精品解析：湖南省汨罗市第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

2025年高二下学期数学入学试题 一、单选题（共40分） 1. 已知的倾斜角为45°，经过点．若，则实数m为（ ） A. 6 B. －6 C. 5 D. －5 2. 若直线与圆相切，则实数的值为（ ） A. 或 B. 1或 C. 或3 D. 或 3. “”是“方程为双曲线方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 若数列满足：，且，则的值是（ ） A B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 7. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，直线与交于点（点在第一象限），若，则与面积之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 点为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共20分） 9. 已知，是椭圆：的左右顶点，过点且斜率不为零的直线与 交于，两点，，，，分别表示直线，，，的斜率，则下列结论中正确的是（ ） A B. C. D. 直线与交点的轨迹方程是 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为,过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为,则（ ） A. 双曲线C的离心率为2 B. 焦点到渐近线的距离为2 C. 四边形可能为正方形 D. 四边形的面积为定值2 11. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1菱形，且，，则（ ） A. B. C. D. 12. 有五名志愿者参加社区服务，共服务周六､周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（ ） A. 只有1人未参加服务的选择种数是30种 B. 恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种 C. 只有1人未参加服务的选择种数是60种 D. 恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种 三、填空题（共20分） 13. 数列满足，，写出一个符合上述条件的数列的通项公式______. 14. 已知等差数列满足，则__________. 15. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为______． 16. 已知抛物线C：的焦点为F，过动点P的两条直线，均与C相切，设，的斜率分别为，，若，则的最小值为____________. 四、解答题（共70分） 17. 电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） （1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？ （2）女生互不相邻的坐法有多少种？ （3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 18. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程． （2）求函数的单调区间 19. 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点； （I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值； （II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值． 20. 已知数列为递增的等比数列，，记、分别为数列、的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）证明：当时，. 21. 记为数列的前项和，已知，是公比为的等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 22. 已知椭圆的离心率为，且短轴长2，O为坐标原点． （1）求椭圆C的方程； （2）设过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，当的面积最大时，求直线l的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高二下学期数学入学试题 一、单选题（共40分） 1. 已知的倾斜角为45°，经过点．若，则实数m为（ ） A. 6 B. －6 C. 5 D. －5 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直关系得到，由此计算出的值. 【详解】因为，，且， 所以，解得， 故选：B. 2. 若直线与圆相切，则实数的值为（ ） A. 或 B. 1或 C. 或3 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得. 【详解】由圆心为，半径为， 即， 则， 解得或. 故选：C. 3. “”是“方程为双曲线方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求出方程表示双曲线时满足的条件， 然后根据“小推大”的原则进行判断即可. 【详解】因为方程为双曲线方程，所以， 所以“”是“方程为双曲线方程”的充要条件. 故选：C. 4. 已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解. 【详解】若，，则数列单调递减，故不能推出数列单调递增； 若单调递增，则，，或，，不能推出， 所以“”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 5. 若数列满足：，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式求出数列的前项可得数列的周期，根据周期可求出结果. 【详解】因为，， 所以，，，， 所以数列是以为周期的数列， 又因为，所以， 故选：A． 6. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 7. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，直线与交于点（点在第一象限），若，则与面积之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，，将直线方程和抛物线方程联立，利用可求得的值，可知直线过定点，再利用三角形的面积公式以及导数或者基本不等式可求得与面积之和的最小值. 【详解】由题意可知直线的斜率不为0，所以可设直线的方程为， 联立方程得，则， 设，，则，， 所以， 因为，所以，即，解得或， 当时，直线过坐标原点，则与重合，不存在，不符合题意，所以， 所以， 解法一： 由抛物线方程可知，设直线与轴的交点为，则， 所以， ， 联立解得，（注意点在第一象限） 则与的面积之和， 则，由可得， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以当时取得最小值，且. 解法二： 由抛物线方程可知，设直线与轴的交点为，则， ， 所以， 由于，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法：特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法：将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值. 8. 点为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用化简可知，再利用，即可得到结论. 【详解】由题意， 又为圆的任意一条直径，则， 在椭圆中，有，即， 所以，，故的取值范围为. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题. 二、多选题（共20分） 9. 已知，是椭圆：的左右顶点，过点且斜率不为零的直线与 交于，两点，，，，分别表示直线，，，的斜率，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 直线与的交点的轨迹方程是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，设，得到，利用斜率公式表达出；B选项，设出直线：，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，利用斜率公式表达出；C选项，由AB选项可得C错误；D选项，表达出直线和直线方程，联立后得到，结合求出答案. 【详解】对于A：设交点，因在椭圆上，故， 所以.选项正确； 对于B：设，，直线：，联立， 消去，得，则①，②， 所以 ，故选项B正确； 对于C：联立和，相除得，故选项C错误； 对于D：设直线方程：③， 直线方程：④，联立③④，消得， ， 结合选项B中①②得， 所以.D正确； 故选：ABD. 【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，本题的难点是表达出直线和直线方程，联立后得到，下一步的处理方法，本题中用到了求轨迹方程的交轨法，属于较难一些的方法，要结合交点坐标得到，再代入式子中，即可求解. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为,过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为,则（ ） A. 双曲线C的离心率为2 B. 焦点到渐近线的距离为2 C. 四边形可能为正方形 D. 四边形的面积为定值2 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由等轴双曲线定义可得答案；对于B，因C为等轴双曲线，则双曲线两条渐近线互相垂直，由点到直线的距离公式可求；对于C，当点M在顶点时，可知四边形OPMQ为正方形，对于D，表示出面积大小可求. 【详解】 对于A，等轴双曲线的离心率为，故A错误； 对于B，双曲线C的一条渐近线方程为，，则焦点到渐近线的距离为，故B正确； 对于C，当点M在顶点时，四边形OPMQ为正方形，故C正确； 对于D，因为渐近线互相垂直，四边形OPMQ为矩形.又设，则.故D正确. 故选：BCD 11. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用数量积的定义和运算律，结合图形，即可求解. 【详解】如图所示： 因为底面，所以垂直于平面内的任何一条直线， 因为四边形是边长为1的菱形，且，所以和是等边三角形， A. ，故A错误； B. ，故B正确； C. ，故C错误； D. ，故D正确. 故选：BD. 12. 有五名志愿者参加社区服务，共服务周六､周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（ ） A. 只有1人未参加服务选择种数是30种 B. 恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种 C. 只有1人未参加服务的选择种数是60种 D. 恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种 【答案】AD 【解析】 【分析】有1人未参加服务或恰有1人连续参加两天服务都要先从5人中选出1人，再从余下的人中选取服务于周六周日，根据分步乘法原理，即可求得答案. 【详解】由题意得只有1人未参加服务，先从5人中选1人，未参加服务，有种选法， 再从余下4人中选2人参加周六服务，剩余2人参加周日服务，有种选法， 故只有1人未参加服务的选择种数是种，A正确，C错误； 恰有1人连续参加两天服务，先从5人中选1人，服务周六､周天两天，有种选法， 再从余下4人中选1人参加周六服务，剩余3人选1人参加周日服务，有种选法， 故恰有1人连续参加两天服务的选择种数是种，B错误，D正确， 故选：AD 三、填空题（共20分） 13. 数列满足，，写出一个符合上述条件的数列的通项公式______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】将已知等式变形后，找到满足等式的通项公式即可. 【详解】由得：， 则当时，，，故满足递推关系， 又，满足， 满足条件的数列的一个通项公式为：. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 已知等差数列满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，代入条件式，可求得，再根据，可得解. 【详解】在等差数列中，，又， ，解得，又，而，解得. 故答案为：. 15. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可. 【详解】 ， ，① 又 ② ①-②得：， 的面积为9， ， 故答案：3. 16. 已知抛物线C：的焦点为F，过动点P的两条直线，均与C相切，设，的斜率分别为，，若，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件设出过点P且与抛物线C的相切的方程，联立切线方程与抛物线方程，利用直线与抛物线相切的关系及韦达定理，得出过点的动直线，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由，得，解得， 所以抛物线C：的焦点为. 设，过点P作抛物线C的切线方程为， 由，消去，得， 因为与抛物线C相切， 所以，即， 设，是方程的两根，则， 因为， 所以，即， 所以 所以点在直线上运动， 设到直线的距离为d，则， 当时，取得的最小值即为点到直线的距离， 所以到直线的距离的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件求出过点的动直线，进而将所求问题转化为点到直线的距离问题，结合点到直线的距离公式求解即可. 四、解答题（共70分） 17. 电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） （1）女生必须坐在一起坐法有多少种？ （2）女生互不相邻的坐法有多少种？ （3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 【答案】（1）576 （2）144 （3）960 【解析】 【分析】（1）由捆绑法即可得到结果； （2）由插空法即可得到结果； （3）结合捆绑法与插空法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 先将4名女生排在一起，有种排法， 将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； 【小问2详解】 先将3名男生排好，共有种排法， 在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有种排法， 再由分步乘法计数原理，共有种排法； 【小问3详解】 先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有种排法， 由于甲乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中， 共有种排法， 由分步计数原理，共有种排法. 18. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程． （2）求函数的单调区间 【答案】（1） （2）单调递增区间为，，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）求出，求导，得到，从而得到切线方程； （2）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间. 【小问1详解】 ， ，， 故在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 的定义域为R， ， 令，解得或， 令，解得， 故单调递增区间为，，单调递减区间为. 19. 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点； （I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值； （II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值． 【答案】（I）（II） 【解析】 【详解】试题分析:（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案； （II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案． 解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz， 则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0）， ∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4）， ∴cos＜，＞== ∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：； （II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0）， 设平面C1AD的法向量为=（x，y，z）， 则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，）， 设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|= ∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为： 考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角． 20. 已知数列为递增的等比数列，，记、分别为数列、的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）证明：当时，. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设数列的公比为，根据题意，列出方程组求得，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）求得，分为偶数和为奇数，两种情况讨论，分别求得的表达式，结合指数幂的性质，即可得证. 【小问1详解】 解：设等比数列的公比为， 因为，，可得， 可两式相减，可得，所以，解得或， 又因为数列为递增的等比数列，所以，则， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得. 当为偶数时， . 此时，. 当时，，所以成立. 当为奇数时，. 检验知，当时，上式也成立. 此时，， 当时，，所以成立. 综上所述，当时，成立. 21. 记为数列的前项和，已知，是公比为的等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义可得，进而根据的关系可得为等差数列，进而可得通项， （2）根据错位相减法即可求解. 【小问1详解】 由题设得等比数列的通项公式为 ． ① 则 ． ② ②-①得，化简得到，，所以数列是公差为的等差数列． 因此． 故数列的通项公式为． 【小问2详解】 将的通项公式代入①式可得，，可用错位相减法求的前项和． ． ③ ． ④ ③-④可得，． 22. 已知椭圆的离心率为，且短轴长2，O为坐标原点． （1）求椭圆C的方程； （2）设过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，当的面积最大时，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆短轴长和离心率，结合，求得的值，由此求得椭圆方程； （2）设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得，由此求得三角形的面积的表达式，利用换元法，结合基本不等式，求得面积的最大值，以及此时直线的斜率，进而求得直线的方程. 【小问1详解】 由题意得:，解得:， 所以椭圆的方程为: 【小问2详解】 由题意得直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程:，， 联立与椭圆的方程整理得:， ，得， ，， 所以弦长 ， 原点到直线l的距离， 所以， 令，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即，满足条件，解得， 所以直线l的方程为:或 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$