精品解析：河南省南阳市方城县2024--2025学年上学期期末六校联考八年级数学试卷

2024年秋期期终六校联考八年级调研数学 注意事项： 1．答题前填写好自已的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 1. 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根号的数；③负数和零没有平方根；④立方根等于本身的数只有1和．其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3 个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义分别分析得出答案． 【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，符合题意； ②无理数是无限不循环小数，原说法不合题意； ③零有平方根，原说法不合题意； ④立方根等于本身的数有0，，原说法不合题意； 故选：B． 2. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 两直线平行，内错角相等 D. 0的立方根是0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题、全等三角形性质、对顶角相等、平行线的性质、立方根，熟练掌握这些性质是解题关键．根据全等三角形的性质、对顶角相等、平行线的性质、立方根的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、全等三角形的对应角相等，则此项是真命题，不符合题意； B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，则此项是假命题，符合题意； C、两直线平行，内错角相等，则此项是真命题，不符合题意； D、0的立方根是0，则此项是真命题，不符合题意； 故选：B． 3. 若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质，根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 对顶角相等 C. 如果，那么 D. 三角形的一个外角大于任意一个内角 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题、平行线的性质、绝对值、对顶角及三角形外角，熟练掌握各个定理是解题的关键；因此此题可根据真假命题、平行线的性质、绝对值、对顶角及三角形外角进行求解即可． 【详解】解：A、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项原说法是假命题； B、对顶角相等，故本选项说法是真命题； C、如果，那么或，故本选项原说法是假命题； D、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故本选项原说法是假命题； 故选：B． 5. 等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟知以上知识是解题的关键． 题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分两种情况： 当腰为时，，所以不能构成三角形； 当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：． 故选：B． 6. 如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果的网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断： ①甲和乙的动手操作能力都很强； ②缺少探索学习的能力是甲自身的不足； ③与甲相比乙需要加强与他人的沟通合作能力； ④乙的综合评分比甲要高． 其中合理的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据甲、乙两位员工的能力测试结果的网状图一一判断即可得到答案． 【详解】解：因为甲、乙两位员工的动手操作能力均是5分，故甲乙两人的动手操作能力都很强，故①正确； 因为甲的探索学习的能力是1分，故缺少探索学习的能力是甲自身的不足，故②正确； 甲的与他人的沟通合作能力是5分，乙的与他人的沟通合作能力是3分，故与甲相比乙需要加强与他人的沟通合作能力，故③正确； 乙的综合评分是：3+4+4+5+5=22分，甲的综合评分是：1+4+4+5+5=19分，故乙的综合评分比甲要高，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查图象信息题，能从图象上获取相关的信息是解题的关键． 7. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，设点Q的运动速度是，有两种情况：①；②，列出方程，然后求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为， 又∵， ∴， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①， ∴， 解得：； ②， 则：， 解得：； ∴当与全等时，点Q的运动速度为或． 故选：D。 8. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，分类讨论思想的应用．利用勾股定理求出杯子内筷子的最大长度，再根据杯子内筷子的长度范围得出杯子外面长度的取值范围即可得出答案， 【详解】解：当筷子如图1放置时， 在中，由勾股定理，得， 此时，筷子在杯子外面的长度最短， 最短值为：； 当筷子如图2放置时， 此时，筷子在杯子外面的长度最长， 最长值为：． 综上，． 故选：D． 9. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了比较大小．熟练掌握整式的加减运算，完全平方公式，非负数的性质，配方法，是解答此题的关键． 首先根据，求出的大小，然后应用配方法，判断出的大小关系即可． 【详解】解：， ， ， 的大小关系为：． 故选：A． 10. 如图，在和中，，，于点，的反向延长线与交于点，连接，则线段，，三者之间的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，证是本题的关键．由题意可得，由可得，由，可得是的垂直平分线，可得，根据勾股定理可求的值． 【详解】解：如图连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分） 11. 比较大小：______3．（填“”、“”、“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数大小比较，无理数的估算，根据，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可． 本题主要考查了因式分解．因式分解时首先观察各项是否有公因式，如果有公因式要先提出公因式，然后再看能否用平方差公式或者完全平方公式分解．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为： 13. 如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答．根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点D作， 为的角平分线， ∵为中点， ∴ 设，则 则， 故答案为：． 14. 如图在中，，点在线段上运动（点不与点、重合），连接，作，交线段于点，点在运动过程中，若是等腰三角形，则的度数为______． 【答案】108°或72° 【解析】 【分析】分三种情况讨论，当AD=AE时，，根据解答；当DA=DE时，求出，，根据三角形内角和定理解出，再由三角形内角和定理解答；当EA=ED时，求出，再根据三角形内角和定理解答． 【详解】解： 当AD=AE时， 所以此时不符合； 当DA=DE时， 当EA=ED时， 所以，当是等腰三角形时，的度数是108°或72° 故答案为：108°或72°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 15. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 三、解答题（本题共计8小题，共计75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式加减，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知：整式，整式，整式，为正整数． （1）化简整式C：__________； （2）判断与的大小关系，并说明理由； （3）整式满足：，求整式． 【答案】（1） （2），见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算． （1）利用多项式乘法求解即可； （2）利用求差比较法比较大小即可； （3）先求出，再开方即可． 【小问1详解】 解： 故答案为：． 【小问2详解】 理由如下：， ， ， 为正整数，， 【小问3详解】 ， 或． 18. 为了增强同学们的消防安全意识，普及消防安全知识，提高自防自救能力，某中学开展了形式多样的培训活动，为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了消防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，分为良好，分为及格，59分及以下为不及格，学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a.抽取七年级20名学生的成绩如下： 66 87 57 96 79 67 89 97 77 100 80 69 89 95 58 98 69 78 80 89 b.抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如下： （数据分成5组：，，，，） c.抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图： d.七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数如下表： 年级 平均数 中位数 七年级 81 a 八年级 82 81 请根据以上信息，完成下列问题： （1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中a的值； （2）该校八年级有学生200人，估计八年级测试成绩达到优秀的学生有多少人？ （3）在七年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为m；在八年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为n．比较m，n的大小，并说明理由． 【答案】（1）图见解析，80 （2）60人 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）先找出七年级的人数，补全条形统计图，再根据中位数的定义求出a的值； （2）先求出抽取的八年级20名学生成绩的优秀率，再乘以八年级总人数即可； （3）由扇形统计图可知八年级80分及以上的学生有10人，设八年级第十名的成绩为x，第十一名的成绩为，根据中位数是81可得，则，再根据八年级20名学生成绩的平均数是82，可得第十名的成绩高于他们的平均分，第十一名的成绩低于他们的平均分，由此得出n的值，即可比较． 【小问1详解】 解：七年级的人数为4人， 补全频数分布直方图如下 将七年级20名学生的成绩按从高到低排序，第10名和第11名都是80分，因此中位数是80， 表中a的值为80． 【小问2详解】 解：抽取的八年级20名学生成绩的优秀率为 ， 此次八年级测试成绩达到优秀学生为（人）． 【小问3详解】 解：由抽取的七年级20名学生成绩的数据可知，． 由抽取的八年级20名学生成绩的扇形统计图可知，80分及以上的学生有10人． 把八年级20名学生的成绩由高到低排列， 设第十名的成绩为x，第十一名的成绩为（b是正数）． ∵抽取的八年级20名学生成绩的中位数是81， ∴． ∴． ∵抽取的八年级20名学生成绩的平均数是82， ∴第十名的成绩高于他们的平均分，第十一名的成绩低于他们的平均分． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，中位数、平均数，利用样本估计总体等知识点，准确从统计图中获取信息是解题的关键． 19. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求 ． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接， 由垂直平分线的性质得，可知，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可求证； （）设，则，根据三角形的外角性质可得，根据等边对等角得，最后通过三角形的内角和定理即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质，， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 20. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为的值为20 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，因式分解的计算，掌握以上知识是解题的关键． 根据材料解法一提示设另一个因式为，根据因式分解的方法展开，再根据同类项的知识即可求解； 根据材料解法二提示当时，解出的值代入二次三项式求出的值，再进行因式分解即可． 【详解】解：解法一：设另一个因式为， 由题意得：， 则， 解得：， 另一个因式为的值为20． 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，， 把代入， 得， 而． 另一个因式是的值为20． 21. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 用全等三角形研究“筝形“ 探究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再探究它的性质和判定方法． 在人教版八年级上册数学教材第53页的数学活动中对“筝形”有这样一段描述：我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 根据学习几何图形的经验，我对如图所示的筝形的性质进行了探究． 探究图形的性质，就是探究图形的构成元素（边、角、对角线）具有怎样的特征．通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，我首先发现了这类“筝形”有一组对角相等，并进行了证明． 已知：如图，在筝形中，，，，连接，相交于点O． 求证：． 证明：…… 我还发现了这类“筝形”的其他性质： …… 任务： （1）请将上述笔记中的证明过程补充完整． （2）除外，请你再写出一个筝形的性质． （3）如图，在中，，，点D，E分别在边，上，且为钝角．若四边形为筝形，则度数为________． 【答案】（1）见解析； （2）答案不唯一：“筝形”有一条对角线平分一组对角或“筝形”是轴对称图形； （3）． 【解析】 【分析】此题重点考查新定义问题的求解、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． （1）根据证明，可得出结论； （2）“筝形”有一条对角线平分一组对角或“筝形”是轴对称图形．根据全等三角形的性质得出，，即可解决问题． （3）连接，则，，可证明，则． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 “筝形”有一条对角线平分一组对角或“筝形”是轴对称图形． ∵， ∴，． ∴“筝形”有一条对角线平分一组对角或“筝形”是轴对称图形 故答案为“筝形”有一条对角线平分一组对角或“筝形”是轴对称图形． 【小问3详解】 四边形为筝形，且，，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： 22. 如图，在中，，，，在上，且，过点（与在同侧）作射线，若动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为ts． （1）经过几秒时，等腰直角三角形？ （2）经过几秒时，？ （3）经过几秒时，？ （4）当是等腰三角形时，直接写出t的所有值． 【答案】（1）6 （2）2 （3）8 （4）2或 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的概念解答； （2）根据垂直的定义和同角的余角相等得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据题意得到答案； （3）证明，根据全等三角形的性质得到，根据题意得到答案； （4）分和两种情况，根据全等三角形的性质，勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：当是等腰直角三角形时，， ， 故答案为：6； 【小问2详解】 当时，， ，又， ， 在和中， ， ， ，即经过2s时，； 【小问3详解】 当时，， ，又， ， 在和中， ， ， ， ， 经过8s时，； 【小问4详解】 根据勾股定理得，，的最小值为8， ， ， 当时， 在和中， ， ， 则， 当时，如图3，于， 则四边形为矩形， ，， ， 由勾股定理得，，， ，即， 解得，， 当是等腰三角形时，或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的定义，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 23. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：． 证明：延长到点，使， 在和中， （已作）， （ ）， （中点定义）， （ ）． （2）请根据上面的证明求出的取值范围（要求写出解答过程）； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，中，是的中线，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等；；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据已知根据即可证明三角形全等； （2）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案； （3）延长交于点，证明，根据全等性质得，，利用，由线段垂直平分线性质可得． 【详解】（1）证明：延长到，使， 在和中， （已作）， （对顶角相等）， （中点定义）， ． 故答案为：对顶角相等；． （2）解：， ， 即， ， ， ； （3）解：延长交的延长线于点，如图， ， ， 在和中， ； ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋期期终六校联考八年级调研数学 注意事项： 1．答题前填写好自已的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 1. 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根号的数；③负数和零没有平方根；④立方根等于本身的数只有1和．其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3 个 2. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 两直线平行，内错角相等 D. 0的立方根是0 3. 若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 对顶角相等 C. 如果，那么 D. 三角形的一个外角大于任意一个内角 5. 等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ） A. B. C. D. 或 6. 如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果的网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断： ①甲和乙的动手操作能力都很强； ②缺少探索学习的能力是甲自身的不足； ③与甲相比乙需要加强与他人的沟通合作能力； ④乙的综合评分比甲要高． 其中合理的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 7. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 9. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，在和中，，，于点，的反向延长线与交于点，连接，则线段，，三者之间的关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分） 11. 比较大小：______3．（填“”、“”、“”） 12. 因式分解：________． 13. 如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 _____． 14. 如图在中，，点在线段上运动（点不与点、重合），连接，作，交线段于点，点在运动过程中，若是等腰三角形，则的度数为______． 15. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若面积是面积的2倍，则______． 三、解答题（本题共计8小题，共计75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知：整式，整式，整式，为正整数． （1）化简整式C：__________； （2）判断与的大小关系，并说明理由； （3）整式满足：，求整式． 18. 为了增强同学们的消防安全意识，普及消防安全知识，提高自防自救能力，某中学开展了形式多样的培训活动，为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了消防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，分为良好，分为及格，59分及以下为不及格，学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a.抽取七年级20名学生的成绩如下： 66 87 57 96 79 67 89 97 77 100 80 69 89 95 58 98 69 78 80 89 b.抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如下： （数据分成5组：，，，，） c.抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图： d.七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数如下表： 年级 平均数 中位数 七年级 81 a 八年级 82 81 请根据以上信息，完成下列问题： （1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中a的值； （2）该校八年级有学生200人，估计八年级测试成绩达到优秀学生有多少人？ （3）在七年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为m；在八年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为n．比较m，n的大小，并说明理由． 19. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求 ． 20. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及值． 21. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 用全等三角形研究“筝形“ 探究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再探究它的性质和判定方法． 在人教版八年级上册数学教材第53页的数学活动中对“筝形”有这样一段描述：我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 根据学习几何图形的经验，我对如图所示的筝形的性质进行了探究． 探究图形的性质，就是探究图形的构成元素（边、角、对角线）具有怎样的特征．通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，我首先发现了这类“筝形”有一组对角相等，并进行了证明． 已知：如图，筝形中，，，，连接，相交于点O． 求证：． 证明：…… 我还发现了这类“筝形”的其他性质： …… 任务： （1）请将上述笔记中的证明过程补充完整． （2）除外，请你再写出一个筝形的性质． （3）如图，在中，，，点D，E分别在边，上，且为钝角．若四边形为筝形，则的度数为________． 22. 如图，在中，，，，在上，且，过点（与在同侧）作射线，若动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为ts． （1）经过几秒时，是等腰直角三角形？ （2）经过几秒时，？ （3）经过几秒时，？ （4）当是等腰三角形时，直接写出t的所有值． 23. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：． 证明：延长到点，使， 在和中， （已作）， （ ）， （中点定义）， （ ）． （2）请根据上面的证明求出的取值范围（要求写出解答过程）； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，中，是的中线，，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$