精品解析：河南省周口市商水县大武乡第二初级中学等校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年上学期第二次教学测评(B) 九年级数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 要使有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故选：A． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，不含能开方的因式或因数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义，是解题的关键． 3. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的轴对称 D. 图形的相似 【答案】D 【解析】 【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断； 【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则 即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度 故选：D. 【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解. 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减法、除法和乘法法则计算即可． 【详解】解：A、与 不能合并，所以A选项错误；   B、原式，所以B选项错误； C、原式，所以C选项正确； D、原式，所以D选项错误． 故选：C 6. 如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（ ） A. （2，5） B. （2.5，5） C. （3，5） D. （3，6） 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB， ∴B点与D点是对应点，则位似比为5：2， ∵C（1，2）， ∴点A的坐标为：（2.5，5） 故选B． 考点：位似变换；坐标与图形性质． 7. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，分和，两种情况，利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解：当时，方程为，解得：，满足题意； 当时，为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且； 综上：； 故选C． 8. 某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20个，店里每星期衬衫的利润要达到2800元．若设每件衬衫售价降低x元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设每件衬衫售价降低x元，根据“每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20个，店里每星期衬衫的利润要达到2800元”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设每件衬衫售价降低x元，根据题意得， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 9. 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ） A. B. 7 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 10. 如图，，，，，，若在边上有点，使与相似，则这样的点有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，分和两种情况讨论，可得对应边的比相等，可得关于x的方程，解方程求出x的值，即可确定出符合题意的点P的个数． 【详解】解：如图，∵，， ∴， 设，则， 当时， 有，即， 解得：或， 当时， 有，即， 解得：， 综上，的长为2或6， 即这样的P点有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确地进行分类讨论是解本题的关键． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 若的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数的值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，熟记“整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数”的相关概念是解题的关键． 【详解】解：，是有理数． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是_______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，因为关于x的一元二次方程的一个根是0，所以，解得，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0， ∴把代入， 得， ∴， 故答案为：0 13. 若最简二次根式与能合并成一项，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件，根据化简为最简二次根式的被开方数相等，则它们为同类二次根式，因为最简二次根式与能合并成一项，得，解得或，因为，故舍去，即可作答． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并成一项， ∴， ∴， 解得或， 当时，则，故舍去， 故答案为：3． 14. 如图，的中线和中线相交于点G，如果，那么图中阴影部分的面积是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了重心的性质、三角形面积的计算；熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键．根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，即可得出结果． 【详解】解：连接并延长交于，则为的中线， 的三条中线、，交于点， ，， ， ，， ． 故答案为：4． 15. 如图，在中，分别为上的点，沿直线将折叠，使点B恰好落在上的D处，当恰好为直角三角形时，的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】先在中利用勾股定理求出，再根据折叠的性质得到，直线将折叠，使点B恰好落在上的D处，恰好为直角三角形，有两种可能：①，②，设，运用三角形相似列比例式解方程即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴． 根据折叠的性质可知， 设，则． 分类讨论：①当时，则， ∴， ∴，即， 解得：； ②当时，则， ∴，即， 解得：； 故所求的长度为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 三、解答题(本大题共8个小题，满分75分) 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算乘除，最后运算减法，即可作答． （2）先根据平方差公式，完全平方公式进行展开，再合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. （1）下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 第一步 第二步 则或． 第三步 解得． 第四步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步变形的名称是______； ②第______步开始出现错误，错误的原因是______； 任务二：请直接写出该方程的正确解______． （2）用公式法解方程：． 【答案】（1）任务一：①移项；②二，去括号时，没有变号；任务二：；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】任务一： ①移项； ②二，去括号时，没有变号； 故答案为：移项，二，去括号时没有变号； 任务二： 则或 解得：， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 【答案】（1）如图，为所作． （2） 如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 19. 某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（+1）米，宽为（﹣1）米． （1）长方形ABCD的周长是 　 　米； （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果均化为最简二次根式） 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）由长方形的周长等于相邻两边和的2倍，再计算二次根式的加法，后计算乘法即可； （2）先求解通道的面积，再乘以单价即可得到答案. 【小问1详解】 解： 长方形绿地的长BC为米，宽AB为米， 长方形的周长为：， 答：长方形的周长为：米. 故答案为： 【小问2详解】 解：通道的面积为： 通道要铺上造价为6元/m2的地砖，则购买地砖需要花费： ， 答：购买地砖需要花费600元. 【点睛】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的化简与运算是解本题的关键. 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵ ∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及配方法即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵ ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． 21. 综合与实践 问题情景：小琴在延时服务剪纸课上发现了奇妙的数学知识，可以利用方程解决剪纸问题中的剩余面积问题． （1）独立思考：如图1，长方形纸片长为，宽为，按如图方式剪下一个宽为的小长方形，若剩余长方形面积为，则x的值为______． （2）实践探究：如图2，M为上一点，N为上一点，且，沿着剪下一个，若剩余部分图形面积为，求x的值． （3）问题解决：如图3，将长方形纸片剪掉一个宽为的边框，剩余面积能否为，若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）2 （2）6 （3）剩余面积能为， x的值为1 【解析】 【分析】（1）长方形纸片面积减去小长方形面积等于剩余长方形面积，由此列方程即可求解； （2）长方形纸片面积减去的面积等于剩余部分面积，由此列方程即可求解； （3）长方形纸片剪掉一个宽为的边框后，剩余长方形的长为，宽为，根据面积为列方程，判断方程是否有解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， 故x的值为6． 【小问3详解】 解：长方形纸片剪掉一个宽为的边框后，剩余长方形的长为，宽为， 令， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， 故剩余面积能为， x的值为1． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据所给图形的面积关系正确列出方程． 22. 如图，在四边形中，平分，，，点E为的中点． （1）求证：． （2）与有怎样的位置关系？试说明理由． （3）若，，则_________， 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先由角平分线的定义得到，再由得到，由此即可证明； （2）由相似三角形的性质得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，进而推出，即可证明； （3）先求出，再证明，推出，据此求解即可． 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23. 阅读下面材料：小吴遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点，求的值． 小吴发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：的值为__________． 参考小吴思考问题的方法，解决问题： （1）如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且．求的值； （2）如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，直接写出的值为__________． 【答案】阅读材料：；（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质： 阅读材料：如图2，过点C作，交的延长线于点F，可证，根据全等三角形的性质可得，再由，可得，由相似三角形的性质可得，由此即可求得的值． （1）如图3，过A作，交延长线于点F，可得，根据相似三角形的性质可得，设，由可得，可得，再证明，即可； （2）如图4，过C作交于F，可得，根据相似三角形的性质可得，设，再证明，可得，可得，即可． 【详解】解：阅读材料：如图2，过点C作，交的延长线于点F， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （1）如图3，过A作，交延长线于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ， ∵， ， ； （2）如图4，过C作交于F， ∴， ∴， 设， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期第二次教学测评(B) 九年级数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 要使有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的轴对称 D. 图形的相似 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（ ） A. （2，5） B. （2.5，5） C. （3，5） D. （3，6） 7. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 8. 某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20个，店里每星期衬衫的利润要达到2800元．若设每件衬衫售价降低x元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ） A. B. 7 C. D. 8 10. 如图，，，，，，若在边上有点，使与相似，则这样的点有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 若的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数的值______． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是_______． 13. 若最简二次根式与能合并成一项，则_______． 14. 如图，的中线和中线相交于点G，如果，那么图中阴影部分的面积是______． 15. 如图，在中，分别为上的点，沿直线将折叠，使点B恰好落在上的D处，当恰好为直角三角形时，的长为_____． 三、解答题(本大题共8个小题，满分75分) 16. 计算： （1） （2） 17. （1）下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 第一步 第二步 则或． 第三步 解得． 第四步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步变形的名称是______； ②第______步开始出现错误，错误的原因是______； 任务二：请直接写出该方程的正确解______． （2）用公式法解方程：． 18. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 19. 某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（+1）米，宽为（﹣1）米． （1）长方形ABCD的周长是 　 　米； （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果均化为最简二次根式） 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 21. 综合与实践 问题情景：小琴在延时服务剪纸课上发现了奇妙的数学知识，可以利用方程解决剪纸问题中的剩余面积问题． （1）独立思考：如图1，长方形纸片长为，宽为，按如图方式剪下一个宽为的小长方形，若剩余长方形面积为，则x的值为______． （2）实践探究：如图2，M为上一点，N为上一点，且，沿着剪下一个，若剩余部分图形面积为，求x的值． （3）问题解决：如图3，将长方形纸片剪掉一个宽为的边框，剩余面积能否为，若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 22. 如图，在四边形中，平分，，，点E为的中点． （1）求证：． （2）与有怎样的位置关系？试说明理由． （3）若，，则_________， 23. 阅读下面材料：小吴遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点，求的值． 小吴发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：的值为__________． 参考小吴思考问题的方法，解决问题： （1）如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且．求的值； （2）如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，直接写出的值为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $