， ， ，， ， ， ， ，即， ，则，即， 米， 答：凉亭到处的距离为600米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $