精品解析：湖北省荆门市龙泉中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题

龙泉中学2024—2025学年（上）高一期中考试 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定为“，”. 故选：B 2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，则它们是同一函数，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数； 对于B，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数； 对于C，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数； 对于D，，，它们的定义域为，对应关系也相同，是同一函数. 故选：D 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算得解. 【详解】函数，则， 所以. 故选：D 4. 幂函数在上是减函数，则的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数单调性列式计算得解. 【详解】由幂函数在上是减函数，得，解得， 符合要求的选项只有A. 故选：A 5. 已知函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数、指数函数、对数函数性质确定函数图象对应的函数式，确定的范围后，再确定，，的范围，从而得它们的大小关系． 【详解】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象， 因此，，， ，，，即， 故选：C． 6. 函数在上有零点，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为二次方程根的分布求解，按方程的判别式分三大类讨论；当时，再按区间端点处函数值是否为0及符号分类讨论可得. 【详解】对于函数，开口向上，对称轴为， 令，由题意得方程在区间内有根. ， 当，即时，没有零点，不符合题意； 当，即或时， 当时，，零点为，，不符合题意； 当时，，零点为，，符合题意； 当，即或时，方程有两个不相等的根， 由题意方程至少有一个根在区间内. ① 若，解得， 此时，故零点为0或，符合题意； ② 若，解得，同上成立； ③若，要使函数在有零点， ，又，即； 综上可得 . 故选：D. 7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 8. 已知函数，若（），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，可知由可得 根据基本不等式可求的取值范围. 【详解】 若由，则 与矛盾；同理 也可导出矛盾，故 而 即 故选B 【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据不等式的性质及其利用特例对各项进行判断，从而求解. 【详解】对于A项：因为：，，所以得：， 又因为：，所以得：，故A项错误； 对于B项：令，，所以得：，但，故B项错误； 对于C项：由，得：，所以得：，故C项正确； 对于D项：由，，得：， 所以得：，故D项正确； 故选：CD. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确； 对于C，利用作差法知， 由，，知， 即，故C正确； 对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确. 故选：BCD 11. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.下列说法正确的是（ ） A. 不是“可分集合” B. 是“可分集合” C. 四个元素的集合可能是“可分集合” D. 五个元素的集合不可能是“可分集合” 【答案】ABD 【解析】 【分析】去掉3，由“可分集合”的定义判断即可判断A,逐一去掉一个元素，列举即可可判断BD；不妨设，讨论当在集合，，，，中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可判断D； 【详解】对于A，去掉3后，,2,不满足定义，,2,3,不是“可分集合”， A正确； 对于B，集合所有元素之和为49， 当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，集合,5,7,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，集合,9,与,7,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，集合,3,7,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，集合,9,与,5,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，集合,3,5,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，集合,7,与,5,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，集合,3,5,与,的元素和相等，符合题意； 因此集合是“可分集合”， B正确； 对于C，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾， 因此,,,一定不是“可分集合”， C错误； 对于D，不妨设， 若去掉元素，将集合,,,分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有，或者②， 若去掉元素，将集合,,,分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③或②④得，矛盾； 由①④或②③得，矛盾， 因此集合,,,,不是“可分集合”， D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数和对数运算公式，即可求解. 【详解】原式. 故答案为： 13. 若正数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 已知函数（且），若定义域上的区间，使得在上的值域为，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数定义域要求可求得定义域，根据定义域和值域的区间端点值大小关系可确定，从而确定是方程的两根，由此将问题转化为方程在有两个不等实根的问题，由此构造不等式求得结果. 【详解】 定义域为 且 在上单调递增 在上单调递减 ， 且是方程的两根 即 在上有两个不等实根 即在上有两个不等实根 ，解得： 的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题考查根据函数定义域和值域求解参数范围的问题，涉及到函数单调性的应用、对数方程的求解、一元二次方程在区间内有实根的问题；关键是能够根据函数定义域和值域确定函数的单调性，利用单调性确定是方程的两根，将问题转化为一元二次方程在区间内有实根问题的求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，， （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集、并集的运算可直接求解. （2）根据可得，再根据集合的包含关系，分类讨论可求参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以，. 【小问2详解】 因为，所以. ①当时，，此时成立； ②当时，. 综上：. 故实数的取值范围为. 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （1）求的解析式； （2）当时，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2）根据的单调性，按的不同取值分类讨论即可. 【小问1详解】 若，则，则， 为偶函数.则， 故. 【小问2详解】 当时，，开口向上，对称轴，在单调递减，在单调递增， 当时，，则； 当时，，则； 当时，； 故. 17. 已知函数定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式． 【答案】（1）； （2） 是上的增函数，证明如下： 设，则， 因为，所以，从而，而， 所以，即， 所以是上的增函数； （3）． 【解析】 【分析】（1）由求得，再由求得，并检验； （2）根据单调性定义证明； （3）由奇偶性变形不等式，再由单调性求解． 【小问1详解】 因为函数定义在上的奇函数，所以，， 所以，，所以， ，满足题意； 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意是上的递增的奇函数， 由得， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】（1）采用方案二；理由如下： 方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）24 【解析】 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 采用方案二，花费更少，理由略； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 19. 已知函数，． （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数. 【答案】（1） （2） （3） 当或时，有一个零点； 当或时，有两个零点； 当时，有三个零点. 【解析】 【分析】（1）由对数函数的性质及函数的定义域为，利用判别式，列出不等式，即可求解； （2）由函数，结合对数函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解； （3）根据函数，先分，和三种情况讨论，再结合二次函数的性质，分，和三种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 由题意，函数， 因为该函数的定义域为，则对任意恒成立， 可得，解得， 即实数的取值范围. 【小问2详解】 由函数，若在上单调递减， 则问题等价于在上恒成立，且在上单调递增， 即，解得，所以实数的取值范围是． 【小问3详解】 当时，，所以当时，， 所以在上没有零点； 当时，，， 若即时，， 此时是函数的一个零点； 若即时，， 此时不是函数的一个零点； 当时，因为，则函数的零点个数等价于函数的零点个数， ①当，即时，，则， 函数在上没有零点； ②当即时，函数有且只有一个零点， 若，由可得，则函数在上没有零点； 若，由可得，则函数在上有1个零点； ③当，即或时，函数有两个零点， 不妨设为且， 当时，，， 所以，则在上没有零点； 当时，，，所以， 当即时，，所以，则，， 所以此时在上有且只有一个零点； 当，即时，对称轴，且， 所以，在上有两个零点， 综上所述： 当或时，有一个零点； 当或时，有两个零点； 当时，有三个零点. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙泉中学2024—2025学年（上）高一期中考试 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4 4. 幂函数在上是减函数，则的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上有零点，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若（），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.下列说法正确的是（ ） A. 不是“可分集合” B. 是“可分集合” C. 四个元素的集合可能是“可分集合” D. 五个元素的集合不可能是“可分集合” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ____________． 13. 若正数满足，则的最小值为__________. 14. 已知函数（且），若定义域上的区间，使得在上的值域为，则实数a的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，， （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （1）求的解析式； （2）当时，求的最小值. 17. 已知函数定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式． 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 19. 已知函数，． （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $