第六章 平面向量及其应用（20大易错题型）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用（20大易错题型） 【易错必刷一 零向量与单位向量】 1．（23-24高一下·广东汕尾·阶段练习）已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）模为0的向量叫做零向量，记作： . 3．（24-25高一上·上海·课前预习）如果把所有的单位向量都平移到相同的起点，那么其终点有什么特征？ 【易错必刷二 相等向量】 4．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 5．（24-25高二上·上海·课前预习）如果两个向量和 ，那么它们是相等的向量，记作． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）设点为正八边形的中心，分别写出与、、、相等的向量.    【易错必刷三 平行向量(共线向量)】 7．（24-25高二上·甘肃临夏·阶段练习）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·上海·课前预习）相等的向量：模 且方向 的向量. 负向量：模 ，方向 的向量. 9．（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 【易错必刷四 向量加法的运算律】 10．（22-23高一下·河南·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·上海·课前预习）向量加法满足交换律： ；向量加法也满足结合律： ． 12．（21-22高一·江苏·课后作业）如图所示，求： (1)； (2)； (3)； (4). 【易错必刷五 向量减法的运算律】 13．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 14．（21-22高二·全国·单元测试）空间任意四点A、B、C、D，则 ． 15．（21-22高一下·广西·期中）（1）画图象：已知函数.请用“五点法”列表，并在下图中作出函数在上的简图       （2）求下列未知向量； 【易错必刷六 向量数乘的有关计算】 16．（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）如图，在中，是的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高三上·北京石景山·期末）向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数 . 18．（24-25高一上·上海·课前预习）在中，已知D是的中点，G是的重心，记，，试用、表示、、． 【易错必刷七 平面向量的混合运算】 19．（2024高一下·全国·专题练习）化简：（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简下列向量： （1） ； （2） . 21．（22-23高一下·河北邯郸·阶段练习）（1） （2） 【易错必刷八 数量积的运算律】 22．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知非零向量满足，且，则（ ） A． B． C．1 D． 23．（24-25高三上·天津·期末）在矩形ABCD中在AD上取一点M，在AB上取一点P，使得过M点作交BC于N点，若线段MN上存在一动点E，线段CD上存在一动点 （1）若用向量表示向量 ； （2）若则的最小值为 . 24．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在平面四边形中，，，，，若点为CD上的动点，求的最小值．    【易错必刷九 已知数量积求模】 25．（广东省华附、省实、广雅、深中四校2025届高三上学期期末联考数学试题）已知向量满足，则（   ） A．2 B．7 C． D． 26．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，则 ； 27．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，是两个单位向量，且与的夹角为 (1)求； (2)求. 【易错必刷十 向量夹角的计算】 28．（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，若且，则为（   ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 29．（24-25高三上·安徽亳州·期末）已知向量，为两个相互垂直的单位向量，则 . 30．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且. (1)的长 (2)直线与AC所成角的余弦值 【易错必刷十一 用基底表示向量】 31．（24-25高一上·北京房山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 32．（2025高一·全国·专题练习）如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ． 33．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为一组基，对于平面内的任意一个向量，可以用表示成什么？    【易错必刷十二 平面向量有关概念的坐标表示】 34．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高一上·上海·课前预习）以点为起点，点为终点的向量的坐标为 ，记作. 36．（23-24高一·全国·课后作业）设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值． 【易错必刷十三 线段的定比分点】 37．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 38．（22-23高一下·湖北·期中）已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为 ． 39．（22-23高一·湖南·课后作业）如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 【易错必刷十四 由坐标解决三点共线问题】 40．（24-25高二上·河北石家庄·期中）若三点，，在同一条直线上，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 41．（23-24高二下·贵州贵阳·期末）已知向量.若三点共线，则 . 42．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【易错必刷十五 已知向量垂直求参数】 43．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，若，则m的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 44．（2024·黑龙江大庆·一模）已知向量，，，则的值为 . 45．（23-24高一下·北京通州·期中）已知向量，，， (1)求； (2)求与夹角的余弦值； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 【易错必刷十六 向量在几何中的其他应用】 46．（23-24高一下·湖南常德·期中）在中，，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形 47．（24-25高一·上海·随堂练习）已知平行四边形中，A、B、C的坐标分别为，则点D的坐标为 ． 48．（23-24高一·上海·课堂例题）在四边形中，向量，，．求证：四边形为梯形． 【易错必刷十七 速度、位移的合成】 49．（22-23高一下·山西·阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（   ） A． B． C． D． 50．（22-23高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知船在静水中的速度大小为，且知船在静水中的速度大小大于水流的速度大小，河宽为，船垂直到达对岸用的时间为，则水流的速度大小为 . 51．（23-24高一下·山东滨州·阶段练习）一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为多少小时（h） 【易错必刷十八 余弦定理边角互化的应用】 52．（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 53．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则 ． 54．（23-24高一下·福建莆田·期末）设的内角所对的边分别为． (1)证明：； (2)若，，，求． 【易错必刷十九 正弦定理边角互化的应用】 55．（2025·江西·一模）的内角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 56．（24-25高三下·山东·开学考试）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ． 57．（24-25高三下·福建福州·开学考试）在中，角的对边分别为. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 【易错必刷二十 正余弦定理与三角函数性质的结合应用】 58．（22-23高一下·黑龙江双鸭山·期末）设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ） A． B． C． D． 59．（2024·四川成都·二模）平面四边形中，，则的最大值为 ． 60．（2024·全国·模拟预测）如图，已知平面四边形中，． (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用（20大易错题型） 【易错必刷一 零向量与单位向量】 1．（23-24高一下·广东汕尾·阶段练习）已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位向量的概念进行分析即可. 【详解】单位向量的模长都为，方向不一定相同，所以正确， 故选：C． 2．（23-24高一·全国·课后作业）模为0的向量叫做零向量，记作： . 【答案】 【分析】根据零向量中的定义及表示写出表示方式即可. 【详解】由零向量的定义及表示可知：零向量记为. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课前预习）如果把所有的单位向量都平移到相同的起点，那么其终点有什么特征？ 【答案】其终点在以起点为圆心的单位圆的圆周上. 【详解】如果把所有的单位向量都平移到相同的起点，那么其终点在以起点为圆心的单位圆的圆周上. 【易错必刷二 相等向量】 4．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【答案】D 【分析】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解. 【详解】由， 知四边形的对角线相互平分且相等， 所以四边形为矩形. 故选：D 5．（24-25高二上·上海·课前预习）如果两个向量和 ，那么它们是相等的向量，记作． 【答案】方向相同且模相等 【分析】由向量相等的条件填空， 【详解】相等的向量，方向相同且模相等， 故答案为：方向相同且模相等 6．（24-25高一上·上海·课后作业）设点为正八边形的中心，分别写出与、、、相等的向量.    【答案】，，，. 【分析】根据正八边形的性质及相等向量的定义判断即可. 【详解】依题意可得，，，. 【易错必刷三 平行向量(共线向量)】 7．（24-25高二上·甘肃临夏·阶段练习）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可得. 【详解】对①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线， 故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题； 对②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题； 对③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题； 对④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题. 故选：B. 8．（24-25高一上·上海·课前预习）相等的向量：模 且方向 的向量. 负向量：模 ，方向 的向量. 【答案】 相等 相同 相等 相反 【分析】略 【详解】略 9．（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据平行向量的定义即可求解； （2）根据相等向量的定义即可证明. 【详解】（1）与向量平行的向量有，，． （2）在平行四边形ABCD中，，， 因为E，F分别是CD，AB的中点， 所以且， 所以四边形BFDE是平行四边形， 故． 【易错必刷四 向量加法的运算律】 10．（22-23高一下·河南·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：D. 11．（24-25高一上·上海·课前预习）向量加法满足交换律： ；向量加法也满足结合律： ． 【答案】 【详解】略. 12．（21-22高一·江苏·课后作业）如图所示，求： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）按照向量加法法则直接计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 【易错必刷五 向量减法的运算律】 13．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 14．（21-22高二·全国·单元测试）空间任意四点A、B、C、D，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的加减法运算可得答案. 【详解】. 故答案为：. 15．（21-22高一下·广西·期中）（1）画图象：已知函数.请用“五点法”列表，并在下图中作出函数在上的简图       （2）求下列未知向量； （3）化简下列式子 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【分析】（1）根据正弦函数的五点法完成表格并画出图象即可： （2）根据向量运算律计算可得答案； （3）根据向量运算律化简可得答案. 【详解】（1）画图象：已知函数.请用“五点法”列表，并在下图中作出函数在上的简图 0 1 0 0 1 1 3 1 （2）由得，所以； （3）. 【易错必刷六 向量数乘的有关计算】 16．（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）如图，在中，是的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】因为是的中点，，， 所以 . 故选：C. 17．（24-25高三上·北京石景山·期末）向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数 . 【答案】2 【分析】由图得，根据向量与共线，结合共线向量基本定理设，即可解得实数的值. 【详解】由图可知，， 因为向量与共线，所以根据共线向量基本定理可设：， 即，则， 所以，解得. 故答案为：2. 18．（24-25高一上·上海·课前预习）在中，已知D是的中点，G是的重心，记，，试用、表示、、． 【答案】     【分析】画图运用向量的线性运算法则,结合重心性质计算即可. 【详解】如图所示，； 根据重心性质知道，，则. . 【易错必刷七 平面向量的混合运算】 19．（2024高一下·全国·专题练习）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则计算即可得到答案. 【详解】原式． 故选：D． 20．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简下列向量： （1） ； （2） . 【答案】 【分析】（1）由向量的加减法运算可得； （2）由向量的加减法运算可得. 【详解】（1）； （2） . 故答案为：；. 21．（22-23高一下·河北邯郸·阶段练习）（1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）（2）利用向量线性运算计算即得. 【详解】（1）. （2） . 【易错必刷八 数量积的运算律】 22．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知非零向量满足，且，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用给定条件结得到，再结合向量数量积的定义求解即可. 【详解】由题意得，两边平方得， 整理得，由向量数量积的公式得， 而，故， 因为，所以，即，故B正确. 故选：B 23．（24-25高三上·天津·期末）在矩形ABCD中在AD上取一点M，在AB上取一点P，使得过M点作交BC于N点，若线段MN上存在一动点E，线段CD上存在一动点 （1）若用向量表示向量 ； （2）若则的最小值为 . 【答案】 【分析】（1）根据矩形的性质、平面向量的线性运算法则，求出用向量表示向量的式子； （2）由结合算出然后根据向量的模的公式算出的最小值． 【详解】解：（1）根据题意，可得且所以可得 结合、可得； （2）因为所以 观察图形可得：当时等号成立， 所以可得即的最小值为 故答案为：； 24．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在平面四边形中，，，，，若点为CD上的动点，求的最小值．    【答案】 【分析】取AB的中点，根据数量积可得，可知当最小时取最小值，根据几何性质分析求解. 【详解】如图，取AB的中点，连接EF，    则． 可知当最小时取最小值， 分别过F，B作CD的垂线，垂足分别为H，G， 当点与重合时，EF取得最小值，易知HF为梯形的中位线， 由已知得，，， 则， 所以的最小值为． 【易错必刷九 已知数量积求模】 25．（广东省华附、省实、广雅、深中四校2025届高三上学期期末联考数学试题）已知向量满足，则（   ） A．2 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】先根据向量的运算化简，再平方应用数量积公式计算求出模长即可. 【详解】因为，则， 左右两边平方得，计算得， 又因为， 所以， 所以. 故选：D. 26．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，则 ； 【答案】5 【分析】利用平面向量的数量积求模. 【详解】因为，所以. 由. 所以. 故答案为：5 27．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，是两个单位向量，且与的夹角为 (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积的定义直接求解即可； （2）结合数量积的运算律，利用向量模的性质求解即可. 【详解】（1）因为，是两个单位向量，且与的夹角为， 所以； （2） 【易错必刷十 向量夹角的计算】 28．（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，若且，则为（   ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】根据可得为等腰三角形，根据可得，由此可得答案. 【详解】∵，∴，其中分别是与方向相同的单位向量. 如图，在边上分别取点，使， 作平行四边形，则， 由得平行四边形为菱形，则为的平分线， 由得，故， 延长交于点，则，故既是高线，又是角平分线， ∴为等腰三角形，且， ∵，∴， 由得，， ∴为等边三角形. 故选：D. 29．（24-25高三上·安徽亳州·期末）已知向量，为两个相互垂直的单位向量，则 . 【答案】 【分析】由向量夹角公式可得答案. 【详解】由题，， 又， 则，又， 则. 故答案为： 30．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且. (1)的长 (2)直线与AC所成角的余弦值 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)使用向量的方法求解线段的长度即可，（2）利用向量数量积求解向量的夹角余弦. 【详解】（1）， . 的长为. （2）， ， ， ， ， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 【易错必刷十一 用基底表示向量】 31．（24-25高一上·北京房山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算计算即可. 【详解】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A. 32．（2025高一·全国·专题练习）如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ． 【答案】 【分析】设，结合已知可得，结合共线可得，求解即可. 【详解】设，因为，，， 所以， 又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线，所以， 解得，所以. 故答案为：. 33．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为一组基，对于平面内的任意一个向量，可以用表示成什么？    【答案】 【详解】由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得． 【易错必刷十二 平面向量有关概念的坐标表示】 34．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可知，继而得到，由此即可解出点坐标. 【详解】由题意知与的长度相等，方向相反， 所以， 又因为， 设，则， 所以，解得，即， 故选：A 35．（24-25高一上·上海·课前预习）以点为起点，点为终点的向量的坐标为 ，记作. 【答案】 【分析】略 【详解】略 36．（23-24高一·全国·课后作业）设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值． 【答案】 【分析】先求得，再根据向量与相等求解. 【详解】因为点A（l，2），B（3，2）， 所以， 又因为向量与相等， 所以， 解得． 【易错必刷十三 线段的定比分点】 37．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】由题意得，点为中点，设点，则 ，解得， 所以点的坐标为. 故选:B． 38．（22-23高一下·湖北·期中）已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为P是线段靠近的一个四等分点， 所以，设， 则有， 故答案为： 39．（22-23高一·湖南·课后作业）如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据中点坐标公式进行求解即可； （2）根据平面共线向量的性质进行求解即可. 【详解】（1）设， 因为A（－2，1），B（1，3）， 所以，即； （2）设， 当时，有； 当时，有. 【易错必刷十四 由坐标解决三点共线问题】 40．（24-25高二上·河北石家庄·期中）若三点，，在同一条直线上，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由三点共线可得，结合求解即可. 【详解】因为、、三点共线，所以， 又因为，， 所以，解得. 故选：C. 41．（23-24高二下·贵州贵阳·期末）已知向量.若三点共线，则 . 【答案】 【分析】求出的坐标，根据可得. 【详解】因为，所以， 又三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为： 42．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【答案】，，，、、三点共线 【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算表示出，，，即可求出、、三点的坐标，再求出，，即可判断三点共线. 【详解】因为，，则，所以； 又，，则，所以； 又，所以； 因为，， 所以，即，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 【易错必刷十五 已知向量垂直求参数】 43．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，若，则m的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程等于零求解，可得结论. 【详解】根据题意知，，， 则，解之可得 故选：D 44．（2024·黑龙江大庆·一模）已知向量，，，则的值为 . 【答案】 【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可. 【详解】因为，， 所以， 又，所以，解得. 故答案为： 45．（23-24高一下·北京通州·期中）已知向量，，， (1)求； (2)求与夹角的余弦值； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的数量积坐标表示即可； （2）根据向量夹角余弦值的坐标表示即可； （3）计算出，再利用向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）因为， . （2），， . （3）因为向量， 所以， 因为， 所以，解得. 【易错必刷十六 向量在几何中的其他应用】 46．（23-24高一下·湖南常德·期中）在中，，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形 【答案】A 【分析】由数量积的运算律得到，即可得到，再由数量积的定义求出，即可判断. 【详解】因为，即，即， 所以，即，则， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以，又，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形． 故选：A 47．（24-25高一·上海·随堂练习）已知平行四边形中，A、B、C的坐标分别为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，由题意可得，列出关于的方程组可求得答案. 【详解】设，则，， 因为四边形是平行四边形， 所以，则， 解得，，所以， 故答案为：． 48．（23-24高一·上海·课堂例题）在四边形中，向量，，．求证：四边形为梯形． 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算及共线向量即可证明． 【详解】证明：因为， 所以且， 所以四边形为梯形． 【易错必刷十七 速度、位移的合成】 49．（22-23高一下·山西·阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据路程、位移的概念分别求出、即可得解. 【详解】因为一架飞机向西飞行，再向东飞行， 则飞机飞行的路程， 位移为向东，所以， 所以. 故选：A 50．（22-23高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知船在静水中的速度大小为，且知船在静水中的速度大小大于水流的速度大小，河宽为，船垂直到达对岸用的时间为，则水流的速度大小为 . 【答案】3 【分析】根据向量的加法运算，确定船行驶的方向与水流方向和船实际的方向之间的关系，进而解三角形可得. 【详解】设船在静水中的速度为，船的实际速度为，水流速度为，如图所示，    ∵， ∴，即水流的速度大小为. 故答案为：3. 51．（23-24高一下·山东滨州·阶段练习）一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为多少小时（h） 【答案】船到达B处所需时间为小时 【分析】由题得实际，求出|实际|=16,即得解. 【详解】依题意知，如图所示 实际船水， |实际|. 所需时间. 船到达B处所需时间为小时. 【易错必刷十八 余弦定理边角互化的应用】 52．（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理进行转化，判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理，， 因为，所以. 故选：A 53．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则 ． 【答案】1 【分析】利用余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理得. 故答案为：. 54．（23-24高一下·福建莆田·期末）设的内角所对的边分别为． (1)证明：； (2)若，，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）直接使用余弦定理即可证明； （2）先得到，然后分情况讨论的取值. 【详解】（1）由余弦定理即得. （2）由已知有，故. 若，则； 若，则，解得或（舍去）. 所以或. 【易错必刷十九 正弦定理边角互化的应用】 55．（2025·江西·一模）的内角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，得， 所以， 又，所以，所以. 故选：A. 56．（24-25高三下·山东·开学考试）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角化简得解. 【详解】在中，由及正弦定理，得，而， 所以. 故答案为： 57．（24-25高三下·福建福州·开学考试）在中，角的对边分别为. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）解法一：利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得，由此可得；解法二：利用余弦定理角化边，进而利用余弦定理求出，由此可得； （2）由三角形面积公式可求得，利用余弦定理可构造方程求得，由此可得三角形周长. 【详解】（1）解法一： 因为， 由正弦定理得， 所以， ， 即， 因为，所以， 因为，所以. 解法二： 因为， 由余弦定理得， 即， 即， 所以， 所以， 因为，所以. （2）解法一：因为的面积， 所以， 因为，所以， 由（1）得， 所以，故， 解得， 所以的周长. 解法二： 由（1）得， 因为， 所以，整理得， 即，又，所以为等边三角形， 即， 因为的面积， 所以， 所以的周长为6 解法三： （2）由（1）得， 所以， 当且仅当时取”， 因为， 所以， 因为的面积， 所以， 所以的周长为6. 【易错必刷二十 正余弦定理与三角函数性质的结合应用】 58．（22-23高一下·黑龙江双鸭山·期末）设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理的边化角公式化简得出，，，最后由结合正弦函数的性质得出的取值范围. 【详解】由以及正弦定理得，所以 即，又B为钝角，所以，故 于是 ，因为，所以 由此，即的取值范围是 故选：A 59．（2024·四川成都·二模）平面四边形中，，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】根据题意，设，且， 在中，利用余弦定理，求得，即，再在中，利用余弦定理，化简得到 ，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，因为，设，且， 在中，可得 ， 即，可得， 在中，可得， 所以， 当时，即时，取得最大值，最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 60．（2024·全国·模拟预测）如图，已知平面四边形中，． (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由于四点共圆，所以， 因此，然后在两个三角形中分别用这两角余弦定理建立等式即可求解； （2）利用三角形面积公式可得：，然后结合第一问的可得出含四边形面积的表达式，再结合三角形内角的范围及余弦函数的性质得到结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 由于四点共圆，所以， 因此， 上述两式相加得：， 得． （2）由（1）得：， 化简得，① 四边形的面积：， 整理得，② ①②两边分别平方然后相加得： 由于，， 因此当时，取得最小值， 此时四边形的面积最大，由，得， 故四边形面积的最大值为． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$